N. matricola Padova 14 luglio 2004 PAVAN PAOLA

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1 N. mtricol 3493 Pdov 4 luglio 4 PAVAN PAOLA

2 GEOMETRIA DELLE COORDINATE LA RETTA E IL PIANO AMPLIATI COORDINATE OMOGENEE E COORDINATE PROIETTIVE NEL PIANO TRIANGOLO FONDAMENTALE DELLE COORDINATE OMOGRAFIE TRA PIANI UN TEOREMA DELL OMOGRAFIA

3 Geometri delle coordinte L'ide di bse dell geometri nlitic, e che colleg l geometri ll'lgebr, è quell di identificre un punto dello spzio con un sequenz ordint di numeri. Il metodo delle coordinte Come individure l posizione di un punto sopr un rett, nel pino. Su un rett sceglimo un punto che ssumimo come origine O cui ssoceremo e un ltro punto U (punto unitrio) cui srà ssocito. L'origine è il punto di prtenz, l distnz tr l'origine e il punto unitrio stbilisce un scl sull nostr rett. Ogni punto dell semirett che contiene il punto può essere individuto trmite l su distnz dll'origine, rppresentt come multiplo dell distnz tr e ; se un punto st sull semirett oppost, srà individuto dll su distnz d, quest volt precedut d un segno negtivo. In questo modo è stto scelto sull rett un riferimento crtesino e l rett è denomint rett crtesin. Si può dire che ogni punto corrisponde un numero rele, che è l su coordint (possimo denominrl sciss), e vicevers ogni numero rele corrisponde un punto. Distnz tr due punti di un rett crtesin Sino P ( ) e Q ( ) due punti dell rett crtesin r. Definimo distnz di P d Q, e scrivimo d(p,q), il vlore ssoluto, in simboli: d(p,q)= Poiché l rett può essere penst come un insieme di punti che sono in corrispondenz biunivoc con i numeri reli e su di ess, dti due punti P e Q, si può clcolre l loro distnz, ess costituisce uno spzio unidimensionle e metrico. 3

4 Stbilimo or come si può dttre qunto visto finor d un pino: Per stbilire le coordinte dei punti del pino, prendimo in primo luogo due rette crtesine non prllele, chimte ssi coordinti. Il punto in cui si incontrno, che chimeremo origine, srà individuto dll coppi (,) ; i punti del primo sse srnno ssociti lle coppie (,) ; i punti del secondo sse lle coppie (,y); dto or un punto P qulsisi del pino, possimo trccire le prllele gli ssi coordinti che pssno per quel punto e che incontrernno il primo sse in un punto del tipo (,), il secondo sse in un punto del tipo (,y); l posizione del punto rispetto gli ssi coordinti che bbimo scelto è determint dll coppi di numeri (,y) ; è dett sciss, y è l'ordint; il punto (,y) è il qurto vertice di un prllelogrmm che h un vertice nell'origine e gli ltri vertici in (,) e (,y). (,y) P(,y) (,) (,) Nell geometri delle coordinte possimo esprimere quest costruzione geometric definendo le coordinte dell somm di due coppie di numeri (cioè di due punti) come l somm delle coordinte corrispondenti : Qulunque si il punto P, trovimo quindi che (,y)=(,)+(,y), e quindi ogni punto può essere espresso come somm di punti degli ssi coordinti. In questo sistem di coordinte, se sceglimo gli ssi coordinti perpendicolri tr loro possimo definire l usule pino crtesino che simo bituti trttre. Il pino può essere così pensto come un insieme di punti che sono in corrispondenz biunivoc con coppie ordinte di numeri reli. Con coppi ordint stimo d indicre che il primo numero pprtiene ll sse delle, e il secondo ll sse delle y. Ecco che ogni coppi (,y) pprtiene ll insieme RR, perché l prim coordint è scelt 4

5 sull sse dei reli e l second nche. Questo è il motivo per cui il pino si indic nche con R

6 LA RETTA E IL PIANO AMPLIATI Uno degli esempi più importnti di spzi metrici sono gli spzi euclidei, in prticolre l rett dei reli R e il pino complesso R, oggetti che ci sono fmiliri. Ricordimo l definizione di spzio metrico: Si X un insieme, i cui elementi sono detti punti, si d: X X R un ppliczione che f corrispondere le coppie ordinte di X numeri reli. L ppliczione d si indic esplicitmente con d(, y), rppresent l distnz fr i due punti e si chim metric se soddisf le seguenti condizioni. - - d(, y) per ogni ed y pprtenenti d X ciò signific che l distnz d fr due punti qulunque è positiv o null - - d(, y) = = y vicevers cioè se l distnz fr due punti è null, llor i punti coincidono e d(, y) = d(y, ) per ogni ed y pprtenenti d X cioè l distnz è simmetric d(, y) d(, z) + d(y, z) è l cosiddett disuguglinz tringolre : L insieme X munito dell metric d è detto spzio metrico e si indic con (X ; d). Gli elementi di X si dicono punti e l funzione d(, y) si chim (come già ffermto) distnz fr due punti. 6

