LEGGE DI OHM. Inizieremo a trattare il caso in cui il circuito elettrico risulta schematizzabile con soli parametri in serie :

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1 EGGE D OHM nizieremo a trattare il caso in cui il circuito elettrico risulta schematizzabile con soli parametri in serie : Supponiamo nota la corrente e quindi incognita la tensione da applicare al circuito. Adottiamo il metodo vettoriale per rappresentare la tensione applicata al circuito,la corrente che vi scorre e quindi le relative cadute di tensione sulla resistenza,sull induttanza e sulla capacità; ciò è lecito poiché queste sono tutte grandezze sinusoidali della stessa frequenza e pertanto tutte rappresentabili con vettori fermi nel piano. Siccome il vettore Ī è supposto noto, esso verrà posto ( per comodità ) sull asse orizzontale. Questa corrente determinerà,come si è detto, una caduta di tensione sulla resistenza, il cui vettore indicheremo con,in fase con la corrente Ī e di ampiezza ( segmento OA ), una caduta di tensione nell induttanza, il cui vettore indicheremo con,in quadratura in anticipo sulla corrente Ī e di ampiezza ( segmento OB ), una caduta di tensione sulla capacità, il cui vettore indicheremo con ( segmento O ). in quadratura in ritardo sulla corrente Ī e di ampiezza pari a D altra parte la somma di questi tre vettori ; ; dovrà dare per risultante la tensione applicata al circuito poiché nel circuito non agiscono altre cadute di tensione. Tale costruzione vettoriale suggerisce di impostare la risoluzione del problema in altro modo, ricorrendo alla rappresentazione simbolica delle grandezze vettoriali. Difatti il vettore vale, che prende nome di legge di Ohm in forma simbolica: Studio d ingegneria Dott.ng. Piero Arona

2 nfatti : x Ī x Ī x Ī - x Ī - x Ī per cui Ī Ī - (/() Ī [ ( - /( )] x Ī x Ī l termine tra parentesi quadra, lega la tensione e la corrente ai parametri,, del circuito. Tale termine che moltiplica la corrente è quindi un operatore vettoriale che in elettrotecnica prende il nome di impedenza ; esso è dunque la quantità complessa : ( - /( ) ( - ). Essendo una quantità complessa, sarà composta da una parte reale che è rappresentata dalla resistenza e da una parte immaginaria che è rappresentata dalla somma algebrica delle reattanze e. Tale somma algebrica prende il nome di reattanza totale del circuito:. impedenza potrà quindi essere scritta anche nella forma detta binomia e quindi la legge di Ohm si può scrivere meglio come ( ± ) Ī x Ī, dalla quale posso ricavare / Ī ed il circuito diviene : itornando al circuito di prima : del quale si suppongono note le caratteristiche elettriche, e, l impedenza risulterà individuata nel suo modulo e nel suo argomento φ dalle seguenti relazioni : ; tg φ Noti questi valori posso determinarmi la corrente nel circuito che in valore efficace vale : ( ) o sfasamento φ tra la tensione totale applicata al circuito e la corrente che vi circola, può essere calcolato con le note formule trigonometriche: Studio d ingegneria Dott.ng. Piero Arona

3 Un cateto è uguale all ipotenusa per il coseno dell angolo adiacente o per il seno dell angolo opposto. a tangente di un angolo è il rapporto fra il seno ed il coseno dell angolo stesso. Se si osserva il triangolo delle tensioni, si può notare che dividendo tutti i lati per la corrente, si ottiene il triangolo dell impedenza: E pertanto: tan φ cosφ senφ Molte volte il circuito pur essendo di tipo serie, potrà essere caratterizzato da solo due qualsiasi dei tre caratteri fondamentali. e formule, evidentemente, saranno ancora valide e compariranno solamente i parametri esistenti. È molto importante osservare che il circuito potrebbe risultare composto da più impedenze,, 3 in serie fra di loro. n tal caso posso scrivere la legge di Ohm:. D altra parte ogni caduta di tensione può essere scritta esplicitamente come prodotto fra le relative impedenze e le correnti che le attraversano. 3.. ( 3 ) Ī e quindi Ī x Σ Tali relazioni dimostrano come più impedenze collegate in serie, cioè percorse tutte dalla stessa corrente, si possono sommare fra loro ma con le regole delle grandezze vettoriali o complesse. l circuito è come se fosse costituito quindi da un unica impedenza detta impedenza equivalente: eq 3. ( 3...). 3 Studio d ingegneria Dott.ng. Piero Arona

