Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica ANALISI MATEMATICA 1. Prova scritta del 14 gennaio 2017 Fila 1.

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1 Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica ANALISI MATEMATICA Prova scritta del gennaio 207 Fila. Esporre il procedimento di risoluzione degli esercizi in maniera completa e leggibile.. (Punti 6) Determinare i valori di z C che verificano l equazione: e iz = i. 2. (Punti 9) Data la funzione f(x) = log ( e e x+ ) a) (punti 3) determinare il suo campo di esistenza, segno, comportamento agli estremi del dominio ed eventuali asintoti; b) (punti 2)determinare gli intervalli di monotonia ed eventuali punti di massimo o di minimo relativo; c) (punti 2) determinare gli intervalli di concavitá e di convessitá; d) (punti 2)disegnare il suo grafico approssimato. 3. (Punti 2) Si consideri l integrale improprio log( + 7x + 9) a) (punti 3) dimostrare che esiste finito mediante mediante uno studio a priori; b) (punti 9) calcolarne il valore.. (Punti 6) Determinare il comportamento della serie + n= n ( e 2 n cos 2 n ) 2

2 RISOLUZIONE DEGLI ESERCIZI PROPOSTI. (Punti 6) Determinare i valori di z C che verificano l equazione: Svolgimento. e iz = i. (I metodo.) Posto z = x + iy, x, y R il primo membro dell equazione può essere espresso nella forma seguente e iz = e i(x+iy) = e ix y = e y (cos x + i sin x). di conseguenza l equazione diventa e y (cos x + i sin x) = i, e y cos x + i e y sin x = i Eguagliando rispettivamente la parte reale e qualla immaginaria del primo membro con quelle del secondo otteniamo il sistema e y cos x = 0 La prima equazione ammette come soluzioni e y sin x = x k = π 2 + k π, k Z. Le x k che verificano anche la seconda sono solo quelle con indice per cui sin x k =, mentre deve essere y = 0. In definitiva l equazione ammette come soluzioni z k = π 2 + 2kπ, k Z. 2. (Punti 9) Data la funzione f(x) = log ( e e x+ ) a) determinare il suo campo di esistenza, comportamento agli estremi del dominio ed eventuali asintoti; b) determinare gli intervalli di monotonia ed eventuali punti di massimo o di minimo relativo; c) determinare gli intervalli di concavitá e di convessitá; d) disegnare il suo grafico approssimato. 2

3 Svolgimento. Il campo di esistenza è determinato dai valori della variabile x che rendono positivo l argomento del logaritmo: e e x+ > 0 e > e x+ > x + x < 2. Segno della funzione: dato che per ogni x R, risulta: e e x+ <, perchè e < e x < e x+ +, allora f(x) < 0 per ogni x < 2. Determiniamo il comportamento della funzione agli estremi del suo dominio. x 2 log ( e e x+ ) =, perchè per x che tende a 2 l argomento del logaritmo tende a 0 +. Infatti e e x+ = e x+ ( e x ) > 0 perchè Mentre x > 0 per x > 2. x log ( e e x+ ) =, perchè possiamo scrivere l argomento del logaritmo come prodotto log [ ( e )] e +x+ = log [ ( e x x 2 e +)] 2, dove per x che tende a meno infinito ( e +) tende a, mentre e tende a 0 +. Vediamo se esiste un asintoto obliqui, y = mx + q per x che tende a, calcolando i iti che seguono. m = f(x) x x = log ( e e x+) = x x (per il teorema dell Hospital) = e e x+ 2 e = x e e x+ x e 2 e + e + = 2. q = f(x) mx = x = x log ( e e x+ ) log e 2 x = x log ( e x 2 e x+) log ( e ) e x+ x 2 x = e 2 x = x log ( e +) = 0. Ne segue che l asinto obliquo per x che tende a meno infinito è la retta di equazione y = 2 x 3

