ANALISI MATEMATICA I A.A. 2016/17 POLO MONTE SANT ANGELO

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1 ANALISI MATEMATICA I A.A. 2016/17 POLO MONTE SANT ANGELO MARCO BARCHIESI Il programma per l anno accademico 2016/2017 sarà quasi uguale a quello dell anno precedente. I libri di testo adottati sono i seguenti, ma siete liberi sia per la teoria che per gli esercizi di usare le fondi che preferite (fermo restando il programma!). Nella cartella del materiale didattico trovate inoltre delle note e degli esercizi aggiuntivi. Per la teoria: L. Lamberti & C. Mascia. Note di base di Analisi Matematica. Per gli esercizi: A. Alvino, L. Carbone & G. Trombetti. Esercitazioni di Matematica, vol.1, parte I e II. Man mano che svolgerò le lezioni, riporterò qui i vari contenuti. In genere le lezioni sono di 2 ore, se non diversamente specificato. In blu le parti che potete trovare nelle note aggiuntive nella cartella del materiale didattico posta nella mia home page. Gli esercizi che trovate nella cartella del materiale didattico servono a darvi un idea. Per padroneggiare le tecniche di risoluzione dovete però esercitarvi finché non vi sentite sicuri. Per questo siete caldamente invitati a svolgere gli esercizi sul libro proposto, o cercarvene per conto vostro. Infine, in verde la parte del corso tenuta dalla Professoressa Flavia Giannetti. Lez. 1 Identificazione dei numeri razionali con alcuni punti di una retta orientata. Il problema dei buchi. L esempio di 2. I numeri irrazionali come punti sulla retta non coperti dai razionali, ed identificazione dei numeri reali con tutta la retta. Dato un numero reale x, si può trovare un numero razionale y che dista da x meno di 1/10 k, k N arbitrario. Un numero irrazionali è determinato da una stringa infinita di numeri interi. L esempio di π. Definizioni di somma e prodotto in R, la seconda tramite l approssimazione con Q. Lez. 2 Le proprietà algebriche dei numeri reali. Le proprietà dell ordinamento, in particolare dicotomia e mutua esclusione. Due prime proposizioni: x n < y n x < y e (1+h) n 1+nh (disuguaglianza di Bernoulli). Il principio di induzione. Le proprietà del modulo. Le proprietà della distanza, più precisamente positività, simmetria e disuguaglianza triangolare. Lez. 3, 4h Gli intervalli (aperti e chiusi). L intorno di un punto. Cenni all assiomatica di base dei numeri reali: il principio degli intervalli incapsulati come zoom sulla retta mostra che R non ha buchi. L assioma di Archimede e come lo abbiamo usato nel provare le densità di Q in R. Un semplice trucco: come provare che un numero x R è non negativo: basta che x ε per ogni ε > 0. Insiemi limitati, maggioranti e minoranti, massimo e minimo, estremo inferiore e superiore. Esistenza dell estremo superiore ed inferiore come caratteristica di R. Condizione necessaria e sufficiente affinché un maggiorante sia estremo superiore. Richiami base sulle funzioni. Dominio e immagine. Restrizione ed estensione. Il grafico di una funzione. Funzioni elementari (i): i polinomi e le funzioni razionali. Prime operazioni sulle funzioni: traslazioni orizzontali e verticali, dilatazione/compressione. Altre operazioni sulle funzioni: passaggio al reciproco, modulo di una funzione, parte Date: 17 dicembre 2016.