7 Esempi di spzi metrici : - - spzio euclideo rele n-dimensionle R : si R = R R R (n volte) il prodotto crtesino n-esimo di R (insieme dei numeri reli) ovvero l insieme delle n-uple ordinte di numeri reli. Si = (,,..., n ) ed y = ( y, y,..., yn ) dove i ed y i pprtengono d R per i =,,, n. Si definit l distnz fr ed y d : d(, y) = n ( i y i ) i= Le 4 condizioni dell definizione di spzio metrico sono soddisftte (omettimo l dimostrzione) ed R dotto dell metric sopr definit si chim spzio euclideo rele n-dimensionle. Lo spzio euclideo è lo spzio dell nostr esperienz in cui vlgono le regole dell geometri euclide ed in prticolre il teorem di Pitgor. Se n = lo spzio metrico R si chim rett rele Per l rett rele l metric si riduce d(, y) = y. Se n= lo spzio metrico R si chim pino e l distnz è quell pitgoric ( y ) + ( ) d(, y) = y, e y ( y, y = = sono le coordinte dei punti. dove ( ) ) L rett è perciò uno spzio metrico, m non comptto ( cioè chiuso e limitto). Per rendere l rett un insieme comptto è sufficiente ggiungere un punto, definire i suoi intorni, che sono costituiti dl punto stesso e d due semirette perte. Aggiungendo questi intorni ottengo un topologi nell qule l rett è comptt. 7

8 Dimo un giustificzione geometric. S P Sino T P r r un rett C un circolo T il punto di tngenz del circolo con l rett S il punto dimetrlmente opposto T Preso un qulsisi punto P r, si congiung P con S. L rett PS tgli C in due punti uno è S l ltro è P. Nsce così un ppliczione fr l rett e il circolo : rett circolo Quest corrispondenz è in generle biunivoc, nel nostro cso continu e iniettiv, m non biiettiv : punti distinti dell rett vnno in punti distinti del circolo l immgine dell rett è costituit d tutti i punti del circolo trnne il punto S. Il punto S, cioè, non proviene d nessun punto dell rett. Notimo che se P, P S. Perciò se i punti propri dell rett ggiungo il punto P, che chimo punto improprio e d esso fccio corrispondere il punto S del circolo, l corrispondenz divent biiettiv: : rett circolo d ogni punto dell rett corrisponde un punto del circolo, e d ogni punto del circolo corrisponde un punto dell rett. L rett così definit diviene un insieme chiuso e limitto che chimo rett mplit. Considero or il pino crtesino e d esso ggiungo i punti impropri di tutte le sue rette. Ottengo quello che si chim pino mplito. 8

9 COORDINATE OMOGENEE E COORDINATE PROIETTIVE NEL PIANO Considerimo un pino rele (mplito e luogo di punti reli e complessi). Fissto in un sistem di coordinte crtesine, le coordinte omogenee sono un tern ordint di numeri,, tli che per ogni punto proprio si h : = o y = Per le coordinte omogenee si hnno le seguenti proprietà:. Le coordinte omogenee di un punto sono definite meno di un fttore di proporzionlità. In ltre prole, due punti le cui coordinte omogenee differiscono tr loro per un costnte di proporzionlità k, corrispondono llo stesso punto in coordinte crtesine. Inftti, dti P (,, ) e Q( k, k, k), ricvimo d ciscuno di essi il corrispondente in coordinte crtesine : P= =, y = Q= k = k, y = k k Ottenimo quindi che P=Q, come volevmo dimostrre.. I punti in coordinte omogenee con coordint null sono detti punti impropri. Questi punti non hnno pprentemente un significto geometrico nello spzio crtesino. Un punto improprio rppresent un direzione, quindi un vettore OP con P=(,y) generico medinte le coordinte omogenee,, ) ( X Sino,, le coordinte di un punto qulsisi P(,, ) del pino. Si dt inoltre un sostituzione linere del tipo y = A, col modulo del determinnte D = A. E possibile rppresentre tle trsformzione con il sistem : y y y = = = A= 9