4 Calcoliamo la derivata prima per studiare la monotonia della funzione. f 2 (x) = e e x+ e e. x+ Imponiamo f (x) > 0. Tenuto conto che il denominatore è sempre positivo otteniamo 2 e > ex e e x x 2 > 2e 2 > log(2e) x < log 2 Da questo deduciamo che la f risulta positiva sulla semiretta (, log 2) e negativa in ( log 2). La funzione è quindi crescente su (, log 2) e decrescente su ( log 2, 2). Il punto x 0 = log 2 è di massimo assoluto. Determiniamo gli intervalli di concavità e/o convessità della funzione mediante la sua derivata seconda. f (x) = e 3 2 x+ ( e x 2 e x+) 2 Ovviamente per ogni x < 2 risulta f (x) < 0. Quindi la funzione è concava su tutto il suo campo di esistenza. Tenuto conto di quanto dimostrato possiamo tracciare il seguente grafico approssimato di f. y x x 3. (Punti 2) Si consideri l integrale improprio log( + 7x + 9) dx

5 a) (punti 3) dimostrare che esiste finito mediante mediante uno studio a priori; b) (punti 9) calcolarne il valore. Svolgimento. (a) Osserviamo che la funzione integranda risulta positiva e continua su [, + ), inoltre per x che tende a + tende a zero. Infatti il logaritmo posto al numeratore è un infinito di ordine inferiore rispetto a qualunque potenza positiva di x. Valutiamo l ordine di infinitesimo mediante il teorema del confronto asintotico. Dato che al denominatore della funzione data compare, basterà effettuare il confronto con una funzione armonica che abbia esponente minore di due, ed ovviamente maggiore di uno, ad esempio, che è integrabile. f(x) x + log( + 7x + 9) = x + x 2 Da questo deduciamo che l infinitesimo al denominatore è più forte di quello al numeratore e quindi lo maggiora definitivamente a meno di una costante, ovvero esistono C > 0 e x 0 > tali che per ogni x > x 0 0 < log( + 7x + 9) < C, quindi, per il teorema del confronto, l integrale esiste finito. (b) Calcolo dell integrale. = 0 log( + 7x + 9) c log( + 7x + 9) dx = dx. Effettuiamo nell integrale il cambio di variabile t 2 = 7x + 9 x = t2 9 ; dx = t dt, per x =, t =, per x = c, t = 7c + 9. Tenuto conto di questo otteniamo c log( + 7x + 9) 7c+9 dx = x 7 2 Risolviamo integrando per parti( ) f (x) = log( + t) 2t (t 2 9) 2 dt. 2t = f(x) = (t 2 9) 2 t 2 9 ; g(x) = log( + t) = g (x) = + t. b f (x)g(x) dx = [f(x) g(x)] b a b a a f(x) g (x) dx. 5

6 Quindi = 7 { [ 7 t 2 9 { ] 7c+9 log( + t) 7c log( + 7c + 9) + log c+9 7c+9 } ( + t)(t 2 9) dt = ( + t)(t 2 9) dt } = 7c+9 = log ( + t)(t 2 9) dt = La funzione integranda è di tipo razionale. Utilizziamo il metodo di Hermite determinando le costanti reali A, B, C tali che ( + t)(t 2 9) = A t 3 + Da cui B t C + t = A(t + 3)( + t) + B(t 3)( + t) + C(t2 9) ( + t)(t 2 9) = A(t + 3)( + t) + B(t 3)( + t) + C(t 2 9) Questa identità deve valere per ogni t R. Al fine di calcolare le costanti A, B, C possiamo assegnare quindi opportuni valori alla variabile t, in particolare assegneremo quelli che annullando alcuni dei binomi facilitano il calcolo. Per t = 3 otteniamo A =, se t = 3 otteniamo B =, mentre per t =, C =. Per questo possiamo scrivere = 2 7c+9 7c+9 t 3 dt + 7c+9 2 t + 3 dt 8 ( + t)(t 2 9) dt = 7c+9 + t dt = = 2 [log t 3 ] 7c [log t + 3 ] 7c+9 8 [log + t ] 7c+9 = = 2 log( 7c + 9 3) + 2 log( 7c ) 2 log 7 8 log( + 7c + 9) + 8 log 5 = Tenuto conto che ( 7c + 9 3) 2 ( 7c ) 2 ( + 7c + 9) 8 = log ( 7c + 9 3) 2 ( 7c ) 2 ( + 7c + 9) 8 c ( = c c ) 2 ( ( c ) 8 c 6 c 2 log 7 + log c + 3 c ) 2 = = ( 7) 2 ( 7) 2 ( 7) 8 =, 6

