Matematica 2. Derivate Esercizi. y=sen( x 4 3x) y' =cos(x 4 3x)(4x 3 3) y=logsen( x x) y' = sen(x 4 +3x) cos(x4 +3x)(4x 3 +3)

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1 Matematica 2 Derivate Esercizi y=sen( 4 3) y' =cos( 4 3)(4 3 3) y=logsen( 4 1 3) y' = sen( 4 +3) cos(4 +3)(4 3 +3) y=sen 2 ( 4 3) y' =2sen( 4 3 )cos( 4 3)(4 3 3) Funzioni ad una sola variabile y=f() è una funzione, se tra la variabile indipendente e la variabile dipendente y esiste una relazione che associa ad ogni valore di interno al suo Dominio (Campo di Esistenza) uno e un solo valore della y. Ad esempio 2 + y 2 =16, cioè l'equazione di una circonferenza, NON è una funzione, infatti se prendo come valore della =2, ottengo sostituendo y=± 12 : Se però spezzo la funzione in due semicirconferenze, una positiva e una negativa, allora ho due funzioni: y= 16 2 e y= 16 2 Invece se come semicirconferenza prendo il quarto sul I quadrante e un quarto sul IV quadrante, non ottengo una funzione.

2 Ripasso Studio di funzione Schema per lo studio di funzione: 1) Classificazione della funzione 2) DOMINIO 3) Parità se f(-)=f() la funzione è PARI, se f(-)=-f() la funzione è DISPARI 4) Intersezione con gli assi sistema con equazione asse, y=0 (i casi sono: nessuna intersezione, una intersezione, due intersezioni, molte intersezioni) e con equazione asse y, =0 (i casi sono: nessuna intersezione, una intersezione) 5) Positività y>0 6) Asintoti se lim f ( )= allora =c è un ASINTOTO VERTICALE c se lim f ( )=l allora y=l è un ASINTOTO ORIZZONTALE se lim OBLIQUO (è condizione necessaria ma non sufficiente), y=m+q: f ( )= allora NON c'è asintoto orizzontale e potrebbe esserci un ASINTOTO m=lim f () 1 q=lim [ f () m] Se ci sono due asintoti orizzontali, allora non c'è asintoto obliquo. 7) Calcolo derivata prima y' 8) Si risolve l'equazione y'=0, determinando gli eventuali PUNTI DI MASSIMO E MINIMO RELATIVO e i FLESSI A TANGENTE ORIZZONTALE (PUNTI STAZIONARI) 9) Si studia il segno della derivata prima y'>0 per stabilire la crescenza e definire il punto 8) 10) Calcolo della derivata seconda y'' 11) Si risolve l'equazione y''=0 per ricavare gli eventuali punti di flesso 12) Si studia il segno della derivata seconda y''>0 per stabilire la concavità e definire il punto 11) 13) Disegnare il grafico completo 14) Definire il CODOMINIO Esempio y= 2 +4

3 1) Classificazione: funzione razionale fratta (c'è la variabile indipendente al denominatore) 2) Dominio: D=R {0}=(, 0) (0,+ ) dal dominio devo scartare =0 perché annulla il denominatore (e non può essere perché un numero diviso zero non ha senso). =0 è l'equazione dell'asse y, quindi la funzione NON può mai attraversare quest'asse. La f() è quindi costituita da due rami, è una funzione discontinua. Probabilmente, l'asse y sarà un asintoto verticale della funzione. 3) Parità Verifico se esistono due tipi di simmetrie: la simmetria rispetto l'asse y (funzione PARI) e la simmetria rispetto l'origine (funzione DISPARI). Ovviamente può anche succedere che la funzione non sia né pari né dispari. f(-)=f() funzione pari f(-)=-f() funzione dispari f ( )= ( )2 +4 4)Intersezioni con gli assi Nessuna intersezione con l'asse y Intersezione con l'asse, y=0: { y=0 { y=0 y= = 2 +4 = 2 +4 = f ( ) quindi la funzione è DISPARI 2 +4=0 IMPOSSIBILE Nessuna intersezione con l'asse 5) Positività Vado a verificare in quali intervalli f() è positiva e negativa. y> >0 è una disequazione fratta studio il Numeratore e il Denominatore, quindi faccio il rapporto (con la regola dei segni): N>0 2 +4>0 R (per ogni appartenente ai Reali) D>0 >0 0 N + + D - + N/D - + Quindi y>0 nell'intervallo (0,+ ) e ovviamente y<0 nell'intervallo (,0)

