Congetture matematiche ancora aperte. - I nostri principali contributi

Transcript

1 Congetture matematiche ancora aperte - I nostri principali contributi Autori Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pierfrancesco Roggero In this paper we will show our results in Number Theory and most important conjectures still unsolved Riassunto In questo lavoro riepilogativo/ divulgativo ricordiamo con la recente Garzantina di matematica e con Wikipedia le congetture principali ancora aperte in Teoria dei numeri (in particolar modo la teoria elementare) e i nostri principali risultati ottenuti con la nostra ormai decennale ricerca. Questo lavoro è dedicato principalmente ai giovani studenti di matematica che volessero dedicarsi particolarmente e/o laurearsi 1

2 in qualche argomento della Teoria dei Numeri, approfondendo ed eventualmente anche dimostrando una o più delle congetture ancora aperte (e magari vincendo qualche premio matematico), anche in base a qualcuno dei nostri risultati brevemente esposti in questo lavoro (titoli, abstract e riassunti, per i testi completi si rimanda ai riferimenti parziali e finali ) La recente pubblicazione della piccola e ottima enciclopedia Garzantina di Matematica (Garzanti Editore) ci ha suggerito l idea di questo lavoro. Alla voce congettura, che riportiamo di seguito, si elencano le 21 congetture principali ancora aperte in quasi tutti i rami della matematica, delle quali dieci appartengono quasi tutte alla Teoria elementare dei numeri che è il nostro principale filone di ricerca. Ed è quindi a queste sole dieci congetture che dedicheremo questo lavoro (le altre sono in parte state già dimostrate), con il 2

3 relativo testo di Wikipedia, seguito dai Riferimenti specifici (titolo, abstract, riassunti, eventuali introduzioni, eventuali osservazioni sulla loro utilità, o connessioni con le altre congetture, presenti o no (per esempio la fattorizzazione veloce) in questo elenco ; per il testo completo si rimanda ai siti che li riportano). Infine si riportano i principali Riferimenti generali per eventuali ed ulteriori approfondimenti. Iniziamo dalla voce di Garzantina Congettura segnando in rosso quelle otto sulla teoria dei numeri e oggetto di questo lavoro riepilogativo: Congettura affermazione ritenuta vera sulla base di una serie di prove o evidenze, e nell esperienza mai contraddetta da alcuna prova, ma non ancora dimostrata; per esempio, la congettura di Goldbach, secondo cui ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi Storicamente alcune congetture sono state dimostrate divenendo quindi dei teoremi; per esempio la congettura di Poincarè dimostrata da G. Perel mann el Oltre alle già ricordate congetture di Goldbach e e di Poincarè, le principali congetture in ambito matematico, per le quali si rimanda ai relativi lemmi,, sono: la congettura di Bertrand ( Cebysev, teorema di); di Birch e Swnnerton Dyer; di Cantor; di Catalan; di Erdos; di Erdos Turan; di Hartshorne; di Hodge; di Keplero ; di Legendre; di Morderl ; di Nagata; dei numeri 3

4 primi gemelli ( numeri gemelli) ; di Oesterlè Masser; di Riemann ( Riemann, ipotesi di); di Serre; di Shimura Taniyama); di Thurston; di Ulam (detta anche congettura di Collatz). Alle congetture si aggiungono i problemi tuttora aperti e le ipotesi avanzate per la loro soluzione tra cui i problemi del millennio ancora non risolti Nota: la congettura di Oesterlè Masser è nota anche come congettura abc Cominciamo dalla congettura di Goldbach. Parzialmente, da Wikipedia Congettura di Goldbach Da Wikipedia, l'enciclopedia libera. Vai a: navigazione, ricerca In matematica, la congettura di Goldbach è uno dei più vecchi problemi irrisolti nella teoria dei numeri. Essa afferma che ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi (che possono essere anche uguali). Il numero di modi con cui un numero n si può scrivere come somma di due primi per n Per esempio, 4

5 Indice 4 = = = = = = = = etc. Origini[modifica modifica wikitesto] Nel 1742, il matematico prussiano Christian Goldbach scrisse una lettera a Eulero in cui propose la seguente congettura: Ogni numero intero maggiore di 5 può essere scritto come somma di tre numeri primi. Eulero, interessandosi al problema, rispose riformulando il problema nella seguente versione equivalente: Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi. La versione di Eulero è la forma nella quale la congettura è formulata attualmente e viene talvolta chiamata anche col nome di congettura forte di Goldbach. La congettura debole di Goldbach, che è implicata dalla congettura forte, asserisce che tutti i numeri dispari maggiori di 7 possono essere scritti come somma di tre primi dispari. Risultati[modifica modifica wikitesto] La congettura di Goldbach ha attratto l'attenzione di molti teorici dei numeri. La maggior parte dei matematici ritiene che la congettura sia vera, basandosi principalmente su considerazioni statistiche e probabilistiche ottenute con il teorema dei numeri primi. Nel 1923 Hardy e Littlewood hanno dimostrato che se l'ipotesi di Riemann generalizzata è vera, allora la congettura debole di Goldbach è vera per tutti gli interi dispari sufficientemente grandi. Nel 1937, Ivan Vinogradov rimosse l'assunzione dell'ipotesi di Riemann generalizzata, mostrando che 15 3 ogni numero dispari n > 3 è somma di tre primi. Inoltre, basandosi sulle idee di Vinogradov, Chudakov, [1] van der Corput, [2] e Estermann [3] hanno dimostrato che quasi tutti i numeri pari possono essere scritti come somma di due primi, ossia che la frazione dei numeri che possono essere scritti in tal modo tende a 1. Nel 1975, Hugh Montgomery e Robert Vaughan hanno dato una versione più precisa di questo risultato mostrando che il numero di interi pari minori di N che non sono rappresentabili come somma di due primi è minore di 5 CN c 1 per due costanti c, C > 0. Diversi altri risultati parziali sono stati dimostrati nel corso degli anni. Nel 1939 L.G. Schnirelmann [senza fonte] provò che ogni numero pari n 4 può essere scritto come somma di al più 20 numeri primi.