7 perchè + =, otteniamo infine log( + 7x + 9) dx = 5 8 log (Punti 6) Determinare il comportamento della serie + n= n ( e 2 n cos 2 n ) 2 Svolgimento. Il termine racchiuso tra le parentesi è infinitesimo in quanto risulta e 2 n = e cos 2 =. n + n + n log 7. Stabiliamo il suo ordine di infinitesimo considerando gli sviluppi di Taylor delle funzioni che vi compaiono. e t = + t + 2 t2 + o(t 2 ). Quindi per t = n Mentre da e 2 2 n = n + 2 ( ) n + o 2 n 2 cos t = 2 t2 + 2 t + o(t 2 ) ricaviamo con t = 2 n cos 2 = 2 n n + 2 ( ) 3n + o. 2 n 2 Tenuto conto di queste eguaglianze otteniamo ( ) 2 ( e 2 2 n cos n = 3 n + o 2 ( )) 2 = 6 n 2 9 Il termine generale della serie si può quindi scrivere nella forma [ ( )] 6 a n = n 9 n + o = 6 n 9 n + o 3 n + o ( n 3 ). ( ). n Applichiamo il teorema del confronto asintotico confrontando a n con la serie armonica n 3 n o ( ) n 3 n 3 = 6 9. n 3 Possiamo concludere che la serie data è convergente, dato che si comporta come la serie armonica con esponente 3. 7

8 Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica ANALISI MATEMATICA Prova scritta del gennaio 207 Fila 2. Esporre il procedimento di risoluzione degli esercizi in maniera completa e leggibile.. (Punti 6) Determinare i valori di z C che verificano l equazione: e iz = i. 2. (Punti 9) Data la funzione f(x) = log ( e x 3 e x+2 ) a) (punti 3) determinare il suo campo di esistenza, segno, comportamento agli estremi del dominio ed eventuali asintoti; b) (punti 2) determinare gli intervalli di monotonia ed eventuali punti di massimo o di minimo relativo; c) (punti 2) determinare gli intervalli di concavitá e di convessitá; d) (punti 2) disegnare il suo grafico approssimato. 3. (Punti 2) Si consideri l integrale improprio log( + x + 6) a) (punti 3) dimostrare che esiste finito mediante mediante uno studio a priori; b) (punti 9) calcolarne il valore.. (Punti 6) Determinare il comportamento della serie + n= n 2 [ sin 2 2 n log ( + n 2 )] 8

9 RISOLUZIONE DEGLI ESERCIZI PROPOSTI. (Punti 6) Determinare i valori di z C che verificano l equazione: e iz = i. Svolgimento. (I metodo.) Posto z = x + iy, x, y R il primo membro dell equazione può essere espresso nella forma seguente e iz = e i(x+iy) = e ix y = e y (cos x + i sin x). di conseguenza l equazione diventa e y (cos x + i sin x) = i, e y cos x + i e y sin x = i Eguagliando rispettivamente la parte reale e qualla immaginaria del primo membro con quelle del secondo otteniamo il sistema e y cos x = 0 La prima equazione ammette come soluzioni e y sin x = x k = π 2 + k π, k Z. Le x k che verificano anche la seconda sono solo quelle per cui sin x k =, mentre deve essere y = 0. In definitiva l equazione ammette come soluzioni z k = 3π 2 + 2kπ, k Z. 2. Punti 9 C.E.: (, 3). Asintoto y = 3 x. f cresce su (, 32 [2 + log 3] ), decresce x 0 = 3 [2 + log 3] è punto di massimo assoluto. 2 f è convessa. Il grafico è simile a quello della Fila. 3. (Punti 2) Si consideri l integrale improprio ( 32 [2 + log 3], 3 ). log( + x + 6) 9

