Università di Cassino Esercitazioni di Statistica 1 del 5 Febbraio Dott. Mirko Bevilacqua

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1 Uverstà d Casso Eserctazo d Statstca del 5 Febbrao 00. Dott. Mrko Bevlacqua ESERCIZIO N A partre dalla dstrbuzoe semplce del carattere peso rlevata su 0 studet del corso d Mcroecooma peso: { 4, 59, 65, 66, 70, 7, 73, 75, 5, 6} determare meda artmetca, medaa, prmo quartle, terzo quartle, campo d varazoe, dffereza terquartle, varaza, scarto quadratco medo, coeffcete d varazoe e scarto quadratco medo relatvo. a) Meda artmetca INDICI DI POSIZIONE , 9 0 b) Medaa Essedo par la medaa è otteuta come: Me = c) Prmo quartle (medaa della dstrbuzoe formata da prm 5 valor della successoe) Q = 3 = d) Terzo quartle (medaa della dstrbuzoe formata dagl ultm 5 valor della successoe) Q3 = =

2 INDICI DI VARIABILITÀ La varabltà d ua dstrbuzoe esprme la tedeza delle utà d u collettvo ad assumere dverse modaltà del carattere. Per msurare la varabltà d ua dstrbuzoe è possble utlzzare degl dc (chamat dc d varabltà) che evdezao aspett partcolar della varabltà d ua dstrbuzoe. U dce d varabltà dovrebbe soddsfare almeo due requst: ) assumere l suo valore mmo se e solo se tutte le utà delle dstrbuzoe presetao uguale modaltà del carattere; ) aumetare all aumetare della dverstà tra le modaltà assute dalle vare utà. e) campo d varazoe (dce d varabltà assoluto) Dato u seme d valor osservat (X, X,..., X ), s defsce campo d varazoe la dffereza tra l pù grade e l pù pccolo d tal valor. Rage (peso) = X ma X m = 5 4 = 3 f) dffereza terquartle (dce d varabltà assoluto) Dato u seme d valor osservat(x, X,..., X ), s defsce dffereza terquartle la dffereza tra l prmo e l terzo quartle della dstrbuzoe. IQR = Q3 Q = = 0 g) varaza (dce d varabltà assoluto) La varaza ( ) d u seme d valor osservat (X, X,..., X ) d ua varabl X co meda artmetca è data da ( ) = = ( La varaza assume valore mmo (zero) quado tutte le modaltà soo ugual tra loro e aumeta all aumetare della dffereza tra valor osservat). =[(4-69,9) + (59-69,9) +(65-69,9) +(66-69,9) +(70-69,9) +(7-69,9) +(73-69,9) +(75-69,9) +(5-69,9) +(6-69,9) ]/0 =6,5 P.S.: quado dat soo orgazzat frequeza, la formula aaltca per l calcolo della varaza è k ( ) k = = ( ) f

3 h) scarto quadratco medo (dce d varabltà assoluto) Lo scarto quadratco medo è dato dalla radce quadrata della varaza: = Co tale operazoe c s rcoduce a u dce d varabltà espresso ella stessa utà d msura della varable cosderata. Come per la varaza, maggore è la varabltà de valor d u seme d dat e maggore è lo scarto quadratco medo. (Lo scarto quadratco medo è ullo solo el caso cu tutt valor soo ugual). = = 6, 5 = 0, e) coeffcete d varazoe (dce d varabltà relatvo) Il coeffcete d varazoe CV della dstrbuzoe d u carattere X, d meda >0 e scarto quadratco medo, è dato dal rapporto tra lo scarto quadratco medo e la meda: C V = Tale dce o dpede dall utà d msura e dall orde d gradezza della varable. Pertato può essere utlzzato per cofrotare feome espress utà d msura dverse o rlevat momet dvers. Ha l mmo uguale a zero e l massmo o defto, gacché vara al varare del tpo d dstrbuzoe: 0 C V. 0, C V 0, , 9 0 C V 0 = 3 f) scarto quadratco medo relatvo (dce d varabltà ormalzzato) Lo scarto quadratco medo relatvo ( REL ) s ottee come rapporto tra l valore assuto dallo scarto ed l valore massmo che esso può assumere per la dstrbuzoe. Quest dce c dce quato samo lota o vc dalla stuazoe d massma varabltà. Il valore massmo che la varaza può assumere u seme d utà statstche co meda par a μ è: MAX = ( ) D cosegueza, l valore massmo che può assumere lo scarto quadratco medo ( u seme d utà statstche co meda para μ) è: MAX = REL MAX( ) 0 REL