10 dove A è l mtrice 33 dell trsformzione Allor il punto P determin, meno di un fttore di proporzionlità, i tre numeri non tutti nulli,, e questi, medinte l y = A, determinno, meno di un fttore di proporzionlità, i tre numeri y, y, y ; i quli sono ncor non tutti nulli poiché D = A. Vicevers, dti, meno di un fttore di proporzionlità, tre numeri y, y, y, non tutti nulli, medinte l sostituzione linere = A y invers dell precedente risultno determinte le coordinte crtesine omogenee di un punto P di. I punti, P di sono in questo modo, cioè ttrverso il sistem crtesino usilirio fissto e l sostituzione linere prescelt y = A, posti in corrispondenz biunivoc con le terne y, y, y di numeri complessi, non considerndo come distinte due terne tr di loro proporzionli, ed escludendo l tern di vlori nulli. I numeri dell tern y, y, y possono quindi ssumersi come coordinte omogenee dei punti P di : Esse si dicono coordinte proiettive (omogenee) di P. L corrispondenz così definit si chim un sistem di coordinte proiettive omogenee del pino mplito. Il pino divent uno spzio proiettivo se, oltre d un certo sistem di coordinte proiettive dte, si mmettono tutti e soli quelli che provengono d trsformzioni lineri di questo. Si verific che :. L nozione di coordinte proiettive non dipende dl prticolre sistem di riferimento. Inftti: dto un sistem di coordinte proiettive (), tutti gli ltri si ottengono d questo con un trsformzione linere del tipo: y=a, trsformzione che è un relzione di equivlenz.. Se bbimo due sistemi di coordinte proiettive y, y, y e z, z, z possimo entrmbi riferirli l medesimo sistem di coordinte,, in questo modo: y=a perciò =A y A con B z=b z=cy C Psso d un sistem d un ltro con un sostituzione linere. 3. Le coordinte crtesine si possono interpretre come prticolri coordinte proiettive :ll coppi (,y) posso ssocire l tern in coordinte proiettive (,, y), dove è un numero rele diverso d zero. 4. Se ho un sistem di coord proiettive y, y, y e, medinte l sostituzione z=by B, psso l sistem di coord. z, z, z, nche queste ultime sono coordinte proiettive. Inftti y=a z=by z=ba z=c con C=AB ( A B C )

11 TRIANGOLO FONDAMENTALE DELLE COORDINATE Considerimo un sistem di coordinte proiettive y, y, y in un pino. I tre punti non llineti che sono : A =(,,) A =(,,) A =(,,) si dicono i punti fondmentli ( vertici del tringolo fondmentle) del sistem di coordinte proiettive fisste. I lti,, di questo tringolo sono tre rette che hnno in coordinte proiettive equzioni : y = y = y = Queste rette non pssno per un medesimo punto, poichè l mtrice delle loro coordinte h determinnte diverso d zero. Inftti Det = Si dice punto unità U del sistem il punto di coordinte proiettive y = y = y cioè U(,,). Poiché il punto unità U non pprtiene i lti del tringolo fondmentle, i vertici A, A, A e U sono quttro punti tre tre non llineti. Vicevers si può dimostrre che quttro punti A, A, A,U rbitrri, tre tre non llineti si possono sempre interpretre rispettivmente come punti fondmentli e punto unità di un sistem di coordinte proiettive che risult d essi determinto. Per dimostrrlo provimo fre un esempio numerico Y A -6 A X A -6

12 Si dto un sistem di coordinte proiettive () e quttro punti tre tre non llineti di coordinte: A (-,,) A (,,-) A (,,) e U(,3,). Esiste ed è unico un sistem di coordinte proiettive che h A,A, A come punti fondmentli e U come punto unità. Questo signific che esiste un trsformzione linere y=a e quindi un sistem di coordinte proiettive (y) nel qule le coordinte dei punti diventno : A (,,) A (,,) A (,,) U =(,,). Posso cercre l mtrice del cmbimento di coordinte A, imponendole le condizioni desiderte : se A= è l mtrice dell trsformzione, impongo le condizioni seguenti: A =A A A =A A A =A A cioè = A = A = A Ciò che ottengo è un sistem 9 equzioni 9 incognite che sono le j i, dell mtrice A. Risolvendo tle sistem ottengo l mtrice che cerco. A= 3 3 Un metodo meno lborioso è pensre lle coordinte () come trsformte lineri delle (y). Si dovrà vere, perciò, X=DY Quindi l mtrice D si può trovre con le seguenti condizioni: DA A = DA A = DA A = =D =D =D Ottengo un mtrice con prmetri così ftt: D=