10 a) (punti 3) dimostrare che esiste finito mediante mediante uno studio a priori; b) (punti 9) calcolarne il valore. Svolgimento. (a) Osserviamo che la funzione integranda risulta positiva e continua su [, + ), inoltre per x che tende a + tende a zero. Infatti il logaritmo posto al numeratore è un infinito di ordine inferiore rispetto a qualunque potenza positiva di x. Valutiamo l ordine di infinitesimo mediante il teorema del confronto asintotico. Dato che al denominatore della funzione data compare, basterà effettuare il confronto con una funzione armonica che abbia esponente minore di due, ed ovviamente maggiore di uno, ad esempio, che è integrabile. f(x) x + log( + x + 6) = x + x 2 Da questo deduciamo che l infinitesimo al denominatore è più forte di quello al numeratore e quindi lo maggiora definitivamente a meno di una costante, ovvero esistono C > 0 e x 0 > tali che per ogni x > x 0 0 < log( + x + 6) < C, quindi, per il teorema del confronto, l integrale esiste finito. (b) Calcolo dell integrale. = 0 log( + x + 6) c log( + x + 6) dx = dx. Effettuiamo nell integrale il cambio di variabile t 2 = x + 6 x = t 2 6; dx = 2t dt, per x =, t = 7, per x = c, t = c + 6. Tenuto conto di questo otteniamo c log( + x + 6) c+6 2t dx = log( + t) 7 (t 2 6) dt. 2 Risolviamo integrando per parti( 2 ) f (x) = 2t (t 2 6) 2 = f(x) = t 2 6 ; g(x) = log( + t) = g (x) = + t. 2 b f (x)g(x) dx = [f(x) g(x)] b a b a a f(x) g (x) dx. 0

11 Quindi = { { [ t 2 6 ] c+6 log( + t) + 7 c log( + c + 6) + log( + 7) + } c+6 7 ( + t)(t 2 6) dt = c+6 7 ( + t)(t 2 6) dt = log( + c+6 7) + 7 ( + t)(t 2 6) dt = La funzione integranda è di tipo razionale. Utilizziamo il metodo di Hermite determinando le costanti reali A, B, C tali che ( + t)(t 2 6) = A t + Da cui B t + + C + t = A(t + )( + t) + B(t )( + t) + C(t2 6) ( + t)(t 2 6) = A(t + )( + t) + B(t )( + t) + C(t 2 6) Questa identità deve valere per ogni t R. Al fine di calcolare le costanti A, B, C possiamo assegnare quindi opportuni valori alla variabile t, in particolare assegneremo quelli che annullando alcuni dei binomi facilitano il calcolo. Per t = otteniamo A = questo possiamo scrivere 0, se t = otteniamo B = 2 } =, mentre per t =, C = 5. Per = 0 c+6 7 ( + t)(t 2 6) dt = c+6 7 t dt + c t + dt c t dt = = 0 [log t ] c [log t + ] c [log + t ] c+6 7 = = 0 log( c + 6 ) + 2 log( c ) 5 log( + c + 6) + = log ( c + 6 ) 0 ( c ) 2 ( + c + 6) 5 Tenuto conto che ( c + 6 ) 0 ( c ) 2 ( + c + 6) 5 0 log( 7 ) 2 log( 7 + ) + 5 log( + 7) = 0 log( 7 ) 2 log( 7 + ) + 5 log( + 7). c ( + 6 c c ) 0 ( c c ) 2 = =, ( c + + 6) 5 c 30 c

