Esercizi proposti 4 (capitolo 8)

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1 Esercizi proposti 4 capitolo 8). [8., #5 p. 9] Calcolare i possibili punti di estremo di gx) = x ln x, per x 0, + ). Soluzione. Ricordiamo che un punto di estremo è un punto del dominio della funzione in cui questa raggiunge il massimo o il minimo assoluti. La funzione g è continua e derivabile in tutta la semiretta aperta 0, + ), i cui punti sono tutti interni. Quindi per il Teorema 8.8. noto anche come Teorema di Fermat o condizioni necessarie del prim ordine per il massimo e minimo) i punti di massimo e minimo vanno cercati tra gli zeri della derivata prima. Calcoliamo la derivata prima di g g x) = x ln x + x x = x ln x + ) g x) 0 ln x + 0 ln x x e e g si annulla esclusivamente in e. Poiché g è una funzione continua in 0, + ), dalla monotonia segue che e è punto di minimo locale e) globale. Riguardo a un eventuale massimo locale o globale, non ve ne sono. Se ce ne fossero, annullerebbero la derivata prima in un punto di 0, + ). Inoltre, g è illimitata superiormente perché lim x ln x = +.. [8., 8.6] Calcolare la derivata della funzione hx) = 8x x +4. Calcolare i punti di estremo per hx). Soluzione. Se non diversamente specificato, l insieme in cui cercare i punti di estremo della funzione è il suo dominio naturale, in questo caso tutto R. La funzione è definita, continua e derivabile in tutto R, con derivata h x) = 84 x ) x + 4). Studiando il segno di h x) otteniamo h x) 0 4 x 0 x [ ], da cui segue [ h crescente in ],, h decrescente in, ] e in [ ), + I punti in cui la derivata prima si annulla sono:, punto di minimo locale e massimo locale. Inoltre, poiché ) f = 8 > = 0 f ) = < lim hx) = x lim hx) = lim x lim x + 4 x 8 x + 4 = 0 x, punto di tali punti sono anche di estremo globale.

2 . [8., 8.6] Calcolare i possibili punti di estremo di fx) = e x 6e x. Calcolare se esistono, il valore) minimo e il valore) massimo della funzione. Soluzione. La funzione è definita, continua e derivabile in tutto R. I punti di estremo, se ne esistono, necessariamente annullano la derivata prima. Poiché f x) = e x 6e x esiste un solo punto di estremo, ln In tal caso scriviamo f x) 0 e x e x ) 0 e x x ln ) ln f ln, ed è punto di minimo globale. La funzione in vale = e ln 6e ln = e ln ) 6e ln ) = 6 = 4 min R fx) = 4 Non esistono massimi locali e quindi nemmeno globali): se esistessero figurerebbero tra gli zeri della derivata prima, quando l unico zero di f è ln. Possiamo vedere che anzi la funzione non è superiormente limitata, visto che lim e x 6e x) = lim ex e x 6 ) = + 4. [8., 8.4, 8.6] Supponiamo che la funzione g sia definita per ogni x [, ] da gx) = 5 e x + e x). Dire giustificando la risposta, se esistono il massimo e il minimo di g nell intervallo [, ]. In caso affermativo, determinare i punti di estremo di g. Soluzione. La funzione è definita e derivabile in tutto R, ma ci è chiesto di studiarne la restrizione a [, ]. Per il teorema di Weierstrass, poiché g è continua, allora ammette massimo e minimo nell intervallo chiuso e limitato [, ]. Inoltre tali massimo e minimo possono essere assunti: all interno dell intervallo [, ], cioè in, ); per il Teorema di Fermat, tali punti necessariamente annullano la derivata prima, quindi vanno cercati tra gli zeri di g ; alla frontiera dell intervallo [, ], cioè in o in. Ci aiuta ad individuarli, come sempre, lo studio della monotonia della funzione g. Calcoliamo la derivata prima di g e studiamone il segno g x) = x e x e x) 5 g x) 0 x e x e x) 0 Ne risulta quindi g x) 0 in [, 0] e in [, ] g x) 0 in, ], e in [, ] gx) crescente in [, 0] e in [, ] gx) decrescente in, ], e in [, ]