6 Questo numero è stato successivamente abbassato da numerosi matematici, in particolare Olivier Ramaré nel 1995, ha dimostrato che ogni numero pari n 4 si può scrivere come somma di al più 6 numeri primi. Si noti che la congettura debole di Goldbach implica il medesimo risultato, ma con soli 4 numeri primi. Nel 1951, Linnik ha dimostrato che esiste un intero k tale che ogni numero pari sufficientemente grande si può scrivere come somma di due primi e al più k potenze di due. Nel 2002 Roger Heath- Brown e Jan-Christoph Schlage-Puchta hanno dimostrato che k = 13 è sufficiente [4] e nel 2003 Pintz e Ruzsa hanno migliorato questo risultato mostrando che si può prendere k = 8. [5] Un altro risultato importante è quello ottenuto da Chen Jingrun che nel 1966 ha dimostrato che ogni numero pari sufficientemente grande può essere scritto come somma o di due primi, o di un primo e un semiprimo (il prodotto di due primi-per esempio, 100 = ). [6] 15 3 Infine, nel corso degli anni ci sono stati diversi risultati per abbassare il limite 3 menzionato sopra oltre al quale la congettura debole di Goldbach è dimostrata. Tra questi, vi è la dimostrazione di Deshouillers, Effinger, te Riele e Zinoviev che l'ipotesi di Riemann generalizzata implica la congettura debole di Goldbach. [7] Nel 2013 Harald Helfgott ha annunciato di aver dimostrato tale risultato senza l'assunzione dell'ipotesi di Riemann, risolvendo totalmente quindi la congettura [8][9][10][11]. debole di Goldbach. Qui invece la congettura debole di Goldbach: Congettura debole di Goldbach Da Wikipedia, l'enciclopedia libera. Vai a: navigazione, ricerca Nella teoria dei numeri, la congettura debole di Goldbach, conosciuta anche come congettura di Goldbach sui dispari o problema dei 3 primi, afferma che: Ogni numero dispari maggiore di 7 può essere espresso come somma di tre primi dispari. o equivalentemente: Ogni numero dispari maggiore di 5 può essere espresso come somma di tre numeri primi. (Un numero primo può essere usato più di una volta nella somma.) Questa congettura è chiamata "debole" perché la congettura di Goldbach "forte" sulla somma di due primi, se dimostrata, implicherebbe banalmente la congettura debole. (Infatti se ogni numero pari >4 è la somma di due primi dispari, aggiungendo semplicemente 3 ad ogni numero pari >4 produrrà i numeri dispari >7.) La congettura non è stata dimostrata, ma sono stati ottenuti risultati molto vicini. Nel 1923, Hardy E Littlewood mostrarono che, assumendo vera una certa generalizzazione dell'ipotesi di Riemann, la congettura è vera per tutti i numeri dispari sufficientemente grandi. Nel 1937 un matematico russo, Ivan Vinogradov, fu in grado di eliminare la dipendenza dall'ipotesi di Riemann e dimostrò direttamente che ogni numero dispari abbastanza grande può essere espresso come somma di tre 6

7 primi. Nonostante Vinogradov non fosse in grado di dire quando un numero fosse abbastanza grande, il suo allievo K. Borodzin dimostrò che 3 14,348,907 è un limite inferiore sufficiente. Questo numero ha più di sei milioni di cifre, pertanto verificare ogni numero dispari fino a quel limite è praticamente impossibile. Fortunatamente, nel 1989 Wang e Chen abbassarono questo limite superiore a 10 43,000 ; nel 2002 il limite fu ulteriormente abbassato da Liu Ming-Chit e Wang Tian-Ze a circa e Se si controllasse quindi la congettura per tutti i numeri dispari minori di questo numero, essa sarebbe effettivamente dimostrata; tuttavia il controllo al computer ha raggiunto solamente 10 18, ed è quindi molto distante. Nel 1997, Deshouillers, Effinger, Te Riele e Zinoviev dimostrarono [1] che l'ipotesi di Riemann generalizzata implica la congettura di Goldbach debole. Questo risultato combina un'affermazione generale per numeri maggiori di con una ricerca estensiva al computer per casi piccoli. Inoltre, se la Congettura di Levy fosse vera, la congettura debole di Goldbach sarebbe vera anch'essa. Nel 2012 e 2013 Harald Helfgott ha pubblicato su internet due articoli che dimostrerebbero la congettura incondizionatamente per ogni intero maggiore di 7. [2][3][4] Riferimenti principali (tutti sul nostro sito salvo diversa indicazione) 1) Congettura debole di Goldbach già dimostrata. Ne consegue la congettura forte (accenni alla fattorizzazione alla Fermat e alla RH1) Gruppo B. Riemann * Francesco Di Noto, Michele Nardelli *Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui numeri primi, sulle loro congetture e sulle loro connessioni con le teorie di stringa. In this paper we show the connections between, strong Goldbach s conjecture and weak Goldbach s conjecture, recently proved. Riassunto Dalla recente dimostrazione della congettura debole di Goldbach (N dispari maggiore di 5, ossia N > 7, ne consegue automaticamente la dimostrazione della congettura forte (N pari > 4 come somma di due numeri primi) 7

8 2) NOVITA SULLA CONGETTURA DEBOLE DI GOLDBACH Gruppo B.Riemann Francesco Di Noto,Michele Nardelli In this paper we talk about next proof of Weak Goldbach Conjecture, recently promised by Terence Tao Riassunto In questo lavoro parleremo della già annunciata, dal matematico australiano Terence Tao, dimostrazione della congettura debole di Goldbach ( tutti i numeri dispari N > 7 come somma di tre numeri primi), e delle possibili sue conseguenze in campo crittografico 3) From the weak Goldbach s Conjecture to the strong Conjecture (hints to the RH1) Gruppo B. Riemann * Francesco Di Noto, Michele Nardelli *Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui numeri primi, sulle loro congetture e sulle loro connessioni con le teorie di stringa. In this paper we show the connections between, strong Goldbach s conjecture and weak Goldbach s conjecture, recently proved. From the recent proof of the weak Goldbach's conjecture (N odd greater than 5, ie N 7), it follows automatically the proof of the strong conjecture (N even 4 as the sum of two prime numbers) 4) TAVOLE ARITMETICHE PER ALCUNE CONGETTURE E TEOREMI SUI NUMERI PRIMI (Goldbach, Goldbach debole, Polignac, Teorema fondamentale della fattorizzazione. Possibili connessioni con la crittografia RSA) Francesco Di Noto, Michele Nardelli In this paper we show some arithmetic Tables on some conjecture or theorem about prime numbers: strong Goldbach, weak Goldbach, Polignac, and so on) 8