12 perchè + =, otteniamo infine log( + x + 6) dx = 0 log( 7 ) 2 log( 7 + ) log( + 7).. (Punti 6) Determinare il comportamento della serie + n= n 2 [ sin 2 2 n log ( + n 2 )] Svolgimento. Il termine racchiuso tra le parentesi è infinitesimo in quanto risulta 2 ( n + sin2 n = 0 e log + n ) = 0. n + 2 Stabiliamo il suo ordine di infinitesimo considerando gli sviluppi di Taylor delle funzioni che vi compaiono. sin t = t + 6 t3 + o(t 3 ). Quindi per t = 2 n Mentre da ricaviamo con t = n 2 sin 2 2 n = n ( ) 2 3n + o n log( + t) = t 2 t2 + o(t 2 ) log ( + n ) = n + 8n ( ) n + o. 2 2 Tenuto conto di queste eguaglianze otteniamo sin 2 2 n 2 log ( + n 2 ) = 20 3 n + o Il termine generale della serie si può quindi scrivere nella forma [ ( )] 20 a n = n 2 3 n + o = 20 n 3 n + o 2 ( ). n Dato che la serie risulta con termini definitivamente positivi, possiamo applicare il teorema del confronto asintotico confrontando a n con la serie armonica n 2 n o ( ) n 2 n 2 = n 2 Possiamo concludere che la serie data è convergente, dato che si comporta come la serie armonica con esponente 2. 2 ( n 2 ).

13 Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica ANALISI MATEMATICA Prova scritta del gennaio 207 Fila 3. Esporre il procedimento di risoluzione degli esercizi in maniera completa e leggibile.. (Punti 6) Determinare i valori di z C che verificano l equazione: e iz =. 2. (Punti 9) Data la funzione f(x) = log ( e x e x+ ) a) (punti 3) determinare il suo campo di esistenza, segno, comportamento agli estremi del dominio ed eventuali asintoti; b) (punti 2) determinare gli intervalli di monotonia ed eventuali punti di massimo o di minimo relativo; c) (punti 2) determinare gli intervalli di concavitá e di convessitá; d) (punti 2) disegnare il suo grafico approssimato. 3. (Punti 2) Si consideri l integrale improprio log( + x + ) a) (punti 3) dimostrare che esiste finito mediante mediante uno studio a priori; b) (punti 9) calcolarne il valore.. (Punti 6) Determinare il comportamento della serie + n= n 5 ( e 9 2n cos 3 n 2 ) 2 3

14 RISOLUZIONE DEGLI ESERCIZI PROPOSTI. (Punti 6) Determinare i valori di z C che verificano l equazione: Svolgimento. e iz =. (I metodo.) Posto z = x + iy, x, y R il primo membro dell equazione può essere espresso nella forma seguente e iz = e i(x+iy) = e ix y = e y (cos x + i sin x). di conseguenza l equazione diventa e y (cos x + i sin x) =, e y cos x + i e y sin x = Eguagliando rispettivamente la parte reale e qualla immaginaria del primo membro con quelle del secondo otteniamo il sistema e y cos x = La prima equazione ammette come soluzioni e y sin x = 0 x k = k 2π, k Z. Le x k che verificano anche la seconda sono solo quelle per cui sin x k = 0, mentre deve essere y = 0. In definitiva l equazione ammette come soluzioni z k = 2kπ, k Z. 2. Punti 9 C.E.: (, 3). Asintoto y = x. f cresce su (, 3 [ + log ] ), decresce x 0 = [ + log ] è punto di massimo assoluto. 3 f è convessa. Il grafico è simile a quello della Fila. 3. (Punti 2) Si consideri l integrale improprio ( ) 3 [ + log ],. 3 log( + x + )

