Cap 3- Legge di Gauss. 3.1-Concetto di flusso Flusso del campo elettrico. Cap 3- Legge di Gauss

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1 Cap 3- Legge di Gauss Cap 3- Legge di Gauss Una formulazione equivalente alla legge di Coulomb è quella stabilita dal teorema di Gauss, che trae vantaggio dalle situazioni nelle quali vi è una simmetria nella distribuzione delle cariche. La legge di Gauss mette in relazione i campi elettrici su superfici chiuse (superfici gaussiane) e le cariche da esse racchiuse. Concetto di flusso 3.1-Concetto di flusso 3.1-Concetto di flusso Il concetto di flusso è facilmente ricavabile partendo dai fluidi: se abbiamo un fluido in scorrimento possiamo considerare come flusso attraverso una spira (o una sezione del tubo di flusso) la quantità in volume o la portata volumetrica del fluido stesso che scorre attraverso la spira in figura. Questo flusso dipende da come è orientata la spira: è massimo quando la spira è ortogonale alla velocità (o alle linee di corrente), è minima (nulla) quando la spira è parallela alla velocità. Ne consegue che l espressione analitica del flusso è Φ = Σ v cos θ essendo θ l angolo tra v e la normale alla superficie della spira. Questa espressione si può anche vedere come il risultato di un prodotto scalare: Φ = v Σ avendo definito il vettore Σ come quel vettore avente per modulo l area della spira e direzione perpendicolare al piano della spira stessa. 3.1 Flusso campo elettrico 3.1- Flusso del campo elettrico 3.1- Flusso del campo elettrico Il concetto introdotto si può definire per qualunque campo vettoriale : infatti l esempio precedente equivale a pensare ad una regione di spazio dove esiste un campo di velocità (la velocità del fluido in questo caso). Se abbiamo altri campi vettoriali possiamo definire quindi allo stesso modo il flusso Cap3-Parte II-Teorema di Gauss 1

2 del campo attraverso una superficie. Nel caso del campo elettrico si ragiona allo stesso modo considerando però superfici gaussiane ovvero superfici chiuse. Se consideriamo una qualunque superficie gaussiana e la dividiamo in tanti elementi infinitesimi e quasi piani estendendo quanto detto prima definiamo come flusso del campo elettrico sulla superficie gaussiana Φ = ie dσ i. L orientazione di ogni superficie infinitesima dσ è tale da assegnare come verso dei vettori quello uscente dalla superficie chiusa Con questa definizione di conseguenza se il flusso è negativo vi sarà un flusso entrante altrimenti se il flusso è positivo vi sarà un flusso uscente. Facendo tendere ad infinitesimi tutte le aree la definizione corretta di flusso diventa (indichiamo con û n la direzione normale alle superfici, con verso uscente) Φ(E) = ΣE dσ = Σ Eû n dσ = Σ E ndσ. Il cerchietto sull integrale indica che il calcolo viene fatto su una superficie chiusa. In definitiva mantenendo l analogia con i fluidi diciamo che il flusso del campo elettrico è proporzionale al numero di linee di campo che attraversano la superficie Teorema o Legge di Gauss 3.1- Teorema o Legge di Gauss La legge o teorema di Gauss mette in relazione il flusso netto del campo elettrico attraverso una superficie chiusa con la carica racchiusa all interno della stessa superficie: Φ(E) = qint ovvero Σ Eû n dσ = qint q int è la somma di tutte le cariche (con il segno) all interno della superficie, indipendentemente da come esse sono distribuite. Dal teorema discende quindi che il flusso di E è negativo se le cariche sono negative e viceversa è positivo (uscente) se le cariche sono positive. Nota Anche se il flusso dipende dalle sole cariche dentro la superficie il campo elettrico dipende da tutte le cariche anche da quelle esterne (che però non danno flusso) come ad esempio succede nel caso del dipolo. Cap3-Parte II-Teorema di Gauss 2