9 Riassunto In questo lavoro esporremo delle tavole aritmetiche (di addizione, differenza, moltiplicazione (come la vecchia Tavola pitagorica), rapporto, a sostegno della verità delle congetture e teoremi di cui al titolo. 5) TAVOLA DI ADDIZIONE DEI NUMERI PARI E DEI NUMERI PRIMI PER CONGETTURA DEBOLE DI GOLDBACH (NUMERI DISPARI COME SOMMA DI TRE PRIMI) (Additive table about weak Goldbach conjecture) Francesco Di Noto, Michele Nardelli ABSTRACT In this paper we show an additive table of even numbers and primes, about weak Goldbach conjecture RIASSSUNTO In questo breve lavoro mostriamo una tavola di addizione dei numeri pari P e dei numeri primi p, ottenendo tutti i numeri dispari come somma di tre primi ( due nei numeri pari P come somma di due primi, almeno una volta) e l altro è il primo che viene aggiunto. 6) Congettura debole di Goldbach già dimostrata. Ne consegue la congettura forte (accenni alla fattorizzazione alla Fermat e alla RH1) Gruppo B. Riemann * Francesco Di Noto, Michele Nardelli *Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui numeri primi, sulle loro congetture e sulle loro connessioni con le teorie di stringa. In this paper we show the connections between, strong Goldbach s conjecture and weak Goldbach s conjecture, recently proved. Riassunto Dalla recente dimostrazione della congettura debole di Goldbach (N 9

10 dispari maggiore di 5, ossia N > 7, ne consegue automaticamente la dimostrazione della congettura forte (N pari > 4 come somma di due numeri primi) (versione in italiano di Rif. 3) 7) PROOF OF GOLDBACH'S CONJECTURE THROUGH THE abc CONJECTURE Ing. Pier Franz Roggero, Dott. Michele Nardelli, P.A. Francesco Di Noto In this paper a proof of the Goldbach s conjecture through the abc conjecture. Besides we show our result on an Euler conjecture about Goldbach: even number with form 4n +2 is a sum of two prime numbers of form 4m +1, and two possible variants 8) ESTENSIONI DELLE CONGETTURE, FORTE E DEBOLE, DI GOLDBACH (a k = primi, con N e k entrambi pari o dispari) Gruppo B. Riemann * Francesco Di Noto, Michele Nardelli *Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui numeri primi, sulle loro congetture e sulle loro connessioni con le teorie di stringa. In this paper we show an our extension of Goldbach s conjectures to N even as sum of k primes, with k even, and to N odd at k primes, with k odd, if N and N are equal to N = 2k and N = 2k+1 Riassunto In questo lavoro mostriamo come le congetture di Goldbach possano essere estese ad N pari come somma di k primi, con k pari, e ad N dispari a k primi, con k dispari, purchè N ed N siano almeno N = 2k ed N = 2k+1 10

11 (infatti per la congettura forte, k = 2, il numero minimo è 4 = 2 + 2, e per la congettura debole, k = 3, il numero dispari minimo è 7 = 2*3 + 1). 9) I numeri primoriali p# alla base della dimostrazione definitiva della congettura di Goldbach (nuove evidenze numeriche) Francesco Di Noto, Michele Nardelli In this paper we will show some important connections between primorial numbers, p#, and proof Goldbach s conjecture Riassunto In questo lavoro mostreremo altre evidenze numeriche sulla verità della congettura di Golbach, e basate essenzialmente sul nostro recente concetto di abbondanza di Goldbach (simbolo σ (N), per distinguerlo dalla classica abbondanza σ(n) dei numeri altamente composti, abbondanti, ecc. come i fattoriali, ecc.) che vale 1 per i numeri pari di forma 6k+2, almeno 2 per i numeri di forma 6k, e circa 2 log log N per i numeri primoriali p# e loro piccoli multipli, fino al prossimo primoriale (un po meno per i fattoriali n! e loro multipli, fino al prossimo fattoriale), ma con valori di abbondanza di Goldbach σ (N) lentamente decrescenti, fino a loglog p# già a livello di 17#. Eventuali utilità: sul web sono presenti lavori circa metodi di fattorizzazione basati sull algoritmo di Fermat e sulla congettura forte o debole di Goldbach: p = s d, q = s + d, con s semisomma = (p + q)/2 e d = semidifferenza (q - p)/2 s si ricava da S = (N + d^2), con d trovata per tentativi 11

12 successivi con d crescente. S numero pari somma di due primi p e q, N = p*q. Non si escludono a priori altri possibili legami teorici con la fattorizzazione. Le nostre tabelle di cui al Rif. 4 e 5 aiutano a comprendere meglio le due congetture, anche ai fini di una possibile fattorizzazione veloce (sottoproblema del problema del millennio P = NP). Connessione a) Con i numeri gemelli : una coppia di gemelli è sempre l ultima coppia di Goldbach per molti numeri pari di forma 12k : Per esempio, per N = 12 p + q = = 12 prima ed ultima coppia di Goldbach 5 e 7 sono numeri gemelli 12

13 Esempio per N = 24 p + q = = 24 terza ed ultima coppia di Goldbach 11 e 13 sono numeri gemelli Breve dimostrazione : i numeri gemelli differiscono di una unità dalla semisomma N/2, e quindi N/2-1 e N/2 +1 se entrambi sono primi, allora sono anche due numeri gemelli essendo 2 la loro differenza : (N/2 +1) (N/2-1) = N / N/2 +1 = = 2 Congettura ( o postulato) di Bertrand Postulato di Bertrand Da Wikipedia, l'enciclopedia libera. Vai a: navigazione, ricerca Il postulato di Bertrand afferma che per ogni intero n > 3 esiste almeno un numero primo p tale che n < p < 2n 2. Una formulazione un po' più debole ma più concisa è: tra un numero n > 1 ed il suo doppio esiste almeno un numero primo. Quest'affermazione fu congetturata nel 1845 da Joseph Bertrand ( ). Lo stesso Bertrand verificò la sua congettura per tutti i numeri minori di La prima dimostrazione completa 13