15 a) (punti 3) dimostrare che esiste finito mediante mediante uno studio a priori; b) (punti 9) calcolarne il valore. Svolgimento. (a) Osserviamo che la funzione integranda risulta positiva e continua su [, + ), inoltre per x che tende a + tende a zero. Infatti il logaritmo posto al numeratore è un infinito di ordine inferiore rispetto a qualunque potenza positiva di x. Valutiamo l ordine di infinitesimo mediante il teorema del confronto asintotico. Dato che al denominatore della funzione data compare, basterà effettuare il confronto con una funzione armonica che abbia esponente minore di due, ed ovviamente maggiore di uno, ad esempio, che è integrabile. f(x) x + log( + x + ) = x + x 2 Da questo deduciamo che l infinitesimo al denominatore è più forte di quello al numeratore e quindi lo maggiora definitivamente a meno di una costante, ovvero esistono C > 0 e x 0 > tali che per ogni x > x 0 0 < log( + x + ) < C, quindi, per il teorema del confronto, l integrale esiste finito. (b) Calcolo dell integrale. = 0 log( + x + ) c log( + x + ) dx = dx. Effettuiamo nell integrale il cambio di variabile t 2 = x + x = t 2 ; dx = 2t dt, per x =, t = 5, per x = c, t = c +. Tenuto conto di questo otteniamo c log( + x + ) c+ 2t dx = log( + t) 5 (t 2 ) dt. 2 Risolviamo integrando per parti( 3 ) f (x) = 2t (t 2 ) 2 = f(x) = t 2 ; g(x) = log( + t) = g (x) = + t. 3 b f (x)g(x) dx = [f(x) g(x)] b a b a a f(x) g (x) dx. 5

16 Quindi = { { [ t 2 ] c+ log( + t) + 5 c log( + c + ) + log( + 5) + } c+ 5 ( + t)(t 2 ) dt = c+ 5 ( + t)(t 2 ) dt = log( + c+ 5) + 5 ( + t)(t 2 ) dt = La funzione integranda è di tipo razionale. Utilizziamo il metodo di Hermite determinando le costanti reali A, B, C tali che ( + t)(t 2 ) = A t 2 + Da cui B t C + t = A(t + 2)( + t) + B(t 2)( + t) + C(t2 ) ( + t)(t 2 ) = A(t + 2)( + t) + B(t 2)( + t) + C(t 2 ) Questa identità deve valere per ogni t R. Al fine di calcolare le costanti A, B, C possiamo assegnare quindi opportuni valori alla variabile t, in particolare assegneremo quelli che annullando alcuni dei binomi facilitano il calcolo. Per t = 2 otteniamo A =, se t = 2 otteniamo B =, mentre per t =, C =. Per 2 3 questo possiamo scrivere } = = 2 c+ 5 ( + t)(t 2 ) dt = c+ 5 t 2 dt + c+ 5 t + 2 dt c t dt = = 2 [log t 2 ] c+ 5 + [log t + 2 ] c+ 5 3 [log + t ] c+ 5 = = 2 log( c + 2) + log( c + + 2) 3 log( + c + ) + = log ( c + 2) 2 ( c + + 2) ( + c + ) 3 Tenuto conto che ( c + 2) 2 ( c + + 2) ( + c + ) 3 2 log( 5 2) log( 5 + 2) + 3 log( + 5) = 2 log( 5 2) log( 5 + 2) + 3 log( + 5). c ( + 2 c c ) 2 ( c c ) = =, ( c + + ) 3 c 6 c 6

