Università degli Studi di Padova. Corso di Laurea in Medicina e Chirurgia - A.A

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1 Università degli Studi di Padova Corso di Laurea in Medicina e Chirurgia - A.A Corso Integrato: Statistica e Metodologia Epidemiologica Disciplina: Statistica e Metodologia Epidemiologica Docenti: prof.ssa Anna Chiara FRIGO prof.ssa Egle PERISSINOTTO Modulo 4: Confronto di due gruppi Test t di Student per campioni dipendenti Test t di Student per campioni indipendenti La dimensione del campione Test di Wilcoxon per campioni dipendenti e indipendenti

2 VERIFICA DI IPOTESI SU DUE MEDIE (campioni dipendenti) (1) Si ha un unica popolazione osservata in due momenti diversi: si vuole verificare l ipotesi che tra i due tempi (ad es. dopo trattamento) la media della caratteristica si modifichi. H 0 : P = D ( = P - D = 0) L ipotesi alternativa sarà così specificata: H 1 : P D ( 0)

3 VERIFICA DI IPOTESI SU DUE MEDIE (campioni dipendenti) () Si estrae un campione di numerosità n, ciascuna unità è osservata al tempo 1 e al tempo e si calcolano le differenze tra le coppie di valori: Misure Differenza Unità Tempo 1 Tempo Tempo -Tempo 1 1 x 1 y 1 y 1 -x 1 = d 1 x y y -x = d n x n y n y n -x n = d n Media M 1 M M d s s 1 s s d Si calcolano media M d e deviazione standard s d delle differenze (si assume che le differenze si distribuiscano normalmente). La funzione test risulta: M t s d d n che sotto H 0 si distribuisce come una t di Student con n-1 gradi di libertà

4 ESEMPIO Verifica di ipotesi su due medie (campioni dipendenti) Si vuole verificare se il consumo medio giornaliero di calorie pre e post mestruazioni sia diverso ad un livello di significatività =0,01. H 0 : PRE POST ( = 0) H 1 : PRE POST ( 0) Da un campione di 11 donne si ricavano i seguenti dati: Consumo calorie (KJ) Differenza Unità Pre Post Post-Pre t 10 83,3 1136,0 11,43 (p 0,035) M 6509,5 5677,3-83,3 s 1159,0 141, 1136,0 Al livello di significatività dell 1% il consumo medio giornaliero di calorie non è significativamente diverso tra il periodo pre e post mestruazioni (1Kjoule=0,4Kcal). t 10; 0,005 = ±3,17 t 10; 0,05 = ±,3 IC99%=(-1917,8 ; 53,) IC95%=(-1595,5 ; -69,1)

5 VERIFICA DI IPOTESI SU DUE MEDIE (campioni indipendenti) (1) Si hanno due popolazioni X e Y dove la variabile di interesse si distribuisce con media X e Y rispettivamente ed uguale varianza. Si vuole verificare se le medie sono diverse. Il sistema di ipotesi sarà così specificato: H 0 : X = Y H 1 : X Y

6 VERIFICA DI IPOTESI SU DUE MEDIE (campioni indipendenti) () Da X e Y si estraggono i campioni (indipendenti): x 1, x,, x nx y 1, y,, y ny (si assume che nelle due popolazioni la variabile si distribuisca normalmente). Si calcolano gli informatori campionari: M x, s x e M y, s y. La funzione test risulta: t n x n y s M x M 1 n x y 1 n y dov e: s (n x 1) s n x x (n n y y 1) s y che sotto H 0 si distribuisce come una t di Student con n x +n y - gradi di libertà.

7 ESEMPIO Verifica di ipotesi su due medie (campioni indipendenti) Si vuole verificare se il consumo energetico giornaliero (MJ/giorno) delle donne magre e delle obese sia diverso ad un livello di significatività =0,05. H 0 : M O H 1 : M O Da un campione di 13 donne magre e 9 obese si ricavano i seguenti dati: Magre Obese 6,13 8,79 7,05 9,19 7,48 9,1 7,48 9,68 7,53 9,69 7,58 9,97 7,90 11,51 8,08 11,85 8,09 1,79 t 0 1,3044 dove : s 8,066 10, ,95 (p 0,001) (13 1) 1,38 (9 1) 1, Al livello di significatività del 5% il consumo energetico giornaliero è significativamente diverso tra donne magre e obese (1Mjoule=38,85 Kcal). 8,11 8,40 10,15 t 0; 0,05 = ±, ,88 Media 8,066 10,98 s 1,38 1,398 IC95%=(-3,41 ; -1,05)