3 Per quanto osservato in precedenza, il massimo e il minimo globale sono da ricercarsi nell insieme {,, 0, } che contiene gli zeri della derivata prima e gli estremi dell intervallo [, ]. Dalla monotonia di g deduciamo che, in particolare, e sono minimi locali e candidati al minimo globale, mentre 0 e sono massimi locali e candidati al massimo globale. Poiché g ) = g) = e g0) = + e ).68 5 g) = 5 e 4 + e ) ne consegue che e sono entrambi punti di minimo globale, 0 è punto di massimo ma non globale, mentre è punto di massimo globale. 5. [8., 8.6, 8.7] Calcolare i punti stazionari della funzione fx) = x e x e stabilirne la natura. Soluzione. Come abbiamo avuto più volte occasione di dire, tra i punti stazionari di una funzione derivabile si trovano tutti i punti di estremo della funzione interni al dominio, ma non solo questi. Osserviamo che f x) = x e x + x e x = x e x + x) e quindi l insieme dei punti stazionari è S = {0, } Osserviamo anche che la derivata prima cambia segno solo in, perché x e x + x) 0 + x 0 quindi la monotonia della funzione cambia solo in : f decrescente in, ] f crescente in [, + ) Ne consegue che è un punto di minimo globale. Qual è la natura del punto critico 0? Calcoliamo la derivata seconda di f f x) = 6xe x + x e x = xe x 6 + x ) e osserviamo che cambia segno per x = 0, in particolare è negativa in, 0] ed è positiva in [0, + ). Quindi la funzione risulta concava in, 0], e concava in [0, + ). Il punto in cui la convessità cambia, cioè 0, è pertanto un punto di flesso. Ricordiamo che un punto stazionario o critico per una funzione f è un punto che annulli la derivata prima. Sono cioè punti stazionari tutte e sole le soluzioni dell equazione f x) = 0

4 6. [8., 8.6, 8.7] Determinare i punti di flesso della funzione hx) dell esercizio e studiarne la convessità. Soluzione. Abbiamo quindi pertanto I punti, 0 e sono punti di flesso. 7. [8., 8.6] a) Dimostrare che la funzione h x + ) x ) x x) = 44 x + 4) h x) 0 x + ) x ) x 0 x [, 0] [, + ) hx) è convessa in [, 0] e in [, + ) hx) è concava in e in, ] e in [0, ] fx) = x x x + è continua in R, ma derivabile solo in R {, }. x < x < x b) Calcolare massimi e minimi locali e globali della funzione. Soluzione. Suggeriamo di disegnare il grafico di f.) Certamente f è continua in R {, }. In x = e x = possiamo calcolare i limiti da destra e da sinistra e controllare che coincidano tra loro e con il valore assunto dalla funzione in quel punto: f) =, f ) = [ x ] =, x= f+ ) = [x ] x= = [ f) =, f ) = [x ] x= =, f + ) = x + ] = Ne risulta che la funzione è continua anche in e in. La derivata è definita in R {, } ed è data da x x < f x) = < x < x x > Inoltre la funzione non risulta derivabile in e in, perché i limiti da destra e sinistra di f in quei punti esistono finiti ma non coincidono: x= f ) = [ x] x= = f + ) = [] x= = f ) = [] x= = f + ) = [ x ] = x= 9 b) Osserviamo anche che la derivata ha un solo punto critico, 0, cosicché dallo studio del segno risulta f x) positiva in, 0), ) f x) negativa in 0, ), + ) 4

5 da cui si deduce fx) crescente in, 0] e in [, ] fx) decrescente in [0, ] e in [, ) Poiché f è continua possiamo dedurre che 0 e sono punti di massimo locale e è punto di minimo locale. Osserviamo anche che lim fx) = lim x ) = x cosicché il minimo globale non può esistere. Inoltre e poiché lim fx) = lim f0) = 0, f) = ne risulta che l unico punto di massimo globale è. x ) = 0 8. [8., 8.6] Determinare: a) il dominio di f e i punti del dominio in cui risulta continua e derivabile; b) gli intervalli di monotonia; c) i limiti alla frontiera del dominio; per f data da: fx) = + ln x + ln x. Soluzione. a) Il dominio di f è l insieme 0, + ). Osserviamo che { { ln x se ln x 0 ln x x ln x = = ln x se ln x 0 ln x 0 < x < cosicché si ha { x fx) = +ln x ln x. 0 < x < La funzione è continua in perché coincidono i limiti da destra e da sinistra della funzione in : [ ] + ln x f ) = = f) = f + ) = [] ln x x= = x= La derivata è certamente definita in 0, + ) {}, data da { f x) = 0 ln x ) x x > 0 < x < ma non in, perché esistono finiti ma sono diversi i limiti in, da destra e da sinistra, della derivata: [ ] f ) = ln x ) = x ln ) = f + ) = 0 x= 5