14 della congettura fu data da Pafnuty Lvovich Chebyshev ( ) nel 1850, per cui questo teorema è anche chiamato teorema di Chebyshev. Srinivasa Ramanujan ( ) diede un'altra dimostrazione e Paul Erdős ( ) nel 1932 pubblicò una dimostrazione più semplice che utilizzava la funzione θ(x), definita come: θ x ( x) = ln( p) p= 2 dove p x varia tra i numeri primi; nella dimostrazione ha una certa importanza l'uso dei coefficienti binomiali. Vedi Dimostrazione del postulato di Bertrand per ulteriori dettagli. Indice [nascondi] 1 Teorema di Sylvester 2 Teoremi di Erdős 3 Problemi aperti 4 Voci correlate 5 Collegamenti esterni Teorema di Sylvester[modifica modifica wikitesto] Il postulato di Bertrand fu proposto per applicazioni ai gruppi di permutazione. Esso fu generalizzato da James Joseph Sylvester ( ), che dimostrò che, se n > k, tra i numeri della sequenza n, n + 1,..., n + k 1 vi è un numero con un divisore primo maggiore di k. Questo teorema fu dimostrato indipendentemente anche da Schur e da Erdős, che ne diede una soluzione semplice. Teoremi di Erdős[modifica modifica wikitesto] Paul Erdős dimostrò che per ogni intero positivo k, esiste un numero N tale che per ogni sono almeno k primi compresi fra n e 2 n n > N, ci Erdős dimostrò anche che esistono sempre due numeri primi p e q con n < p, q < 2n per ogni n > 6. Inoltre, uno di essi è congruo ad 1 modulo 4, e l'altro è congruo a 1 modulo 4. Il teorema dei numeri primi suggerisce che il numero di primi compresi fra n e 2n è n approssimativamente quando n è grande, e, in particolare, ci sono in questo intervallo molti ln n più numeri primi di quanti ne siano garantiti dal Postulato di Bertrand (o dalle generalizzazioni di Erdős). In altre parole, questi teoremi sono quantitativamente più deboli rispetto al teorema dei numeri primi. Tuttavia, allo scopo di utilizzare il teorema dei numeri primi per dimostrare risultati come il postulato di Bertrand, è necessario utilizzare delle limitazioni molto precise sull'errore del teorema dei numeri primi -- dobbiamo cioè sapere qual è la precisione garantita dal teorema dei numeri primi. Queste stime esistono ma sono molto difficili da dimostrare (e spesso sono certe solo per valori sufficientemente grandi di n). Al contrario, il postulato di Bertrand ha un enunciato molto semplice e può essere dimostrato facilmente, ed è valido anche per valori piccoli di n. In aggiunta, il 14

15 postulato di Bertrand fu dimostrato da Chebyshev molto prima del teorema dei numeri primi, e gode pertanto di notevole interesse storico. Problemi aperti[modifica modifica wikitesto] Una congettura simile ancora indimostrata (la congettura di Legendre) afferma che per ogni n > 0, esiste un primo p tale che n 2 < p < (n+1) 2, o, in altre parole, che tra due quadrati consecutivi esiste almeno un numero primo. Anche in questo caso, possiamo aspettarci, in virtù del teorema dei numeri primi, che (per n grande) vi sia un numero di primi molto maggiore di 1, ma le stime dell'errore del teorema dei numeri primi non sono (e non possono essere) in questo caso sufficienti alla dimostrazione della congettura. Su questa congettura non abbiamo lavori diretti ma sulla congettura di Legendre come problema simile vedi alla relativa voce. Il Postulato di Bertrand è stato citato nel nostro lavoro Miglioramento e Nota correttiva Proposta di Dimostrazione Congettura di Andrica Rosario Turco, Maria Colonnese, Michele Nardelli, Giovanni Di Maria, Francesco Di Noto, Annarita Tulumello 1. Sul sito eprints.bice.rm.cnr.it/1432/1/andrica4.pdf Utilità: per applicazioni ai gruppi di permutazioni Vedi. Teorema di Sylvester[modifica modifica wikitesto] Il postulato di Bertrand fu proposto per applicazioni ai gruppi di permutazione. Connessione: con altri problemi dello stesso tipo: numeri primi tra a e b, 15

16 quali che siano a e b (per esempio due quadrati a^2 e b = (a+1)^2 nella congettura di Legendre) Per Bertrand, i due numeri sono a e 2b Se, per esempio, a = 100 e b = 200, abbiamo: 200/ln(200) - 100/ln(100) 200/5,29-100/4,60 37,80 21,73 16,07 numeri primi tra 100 e 200; il valore reale è di 21 numeri primi di poco superiore a 16, 07. Stesso procedimento per la congettura di Legendre, Oppermann ecc. per ottenere una stima logaritmica attendibile del numero dei numeri primi in un certo intervallo numerico tra a e b. Esempio per la congettura di Legendre: a = 100^2 = 10000; b = 101^2 = numero approssimativo di numeri primi compresi tra e 10201: /ln (10201) 10000/ln(10000) 10201/9, /9, , ,77 19,43 Il valore reale è 23, di poco superiore a 19,43 e precisamente i seguenti 23 numeri primi 16

17 Congettura di Birch e Swinnerton - Dyer Parzialmente da Wikipedia Congettura di Birch e Swinnerton-Dyer Da Wikipedia, l'enciclopedia libera. In matematica, la congettura di Birch e Swinnerton-Dyer riguarda un particolare tipo di curve, le curve ellittiche nei numeri razionali. Questa congettura si basa sul fatto che le equazioni abbiano finite o infinite soluzioni razionali. Il decimo problema di Hilbert era simile ma trattava delle equazioni diofantee, e si è dimostrato che non si è in grado neanche di decidere se esiste o no una soluzione. Riferimenti specifici 1) LA CONGETTURA DI BIRCH E SWINNERTON DYER E I NUMERI CONGRUENTI Gruppo B. Riemann * Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pier Francesco Roggero *Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui numeri primi, sulle loro congetture e sulle loro connessioni con le teorie di stringa. In this paper we show some connections between Birch and Swinnerton Dyer s conjecture and the congruent numbers Riassunto In questo lavoro mostreremo alcune connessioni matematiche tra i numeri congruenti e la congettura di Birch e Swinnerton Dyer, con 17

18 osservazioni aritmetiche e/o geometriche sui numeri congruenti, con metodo per ottenere terne pitagoriche (alla loro base) usando quadruple di numeri di Fibonacci, con qualche piccola novità (Note). Di recente, è stata annunciata sul web una scoperta sul calcolo dei numeri congruenti, in relazione anche alla congettura di Birch e Swinnerton Dyer (da qui in poi indicata col solo nome di Birch, per maggiore semplicità) Sul sito uenti / - 62k si può leggere l articolo Tre miliardi di numeri congruenti, che viene riportato interamente in Rif. 1. Qui riportiamo solo il brano che ci interessa per questo lavoro: Nel 1982 Jerrold Tunnell della Rutgers University fece significativi progressi sfruttando la connessione tra numeri congruenti e curve ellittiche, per le quali esiste una teoria ben definita, trovando una semplice formula per determinare se un numero sia o meno congruente che ha permesso di trovare molto velocemente il primo migliaio di numeri. Un problema è che la validità completa della sua formula dipende dalla validità di un caso particolare di un altro problema matematico noto come Congettura di Birch e Swinnerton - Dyer, uno dei sette Millenium Prize Problems posti dal Clay Math Institute. Qui ci occuperemo in dettaglio dei numeri congruenti nel loro insieme e non uno per uno, nella speranza di trovare qualche indizio utile per la dimostrazione anche parziale della congettura di Birch, tramite la sequenza terne pitagoriche e relativi triangoli - numeri congruenti come aree di tali triangoli curve ellittiche (sui quali si fonda la crittografia RSA - Ipotesi di Birch. Una nostra idea è che i numeri congruenti si possono suddividere in sottoinsiemi, per esempio numeri congruenti primi, di Fibonacci (Rif.2, un nostro timido tentativo in tal senso), triangolari, ognuno con la loro retta sul piano cartesiano, per la quale passerebbero infiniti numeri razionali (connessi ai numeri congruenti), a conferma o meno della verità della congettura. Per i particolari si rimanda al sito 18

