CENNI DI FLUIDODINAMICA

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1 CENNI DI FLUIDODINAMICA DOWNLOAD Il pdf di questa lezione (0509a.pdf) è scaricabile dal sito calvini/scamb/ 09/05/2012

2 MOTO DEI FLUIDI PERFETTI Il comportamento dei fluidi reali può essere molto complesso e alcune sue caratteristiche non sono ancora completamente comprese. Dal punto di vista della fenomenologia e della trattazione matematica risulta più semplice la descrizione del moto di un fluido perfetto (o ideale). Si tratta di un modello di fluido che in determinate circostanze si adatta abbastanza bene al comportamento dei fluidi veri. Nel modello di fluido perfetto sono assenti gli attriti (coefficiente di viscosità nullo) e tutti i fenomeni che danno origine a dissipazione di energia meccanica. L equazione di Eulero, un equazione alle derivate parziali del primo ordine, regola il moto di questo modello di fluido. 2

3 Come condizione al contorno nel caso di moto di un fluido perfetto in una conduttura, basta imporre l annullarsi della componente della velocità perpendicolare alle pareti del condotto. Esiste non nulla componente della velocità del fluido lungo le pareti della condotta e, quindi, il fluido non aderisce alle pareti e non le bagna. Questo ha portato a chiamare questo modello di fluido acqua secca. In seguito si arriverà all equazione di Bernoulli, che è il risultato dell applicazione della conservazione dell energia meccanica al fluido perfetto in moto. Esistono ulteriori vincoli sui tipi di moto ammessi affinché la predetta equazione sia valida. Segue l elenco di queste condizioni che, di fatto, hanno un carattere semplificativo. 3

4 TIPI DI MOTO AMMESSI 1 - MOTO NON VISCOSO Si è visto che la viscosità è assente nel fluido perfetto. Nella realtà la viscosità esiste e non è eliminabile. Ci si accontenta di trattare situazioni in cui gli effetti della viscosità, se esistenti, siano trascurabili. D altra parte la viscosità ha un effetto stabilizzante sul moto, per cui una totale assenza di viscosità renderebbe problematico il soddisfacimento delle altre richieste. 2 - MOTO STAZIONARIO In maniera assolutamente generale il moto di un fluido è descritto da un campo di velocità v = v(r, t), il che significa che in ogni punto del campo di moto e ad ogni istante è definito un vettore velocità che rappresenta la velocità con cui il fluido scorre in quel punto a quell istante (descrizione Euleriana). 4

5 La richiesta di stazionarietà del moto implica l abolizione della dipendenza esplicita della velocità dal tempo, ossia se il moto è stazionario si ha v = v(r). Un moto turbolento non può essere stazionario. In questo caso le linee di flusso, caratterizzate dall avere in ogni punto la tangente orientata come la velocità, rappresentano le traiettorie vere e proprie delle particelle del fluido. 5

6 3 - MOTO INCOMPRIMIBILE Si deve assumere che la densità del fluido non cambi nei vari punti del campo di moto. Inoltre è opportuno assumere che, se il moto avviene in condutture, queste abbiano pareti rigide, non suscettibili di deformarsi durante il moto del fluido. 4 - MOTO IRROTAZIONALE Una piccola ruota con palette immersa in un fluido in moto può rivelare la (ir)- rotazionalità del moto: se trasla solo, il moto è irrotazionale, se invece ruota anche, il moto è rotazionale. Il normale moto di un pedale di bicicletta è irrotazionale; invece se il pedale è bloccato (cuscinetto grippato) alla ruota-cremagliera che azione la catena, allora si muove di moto rotazionale. Un moto turbolento è rotazionale per la presenza di vortici. 6

7 Un moto turbolento non soddisfa mai alle richieste precedenti. Un moto laminare soddisfa alle richieste precedenti purchè gli effetti della viscosità siano trascurabili. Si ricorda che la transizione da moto laminare a turbolento è governata dai valori del numero di Reynolds R = ρ L v η = L v ν numero di Reynolds, (1) dove η e ν sono nell ordine i coefficienti di viscosità dinamica e cinematica. Valori elevati di questi coefficienti garantiscono piccoli valori per R e stabilità del moto (moti sicuramente laminari) a fronte di importanti effetti dissipativi (viscosità). Tuttavia, in queste situazioni si è lontani dall applicabilità di leggi coinvolgenti la conservazione dell energia meccanica. 7

8 TUBI (DI FLUSSO) Si consideri un campo di velocità che soddisfi alle condizioni precedentemente elencate. Si considerino tutte le linee di flusso che passano per una linea chiusa. Esse delimitano un tubo di flusso, rappresentandone la parete. Tutto il fluido che si trova all interno del tubo vi resta, non potendone oltrepassare la parete. Questo sussiste sia che la parete del tubo di flusso non sia fisicamente presente, sia nel caso di un classico tubo, in cui la parete esiste davvero. Le superfici di aree A 1 ed A 2 sono sezioni trasversali del tubo (approssimativamente) perpendicolari alle linee di corrente. 8

9 Nel tempo t il volume di fluido V 1 attraversa la sezione A 1 (in entrata) e contemporaneamente un corrispondente volume V 2 esce attraversando A 2. Si ha V 1 = A 1 l 1 = A 1 v 1 t ; V 2 = A 2 l 2 = A 2 v 2 t, (2) dove v 1 v 2 sono le velocità medie in corrispondenza delle sezioni 1 e 2 rispettivamente. Nel caso di un tubo di flusso molto sottile questi valori medi coincidono con i valori puntuali. In regime stazionario (v. Condizione n. 2) la conservazione della massa richiede che M 1 = ρ 1 V 1 eguagli M 2 = ρ 2 V 2. Però la condizione n. 3 (Incomprimibiltà) prescrive che valga ρ 1 = ρ 2 = ρ. 9

