Per approssimare la funzione, occorre determinare la derivata prima e seconda:

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1 Esercizi sul Poliomio di Taylor Approssimare lafuzioe f() = l(+si) coilpoliomio di Taylor di ordie = e puto iiziale 0 = 0. Soluzioe Per approssimare la fuzioe, occorre determiare la derivata prima e secoda: f () = cos +si ; f () = si(+si) cos(cos) (+si) Possiamo scrivere f() f( 0 )+f ( 0 )( 0 )+f ( 0 ) ( 0). Nel ostro caso f(0) = 0; f (0) = ; f (0) =. Quidi: = si si cos (+si) f() 0+ () = Approssimare la fuzioe f() = e si co il poliomio di Taylor di ordie = e puto iiziale 0 = 0. Soluzioe Per approssimare la fuzioe, occorre determiare la derivata prima e secoda: f () = e si cos; f () = e si cos cos+e si si = e si (cos si) Possiamo scrivere f() f( 0 )+f ( 0 )( 0 )+f ( 0 ) ( 0). Nel ostro caso f( 0 ) = e si0 = e 0 = ; f ( 0 ) = e si0 cos0 = ; f ( 0 ) = e si0 (cos 0 si0) =. Quidi: e si + + = ++

2 Approssimare la fuzioe f() = arcta() co il poliomio di Taylor di ordie = e puto iiziale 0 =. Soluzioe. Per approssimare la fuzioe, occorre determiare la derivata prima e secoda: f () = + ; f () = (+ ) Possiamo scrivere f() f( 0 )+f ( 0 )( 0 )+f ( 0 ) ( 0). Nel ostro caso f( 0 ) = arcta() = Π; 4 f () = ; f () =. Quidi f() Π + ( ) ( ), ossia: 4 f() 4 ++ Π 4 4 Esercizi sui Limiti Notevoli Utilizzado i iti otevoli, calcolare il 0 e Soluzioe e = 0. Per risolvere tale ite possiamo ricorrere ai iti 0 0 otevoli. Moltiplicado e dividedo per otteiamo: e e = 0 0 = 0 0 allora y 0, avremo: e e y e = =. Quidi = 0 y 0 y 0 e. Poedo = y, se

3 Calcolare i segueti iti: + si si ; Soluzioe si + si = 0. Per risolvere tale ite possiamo ricorre ai iti 0 otevoli. Moltiplicado e dividedo per al umeratore e al deomiatore si ottiee: si si + si = + y 0 e z 0. Quidi: si. Poedo = y e = z se + allora =. Di co- si + segueza: = y 0 siy y si = ; + siz = z 0 z + si si = + + =. Soluzioe + = +. Per risolvere questa forma idetermiata occorre razioalizzare: + = =

4 + + + = = + = (NB: = 0; ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = = + + = 0; = 0) Utilizzado i iti otevoli, calcolare i segueti iti: e 0 si ; Soluzioe e 0 si = 0. Per risolvere tale ite possiamo ricorrere ai iti 0 otevoli. Moltiplicado e dividedo per si ottiee: e 0 si = e 0 y 0, avremo:. Poedo = y, se 0 allora si e 0. e y = y 0 y = y 0 e y y = ; 0 si = 0 si = e Quidi: 0 si =. 0 si l(+) ; Soluzioe si 0 l(+) = 0. Per risolvere tale ite possiamo ricorrere ai iti otevoli. Moltiplicado e dividedo per al umeratore e per al 0 deomitore si ottiee:

5 si si 0 l(+) = 0 l(+) 0 allora y 0, avremo: si 0 = siy y 0 y Quidi: 0 si l(+) =. Massimi e Miimi Assoluti = 0 si l(+) =. Ioltre 0 l(+). Poedo = y, se =. Determiiare i puti di miimo e massimo assoluto della fuzioe f() =. Soluzioe Lafuzioef()édefiitaper 0, ossiaeldomiiod = [,]. Essedo D u isiem chiuso e itato, per il teorma di Weiestrass, la fuzioe é dotata di miimi e massimi assoluti. I puti di miimo e di massimo assoluto vao ricercati: Puti di frotiera: = +; =. Nel ostro caso f() = 0; f( ) = 0. Puti che aullao la derivata prima: f () = = 0 = 0; f(0) = Puti di o derivabilitá: f () = ],[. I puti di o derivabilitá soo i = e = che coicidoo co i puti di frotiera. Quidi possiamo affermare che il puto = 0 é u puto di massimo assoluto, i puti = e = soo puti di miimo assoluto.

6 Determiare i puti di massimo e di miimo assoluto della fuzioe f() = + ell itervallo [0,] Soluzioe. I puti di massimo e di miimo vao ricercati: Puti di frotiera = 0,. Nel ostro caso f(0) = e f() = 5. Puti di o derivabilitá. La derivata é f () = ( ) +. I questo caso 0 e quidi la fuzioe o é derivabile i =. Calcolado il valore della fuzioe abbiamo f() =. Puti che aullao la derivata prima. I questo caso, per semplicitá la fuzioe diveta: { ( )+ se > 0 ( )+ se < 0 Quidi poedo la derivata prima pari a zero abbiamo: { + se ],] + se [0,[ I questo caso, + = 0 se = ma questo puto o appartiee all itervallo ],]. Metre + = 0 se = che appartiee all itervallo [0, [. Quidi l uico puto i cui si aulla la derivata prima é =. Quidi otteiamo che f()) =. 4 Cofrotado i tre casi, possiamo dedurre che = é u puto di massimo assoluto metre = é u puto di miimo assoluto.