4 TE GENEA PE A SOUONE DE UT l metodo di Steinmetz-Kennelly afferma che : e equazioni che si possono scrivere in un circuito elettrico in un regime sinusoidale sono sostanzialmente le stesse di quelle che si scriverebbero per lo stesso circuito in corrente continua, con l avvertenza però che ora le tensioni e le correnti appaiono in simboli complessi e che al posto della resistenza, compaiono le impedenze ( operatori complessi). Ovviamente le relazioni fra le varie grandezze debbono intendersi vettoriali. a ricerca dei valori assunti dalle correnti, dalla c.d.t., etc, relative ad un qualsiasi circuito in regime sinusoidale potrà essere condotta quindi o con il metodo grafico-vettoriale o con quello simbolico, dopo aver impostato le relative equazioni vettoriali. Un esempio di applicazione è proprio la legge di Ohm in termini vettoriali osì per mezzo di tale criterio si passerà alla legge di Ohm generalizzata: 0-0 con l avvertenza che le forze contro elettromotrici 0 non sono quelle di autoinduzione né quelle dovute alla capacità, poiché queste appaiono come c.d.t. al secondo membro. noltre, sempre grazie a tale criterio,si possono estendere alle reti tutti i principi enunciati per le reti in corrente continua, quali: il principio di Kirchhoff, il principio della sovrapposizione degli effetti, Thevenin, Millmann, etc. ESEO : Ai capi di un circuito 0 Ω e 0, H si applicano 0 a 4 Hz. Determinare il valore efficace della corrente e lo sfasamento sulla tensione. π ƒ x 3,4 x 4 x 0, 5,75 Ω 56,4 Ω 0 3,90 A tg φ 56, 4 isolvendo con i numeri complessi : 5,75 0,637 φ 69 3 ( ) x Pongo ora la tensione sull asse 0 reale in opportuna scala :,38 3,65 0 5, 75 alore efficace :,38 3,65 3,90 A 4 Studio d ingegneria Dott.ng. Piero Arona

5 Diagramma vettoriale : ESEO : Determinare la tensione che deve essere applicata ad un circuito ohmico-induttivo per far circolare una corrente di 8 A a 60 Hz. Determinare poi lo sfasamento fra tensione e corrente. π ƒ x 3,4 x 60 x 5 x 0-8,84 Ω,33 Ω x,33 x 8 78,64 tg φ isolvendo con i numeri complessi : 8,84,57 φ ,84 x Pongo ora la corrente sull asse reale : ( 8,84 ) x ,7 alore efficace : 50,7 tg φ,57 φ ,7 78,64 5 Studio d ingegneria Dott.ng. Piero Arona

6 ESEO : Dato il seguente circuito determinare e φ : ESEO : Ω 8 6 Ω tg φ 5 0,577 φ 30 6 Dato il seguente circuito determinare la corrente: π 4 f x3,4 x50x3x0 0,6 Ω 6,0 Ω 9,36 A tg φ - - 0,883 φ ESEO : Dato il seguente circuito determinare la capacità : 40 6 Ω 3,85 Ω 5 9 x 0-6 F 9 µf x3,4 x60x3,85 πf πf 6 Studio d ingegneria Dott.ng. Piero Arona

7 ESEO : Dato il seguente circuito determinare la corrente e lo sfasamento φ tra la tensione e la corrente: π ƒ x 3,4 x 50 x 0,3 94,5 Ω π 4 f x3,4 x50xx0 5,9 Ω on i valori efficaci : ( ) 80,8 Ω 80, ,9 A tg 3,94 φ a tensione è in anticipo sulla corrente perché prevale l effetto induttivo. isolvendo con i numeri complessi : 0 78,33 opportuna scala : ,33 80,84 Ω Pongo ora la tensione sull asse reale in , 33,53 6 alore efficace :,53 6 6,9 A 6 tg 3,9 φ 75 68,53 A tal punto possiamo anche calcolare le cadute di tensione sui singoli elementi del circuito e fare una verifica sulla tensione totale, come somma vettoriale delle singole cadute di tensione : x 0 x (,53 6) 30,6 0 alore efficace : x ( 94,) x(,53 6) 30,6 0 3,84 565,4 44,8 alore efficace : x 5,9 x(,53 6) alore efficace : ,8 583, - 95,5-4,35 95,5 4,35 98,57 7 Studio d ingegneria Dott.ng. Piero Arona

8 erifica : (30,6 0)(565,4 44,8)(- 95,5-4,35) 500,408 0,7 alore efficace 500,4 0,7 500,4 Sommando le tensioni parziali, non vettorialmente si ottiene 3,84583,98,57 805,6 il che dimostra il grave errore che si commette sommando non vettorialmente!!!!!!!!!!!!!! 8 Studio d ingegneria Dott.ng. Piero Arona

9 Studio d ingegneria Dott.ng. Piero Arona 9 MPEDENA FOMA BNOMA ± 0 0 ( ) MODUO () AGOMENTO (φ) tg tg ± tg tg ± APPESENTAONE PANO OMPESSO TENSONE ( ) ( ) ± ( ) ±