Teoria dei Segnali. La Convoluzione (esercizi) parte seconda
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- Renata Bosco
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1 Teoria dei Segnali La Convoluzione (esercizi) pare seconda 1
2 Esercizio n.8 Calcolare la convoluzione ra i due segnali : e x() = rec ( ) rec ( 2 ) y() = rec 2 ( ) Conviene inizialmene disegnare i due segnali ra cui calcolare la convoluzione (fig.9.1). x() 5 /2 - /2 y() 2 - B fig.8.1 Si può osservare che enrambi gli impulsi sono generai da due sub-impulsi di duraa, il primo raslao verso desra di /2. Quesa raslazione può essere inizialmene rascuraa, per poi inserirla nel risulao finale, secondo quano deo nell inroduzione. La inversione di y() pora alla siuazione individuaa dall indice nella fig Poiché la convoluzione ra impulsi reangolari deve porare alla presenza di segmeni reilinei, per valuare la convoluzione è sufficiene individuare i valori che si oengono nei puni in cui le ree cambiano pendenza: sono le siuazioni indicae dagli indici B, C, D, E nella sessa fig che corrispondono a raslazioni di, 2, 3 e 4 rispeivamene. 2
3 x() 5 /2 /2 τ y(-) 2 τ B C D E fig.8.2 Quano indicao nella figura può essere riassuno in una marice la cui prima riga rappresena il segnale x() che non rasla rappresenao nella erza e quara colonna. La seconda riga rappresena il segnale y (-), la erza y( ) e successivamene ancora y( 2 ), y(3 ), y(4 ). Nella figura e nella abella non sono indicae le ampiezze, di cui bisognerà ener cono moliplicando per B il risulao finale (si ricorda che è il massimo della ra due impulsi reangolari della sessa duraa e ampiezza uniaria). 3
4 Per ogni posizione del segnale che rasla, cioè per ogni riga, si procede a moliplicare ra loro la prima riga e quella in esame, sommando poi i risulai oenui. Si ha allora il risulao riporao nell ulima colonna RIS Nella fig.8.3 è riporao il risulao rappresenao dall ulima colonna della marice; nella fig. 8.4 il risulao della convoluzione nella posizione e con le ampiezze corree. 1 C() fig. 8.3 Cxy() B /2 3 /2 - B 7 /2 9 /2 fig
5 Si può osservare come la duraa della convoluzione sia pari alla somma delle durae dei due impulsi. Lo sesso procedimeno si può applicare ai segnali dell esercizio n.4; la marice che rappresena la convoluzione è, avendo rascurao la raslazione 2 del segnale y(), che si suppone di non raslare: RIS che ci consene di oenere facilmene il risulao di fig.4.2 Esercizio n.9 Calcolare la convoluzione ra i due segnali : e x() = rec ( / 2) rec ( 3 /2) + rec ( 5 /2) y() = rec ( / 2) rec ( 3 /2) + rec ( 5 /2) Procedendo come indicao nel precedene esercizio si può cosruire la marice che caraerizza il problema: RIS Nella fig. 9.1 è riporao l andameno della convoluzione richiesa. 5
6 fig. 9.1 Esercizio n.10 Calcolare la convoluzione ra i due segnali: con α reale e posiivo. x() = e j2 f e y() = e - u 1 () La convoluzione cercaa è: C xy () = e j2 f( ) e u 1 ( )d = = e 2j f e - (j2 f+ ) d 0 E facile a queso puno arrivare all espressione della convoluzione: 2j f C xy () = e + j2 f Come si può osservare la convoluzione, che è l operazione con cui si calcola l uscia da un sisema lineare e permanene, è ancora la sinusoide complessa di ingresso che ha modificao l ampiezza e la fase. Nella figg.10.1 e 10.2 sono riporai gli andameni dell ampiezza e della variazione di fase (espressa in radiani) della sinusoide d ingresso al variare della frequenza f (α = 4). 6
7 fig.10.1 fig.10.2 Queso è vero in generale perché la convoluzione ra la sinusoide complessa e un generico segnale h() è: C xy () = e j2 f( ) h( ) d = = e 2j f e - j2 f h( )d 7
8 Si può riconoscere nell ulimo inegrale la rasformaa di Fourier di h(), che in generale indichiamo con H(f) che, col suo modulo, modifica l ampiezza della sinusoide complessa e con la fase ne deermina una roazione di fase. 2j f + rg(h(f)) C xy () = H(f)e Esercizio n.11 Calcolare la convoluzione ra i due segnali: x() = ri () e y() = () ( ) Tenendo cono delle proprieà di linearià dell operazione convoluzione si può scrivere: C xy () = ( () ( )) ri () = = () ri () ( ) ri () Ricordando che la convoluzione ra un segnale e un impulso di dirac cenrao nel puno T rascina il segnale nella sessa posizione, si può scrivere: C xy () = ri () ri ( ) che è riporao nella figura C() fig
9 Esercizi proposi Calcolare la convoluzione ra i segnali x() e y() riporai nelle figure x() /2 - T/2 T/2 y() - T/2 T/2 Calcolare la convoluzione ra i segnali x() e y() riporai nelle figure x() T 9
10 y() - T - 10
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