4 6) Asintoti - verticale f ( )= lim c 2 +4 lim = 4 0 = è il limite per che tende a zero da sinistra lim = 4 =+ è il limite per che si avvicina a zero da destra questi due limiti corrispondono allo studio del comportamento della funzione nell'intorno (intervallo infinitesimo) dello zero. Risulta quindi che =0 è ASINTOTO VERTICALE Ricordo che: ASINTOTO è una retta, può essere verticale, orizzontale, obliquo. I punti c vanno scelti tra i punti di discontinuità della funzione. La funzione non può mai intersecare un asintoto verticale. - orizzontali 2 +4 lim = lim ( ) = lim ( + 4 ) = +0= per calcolare questo limite devo ricorrere a un espediente perché altrimenti si ha una forma indeterminata

5 2 +4 lim = lim + ( ) =+ +0=+ Non ci sono asintoti orizzontali. Ci possono però essere asintoti obliqui. Cerco gli asintoti obliqui: m=lim ha m=1. Calcolo q: 2 f () 1 =lim ) =lim ( 2 1 =lim +4 q=lim ( L'equazione dell'asintoto obliquo è: y= (cioè la bisettrice del I e III quadrante) =lim 2 ( 1+ 4 ) =1 c'è asintoto obliquo, la cui equazione 2 ) =lim ( 4 ) =0 La funzione potrebbe tagliare l'asintoto orizzontale e obliquo, ma non può tagliare l'asintoto verticale (perché viene calcolato a partire da un punto escluso dal Dominio). Come faccio a controllare? Faccio sistema tra equazione dell'asintoto e funzione: { y= y= 2 +4 { 2 +4 = y= 2 +4 { 2 +4 = 2 y= 2 +4 { 2 +4= 2 y= 2 +4 sono intersezioni tra asintoto obliquo e la funzione. { 2 2 = 4 { 0= 4 y= 2 +4 y= 2 +4 impossibile, non ci 7) Calcolo y' y' = 2( ) ( 2 +4) = = ) Risolvo l'equazione y'=0 (trovo le ascisse dei punti stazionari) 2 4 =0 2 4=0 2 =4 2 ± =±2 Calcolo le ordinate dei punti stazionari: =2 y= = 4+4 =4 A(2,4) 2 =-2 y= ( 2)2 +4 = = 4 B(-2,-4) Significato geometrico della derivata prima: è il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione. Se y'=0, allora la tangente alla curva è parallela all'asse, quindi ha m=0. Y'=0 dà le ascisse dei punti stazionari (massimi e minimi relativi, punti di flesso con tangente orizzontale. Questo valore va poi messo al posto della nella funzione. 9) Segno di y' >0 N>0 2 4>0 < 2 >2 D>0 sempre, escludere =0

6 N D N/D Per che tende a -2 da s, la funzione è crescente, per che tende a -2 da d la funzione è decrescente: quindi in =-2 la funzione ha un PUNTO DI MASSIMO RELATIVO. Per che tende a 2 da s, la funzione è decrescente, per che tende a 2 da d la funzione è crescente: quindi in =2 la funzione ha un PUNTO DI MINIMO RELATIVO. Non c'è FLESSO A TANGENTE ORIZZONTALE (avrei dovuto trovare y' sempre positiva, o sempre negativa, attorno al punto in cui si annulla la derivata prima y' ( 0 )=0. 10) Derivata seconda y' '= 2( 2 ) ( 2 4)(2) = 8 4 = ) Calcolo dove si annulla la derivata seconda y''=0 y' '= 8 =0 non si annulla mai, quindi non ci sono punti di flesso. 3 12) Disegno la curva con i dati che ho trovato