3 Parte I 3.2- Dimostrazione teorema di Gauss 3.2- Dimostrazione teorema di Gauss Consideriamo la situazione di una carica puntiforme e di una superficie nello spazio (in azzurro) d Σ e calcoliamo il contributo di flusso infinitesimo attraverso questa superficie. Se indichiamo con θ l angolo fra la normale della superficie e la direzione del campo elettrico si ha: dφ( E) = q û r û n dσ 4π dφ( E) = q û r û n dσ 4π = q dσcosθ 4π = qdσ 0 4π con dσ 0 che è l area arancione in figura corrispondente alla proiezione dell area dσ su un piano perpendicolare a û r Il termine dσ 0 corrisponde alla estensione nello spazio del concetto di angolo dθ = ds R da cui nello spazio possiamo definire l angolo solido come dω = dσ 0 ottenuto partendo da una generica superficie dσ e proiettandola sulla superficie ortogonale a r. Il massimo angolo solido è quello corrispondente ad una superficie sferica corrispondente a Ω = 4πr2 = 4π L angolo solido e l angolo piano L angolo solido corrisponde alla estensione nello spazio del concetto di angolo piano. Consideriamo una generico arco di curva ds e vogliamo vedere qual è l angolo sotteso da esso rispetto ad un punto O: dθ = ds cosα r = ds r e ovviamente l angolo è adimensioanale. Quindi l estensione nello spazio porta a definire l angolo solido come dω = dσ 0 ottenuto partendo da una generica superficie dσ e proiettandola sulla superficie ortogonale a r. L angolo solido possiamo anche esprimerlo Cap3-Parte II-Teorema di Gauss 3

4 in coordinate polari partendo dal valore dell elemento di superficie sferica: dω = (AB) (CD) = (rdθ)(rsinθdφ) = sinθdθdφ. Se integriamo su tutta la sfera ovviamente si trova l angolo massimo apri a 4π Dim-teorema gauss parte2 Dim-teorema gauss parte2 Riprendiamo la dimostrazione, abbiamo trovato quindi che dφ(e) = q 4π dω Quindi il flusso attraverso una superficie finita è Φ(E) = Σ E dσ = Σ E û n dσ = q 4π Σ dσ 0 = q 4π Ω con Ω l angolo solido con cui la carica q sottende la superficie. Calcoliamo ora l integrale attraverso una superficie chiusa. In questo caso due casi sono possibili: la carica è dentro la superficie o fuori di essa. Se la carica è interna come nella figura allora i contributi infinitesimi dei termini E û n hanno tutti lo stesso segno e l integrale sull intera superficie diventa: Φ(E) = q = q Ω = q 4π/ = q 4π 4π 4π/ dσ Se la carica è esterna come in figura per ogni elemento di superficie elementare che è sotteso sotto un angolo dω dalla carica puntiforme q, si può prolungare l angolo solido sino a intercettare un altra superficie infinitesima dall altro lato dell intera superficie. Per queste due superfici intercettate le orientazioni delle normali sono tali che per una si ha E û n dσ 1 < 0 e per l altra E û n dσ 2 > 0 Quindi il flusso totale attraverso queste due superfici infinitesime è dφ(e 1 ) = E 1 û n dσ 1 = q 4π dω e sull altra è : dφ(e 2 ) = E 2 û n dσ 2 = + q 4π dω per cui sommandole si ha dφ(e 1 )+dφ(e 2 ) = 0 per cui integrando sull intera superficie si ottiene Φ(E) = ΣE û n dσ = 0 Il risultato si estende immediatamente per più cariche puntiformi (principio sovrapposizione) per cui si ottiene che Φ(E) = e nel caso di distribuzioni continue su una struttura i q int qualunque τ si scriverà Φ(E) = τ dq Cap3-Parte II-Teorema di Gauss 4