19 uenti / - 62k 2) Congettura sulle curve ellittiche con punti razionali connessi ai numeri di Fibonacci. (Possibili conseguenze per la congettura di Swinnerton Dyer e la crittografia ECC) Gruppo B. Riemann * Michele Nardelli, Francesco Di Noto **Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui numeri primi, sulle loro congetture e sulle loro connessioni con le teorie di stringa. In this paper we show a possible connection between elliptical curves and Fibonacci s numbers Riassunto In questo lavoro mostreremo una possibile ma ancora labile connessione tra le equazioni delle curve ellittiche con punti razionali con i numeri di Fibonacci, con possibili conseguenze per la futura dimostrazione della congettura di Swinnerton Dyer (uno dei sei problemi del Millennio ancora irrisolti) e, indirettamente, anche sulla crittografia ECC basata su tale congettura, così come la crittografia RSA è basata su due numeri primi molto grandi p e q e alla difficoltà temporale di fattorizzare il loro prodotto N = p*q, con N = numero RSA. Utilità: migliore comprensione delle curve ellittiche ai fini della dimostrazione della congettura di Birch e Swinnerton - Dyer - connessioni : con la crittografia a curve ellittiche (ECC) Crittografia ellittica Da Wikipedia, l'enciclopedia libera. Vai a: navigazione, ricerca 19

20 In crittografia la Crittografia ellittica (in inglese Elliptic Curve Cryptography o anche ECC) è una tipologia di crittografia a chiave pubblica basata sulle curve ellittiche definite su campi finiti. L'utilizzo di questo metodo crittografico è stato proposto da Neal Koblitz [1] e Victor S. Miller [2] nel Le curve ellittiche sono utilizzate in diversi metodi di fattorizzazione di numeri interi che sono utilizzati in crittologia come per esempio la fattorizzazione a curve ellittiche Lenstra che pur utilizzando le curve ellittiche non sono normalmente classificate come metodi crittografici. Congettura di Hodge Congettura di Hodge Da Wikipedia, l'enciclopedia libera. Vai a: navigazione, ricerca La congettura di Hodge è un importante problema irrisolto della geometria algebrica. Si tratta di una descrizione congetturale del collegamento tra la topologia algebrica di una varietà algebrica complessa non singolare, e la sua geometria per come viene rappresentata da equazioni polinomiali che definiscono le sotto-varietà. La congettura nasce dai risultati del lavoro di William Vallance Douglas Hodge, che tra il 1930 e il 1940 arricchì la descrizione della coomologia di De Rham, includendovi l'ulteriore struttura presente nel caso delle varietà algebriche (anche se non limitatamente a quel caso). Indice [nascondi] 1 Formulazione della congettura 2 La nozione di ciclo algebrico 3 Cosa sostiene la congettura di Hodge 4 Le implicazioni geometriche 5 Collegamenti esterni Formulazione della congettura[modifica modifica wikitesto] Sia V una varietà algebrica non singolare di dimensione n sopra i numeri complessi. V si può anche pensare come varietà di dimensione 2n e come tale possiede gruppi di coomologia che sono spazi vettoriali finito-dimensionali sui complessi le cui dimensioni sono individuabili con un indice d che varia da 0 a 2n. Fissiamo un valore pari d = 2k e denotiamo con H il d-esimo gruppo di coomologia: vi sono da descrivere altre due strutture su H. 20

21 La prima è la decomposizione di Hodge di H. Questa sappiamo che decompone H in una somma diretta di 2k+1 sottospazi che si usa denotare con H(0,2k), H(1, 2k-1),..., H(2k,0). Il sommando rilevante per la congettura quello 'centrale', H(k,k). Per le basi di queste considerazioni v. teoria di Hodge. Seconda struttura è la cosiddetta struttura razionale su H. Abbiamo assunto che H sia il gruppo di coomologia con coefficienti complessi (a cui si applica la decomposizione di Hodge). Partendo con il gruppo di coomologia con coefficienti razionali, giungiamo ad una nozione di classe di coomologia razionale in H: ad esempio, si può usare come base per H una base con coefficienti razionali per le classi di coomologia e quindi si possono cercare le combinazioni lineari con coefficienti razionali di questi vettori di base. In termini di quelle strutture, possiamo definire lo spazio vettoriale H* che interessa la congettura di Hodge. Esso è costituito dai vettori in H(k,k) che sono classi di coomologia razionali. Si tratta dunque di uno spazio vettoriale finito-dimensionale sopra i numeri razionali. La nozione di ciclo algebrico[modifica modifica wikitesto] Qualche meccanismo standard spiega i collegamenti con la geometria di V. Se W è una sottovarietà di dimensione n - k in V, che chiamiamo codimensione k, essa dà origine a un elemento del gruppo di coomologia H. Per esempio in codimensione 1, che è il caso più accessibile geometricamente usando le sezioni mediante iperpiani, la classe corrispondente si trova nel secondo gruppo di coomologia e può essere calcolato mediante la prima classe di Chern del fascio di linee. Quello che si sa è che tali classi, tradizionalmente chiamate cicli algebrici (almeno se si parla in un modo un po' colloquiale), soddisfano le condizioni necessarie suggerite dalla costruzione di H*. Si tratta di classi razionali classes che inoltre giacciono nel sommando centrale H(k,k). Cosa sostiene la congettura di Hodge[modifica modifica wikitesto] Essa dice che i cicli algebrici di V sottendono l'intero spazio H*. Da quanto è stato detto, questo significa che le condizioni stabilite, necessarie perché si abbia una combinazione di cicli algebrici, sono anche sufficienti. Le implicazioni geometriche[modifica modifica wikitesto] La congettura è nota per k = 1 e per molti casi speciali. Una codimensione maggiore di 1 è molto difficile da trattare, in quanto in generale non si riesce a 'trovare tutto' mediante ripetute sezioni con iperpiani. 21