8 DIMENSIONE DEL CAMPIONE (verifica di ipotesi su due medie campioni indipendenti) Si supponga di volere testare il sistema di ipotesi: H 0 : X Y ( X = Y ) H 1 : X > Y ( X Y ) Si fissi: un livello di significatività pari ad una potenza del test pari a 1 -, cioè pari a la probabilità di non rifiutare l ipotesi nulla la minima differenza tra le medie X - Y che si vuole individuare come significativa Si assume nota la deviazione standard Soluzione (indicando con q X e q Y le proporzioni di soggetti nei due gruppi): 1 1 z z 1 1 z z n X ny nx ny q X qy X Y qx qy X Y =( X - Y )/ viene definito effetto standardizzato

9 ESEMPIO Calcolo della numerosità campionaria nel caso di verifica di ipotesi su due medie (campioni indipendenti) (1) Si vogliono confrontare l efficacia di metaproterenolo e di teofillina per il trattamento dell asma. La variabile risposta è il volume di espirazione forzata in 1 secondo (FEV1) misurato un ora dopo il trattamento. Studi condotti in precedenza hanno mostrato che nelle persone asmatiche in trattamento il FEV1 medio è pari a,0 litri e la deviazione standard è 1,0 litro. Lo sperimentatore vuole evidenziare una differenza tra i due gruppi di almeno il 10% con =0,05 a due code e una potenza pari a 0,80. Ipotesi Effetto H 0 : M = T H 1 : M T M - T = 0, litri (=10%,0 litri) Effetto standardizzato ( M - T )/ = 0,/1,0 = 0, =0,05 a due code =0,0 (=1-0,80)

10 ESEMPIO Calcolo della numerosità campionaria nel caso di verifica di ipotesi su due medie (campioni indipendenti) () Con eguale numerosità nei due gruppi: n M n T 1 q M 1 q T z z 1 1 1,96 0,8416 X Y 0,5 0,5 0, 784, Con diversa numerosità nei due gruppi (n M =n T ): n M n T 1 q M 1 q T z z 1 1 1,96 0,8416 X Y 0,67 0,33 0, 883,0 885

11 I METODI PARAMETRICI (1) Tutto quello che abbiamo detto fino a questo punto è valido fino ad un certo punto, abbiamo implicitamente assunto che le nostre misure avessero una distribuzione GAUSSIANA (o NORMALE). I dati sono distribuiti come una gaussiana se l istogramma: è unimodale è simmetrico ha una forma a campana Curve of Chance 0

12 I METODI PARAMETRICI () Se i dati non sono distribuiti come una gaussiana, TUTTO QUELLO CHE ABBIAMO DETTO NON È VALIDO! Non possiamo fare il test z, t,, non possiamo trovare l intervallo di fiducia utilizzando la distribuzione normale o la t di Student, Cosa si può fare allora in questi casi? Imbroglio e faccio come se i dati fossero normali! (lo fanno in molti!!!) Utilizzo metodi che non richiedono l ipotesi di normalità

13 I METODI NON PARAMETRICI Test per campioni dipendenti Test di Wilcoxon dei ranghi con segno Test per campioni indipendenti Test di Wilcoxon della somma dei ranghi (Mann- Whitney)

14 TEST DI WILCOXON DEI RANGHI CON SEGNO (WILCOXON SIGNED RANK TEST) (1) Si ha un unica popolazione osservata in due momenti diversi: si vuole verificare l ipotesi che tra i due tempi (ad es. dopo trattamento) la mediana della caratteristica si modifichi. H 0 : Me P = Me D L ipotesi alternativa sarà così specificata: H 1 : Me P Me D

15 TEST DI WILCOXON DEI RANGHI CON SEGNO (WILCOXON SIGNED RANK TEST) () Si estrae un campione di numerosità n, ciascuna unità è osservata al tempo 1 e al tempo, si calcolano le differenze tra le coppie di valori e a ciascuna differenza si assegna il rango senza tenere conto del segno Misure Differenza Rango della differenza senza segno Unità Tempo 1 Tempo Tempo -Tempo 1 1 x 1 y 1 y 1 -x 1 = d 1 r 1 Rango della differenza con segno + Rango della differenza con segno - x y y -x = d r n x n y n y n -x n = d n r n T + T - Le eventuali coppie con valori identici (con differenza zero) vengono eliminate (la numerosità si riduce di una unità) Se ci sono differenze uguali, si assegna il rango medio ottenuto come media aritmetica dei ranghi che si sarebbero assegnati se le differenze fossero state diverse

16 TEST DI WILCOXON DEI RANGHI CON SEGNO (WILCOXON SIGNED RANK TEST) () Si calcola la somma T + dei ranghi con differenza positiva e la somma T - dei ranghi con differenza negativa Si prende T = min( T +, T - ) Si considera la funzione test: z T T dov e: T T T n(n1) 4 è la media della sommadei ranghi T n(n1)(n1) 4 è la dev iazionestandarddella sommadei ranghi quando la dimensione n del campione è grande z T N(0; 1)