6 b) Ragionando come nella soluzione dell esercizio precedente e osservando che: non esistono punti critici di f; f x) 0 per x in 0, ), e f x) = 0 per x in, + ) fx) è crescente in senso lato) in 0, + ) ad essere più precisi, f è costante in [, + ), dunque è simultaneamente crescente e decrescente in senso lato in tale intervallo). c) Limiti alla frontiera del dominio: lim fx) = lim lim fx) = lim x 0 + x ) = + ln x ln x ) = lim x 0 + ln x + ) ln x = = 9. [8., 8,6] Calcolare i punti di estremo della funzione fx) = x nell intervallo [, ]. Soluzione. La funzione è definita in [, ], continua in [, ], quindi in virtù del teorema di Weierstrass ammete massimo e minimo in [, ]. Tuttavia f non è derivabile in 0. E sufficiente a tal proposito osservare che fx) = { x x = x [0, ] x x [, 0) e x non è derivabile in 0 il limite del rapporto incrementale in 0 esiste e dà + ). La derivata è quindi { f x 0, ] x) = x [, 0) x x e non si annulla in alcun punto di [, ]. Tuttavia osserviamo che f è positiva in 0, ] e negativa in [, 0), da cui segue che f è crescente in [0, ] e decrescente in [, 0], cosicché la continuità di f implica che 0 è punto di minimo locale e globale. Il massimo globale, di cui abbiamo già provato l esistenza, è raggiunto in uno degli estremi dell intervallo [, ], in particolare in, perché f) = > f ) = =. Osservazione. Dallo studio dei precedenti problemi, possiamo dire che un modo efficace di individuare i massimi e i minimi locali o globali) di una funzione è di cercarli tra: i punti interni al dominio in cui si annulla la derivata prima, laddove tale derivata è definita; i punti di frontiera del dominio esercizi 4, 9) i punti in cui la funzione non è derivabile esercizi 7, 9) 0. [8., 8.4] Una ditta di trasporti accetta pacchi tali che la somma delle tre dimensioni lineari sia non superiore a 00 cm. Supponendo che una faccia del pacco sia quadrata, qual è il volume massimo accettato dalla ditta di trasporti? Soluzione. Se x, y, z sono le dimensioni lineari del pacco, il volume è dato da V = xyz. Per ipotesi, due dimesioni sono uguali tra loro il pacco ha una faccia quadrata), diciamo x = y, mentre z si ricava in funzione di x dalla seguente posizione x + y + z = 00 = z = 00 x y = 00 x 6

7 Dunque V x) = x 00 x) V x) = 6x 00 x) cosicché V x) 0 0 x 00 V x) 0 x 00 e il massimo volume è raggiunto per x = 00, ed è V 00) = 00.. [8.] In un azienda chimica, il costo per il controllo dell immissione di materiale inquinante è descritto dalla seguente formula: Cq) = e q dove q indica la riduzione di emissione di materiale inquinante in Kg di inquinante al giorno) e Cq) il costo giornaliero, in euro, della riduzione. Il governo sovvenziona questa riduzione con un rimborso di 500 euro per ogni chilo di inquinante eliminato. Quanti chili di inquinante, al giorno, l azienda chimica dovrebbe eliminare, per minimizzare il costo netto ovvero il costo giornaliero meno la sovvenzione)? Soluzione. Il costo netto N giornaliero è dato da cosicché Nq) = e q 500q N q) 0 40e q q ln e il minimo costo netto si realizza per q = ln 5 ) 500 = ln quintali di inquinante giornalieri).. [8.] Un azienda realizza profitti in funzione della quantità prodotta di un bene pari a πx) = x 5x + x x + a) Determinate qual è la quantità ottima di x che massimizza il profitto. b) La funzione dei profitti è continua e derivabile per ogni x 0? Problemi facoltativi. [8.] Due automobili viaggiano su due strade che si incrociano perpendicolarmente nel punto P. Entrambe le auto viaggiano verso P alla velocità di 0 km all ora. Inizialmente le due auto si trovano rispettivamente a 50 km e a 0 km da P. Determinare quando risulta minima la distanza tra le due auto. Soluzione. Possiamo immaginare che P sia l origine degli assi cartesiani e che un auto si muova lungo l asse x e l altra lungo l asse y, entrambe in direzione dell origine. Al tempo t, l auto che si muove lungo l asse y si trova nella posizione x = 50 0t y = 0 7

8 mentre l auto che viaggia lungo l asse x si trova nella posizione x = 0 y = 0 0t La distanza tra le due auto ad ogni istante è data da dt) = x x ) + y y ) = 50 0t) + 0 0t) = 0 t 4t Determiniamo il segno della derivata di d, cioè della funzione d 4t 4 t) = 0 t 4t + 74 = 60 t 6 t 4t + 74 Poiché il denominatore è strettamente positivo per ogni valore di t, abbiamo d t) 0 t 6 quindi t = 6 risulta essere l istante in cui la distanza d è minima ed è pari a d6) = 0 ). 4. Determinare i due rettangoli ABCD, rispettivamente di area e perimetro massimi, inscritti in un semicerchio di raggio r. 5. Un asta di estremi A e C viene fatta scivolare lungo le pareti di un corridoio largo a metri. Il corridoio forma un angolo retto con un altro corridoio largo b metri. Qual è la lunghezza massima dell asta che è possibile far passare, in modo tale che l asta tocchi contemporaneamente le pareti nei punti A,B e C? 8