4 0, REL 0, 05 69, 9 0 ESERCIZIO N : S cosdero le dstrbuzo per class d età della popolazoe resdete (espressa mglaa) Pemote e Campaa el 979 Class d età Pemote Campaa [ 0 6 ] ] 6 4 ] ] 4 ] ] 5 ] 35 ] 5 45 ] 366 ] ] ] 65 0 ] S calcolo coeffcet d varazoe per le due dstrbuzo. Quale popolazoe, tra le due, ha maggore varabltà assoluta? Quale popolazoe, tra le due, ha maggore varabltà relatva? Class d età C f F C C - (C -) (C -) [ 0 6 ] 3 3 0,070 0, ,0 30, ,50 ] 6 4 ] ,0 0, ,0 7, ,37 ] 4 ] 7, ,04 0,4 347,5-0,5 43,5 0045,3 ] 5 ] 3 0,047 0, ,0 7, ,7 ] 5 45 ] 35 0,79 0, ,0 9,49 6,99 ] ] ,37 0, ,9 6,5 35,74 ] 65 0 ] 7, , ,5 34,4 4,67 34, = C = 0343,9 7 = ( C )

5 - Meda artmetca 7 C P IEM O N TE oppure, , 0 7 C ( 3 3 ) + ( ) ( , 5 ) P IEM O N TE , 0 - Varaza 7 ( ) = 0343, , 5 - Scarto quadratco medo = = 479, 5 =, 9 - Coeffcete d varazoe P I E M O N T E, 9 C V P I E M O N T E 0, , 0 P I E M O N T E CAMPANIA Class d età C f F C C - (C -) (C -) [ 0 6 ] ,09 0, ,0 9, ,7 ] 6 4 ] 0 7 0,50 0, ,0 475, , ] 4 ] 7,5 0 0,46 0, ,30 04, ,0 ] 5 ] ,064 0, ,0 77,5 70,9 ] 5 45 ] ,47 0, ,0 0, 3946, ] ] , 0, ,0 53, , ] 65 0 ] 7,5 53 0, ,5 40,70 656, ,4 554 = 7569,5 7 C = 5376, 7 = ( C )

6 - Meda artmetca 7 C , 5 C A M P A N IA - Varaza , 7 ( ) = 5376, CAM PAN IA Scarto quadratco medo 459, 4 C A M PA N IA = C A M PA N IA = 459, 4 =, 43 - Coeffcete d varazoe C A M P A N I A, 4 3 C V C A M P A N I A 0, , C A M P A N I A Come s può evcere da valor della varaza, l Pemote possede ua varabltà assoluta maggore d quella della Campaa. Guardado al valore del coeffcete d varazoe s può cocludere, dversamete da quato s poteva evcere dalla varaza, che la Campaa possede ua varabltà relatva maggore d quella del Pemote. ESERCIZIO N 3 Osservamo ella seguete tabella la paga goralera euro d 0 maoval per l ao 009: Maovale Paga goralera L ammstratore della dtta edle decde che, per og maovale, a partre dal geao 00, l uovo salaro goralero sarà par ad u mmo fsso d 00 euro pù l 47% della retrbuzoe del 009. Sapedo che la varaza per salar del 009 è par a 59, determare la varaza de uov salar goraler. SOLUZIONE: Il salaro goralero del 00 (S 00 ) è legato a quello del 009 dalla relazoe leare: S 00 = ,47 S 009 La varaza d ua varable Y = a + bx può essere otteuta a partre dalla varaza d X come: Qud: y b = s = 0, = 3 5, 0 0

7 È possble verfcare l rsultato otteuto calcolado salar goraler per 0 maoval relatv all ao 00: Maovale S 00 (S 00 -) (S 00 -) 37,6 5,7 6,73 30,55 -, 3, ,6 5,7 6,73 4 5,5-6,5 43, ,65, 49,33 6, -4,3 7,9 7 3,5 -,93 79,74 30,55 -, 3,53 9 3,9 0,47 0, 0 3,9 0,47 0, 35,3 = ( X ) - Meda artmetca 37, , , 6 + 5, , 65 +, + 3, 5+ 30, , 9 + 3, 9 3, 43 0 S 00 - Varaza ( ) = 35, 3 S ,

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