ISTITUZIONI DI ANALISI SUPERIORE Esercizi di metà corso

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1 ISTITUZIONI DI ANALISI SUPEIOE 2-2 Esercizi di metà corso Silvia Ghiassi 22 ovembre 2 Esercizio Diamo u esempio di fuzioe u: tale che u 6, u 6, u 6. se x <, 6 x 2 /2 se x [, 2 ), u(x) = 6 x 2 / x se x [ 2, 2 2 ), se x 2 2. Tale fuzioe è stata otteuta osservado che la sua derivata soddisfa le codizioi richieste ad u ed u. Ovviamete le derivate soo itese i seso distribuzioale. Esercizio 2 Cosideriamo la successioe di fuzioi u (x) = si(πx), x I = (, ). Covergeza i L (I) Poichè u coverge debolmete a (Lemma di iema-lebesgue), se covergesse i orma L p dovrebbe covergere allo stesso limite. Abbiamo però [ cos(πx) u = si(πx) dx = si(πx) dx = π ] = 2 π

2 e quidi u o coverge i L (I). Covergeza i L 2 (I) Aalogamete al caso precedete, poiché u 2 2 = si(πx) 2 dx = la successioe o coverge i L 2 (I). [ ] cos(2πx) dx = 2 2 Covergeza i L (I) Abbiamo u =, quidi u o coverge i L (I). Covergeza i D (I) Sia ϕ C o ((, )). Itegrado per parti e osservado che il termie di bordo è ullo perché ϕ è a supporto compatto, otteiamo u, ϕ = si(πx)ϕ(x) dx = π Per la disuguagliaza di Hölder otteiamo ifie u, ϕ π cos(πx) 2 ϕ 2, e quidi u coverge a el seso delle distribuzioi. cos(πx)ϕ (x) dx. Esercizio 3 Cosideriamo la successioe di fuzioi u (x) = χ [, ](x), x. Covergeza i L () di u. Osserviamo iazituto che la successioe coverge q.o. a. Calcoliamo la orma L Quidi u (x) i L (). u (x) dx = dx = 2

3 Covergeza i L 2 () Si ha u 2 2 = dx =. Allora la successioe o coverge i L2 (). Covergeza i L () Poiché u =, u o coverge i L (). Covergeza i D () Sia ϕ Co (). Usado la disuguagliaza di Hölder, u, ϕ = ϕ(x) dx ϕ L 2 ([, ]) L 2 ([, ]) = ϕ L 2 ([, ]), per l assoluta cotiuità dell itegrale di Lebesgue. Esercizio 4 Cosideriamo la successioe di fuzioi u (x) = χ [,+5] (x), x. Covergeza i L () Osserviamo che u (x) q.o. Ma u = +5 dx = 5 per ogi, quidi la successioe o coverge i L (). Covergeza i L 2 () Aalogamete, essedo u 2 = 5, la successioe o coverge i L 2 (). Covergeza i L () Abbiamo u = e quidi la successioe o coverge emmeo i L (). Covergeza i D () Sia ϕ Co (). Si ha +5 ϕ(x) dx, perché defiitivamete l itervallo di itegrazioe è fuori dal supporto di ϕ, quidi la successioe coverge a el seso delle distribuzioi. 3

4 Esercizio 5 Sia u(x) = xχ (,) (x) + χ (,2) (x), co x (, 2) e sia ϕ C o ((, 2)). u, ϕ = = [xϕ(x)] + 2 u(x)ϕ (x) dx = xϕ (x) dx ϕ(x) dx lim x 2 ϕ(x) + ϕ() = ϕ() ϕ (x) dx = Quidi u (x) = χ (,) (x). Calcoliamo la derivata distribuzioale secoda: u, ϕ = u, ϕ = 2 u (x)ϕ (x) dx = χ (,) ϕ(x) dx + ϕ(). ϕ (x) dx = ϕ() + lim x ϕ(x). Quidi u (x) = δ (x). La fuzioe u appartiee a W 2,2 ((, )), perchè u (,) = x. Esercizio 6 La fuzioe u(x) = xχ (,) (x) + 2χ (,2) (x), defiita per x (, 2) ha derivata prima u (x) = χ, (x) + δ (x) e quidi appartiee a L p ((, 2)) per ogi p [, + ) ma o appartiee a W k,p ((, 2)), per essu k (cfr. Esercizio 5). Esercizio 7 Siao f(x) = xχ (,) (x), g(x) = x 2 χ (,) (x). (f g)(x) = Se x, otteiamo ivece se x >, (f g)(x) = f(x y)g(y) dy = (x y)y 2 χ (,) (x y)χ (,) (y) dy = = (x y)y 2 χ (x,x) (y)χ (,) (y) dy. x (x y)y 2 dy = x x y 2 dy x y 3 dy = x4 3 x4 4, (f g)(x) = x (x y)y 2 dy = x 3 x(x )3 3 4 (x )