2 positiva e parte negativa. Lez. 4 Esercizi e richiami: equazioni e disequazioni di primo e secondo grado, disequazioni razionali e un cenno a quelle col valore assoluto. Lez. 5 Funzioni elementari (ii): le funzioni trigonometriche (seno, coseno, tangente, cotangente). Loro proprietà. Alcune proprietà che semplificano lo studio di funzioni: simmetrie (funzione pari e funzione dispari) e periodicità. Esempi vari. Composizioni di funzioni. Le funzioni iniettive e il significato geometrico dell iniettività. Esempi. Lez. 6 La funzione inversa f 1 di una funzione iniettiva f, e sue proprietà. Grafico di f 1 e legame col grafico della f. Funzioni monotone, crescenza e decrescenza. La monotonia stretta come condizione sufficiente per l iniettività. Monotonia dell inversa. Funzioni elementari (iii): la radice n-esima come inversa dell elevamento a potenza n-esima, proprietà. Le funzioni inverse di quelle trigonometriche: arcoseno, arcocoseno, arcotangente e arcocotangente. Loro proprietà. La funzione esponenziale e le sue proprietà. L inversa della funzione esponenziale: il logaritmo. Lez. 7 Definizione e proprietà del logaritmo. Disequazioni esponenziali e logaritmiche. Disequazioni irrazionali. Esercizi vari. Lez. 8 Introduzione alle successioni di numeri reali. Il concetto di limite. Verifica della convergenza in un semplice esempio. Unicità del limite di una successione (dimostrazione e visualizzazione geometrica ). La convergenza implica la limitatezza, ma non vale il viceversa: semplice controesempio tramite una successione oscillante. Le sottosuccessioni e la loro convergenza in relazione alla convergenza della successione madre. Costruzione di successioni non convergenti. Il limite e la struttura algebrica: somma e prodotto di limiti. Lez. 9 Esercizi su equazioni e disequazioni trigonometriche. Lez. 10 Il limite e la struttura d ordine. Un primo risultato: la monotonia del limite. Corollario: la permanenza del segno nel passaggio al limite. Proprietà inversa: se il limite è positivo, la successione è a termini positivi per n grande. Altri risultati sul limite e la struttura d ordine. Il teorema del raffronto (o dei carabinieri) e sua variante nel caso di successioni divergenti. Due applicazioni: il limite della successione x n, x R fissato, e il limite della successione n x, x > 0 fissato. Il limite di una successione monotona (nei casi in cui sia limitata o non limitata). Lez. 11 Il limite del reciproco di una successione, nei tre casi in cui ci sia convergenza con limite diverso da zero, uguale a zero, oppure divergenza a ±. Approfondimenti sul prodotto di successioni: prodotto tra una successione limitata e una convergente a zero, prodotto tra una definitivemente lontana da zero e una divergente. Il caso indeterminato 0. Approfondimenti sul rapporto di successioni: rapporto tra una successione limitata e una divergente, rapporto tra una convergente a zero e una definitivemente lontana da zero. I casi indeterminati: / e 0/0. Il criterio del rapporto per successioni e suo uso per determinare le successioni che corrono di più. I primi concorrenti: confronto tra n p con p N e x n con x > 1. Altri concorrenti: confronto tra x n e n!.

3 Lez. 12 Definizioni di punto di accumulazione e definizioni di limite. Teorema ponte e sue implicazioni. Limite destro e sinistro. Lez. 13 Altri concorrenti: confronto tra n! e n n. Come si comporta il limite quando componiamo la successione con le funzioni a x, log a x e x α. Confronto tra n α con α > 0 e x n (prima avevamo visto solo n p con p N). Confronto tra log a n con base a qualsiasi e n α. Limiti di successioni della forma a bn n tramite trasformazione in ebn lnan ed uso del comportamento del logaritmo e dell esponenziale. Quando le cose non vanno come vorremmo: forme indefinite 0 0,1, 0 e loro riduzione al caso 0. Il limite notevole lim n (1+x/a n ) an = e x (senza dimostrazione). Come si comporta il limite quando componiamo la successione con le funzioni trigonometriche (analisi a partire dalla funzione seno, e a seguire coseno, tangente e cotangente). Il limite notevole lim n (sina n )/a n. Lez. 14, 4h Esercizi sui limiti di successione: forma indeterminata tramite razionalizzazione o raccoglimento, limiti dove compaiono l esponenziale o il logaritmo, limiti dove compaiono funzioni trigonometriche, limiti