17 perchè + =, otteniamo infine log( + x + ) dx = 2 log( 5 2) 2 log( 5 + 2) + 3 log( + 5).. (Punti 6) Determinare il comportamento della serie + n= n 5 ( e 9 2n cos 3 n 2 ) 2 Il termine racchiuso tra le parentesi è infinitesimo in quanto risulta 9 n + e 2n = e cos 3 n + n =. 2 Stabiliamo il suo ordine di infinitesimo considerando gli sviluppi di Taylor delle funzioni che vi compaiono. e t = + t + 2 t2 + o(t 2 ). Quindi per t = 9 2n e 9 2n = 9 2n + 8 ( ) 8n + o 8 n 8 Mentre da cos t = 2 t2 + 2 t + o(t ) ricaviamo con t = 3 n 2 cos 3 n = 9 2 2n + 27 ( ) 8n + o. 8 n 8 Tenuto conto di queste eguaglianze otteniamo ( e 9 2n cos 3 ) 2 [ 27 = n 2 n + o 8 ( )] 2 = 629 n 8 6 n 6 + o Il termine generale della serie si può quindi scrivere nella forma [ ( )] 629 a n = n 5 6 n + o = 629 ( ) 6 n 6 6 n + o. n n ( ). n 6 Dato che la serie risulta con termini definitivamente positivi, possiamo applicare il teorema del confronto asintotico confrontando a n con la serie armonica n o ( ) n n = 629 n + 6. Possiamo concludere che la serie data è divergente, dato che si comporta come la serie armonica con esponente. 7

18 Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica ANALISI MATEMATICA Prova scritta del gennaio 207 Fila. Esporre il procedimento di risoluzione degli esercizi in maniera completa e leggibile.. (Punti 6) Determinare i valori di z C che verificano l equazione: e iz =. 2. (Punti 9) Data la funzione f(x) = log ( e x 5 e x+2 ) a) (punti 3) determinare il suo campo di esistenza, segno, comportamento agli estremi del dominio ed eventuali asintoti; b) (punti 2) determinare gli intervalli di monotonia ed eventuali punti di massimo o di minimo relativo; c) (punti 2) determinare gli intervalli di concavitá e di convessitá; d) (punti 2) disegnare il suo grafico approssimato. 3. (Punti 2) Si consideri l integrale improprio log( + x + 25) a) (punti 3) dimostrare che esiste finito mediante mediante uno studio a priori; b) (punti 9) calcolarne il valore.. (Punti 6) Determinare il comportamento della serie + n= n 7 [ sin 2 3 n 2 log ( + 9 n )] 8

19 . (Punti 6) Determinare i valori di z C che verificano l equazione: Svolgimento. e iz =. Posto z = x + iy, x, y R il primo membro dell equazione può essere espresso nella forma seguente e iz = e i(x+iy) = e ix y = e y (cos x + i sin x). di conseguenza l equazione diventa e y (cos x + i sin x) =, e y cos x + i e y sin x = Eguagliando rispettivamente la parte reale e qualla immaginaria del primo membro con quelle del secondo otteniamo il sistema e y cos x = e y sin x = 0 La prima equazione ammette come soluzioni x k = π + k 2π, k Z. Le x k che verificano anche la seconda sono solo quelle per cui sin x k = 0, mentre deve essere y = 0. In definitiva l equazione ammette come soluzioni z k = π + k2π, k Z. 2. Punti 9 C.E.: (, 5 2). Asintoto y = 5 x. f cresce su (, 5 [2 + log 5] ), decresce x 0 = 5 [2 + log 5] è punto di massimo assoluto. f è convessa. Il grafico è simile a quello della Fila. ( 5 ) [2 + log 5], (Punti 2) Si consideri l integrale improprio log( + x + 25) a) (punti 3) dimostrare che esiste finito mediante mediante uno studio a priori; b) (punti 9) calcolarne il valore. 9

20 Svolgimento. (a) Osserviamo che la funzione integranda risulta positiva e continua su [, + ), inoltre per x che tende a + tende a zero. Infatti il logaritmo posto al numeratore è un infinito di ordine inferiore rispetto a qualunque potenza positiva di x. Valutiamo l ordine di infinitesimo mediante il teorema del confronto asintotico. Dato che al denominatore della funzione data compare, basterà effettuare il confronto con una funzione armonica che abbia esponente minore di due, ed ovviamente maggiore di uno, ad esempio, che è integrabile. f(x) x + log( + x + 25) = x + x 2 Da questo deduciamo che l infinitesimo al denominatore è più forte di quello al numeratore e quindi lo maggiora definitivamente a meno di una costante, ovvero esistono C > 0 e x 0 > tali che per ogni x > x 0 0 < log( + x + 25) < C, quindi, per il teorema del confronto, l integrale esiste finito. = 0 (b) Calcolo dell integrale. log( + x + 25) c log( + x + 25) dx = dx. Effettuiamo nell integrale il cambio di variabile t 2 = x + 25 x = t 2 25; dx = 2t dt, per x =, t = 26, per x = c, t = c Tenuto conto di questo otteniamo c log( + x + 25) c+25 2t dx = log( + t) 26 (t 2 25) dt. 2 Risolviamo integrando per parti( ) f (x) = 2t = f(x) = (t 2 25) 2 t 2 25 ; g(x) = log( + t) = g (x) = + t. b f (x)g(x) dx = [f(x) g(x)] b a b a a f(x) g (x) dx. 20