22 In quei casi l'esistenza di spazi H* non ridotti a zero ha un valore predittivo per la parte della geometria di V che risulta impegnativo rivelare. Negli esempi esaminati H* è un oggetto che può essere discusso molto più facilmente. Accade anche che quando H* ha dimensione elevata l'esempio scelto come V può riguardarsi come qualcosa di speciale: quindi la congettura riguarda quelli che potremmo chiamare i casi interessanti e difficili da dimostrare, tanto più quanto più ci allontaniamo da un caso generico. Riferimenti specifici 1) La congettura di Hodge: i pezzi del puzzle. Gruppo B. Riemann * Francesco Di Noto, Michele Nardelli *Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui numeri primi, sulle loro congetture e sulle loro connessioni con le teorie di stringa. In this paper we show a math dossier on Hodge conjecture as Millennium s Problem. Riassunto In questo lavoro essenzialmente divulgativo raccogliamo, come in un dossier dedicato, equazioni, brani e nostre eventuali osservazioni concernenti la congettura di Hodge come uno dei più difficili Problemi del Millennio, e che potrebbero essere utili ad una loro possibile futura soluzione, anche grazie al possibile filo rosso iperdimensionale identificato in tutti e tre i problemi fisici del millennio, e anche nella ex congettura di Poincarè, come accennato nella premessa. 2) Possibili connessioni tra gli infiniti Tk triangoli di Tartaglia e la congettura di Hodge Gruppo B. Riemann * Francesco Di Noto, Michele Nardelli *Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui numeri primi, sulle loro congetture e sulle loro connessioni con le teorie di stringa. In this paper we show some probable connections between Tk infinite Tartaglia s triangles and Hodge s conjecture. 22

23 Riassunto In questo lavoro proviamo ad evidenziare qualche probabile connessione, tra gli infiniti Tk triangoli di Tartaglia e la congettura di Hodge. 3) I N F I N I T I T R I A N G O L I (Tk) D I T A R T A G L I A (possibili applicazioni in geometria (k + 2) - dimensionale) Gruppo B. Riemann * Francesco Di Noto, Michele Nardelli *Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui numeri primi, sulle loro congetture e sulle loro connessioni con le teorie di stringa. Utilità. L utilità della congettura di Hodge consiste nella possibile unificazione tra geometria algebrica e topologia algebrica. Connessioni: Con gli infiniti Triangoli di Tartaglia, con uno dei quali, il secondo, T2, si possono costruire ipercubi ad n dimensioni a partire da cubi di dimensioni inferiori. (T1 è il primo e ben noto Triangolo di Tartaglia). Vedi Riferimenti specifici. 23

24 Congettura di Legendre Congettura di Legendre Da Wikipedia, l'enciclopedia libera. Vai a: navigazione, ricerca La congettura di Legendre, da Adrien-Marie Legendre, afferma che esiste sempre un numero 2 primo compreso fra n ed ( n +1) 2. Questa congettura fa parte dei problemi di Landau e, fino ad oggi, non è stata dimostrata. 2 Nel 1965 Chen Jingrun dimostrò che esiste sempre un numero compreso fra n +1 che sia un primo o un semiprimo, ossia il prodotto di due primi. Inoltre, è noto che esiste sempre un θ numero primo fra n n ed n, con θ = 23 / 42 = 0, (dimostrato da J. Iwaniec e H. Pintz nel 1984) [1]. n ed ( ) 2 2 La sequenza dei più piccoli primi compresi fra n +1 è 2, 5, 11, 17, 29, 37, 53, 67, 83, 101, 127, 149, 173, 197, 227, 257, 293, 331, 367, 401,... [2]. n ed ( ) 2 La sequenza del numero di primi compresi fra 7, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 6, 9,... [3]. 2 n ed ( +1) 2 n è 2, 2, 2, 3, 2, 4, 3, 4, 3, 5, 4, 5, 5, 4, 6, Riferimenti: 1) CONGETTURE SUI NUMERI PRIMI CON GRAFICI COMET E CONTRO ESEMPI NULLI (Legendre, Goldbach, Riemann ) Michele Nardelli,Francesco Di Noto, In this paper we show as some conjectures about prime numbers, with comet graphs and counterexample = 0, are all true. (Legendre s conjecture, Goldbach s conjecture, Riemann equivalent Hypothesis RH1 ) Riassunto In questo lavoro mostreremo come le congetture sui numeri primi che hanno grafici numerici di tipo comet e con contro - esempi 24

25 uguali o minori di zero, sono in genere vere. Posseggono tali interessanti requisiti la congettura di Legendre (Rif.1), la congettura di Goldbach (Rif.2) e una delle ipotesi RH equivalenti ( e precisamente la RH1) (Rif.3) Per un esempio numerico vedi Postulato di Bertrand Congettura dei numeri primi gemelli Parzialmente da Wikipedia: Congettura dei numeri primi gemelli Da Wikipedia, l'enciclopedia libera. Vai a: navigazione, ricerca La congettura dei numeri primi gemelli è un famoso problema irrisolto della teoria dei numeri che riguarda i numeri primi. Essa fu proposta per la prima volta da Euclide intorno al 300 a.c. e afferma: Esistono infiniti numeri primi p tale che anche p + 2 sia un numero primo. Due numeri primi che differiscono di 2 sono chiamati primi gemelli. Molti teorici dei numeri hanno tentato di dimostrare questa congettura. La maggior parte dei matematici ritiene che questa congettura sia vera, basandosi principalmente sull'evidenza numerica e su ragionamenti euristici che riguardano la distribuzione probabilistica dei numeri primi. Nel 1849 de Polignac enunciò la congettura più generale che, per ogni numero naturale k, esistono infinite coppie di numeri primi che differiscano di 2k. Il caso k = 1 è la congettura dei primi gemelli. Nel corso degli anni sono stati raggiunti alcuni risultati parziali, il più recente dei quali (2013) mostra che esistono infiniti numeri primi tali che la loro distanza sia un numero minore o uguale a 600. Indice [nascondi] 1 Risultati parziali 2 Congettura di Hardy-Littlewood 3 Note 4 Voci correlate 5 Collegamenti esterni 25