5 Parte II Conseguenze Legge di Gauss: equivalenza con la legge di Coulomb Conseguenze Legge di Gauss: equivalenza con la legge di Coulomb Le due leggi sono equivalenti tra loro: applichiamo il teorema ad una qualunque carica puntiforme e consideriamo tra le superfici gaussiane una sfera centrata nella carica e di raggio r. Il campo elettrico essendo funzione della distanza e radiale sarà costante sulla superficie della sfera per cui Φ = E da = EdA = E da = E4π quindi Φ = E4π = q E = q 4π che è il campo della carica puntiforme. Parte III 3.3-Esempi e conseguenze legge di Gauss 3.3-Esempi e conseguenze legge di Gauss La legge di Gauss diventa estremamente immediata da applicare per il calcolo del campo elettrico nei casi in la distribuzione di carica che genera il campo ha un elevato grado di simmetria di seguido vediamo gli esempi Esempio 3.1-simmetria sferica Esempio 3.1-simmetria sferica Campo elettrico all esterno di una sfera carica Possiamo dimostrare che una guscio sferico di raggio R si comporta come se tutta la sua carica fosse nel suo centro infatti tenuto conto della simmetria la superficie gaussiana da considerare è un altra sfera concentrica e contenente quella carica. Dal t. di Gauss otteniamo: E 4π = q/ per cui il campo risulta essere lo stesso di una carica puntiforme posta al centro del guscio carico: E = q 4π Da notare inoltre che non è stato Cap3-Parte II-Teorema di Gauss 5

6 necessario specificare se la carica è uniformemente distribuita in tutta la sfera (isolante) o solo sulla sua superficie (conduttore). Parte IV es 3.2 Campo elettrico all interno di una sfera carica uniformemente distribuita es 3.2 Campo elettrico all interno di una sfera carica uniformemente distribuita il t. di Gauss permette il calcolo del campo anche all interno del guscio sferico: in questo caso il teorema dice che Φ E = q / dove q = ρ 4 3 πr3 è la carica racchiusa dalla superficie gaussiana di raggio r R interna al guscio uniformemente carico. Pertanto otteniamo: E4π = ρ 4 3 πr3 da cui E = ρ r 3 = q r 4π e al centro della sfera il campo è nullo. Nel R 3 caso di una distribuzione superficiale sferica di acrica invece all interno della sfera non ci sarà carica per cui E = 0 (vedi conduttori dopo) Noto il campo elettrico è possibile calcolare il potenziale Esempio 3.3- simmetria cilindrica Esempio 3.3- simmetria cilindrica Consideriamo un filo uniformente carico. In questo caso si ha una evidente simmetria cilindrica per cui scegliamo come superficie gaussiana un cilindro che avvolge il filo come in figura. Introduciamo la Cap3-Parte II-Teorema di Gauss 6

7 densità di carica: λ = Q L e notiamo che il campo elettrico deve risultare perpendicolare al filo. Il flusso del campo elettrico è allora Φ E = E da = E da + E da + E da Sup.Lat. A up A down I termini di flusso lungo le superfici delle basi sono nulli perchè il campo è perpendicolare alla direzione della superficie quindi rimane solo il termine di flusso lungo la superficie laterale. Ci aspettiamo che il campo sia costante (per simmetria) lungo la superficie per cui si ottiene: Φ E = E (2πRL) dove R è il raggio del cilindro ed L l altezza. Pertanto otteniamo dal t. di Gauss: Φ E = E (2πRL) = q = λl Quindi E = λ 2π R Per il potenziale si ha V = V(r) V(R) = R r E(r)dr quindi la ddp tra i due distanze all esterno del filo si ha V = R λ 2π ln(r/r) per due valori r ed R fuori del filo carico Esempio 3.4- simmetria piana Esempio 3.4- simmetria piana r λ 2π r dr = Abbiamo una lamina isolante quindi una superficie sottile ed infinitamente estesa con una densità superficiale di carica σ. Le ragioni di simmetria portano a stabilire che il campo elettrico deve essere ortogonale al piano. Scegliamo come superficie gaussiana un cilindretto che Cap3-Parte II-Teorema di Gauss 7