21 Quindi = { { [ t 2 25 ] c+25 log( + t) + 26 c log( + c + 25) + log( + 26) + } c ( + t)(t 2 25) dt = c ( + t)(t 2 25) dt = log( + c+25 26) + 26 ( + t)(t 2 25) dt = La funzione integranda è di tipo razionale. Utilizziamo il metodo di Hermite determinando le costanti reali A, B, C tali che ( + t)(t 2 25) = A t 5 + Da cui B t C + t = A(t + 5)( + t) + B(t 5)( + t) + C(t2 25) ( + t)(t 2 25) = A(t + 5)( + t) + B(t 5)( + t) + C(t 2 25) Questa identità deve valere per ogni t R. Al fine di calcolare le costanti A, B, C possiamo assegnare quindi opportuni valori alla variabile t, in particolare assegneremo quelli che annullando alcuni dei binomi facilitano il calcolo. Per t = 5 otteniamo A = questo possiamo scrivere 60, se t = 5 otteniamo B = 0 } =, mentre per t =, C = 2. Per = 60 c ( + t)(t 2 25) dt = c t 5 dt + c t + 5 dt c t dt = = 60 [log t 5 ] c [log t + 5 ] c [log + t ] c = = 60 log( c ) + 0 log( c ) 2 log( + c + 25) + = log ( c ) 60 ( c ) 0 ( + c + 25) 2 Tenuto conto che ( c ) 60 ( c ) 0 ( + c + 25) 2 60 log( 26 5) 0 log( ) + 2 log( + 26) = 60 log( 26 5) 0 log( ) + 2 log( + 26). c ( = c c ) 60 ( ( c c ) 2 c c + 5 c ) 0 =,

22 perchè + =, otteniamo infine log( + x + 25) dx = 60 log( 26 5) 0 log( ) log( + 26).. (Punti 6) Determinare il comportamento della serie Svolgimento + n= n 7 [ sin 2 3 n 2 log ( + 9 n )] Il termine racchiuso tra le parentesi è infinitesimo in quanto risulta 3 ( n + sin2 n = 0 e log + 9n ) = 0. 2 n + Stabiliamo il suo ordine di infinitesimo considerando gli sviluppi di Taylor delle funzioni che vi compaiono. sin t = t + 6 t3 + o(t 3 ). Quindi per t = 3 n 2 sin 2 3 n = 9 2 n 27 ( ) n + o 8 n 8 Mentre da log( + t) = t 2 t2 + o(t 2 ) ricaviamo con t = 9 n log ( + 9n ) = 9 n + 8 ( ) 2n + o. 8 n 8 Tenuto conto di queste eguaglianze otteniamo sin 2 3 n 2 log ( + 9 n ) n = 27 2 n + o 8 ( ). n 8 Il termine generale della serie si può quindi scrivere nella forma [ ( )] 27 a n = n 7 2 n + o = 27 ( ) 8 n 8 2 n + o. n Dato che la serie risulta con termini definitivamente positivi, possiamo applicare il teorema del confronto asintotico confrontando a n con la serie armonica n o ( ) n n = 27 n + 2. Possiamo concludere che la serie data è divergente, dato che si comporta come la serie armonica con esponente. 22

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