13 L mtrice D h determinnte diverso d zero poiché i punti presi non sono tr loro llineti. Or bst scegliere i prmetri in modo che U= DU Ottengo l mtrice D= 3 =D che è l invers di A. Ho cioè A=D Omogrfie tr pini Sino dti due pini, e sino (,, ), coordinte proiettive ssocite in ed nlogmente (y,y, y ) coordinte proiettive ssocite in. Un sostituzione linere ssocit, che operi sopr le coordinte proiettive dei due pini: () y = A, ( con A ), ssieme ll su invers : () = A y determin e rppresent un corrispondenz biunivoc tr i punti (e rette) dei due pini, che si dice un omogrfi. Le () e () si dicono equzioni dell omogrfi. Si verific che :. L definizione or dt di omogrfi è indipendente di prticolri sistemi di coordinte proiettive fissti nei due pini,. Inftti eseguimo, rispettivmente in e, le trsformzioni sulle coordinte proiettive = B y = Cy ( B ( C ) ) Pssndo, col prodotto di tre sostituzioni lineri, d d, d y, d y y, e ricordndo che y = A si ottiene: y = CAB, posto D = CAB, ( D ), 3

14 risult y = D. I due pini e sono dti nell ordine,. Col simbolo si indic più prticolrmente l omogrfi dirett, rppresentt dlle sostituzioni (), con cui si pss dl primo pino l secondo pino. L su corrispondenz invers, che port d, rppresentt dlle (), si dice l omogrfi invers dell e si indic con L insieme delle omogrfie di un pino in sé è un gruppo rispetto ll composizione. Vedimo perché: Le corrispondenze omogrfiche godono delle proprietà trnsitiv ed ssocitiv. Inftti, se un omogrfi tr pini e h equzione: y = A ed un omogrfi tr pini e h equzione: Posto l sostituzione linere prodotto: 4 z = By. D = BA z = BA = stbilisce un omogrfi tr i due pini e che è ppunto il prodotto delle omogrfie,. Si scrive =. In prticolre, dett l identità, tr due pini sovrpposti =, rppresentt dll sostituzione identic y = I,cioè l corrispondenz in cui d ogni punto P di = corrisponde lo stesso punto, si h - = I. Si dt inoltre un terz omogrfi 3 tr due pini e con l equzione: t = Cz Poiché il prodotto di mtrici gode dell proprietà ssocitiv, posimo Porre: Le sostituzioni lineri prodotto: D D = C( BA) = ( CB) A = CBA. t = CBA = rppresentno quindi un omogrfi tr i pini e, che è il prodotto delle tre omogrfie, 3, comunque esse si ssocino: D = ( ) 3 = ( 3 ) = 3.

15 Supponimo or che i vri pini reltivi lle osservzioni precedenti coincidno, considerimo cioè le omogrfie che mutno un pino in sé. Per queste omogrfie vlgono dunque le quttro proprietà: ) =, (definizione di prodotto); ) ( ) 3 = ( 3 ), (proprietà ssocitiv); 3) I =, (esistenz dell identità); 4) - = I, (esistenz dell invers di ). Perciò si dice che queste omogrfie costituiscono un gruppo: il gruppo delle omogrfie pine. TEOREMA FONDAMENTALE DELL OMOGRAFIA TRA PIANI Un omogrfi tr due pini è individut d quttro coppie di punti corrispondenti; purché si i quttro punti del primo pino che i quttro punti del secondo pino sino tre tre non llineti. Dimostrimo il teorem: Indichimo i quttro punti del primo pino con A, A,A,U,e, ordintmente, i quttro punti del secondo pino con A, A, A, U Assumimo in i punti A, A, A ed U come vertici del tringolo fondmentle e punto unità di un sistem di coordinte proiettive (,, ) ed nlogmente in ssumimo A, A, A, U come punti fondmentli ed unità di un sistem di coordinte proiettive (y,y, y ). Un omogrfi: A A A U A A A U, in cui quelle quttro coppie si corrispondono esiste, ed h necessrimente come equzioni y =, y =, y = cioè Y=X. Esempio: Sino dti,nel primo pino, un sistem di coordinte proiettive () che h come punti fondmentli e punto unità rispettivmente A (-,,) A (,,-) A (,,) e U(,3,), e nel secondo pino un sistem di coordinte (y) che h come punti fondmentli e punto unità A (,,) A (,,) A (,,) e U =(,3,). Cerchimo l mtrice C dell omogrfi che oper in questo modo: =,, A i = CA i Risolvendo il sistem 9 equzioni e 9 incognite ottengo l mtrice i

16 6 C= L ppliczione mnd i punti del primo pino nei rispettivi punti del secondo pino, con un corrispondenz biunivoc, determint d un sostituzione linere di mtrice C.