8 attraversi la superficie come in figura. In questo caso si ha che il flusso è ancora Φ E = E da = E da + E da + E da Sup.Lat. A up A down ma è nullo il flusso della superficie laterale mentre quello le 2 basi danno lo stesso flusso: E da = (E A + E A) = q da cui E = q il disco carico. 2 A = σ 2 Risultato anche ottenuto nel limite di R per Parte V 3.4-Divergenza del campo elettrico 3.4-Divergenza del campo elettrico Il teorema di Gauss così introdotto precedentemente utilizza una forma integrale che per alcuni scopi non è immediatamente utile. Esiste anche una forma locale (ovvero che si può usare in termini di eq. differenziali) che utilizza un teorema di calcolo vettoriale, detto teorema della divergenza. Il teorema permette di convertire un flusso di un campo vettoriale in divergenza del campo vettoriale. E û N dσ = Edτ Σ Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è uguale all integrale della divergenza del campo elettrico, esteso al volume τ racchiuso dalla stessa superficie Di conseguenza la legge di Gauss, secondo questo teorema si può scrivere: Φ(E) = Edτ = 1 ρ(x,y,z)dτ τ τ τ Cap3-Parte II-Teorema di Gauss 8

9 Per cui si ottiene E = ρ seguente modo: In coordinate cartesiane si esplicita nel E = E x x + E y y + E z z = ρ(x,y,x) che rappresenta la forma differenziale (locale) del teorema di Gauss Infine utilizzando il legame tra E e V in termini di gradiente E = V e inserendola si ottiene: V = 2 V x V y V z 2 = ρ che è detta eq. di Poisson il cui caso particolare nel caso in cui ρ = 0 è la descrizione dello spazio vuoto ed è detta eq. di Laplace due equazioni differenziali che permettono il calcolo di V nota la carica. Parte VI 2-6-Rotore del campo elettrico 2-6-Rotore del campo elettrico Ricordiamo il risultato trovato per la f.e.m. E = E d s = 0 e vediamo come scriverla in forma locale: Il teorema che permette il cambio ditipodiintegraleèdettoteoremadistokescheaffermachelacircuitazione di un campo vettoriale E lungo una linea chiusa è pari al flusso del rotore del campo rot E = E: E d s = ( E) û N dσ Σ Da cui la forma locale diventa E = 0 che è la formulazione locale che stabilisce che il campo elettrostatico è conservativo cioè irrotazionale Cap3-Parte II-Teorema di Gauss 9

10 Esercizio 24.3E 24.3E Trovare il attraverso il lato orientato secondo l asse x e con lo stesso verso ed il flusso totale attraverso un cubo di lato l = 1.4 m nei seguenti casi: a) E = 6î; b) E = 2ĵ; c) E = 3î+4ˆk; Se il campo è uniforme il flusso totale è nullo. La superficie richiesta è rappresentata dal vettore S a = l 2 ĵ per cui si ha a) Φ a = E S a = 6l 2 î ĵ = 0; b) Φ a = 2ĵ l 2 ĵ = 2l 2 ; c) Φ a = Φ tot = E tot A cil = q i Φ tot = 0 q i = 0 ma la somma delle cariche è q i = λ L+σ 2πRL = 0 λ+σ 2πR = 0 σ = λ 2πR = σ C/m 2 b) Se σ = C/m 2 allora il campo elettrico è dal t. di gauss: Φ e = q i con Φ E = E2πRL Riepilogo Campo elettrostatico Il campo elettrico può essere calcolato in 3 modi differenti: Dalla definizione diretta: E = V dq 4π û r come gradiente del potenziale elettrico E = gradv = V Dal teorema di Gauss Il calcolo diretto può implicare 3 integrali di volume, il secondo metodo un integrale (per il calcolo del potenziale) ed una operazione di derivazione per ogni componente spaziale, l ultimo metodo è il più immediato ma si applica solo nelle condizioni di simmetria che abbiamo visto. Cap3-Parte II-Teorema di Gauss 10

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