dove vanno usati i limiti notevoli proposti, criterio del confronto, esercizi generali. Gli errori comuni da non commettere nei limiti di successione. Il concetto di serie come successione delle somme parziali. Serie e struttura algebrica. Condizione necessaria alla convergenza della serie k a k è che lim k a k = 0. Serieatermini di segno costante: la successione delle somme parziali è monotona. Serie telescopiche ed esempi. Due esempi fondamentali: serie geometrica e serie armonica, analisi della loro convergenza. Lez. 15 Funzioni continue. Punti di discontinuità e loro classificazione. Limiti notevoli. Lez. 16 Il criterio del confronto. Corollario al criterio del confronto: il criterio del limite. Serie armonica generalizzata I, analisi della convergenza. Serie armonica generalizzata II (senza dimostrazione). Il criterio del rapporto. Il criterio della radice. Lez. 17, 4h Esempio: la serie esponenziale. Serie a termini con segno non costante. Convergenza assoluta. La convergenza assoluta implica la convergenza delle serie delle parti positive e della parte negative, e quindi la convergenza semplice. Il criterio di Leibniz. Esercizi vari, in particolare su come usare la serie geometrica e la serie armonica generalizzata come metro di paragone. Lez. 18 Esercizi sui limiti di funzione, in particolare con i limiti notevoli. Il teorema dei valori intermedi ed il teorema di esistenza degli zeri. Lez. 19 Esempi sull ottimalità delle ipotesi nel teorema dei valori intermedi. Lemma sugli intervalli inscatolati quando la loro taglia va a zero. Il teorema di Weierstrass (con esempi sull ottimalità delle ipotesi). Corollario: l immagine attraverso una funzione continua di un intervallo chiuso e limitato è l intervallo chiuso e limitato di estremi il minimo e il massimo della funzione. Altre proprietà: (i) su un intervallo una funzione continua è strettamente monotona se e solo se è invertibile (con esempi sull ottimalità delle ipotesi); (ii) l inversa di una funzione continua è continua. Lez. 20 Il concetto di derivata e suo significato geometrico. Derivabilità implica continuità. Regole di derivazione: (i) la derivata della somma e del prodotto di due funzioni, la derivata

4 del reciproco di una funzione. (ii) La derivata della composizione di due applicazioni (senza dimostrazione). Derivabilità delle funzioni elementari e forma delle loro derivate (polinomi, sinx, cosx, tanx, e x, lnx, x α, c x ). Lez. 21 (iii) La derivabilità delle funzione inversa di una funzione derivabile e sua forma (spiegazione geometrica e dimostrazione). Derivabilità delle funzioni elementari e forma delle loro derivate (log c x, arcsinx, arccosx, arctanx). Funzioni infinitesime e loro confronto. L infinitesimo campione e classificazione degli ordini di infinitesimo. Calcolo dell ordine di infinitesimo, esempi. Il principio di sostituzione degli infinitesimi. Esempi di applicazione. Lez. 22 Ulteriori esercizi sui limiti di funzione con i limiti notevoli. Il concetto di massimo e minimo locale. Il teorema di Fermat sui punti stazionari: in un punto interno di massimo o minimo locale una funzione derivabile ha derivata nulla. Implicazione: i punti di massimo e minimo locale vanno cercati (i) dove la funzione non è derivabile, (ii) sui bordi del dominio, (iii) sui punti interni dove c è derivabilità e la derivata è nulla. Osservazione sul teorema di Fermat: punti dove la derivata è nulla potrebberonon esseredi minimoomassimo locale, maflessi orizzontali (esempio con x 3 ). Lez. 23 Il teorema di Rolle. Esempi che evidenziano l ottimalità delle ipotesi (la continuità al bordo e la derivabilità su tutti i punti interni). Il teorema di Lagrange. Corollario al teorema di Lagrange: monotonia di una funzione con derivata strettamente positiva/negativa. In particolare una funzione con derivata nulla è costante sugli intervalli. Osservazione: la positività della derivata in un singolo punto non implica che la funzione cresca in un intorno del punto (esempio esotico di una funzione derivabile, con derivata positiva nell origine, che però oscilla). La cosa è però vera se la derivata è continua. Riconoscere se abbiamo massimo o minimo locale dal comportamento della funzione nell intorno del punto (crescita e decrescita). Osservazione: è una condizione solo sufficiente ma non necessaria (esempio esotico di una funzione derivabile e con minimo assoluto nell origine, ma che oscilla). Riconoscere se abbiamo massimo o minimo locale dal segno della derivata nell intorno del punto. Riconoscere se abbiamo massimo o minimo locale dal segno della derivata seconda nell intorno del punto o solo nel punto sotto ipotesi di continuità di f. Osservazione: è una condizione solo sufficiente (esempio con x 4 ). Lez. 24 Derivabilità in un punto tramite limite destro e sinistro delle derivate nell intorno, suo uso per l analisi della derivabilità sulle interfacce. Punti significativi nello studio di funzioni: (i) asintoti verticali (sul bordo dell insieme o nei punti in cui non vi è continuità), (ii) punti angolosi, punti di flesso verticali, cuspidi (là dove c è continuità ma non derivabilità). Analisi all infinito: asintoti orizzontali e obliqui. Come individuare la retta che costituisce l asintoto obliquo. Esercizi sulla ricerca di massimi e minimi. Lez. 25 Confronto tra infiniti (def di infinito di ordine superiore o inferiore). L infinito campione e classificazione degli ordine di infinito. Il principio di sostituzione degli infiniti. Esercizi sugli infiniti e infinitesimi (individuazione dell ordine, risoluzione di limiti con i principi di sostituzione). Il teorema di de L Hôpital (senza dimostrazione). Esercizi. Lez. 26 Funzioni convesse e concave. Convessità in un punto nel caso di funzioni derivabili. Punti

5 di flesso. Esempi esotici di funzioni convesse in un punto o aventi flesso. La crescita della derivata prima come condizione sufficiente alla convessità. Corollario: la positività della derivata seconda come condizione sufficiente. Esercizi sullo studio del segno di una funzione. Esercizi sullo studio di funzione. Lez. 27 Ulteriori esercizi sullo studio di funzioni. Introduzione all integrazione: quando ha senso parlare di area e come calcolarla? Le partizioni di un intervallo. Somma integrale superiore(o per eccesso) S(f, P) ed inferiore (o per difetto) S(f,P) di una funzione f relative ad una partizione P data. Interpretazione geometrica. Una funzione è integrabile quando inf P S(f,P) = sup P S(f,P). La definizione di integrale. Un esempio di funzione non integrabile. Lez. 28 Formula di Taylor col resto di Peano, ed esempi sul suo utilizzo nei limiti di funzione. Lez. 29 Raffinamento di partizioni. Raffinado la partizione la somma integrale per difetto cresce, mentre quella per difetto decresce. La disuguaglianza inf P S(f,P) sup P S(f,P). Condizione necessaria e sufficiente per l integrabilità. Proprietà dell integrale: (i) linearità, (ii) additività (senza dimostrazione) e (iii) monotonia. Il prodotto di due funzioni integrabili è integrabile (senza dimostrazione). Il modulo di una funzione integrabile è integrabile (dimostrazione facoltativa) e il suo integrale è più grande del modulo dell integrale della funzione stessa. Lez. 30 Classi di funzioni integrabili. (i) Integrabilità delle funzioni monotone. (ii) Integrabilità delle funzioni continue (dimostrazione facoltativa) con accenni alla continuità uniforme. Teorema della media integrale. Esempio che mostra come il teorema non valga sotto le semplici ipotesi di integrabilità. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Primitive e calcolo degli integrali. Integrali elementari. Integrazione attraverso la semplice manipolazione dell integrando. Lez. 31 Ulteriori esercizi sull uso della formula di Taylor nei limiti di funzione. Integrazione per parti. Integrazione delle funzioni razionali. Il caso base: il denominatore ha grado 2. Sottocasi a seconda del del denominatore (radici distinte o coincidenti). Lez. 32 Integrazione per sostituzione (prima e seconda formula) con esempi. Integrali impropri. Integrabilità e non delle funzioni 1/x α e 1/[x(lnx) β ] a seconda del valore degli esponenti α e β nei domini (0,b) e (a,+ ). Un primo criterio di integrabilità: criterio del confronto. Lez. 33 Integrazione delle funzioni razionali. Il sottocaso con radici immaginarie. Il caso generale (grado maggiore di 2). Ulteriori esercizi sugli integrali. Lez. 34 Ancora sugli integrali impropri: criterio del confronto asintotico. Le funzioni da usare per il confronto: 1/x α e 1/[x α (lnx) β ]. Esempio. Ulteriori esercizi sugli integrali. Ulteriori esercizi sulla formula di Taylor.