26 Risultati parziali[modifica modifica wikitesto] Nel 1915 Viggo Brun dimostrò che la somma dei reciproci dei primi gemelli è convergente. Questo famoso risultato fu la prima applicazione del crivello di Brun e fu una pietra miliare per lo sviluppo della moderna teoria dei crivelli. Nel 1940, Erdős dimostrò che esiste una costante c < 1 e infiniti numeri primi p tali che p' p < c ln p (dove p ' indica il primo successivo a p ) Questo risultato fu in seguito migliorato; nel 1986 Helmut Maier dimostrò che può essere usata una costante c < 0,25. Nel 2004 Daniel Goldston e Cem Yıldırım dimostrarono che la costante può essere migliorata a c = 0, Nel 2005 Goldston, Pintz e Yıldırım mostrarono che si può scegliere c arbitrariamente piccola [1][2] ; infatti, se si assume la congettura di Elliott-Halberstam, essi dimostrano che esistono infiniti n tali che almeno due tra n, n + 2, n + 6, n + 8, n + 12, n + 18, n + 20 siano primi. Nel 1966, Chen Jingrun dimostrò che esistono infiniti numeri primi p tali che p + 2 è o un primo o un semiprimo (cioè il prodotto di due primi). L'approccio che adottò è tipico della teoria dei crivelli e gli consentì di trattare la congettura dei primi gemelli e la congettura di Goldbach in maniere simili. Definendo un numero primo di Chen un numero primo p tale che p + 2 sia un primo o un semiprimo, Terence Tao e Ben Green dimostrarono nel 2005 che esistono infinite triplette di primi di Chen in progressione aritmetica. Zhang Yitang, un matematico sino-statunitense attivo nel campo della teoria dei numeri, nell'aprile del 2013 ha pubblicato un articolo sulla rivista Annals of Mathematics in cui dimostra che esistono coppie infinite di numeri primi distanti tra loro meno di 70 milioni. [3] Il successivo lavoro di matematici come Terence Tao, Scott Morrison e Andrew Sutherland, unito al nuovo approccio del giovane James Maynard, ha portato all'affinamento della dimostrazione, riducendo la distanza tra i primi da 70 milioni a 600. [4] Congettura di Hardy-Littlewood[modifica modifica wikitesto] Vi è anche una generalizzazione della congettura dei gemelli, chiamata congettura di Hardy- Littlewood (da G. H. Hardy e John Littlewood), che riguarda la distribuzione dei primi gemelli, analogamente al teorema dei numeri primi. Indichiamo con π 2 (x) il numero di primi p x tali che p + 2 è primo. Definiamo la costante dei numeri primi gemelli C 2 come p 3 p( p 2) 2 ( p 1) C 2 = dove il prodotto si estende su tutti i numeri primi p 3. 26

27 Notiamo che sia un valore molto vicino alla seguente frequenza aurea: Φ 5 + 1, dove Φ = = 1, è il rapporto aureo 2 ( ) 6 / 7 = Allora la congettura afferma che π 2 ( x) 2C 2 x dt ( lnt) 2 2 nel senso che il quoziente delle due espressioni tende a 1 quando x tende ad infinito. Questa congettura si può giustificare (ma non dimostrare) assumendo che 1 / ln t descriva la funzione di densità della distribuzione dei primi, assunzione suggerita dal teorema dei numeri primi. L'evidenza numerica della congettura di Hardy-Littlewood è piuttosto forte. Note[modifica modifica wikitesto] 1. ^ [math/ ] Small Gaps between Primes Exist 2. ^ [math/ ] Small gaps between primes or almost primes 3. ^ (EN) Zhang Yitang, Buonded gaps between primes in Annals of Mathematics, ^ "Together and Alone, Closing the Prime Gap" su Quanta Magazine Riferimenti specifici 1) OSSERVAZIONI CIRCA L ENUNCIATO DI ZHANG Ing. Pier Francesco Roggero, Dott. Michele Nardelli, P.A. Francesco Di Noto : In this paper we focus our attention on the result of Zhang and we propose various and interesting observations concerning his statement, thence, the possible future revision of it. In conclusion, we note that the our observations can implies the further revision and deepening of Polignac s Conjecture and so also the twin primes Conjecture. 2) NUMERI PRIMI MAI GEMELLI Ing. Pier Francesco Roggero, Dott. Michele Nardelli, P.A. Francesco Di Noto : In this paper we examine in detail twin primes and their connection with the.factorial prime numbers and the Mersenne prime numbers 27

28 3) Appunti sui gap tra due numeri primi consecutivi Gruppo B. Riemann * Francesco Di Noto, Michele Nardelli *Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui numeri primi, sulle loro congetture e sulle loro connessioni con le teorie di stringa. In this paper we show the gap between two consecutive prime numbers Riassunto In questo lavoro mostreremo diversi aspetti riguardanti i gap, piccoli e grandi, tra due numeri primi consecutivi 4) INFINITE ESTENSIONI DEI NUMERI PRIMI DI SOPHIE GERMAIN (connessioni con test di primalità e fattorizzazione veloce) Gruppo B. Riemann Michele Nardelli, Francesco Di Noto *Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui numeri primi, sulle loro congetture e sulle loro connessioni con le teorie di stringa. In this paper we show infinite generalization (or extension) of Sophie Germain s primes Riassunto In questo lavoro, seguito del Rif.1, mostreremo le possibili ed infinite estensioni kp + 1, kp + 2 con k dispari o pari ( o generalizzazioni) dei numeri primi di Sophie Germain, partendo dai numeri gemelli, per k = 1 Utilità: in apparenza nessuna, in teoria qualcosa sulla facile fattorizzazione di un prodotto tra due numeri gemelli ( o, più in generale, tra due numeri con differenza 2. Tutti i prodotti N tra due numeri primi gemelli maggiori di 3 è di forma N = 36k^2 1. Basta aggiungere 1 ad N, estrarre la radice quadrata e si ottiene 6k come semisomma s, da cui poi 28

29 p = 6k - 1 e q = 6k + 1 dove 1 = d = 1^2, come da algoritmo di Fermat. Per cui consigliamo sempre le Società crittografiche a non usare numeri primi gemelli per formare grandi numeri N chiavi pubbliche. E nemmeno numeri primi molto vicini, per i quali le semidifferenze sono piccole e quindi facilmente rintracciabili per tentativi successivi, e quindi i numeri N sono facilmente fattorizzabili, come i prodotti di due numeri primi gemelli (semidifferenza d = 1). Congettura di Oesterlè Masser ( o congettura abc) Congettura abc Da Wikipedia, l'enciclopedia libera. Vai a: navigazione, ricerca La congettura abc (anche nota come congettura di Oesterle-Masser) è stata proposta per la prima volta da Joseph Oesterlé e David Masser nel La congettura è definita in funzione di tre numeri interi positivi a, b, c (da cui deriva il nome), privi di fattori comuni diversi da 1, e che soddisfino la relazione a + b = c. Se d è definito come il prodotto dei fattori distinti di abc, la congettura, essenzialmente, afferma che raramente d è molto più piccolo di c. Sebbene non esista alcuna strategia elementare per risolvere il problema, la congettura è ritenuta molto importante per il numero di conseguenze interessanti che ne derivano. Dorian M. Goldfeld ha definito la congettura abc come "il più importante problema irrisolto dell'analisi diofantea" [1]. Nell'agosto del 2012 Shinichi Mochizuki ha pubblicato un articolo con una possibile dimostrazione della congettura. Mochizuki ha chiamato il teorema che utilizza nella dimostrazione il teorema inter-universale Teichmüller. Questo può essere utilizzato anche per dimostrare la congettura di Szpiro e la congettura di Vojta. [2][3][4] 29