10 EQUAZIONE DI CONTINUITÀ Sotto le condizioni enunciate prima la conservazione della massa porta a questa forma per l equazione di continuità ρ V 1 = ρ V 2 A 1 v 1 = A 2 v 2. (3) Definita la portata di volume (o volumica) R V attraverso la sezione A di un tubo di flusso come R V = A v n da = A n v dove n = normale ad A, (4) la versione (3) dell equazione di continuità afferma che la portata R V è costante lungo il tubo di flusso, indipendentemente dalla particolare sezione in corrispondenza della quale venga valutata (o misurata). Spesso, colloquialmente, con flusso di un liquido s intende R V. Si ha [R V ] = m 3 s 1. 10

11 In base alla (3) la velocità v risulta inversamente proporzionale all area A della sezione normale attraverso cui il fluido passa. Nell esempio di figura sono note le aree A 0 = 1.2 cm 2 ed A 1 = 0.35 cm 2 e la loro distanza (in verticale) h = 4.5 cm. Si deve determinare la portata R V. Si ha v 0 = R V ; v 1 = R V (5) A 0 A 1 e tra le due velocità sussiste la relazione da schema di caduta libera v 2 1 = v g h. (6) In base alle (5) e (6) si può scrivere R 2 V A 2 1 = R2 V A g h (7) 11

12 che diventa R 2 V 1 A A 2 = 2 g h 0 R 2 V A 2 0 A2 1 A 2 0 A2 1 = 2 g h. (8) Infine per la portata R V si ottiene l espressione R V = A 0 A 1 2 g h A 2 0 A2 1, (9) che, con i dati numerici, dà R V = 34.3 cm 3 s 1. Nota la portata R V, dalle (5) si ottengono le due velocità v 0 = 28.6 cm s 1 e v 1 = 98.2 cm s 1. 12

13 POTENZA EROGATA UNA POMPA Si consideri una pompa che spinge una portata in volume R V dalla pressione p 1 alla pressione p 2 (> p 1 ). Nel tempo t la pompa sposta da p 1 a p 2 il volume V = R V t. Il lavoro L erogato dalla pompa nel tempo t è dato da L = (p 2 p 1 ) V = (p 2 p 1 ) R V t (10) e la potenza P (di natura idraulica) erogata dalla pompa sarà P = L t = (p 2 p 1 ) R V. (11) 13

14 EQUAZIONE DI BERNOULLI Si consideri un sottile tubo di flusso, al limite anche una singola linea di corrente. Si dimostra che, sotto le 4 ipotesi precedentemente illustrate, si ha lungo il tubo di flusso la seguente legge di conservazione p + ρ 2 v2 + ρ g h = costante, (12) la quale è la conseguenza della conservazione dell energia meccanica applicata ai fluidi. Con una diversa enunciazione, presi arbitrariamente i punti 1 e 2 lungo la stessa linea di corrente, vale p 1 + ρ 2 v2 1 + ρ g h 1 = p 2 + ρ 2 v2 2 + ρ g h 2. (13) 14

15 15

16 L equazione di Bernoulli, come presentata dalla (12), dice che è costante lungo una linea di flusso la somma di 3 termini aventi le dimensioni di una pressione. Esiste un altra formulazione che presenta la stessa equazione come somma di 3 altezze = costante. Definite l altezza geometrica h g = h, l altezza piezometrica h p = ρ g e l altezza di arresto h a = 2 v2 g, la (12) è equivalente alla seguente equazione p ρ g + v2 2 g + h = costante h p + h a + h g = costante. (14) p 16

17 LEGGE DI TORRICELLI Si consideri il recipiente di figura contenente un liquido. Per semplicità lo si pensi cilindrico di sezione A 1. Alla quota h sotto il pelo libero del liquido esiste un piccolo foro di sezione A 2 (<< A 1 ). linea di corrente indicata in figura dà La legge di Bernoulli applicata alla p 1 + ρ 2 v2 1 + ρ g z 1 = p 2 + ρ 2 v2 2 + ρ g z 2, (15) dove p 1 = p 2 = p atm e v 1 = v 2 A 2 A 1 è trascurabile poiché vale A 2 A 1 << 1. Si ottiene la formula di Torricelli v 2 = 2 g (z 1 z 2 ) = 2 g h. (16) 17

18 Esercizio Il recipiente di figura è riempito d acqua fino all altezza H. Alla quota h sotto il pelo libero dell acqua viene praticato un piccolo foro. Trovare la distanza x dal piede della parete del recipiente del punto di impatto dell acqua sul basamento. In base alla formula di Torricelli (16) la velocità (orizzontale) di uscita dell acqua dal recipiente è v 0x = 2 g h, (17) dopodiché l acqua prosegue con moto parabolico tipo moto dei gravi partendo con velocità iniziale verticale v 0z = 0 dalla quota z = H h rispetto al basamento. 18

19 Per il tempo t di volo (di caduta) si ottiene H h = 1 2 g t2 t = 2 (H h) g. (18) La legge del moto lungo x è x = v 0x t = t 2 g h e se vi si sostituisce l espressione per t data dalla (18) si ottiene x = 2 g h 2 (H h) g = 2 h (H h). (19) Scambiando h con H h si ottiene lo stesso valore di x. È facile verificare che si ottiene il massimo valore di x per h = H 2. Questo massimo vale x max = H. 19