5 Esercizio 8 Sia u(x) = x α e x, co x. Suppoiamo iazitutto α. Vogliamo vedere a quali spazi di Sobolev W k,2 () essa appartiee. Cotrolliamo iazitutto la sua orma i L 2 (). u 2 2 = x 2α e 2 x dx No abbiamo problemi di sommabilità all ifiito, quidi è sufficiete cotrollare il comportameto dell itegrada itoro alla sigolarità i. Essa è sommabile i se 2α > ; duque u L 2 () se α > 2 (sempre suppoedo α ). Passiamo ora a cotrollare l apparteeza ad L 2 () delle derivate distribuzioali di u. Calcoliamo duque u : = u, ϕ = = + u(x)ϕ (x) dx = ( x) α e x ϕ (x) dx ( α( x) α e x + ( x) α e x )ϕ(x) dx + ( α x α e x + x α e x )ϕ(x) dx + = sig(x)(α x α e x x α e x )ϕ(x) dx x α e x ϕ (x) dx = (αx α e x x α e x )ϕ(x) dx = (α x α e x x α e x )ϕ(x) dx = Quidi u (x) = sig(x)(α x α e x x α e x ). Aalogamete a prima, cotrollado la sommabilità di u i L 2 (), otteiamo 2α 2 >, quidi u W, 2() se α > 2. Poiché ella derivata prima abbiamo otteuto la fuzioe sig(x), è evidete che, el calcolare la derivata secoda otterremo ua delta di Dirac cocetrata i che o appartiee a. Quidi u / W 2,2 (), per ogi α (stiamo acora suppoedo α ). Nel caso i cui α =, u(x) = e x, e quidi u (x) = sig(x)e x. Aalogamete al caso precedete abbiamo quidi che per α =, u W,2 () ma u / W 2,2 (). Esercizio 9 Per calcolare il limite el seso di D () della successioe di fuzioi u k (x) = v k (x) w k (x) = k 2 cosh 2 (3kx) k π( + k 2 x 2 ) 5

6 calcoliamo separatamete i limiti di v k (x) e w k (x). Sia ϕ C o (). v k, ϕ = k ϕ(x) 2 cosh 2 dx = (y = kx) = (3kx) Per il Teorema di covergeza domiata, poiché ϕ(y/k) 2 cosh 2 (3y) ϕ() 2 cosh 2 (3y) q.o. i, otteiamo per k ϕ(y/k) 2 cosh 2 (3y) ϕ(y/k) 2 cosh 2 (3y) dy. ϕ(x) L (), e [ ] + v k, ϕ ϕ() 2 cosh 2 dy = ϕ() (3y) 6 tah(3y) = ϕ() = δ 3 3, ϕ. Calcoliamo ora il limite di w k (x). w k, ϕ = k ϕ(x) π( + k 2 x 2 dx = (y = kx) = ) Per il Teorema di covergeza domiata, poiché ϕ() π(+y 2 ) q.o. i, otteiamo per k ϕ(y/k) π(+y 2 ) ϕ(y/k) π( + y 2 ) dy. ϕ(x) L (), e ϕ(y/k) [ ] + w k, ϕ ϕ() π( + y 2 dy = ϕ() ) π arcta(y) = ϕ() = δ, ϕ. Quidi, u k (x) 2 3 δ per k el seso di D (). π(+y 2 ) Esercizio Sia u L loc () e ζ C o (). Calcoliamo (ζu) = ζu (i seso distribuzioale). (ζuχ ) = u ζχ + ζ uχ + χ ζu. Ma l ultimo termie è ullo, perché χ solo su, dove però si aulla ζ, essedo a supporto compatto i. Abbiamo quidi otteuto (ζu) = u ζ + ζ u. Per quato appea dimostrato, se u W,p () e ζ Co (), abbiamo ζu p L p ( ) = ζuχ p = ζϕ p ζ p u p L p () 6