30 Indice [nascondi] 1 Formulazioni o o o Conseguenze 3 Risultati parziali 4 Triplette con radicali piccoli 5 Progetti di calcolo distribuito (grid computing) 6 Forme raffinate e generalizzazioni 7 Note 8 Collegamenti esterni Formulazioni[modifica modifica wikitesto] Per un numero intero positivo, il radicale di, definito, è il prodotto dei distinti (non ripetuti, ovvero senza considerare l'esponente) fattori primi di. Per esempio: 4 ( 16) = rad( 2 ) = 2 rad, rad ( 17 ) = 17, 2 ( 18) = rad( 2 3 ) = 2 3 = 6 rad. Se a, b e c sono interi positivi coprimi [5] tali che a + b = c si scopre che "di solito" c < rad( abc) 1[modifica modifica wikitesto] La congettura abc sostiene che, tranne poche eccezioni, per ogni ε > 0 esiste solo un numero finito a, b, c di coprimi interi positivi con a + b = c tali che: di triplette ( ) 1 ( abc) + ε c > rad. 2[modifica modifica wikitesto] Una formulazione equivalente è che per ogniε > 0 esiste una costante K tale che, per tutte le a, b, c che soddisfano a + b = c, la seguente disuguaglianza triplette di interi positivi coprimi ( ) 30

31 risulta vera. c < K rad 1 ( abc) + ε 3[modifica modifica wikitesto] Una terza formulazione della congettura implica la qualità q ( a, b, c) di una tripletta ( a b, c) definita come: q ( a b, c) log( c) ( rad( abc) ), =. log Per esempio: (,127,131 ) log( 131) ( rad( ) ) log( 131) ( ) q 4 = = = 0, log log q (,125,128 ) = log log( 128) ( rad( ) ) ( ) log 128 = log ( ) ( ) ( 3 5 2) log 128 = log ( ) ( 30) log 128 = log 3 = 3 7 1, ,, Notiamo che tale ultimo valore è vicinissimo al valore della seguente frequenza aurea: 4 2, ( Φ ) = 1, , dove, come al solito, Φ = = 1, è il rapporto aureo Notiamo anche come 128 = 8 2 * 2, dove 8 è numero di Fibonacci ed è connesso con i modi che corrispondono alle vibrazioni fisiched delle superstringhe attraverso la seguente funzione di Ramanujan: 8 = 1 3 cosπtxw' 2 πx w' e dx 0 4 antilog coshπx 2 πt w' 4 ( ) e φw' itw' log t w' 2. Una tipica tripletta ( a b, c) ( a, b, c) < 1, di interi positivi coprimi con a b = c c < rad abc, per esempio q. Le triplette con q > 1come nel secondo esempio sono piuttosto speciali, poiché consistono in numeri divisibili per potenze elevate di piccoli numeri primi. La congettura abc sostiene che, per ogni > 0 interi positivi coprimi con a + b = c tale che: ( a, b, c) >1+ ε q. + avrà ( ) ε, esiste solo un numero finito di triplette ( a b, c), di 31

32 Mentre è noto che esistono infinite triplette ( a b, c) ( a, b, c) > 1, di interi positivi coprimi con a + b = c tali che q, la congettura predice che solo un numero finito di queste hanno q >1, 01 oppure q >1,001 o perfino q >1, 0001, ecc. Conseguenze[modifica modifica wikitesto] La congettura non è stata dimostrata, ma ha un vasto numero di interessanti conseguenze. Queste includono sia risultati già conosciuti, che congetture per le quali essa fornisce una dimostrazione condizionale: Il teorema di Thue Siegel Roth (dimostrato da Klaus Roth) L'ultimo teorema di Fermat per tutti gli esponenti abbastanza grandi (dimostrazione generale di Andrew Wiles) La congettura di Mordell (dimostrata da Gerd Faltings) [6] La congettura di Erdős-Woods, tranne che per un numero finito di controesempi [7]. L'esistenza di un numero infinito di non primi di Wieferich [8] La versione debole della congettura di Hall [9]. La congettura di Fermat Catalan, una generalizzazione dell'ultimo Teorema di Fermat, concernente potenze a loro volta somma di potenze [10]. La funzione L di Dirichlet L(s,( d/.)) formata con il simbolo di Legendre, non ha alcun zero di Siegel (questa conseguenza attualmente richiede una versione corrispondente della congettura abc nel campo di numeri, non solo la congettura abc così come formulata sopra per i numeri interi razionali). P( x) ha solo una moltitudine finita di potenze perfette di interi x per un polinomio P con almeno tre zeri semplici. [11]. Una generalizzazione del teorema di Tijdeman. È equivalente alla congettura di Granville-Langevin. È equivalente alla congettura di Szpiro modificata. 2 Dąbrowski (1996) ha mostrato che la congettura abc implica che n! + A = k ha solo una moltitudine finita di soluzioni per ciascun dato intero A [12]. Anche se il primo gruppo di queste conseguenze è ora stato dimostrato, la congettura abc stessa rimane di interesse a causa delle numerose profonde implicazioni che ha nella teoria dei numeri. Appunti sulla congettura abc Gruppo B. Riemann * *Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui numeri primi, sulle loro congetture e sulle loro connessioni con le teorie di stringa Francesco Di Noto, Michele Nardelli In this paper we show our opinions about abc conjecture Riassunto In questo lavoro parleremo della congettura abc, esponendo i nostri risultati su un problema (l implicazione di Dabrowski, n! + A = k 2 ) connesso con la medesima. 32

33 Utilità: possibili contributi alla soluzione di altri problemi matematici (vedere conseguenze alla voce di Wikipedia e con Wikipedia) Connessioni : con il problema di Basilea per q tendente a 1,64. Vedi lavoro successivo: Limite della congettura abc, connessione con i numeri di Fibonacci e la distribuzione dei numeri primi (TNP) Pier Francesco Roggero, Michele Nardelli, Francesco Di Noto : In questo documento esponiamo le connessioni da noi trovate tra la congettura abc, i numeri di Fibonacci e la distribuzione dei numeri primi per via di formule logaritmiche simili. Inoltre si calcola il limite superiore della congettura abc. Congettura di Riemann Parzialmenre, da Wikipedia: Ipotesi di Riemann 33