17 ESEMPIO Verifica di ipotesi su due mediane (campioni dipendenti) Si vuole verificare se il consumo giornaliero di calorie pre e post mestruazioni sia diverso ad un livello di significatività =0,01. H 0 : Me PRE Me POST H 1 : Me PRE Me POST Poiché le differenze post-pre non sono approssimativamente normali si applica un test non parametrico. Consumo calorie (KJ) Differenza Unità Pre Post Post-Pre Rango differenze senza segno Rango con segno z T ,5 1,96 (p 0,05) ,5-8, ,5-8, Al livello di significatività dell 1% il consumo medio giornaliero di calorie non è significativamente diverso tra il periodo pre e post mestruazioni T+ = 11 T- = 55

18 TEST DI WILCOXON DELLA SOMMA DEI RANGHI (MANN-WHITNEY TEST) (1) Si hanno due popolazioni X e Y dove la variabile ha la stessa distribuzione (forma). Il sistema di ipotesi sarà così specificato: H 0 : Me X = Me Y H 1 : Me X Me Y

19 TEST DI WILCOXON DELLA SOMMA DEI RANGHI (MANN-WHITNEY TEST) () Da X e Y si estraggono i campioni (indipendenti): x 1, x,, x nx y 1, y,, y ny Si calcolano i ranghi mettendo insieme le osservazioni relative ai due campioni. Se ci sono valori uguali, si assegna il rango medio ottenuto come media aritmetica dei ranghi che si sarebbero assegnati se i valori fossero stati diversi Si calcola la somma dei ranghi corrispondenti a ciascun campione originario: W X e W Y e si prende W = min(w X, W Y ) La funzione test risulta: z W W W W dov e: W n S (n S n L 1) è la media della sommadeiranghi W n S n L (ns n 1 L 1) è la dev iazionestandarddella sommadeiranghi dove n s e n L rappresentano la numerosità del campione con, rispettivamente, minore somma e maggiore somma dei ranghi.

20 ESEMPIO Verifica di ipotesi su due mediane (campioni indipendenti) Si vuole verificare se il consumo energetico giornaliero (MJ/giorno) delle donne magre e delle obese sia diverso ad un livello di significatività =0,05. H 0 : Me M Me O H 1 : Me M Me O Da un campione di 13 donne magre e 9 obese si ricavano i seguenti dati: Magre Obese MJ/giorno Rango MJ/giorno Rango 6,13 1 8,79 1 7,05 9,19 13 z W ,5 14,975 3,11(p 0,001) 7,48 3,5 9,1 14 7,48 3,5 9, ,53 5 9, ,58 6 9, , ,51 0 Al livello di significatività del 5% il consumo energetico giornaliero è significativamente diverso tra donne magre e obese. 8, ,85 1 8,09 9 1,79 8, , , ,88 19 W M 103 W O 150

21 ESERCIZI 1. Si è condotto un esperimento per confrontare l incremento di peso indotto da due differenti diete su soggetti debilitati. Per lo studio sono stati scelti 7 pazienti di un reparto di lungodegenza. L incremento di peso ottenuto, espresso in kg, per le due differenti diete è il seguente: soggetto dieta A 4,6 4,8 3, 4,7 4,3 3,7 4,1 dieta B 4,1 4,0 3,5 4,1 4,5 3, 3,8 Si verifichi l ipotesi che la variazione di peso è differente a seconda della dieta (=0,05) (si consideri la variabile variazione di peso normalmente distribuita). Si è misurata l inibizione della crescita batterica prodotta da diverse dosi di un antibiotico A. Per una certa dose si sono avuti i seguenti risultati (in mm): 19,1 18,9 18,9 18,4 19, 18,7 19,0 18,0 L inibizione prodotta da un antibiotico standard, a parità di dose, è 18,75 mm. L antibiotico A è diverso dallo standard al livello di significatività =0,05?

22 3. Per sperimentare un nuovo metodo per l insegnamento delle lingue, sono state considerate 10 coppie di gemelli monozigoti assegnati a caso a due gruppi diversi di insegnamento. Agli individui di un gruppo è stato insegnato l inglese con il metodo tradizionale, mentre ai soggetti dell altro gruppo è stato insegnato l inglese con il metodo sperimentale. Alla fine del corso, una commissione, senza sapere il gruppo di appartenenza, giudica il grado di apprendimento. I punteggi ottenuti sono riportati nella seguente tabella: Gruppo 1: 7 6 6, Gruppo : ,5 9,5 6,5 9 Si vuole stabilire se vi è differenza tra i risultati ottenuti dai due metodi di insegnamento (=0,01)

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