7 e D(ζu) p L p ( ) = ζdu + udζ p ζ p Du p L p () + Dζ p u p L p (). ζdu p + udζ p Quidi ζu W,p ( ). Sia u W,p (). Allora (u) = u χ + u χ. Il secodo termie però o appartiee a L p ( ), perché o è ua fuzioe (cotiee ua delta di Dirac, data dalla derivata distribuzioale della χ), e quidi u / W,p ( ). Esercizio Sia f C () co f L (), u L loc () e u m C (). qualsiasi. Sia ifie Per il Teorema di Lagrage, f(u m ) f(u) dx max f u m u dx f u m u dx. Abbiamo ioltre la seguete disuguagliaza: f (u m )Du m f (u)du dx = f (u m )Du m f (u m )Du+f (u m )Du f (u)du dx f (u m ) Du m Du dx + f Du m Du dx + f (u m ) f (u) Du dx f (u m ) f (u) Du dx. Suppoiamo ora che u m u e Du m Du i L loc (). Allora vale la regola di derivazioe delle fuzioi composte (el seso delle distribuzioi) D(f u) = f (u)du. Ifatti, essedo f cotiua ed essedo D(f u m ) = f (u m )Du m, applicado il Teorema di covergeza domiata alla secoda disuguagliaza abbiamo D(f u m ) f (u)du i L loc (), e duque ache i D (). Se dimostriamo quidi che D(f u m ) D(f u) i D () otteiamo la tesi. Sia duque ϕ Co (). D(f u m ), ϕ D(f u), ϕ = [(f(u m ) f(u)]dϕ dx Dϕ grazie alla prima disguagliaza, e quidi otteiamo la tesi. 7 supp ϕ f(u m ) f(u) dx,

8 Esercizio 2 Sia u L loc () e sia t 2 + ε 2 ε se t >, f ε (t) = se t. Per ogi ϕ Co (), abbiamo f ε (u(x))dϕ(x) dx = [u>] [ u(x) 2 + ε 2 ε] Dϕ(x) dx = u(x)du(x) = ϕ(x) dx, [u>] u(x) 2 + ε2 per la defiizioe di derivata distribuzioale e per la regola di derivazioe delle fuzioi composte dimostrata el precedete esercizio. Da ciò deduciamo che, poiché f ε (u(x))dϕ(x) u(x)dϕ(x) L () e f ε (u(x))dϕ(x) u(x)dϕ(x) q.o. domiata lim ε + f ε (u(x))dϕ(x) dx = i [u > ], per il Teorema di covergeza [u>] u(x)dϕ(x) dx = Ma per quato dimostrato el primo puto, poiché u(x) + Dϕ(x) dx. ϕ(x) u(x) 2 +ε 2 u(x)du(x) Du(x)ϕ(x), u(x)du(x) lim f ε (u(x))dϕ(x) dx = lim ε + ε + [u>] u(x) 2 + ε ϕ(x) dx = 2 e quidi u(x) + Dϕ(x) dx = Du(x)ϕ(x) dx. [u>] [u>] Du(x)ϕ(x) dx, Essedo il primo membro Du +, ϕ, abbiamo quidi otteuto la seguete formula di derivazioe el seso delle distribuzioi, Du + Du su [u > ], = su [u ]. 8

9 Ovviamete per u vale ua formula di derivazioe aaloga a quella appea dimostrata. Se u W,2 (), allora ache u +, u e u appartegoo a W,2 (), ifatti u = e Du = u + (x) 2 dx = Du + 2 dx = [u>] [u>] u(x) 2 dx Du 2 dx u(x) 2 dx = u 2 2 Du(x) 2 dx = Du 2 2 e aalogamete per u e Du. Essedo u = u + + u la tesi segue ache per u. Ifie, suppoiamo u = c q.o. i A, c, e sia ϕ Co (A). Si ha Du + (x)ϕ(x) dx = u(x)dϕ(x) dx = c Dϕ(x) dx =, A A perché ϕ è a supporto compatto i A, e per l arbitrarietà di ϕ otteiamo Du(x)ϕ(x) dx =, A per ogi ϕ C o (A). Allora Du = q.o. i A per il Lemma di Du Bois-eymod. A 9