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1 Esempi di progetti e verifiche di sezioni rettangolari semplicemente inflesse tramite il metodo tabellare Il progetto e la verifica di sezioni rettangolari, sottoposte a sollecitazioni di flessione semplice retta, vengono condotte velocemente anche utilizzando opportune tabelle (vedere più avanti tabelle 10.2; 10.3; 10.4 e 10.5) che riportano, in termini adimensionali, e in funzione del rapporto meccanico dell armatura tesa : f b h f yd, f cd la posizione dell asse neutro x / h, il braccio della coppia resistente z / h, le deformazioni unitarie del conglomerato in compressione c ( ) sulla fibra più esterna e dell armatura in trazione f ( ), nonché il momento resistente adimensionale della sezione: M m Rd Rd ; b h 2 f cd dove, ai fini dei calcoli, per f cd si è considerato: f cd 0, 44 R ck. In particolare, nella tabella 10.2, relativa a sezioni rettangolari con sola armatura inferiore, i valori numerici si riferiscono ad acciai con resistenza caratteristica f yk 460 MPa ; mentre, le tabelle 10.3 fino a 10.5, relative a sezioni con armatura doppia, si riferiscono solo ad acciai con resistenza caratteristica a trazione pari a f yk 430 MPa. Si ricorda, infine, che l altezza utile h di una sezione rettangolare di area b H (vedere schema riassuntivo in figura ) è data dalla differenza dell altezza totale H della sezione con la distanza dei baricentri delle armature inferiori ( ) dai casseri. Inoltre, il braccio della forza resistente della sezione è misurato dalla distanza tra la retta di azione della risultante delle forze di compressione (conglomerato compresso e armature compresse) e la risultante delle forze di trazione (armature tese inferiori). Inserire figura: ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 10)\Figura 10_138.tif Figura Convenzioni e parametri di calcolo per il metodo tabellare. 525

2 Si riportano, di seguito, le tabelle 10.2; 10.3; 10.4 e m Rd f x z h h c 10 3 (compressioni) f ,01 0,0102 0,046 0,984 0,48 10,00 0,02 0,0205 0,066 0,977 0,70 10,00 0,03 0,0309 0,082 0,972 0,89 10,00 0,04 0,0414 0,095 0,967 1,05 10,00 0,05 0,0520 0,108 0,962 1,21 10,00 0,06 0,0627 0,119 0,957 1,36 10,00 0,07 0,0735 0,131 0,953 1,50 10,00 0,08 0,0843 0,141 0,948 1,65 10,00 0,09 0,0953 0,152 0,944 1,79 10,00 0,10 0,1064 0,162 0,939 1,94 10,00 0,11 0,1177 0,173 0,935 2,09 10,00 0,12 0,1291 0,184 0,930 2,25 10,00 0,13 0,1406 0,194 0,925 2,41 10,00 0,14 0,1523 0,205 0,919 2,58 10,00 0,15 0,1642 0,216 0,914 2,76 10,00 0,16 0,1762 0,228 0,908 2,95 10,00 0,17 0,1884 0,239 0,902 3,14 10,00 0,18 0,2008 0,251 0,897 3,35 10,00 0,19 0,2134 0,264 0,890 3,50 9,78 0,20 0,2263 0,280 0,884 3,50 9,02 0,21 0,2395 0,296 0,877 3,50 8,33 0,22 0,2529 0,312 0,870 3,50 7,71 0,23 0,2665 0,329 0,863 3,50 7,13 0,24 0,2804 0,346 0,856 3,50 6,60 0,25 0,2946 0,364 0,849 3,50 6,12 0,26 0,3091 0,382 0,841 3,50 5,67 0,27 0,3239 0,400 0,834 3,50 5,25 0,28 0,3391 0,419 0,826 3,50 4,86 0,29 0,3546 0,438 0,818 3,50 4,49 0,30 0,3706 0,458 0,810 3,50 4,15 0,31 0,3869 0,478 0, ,82 0,32 0,4038 0,499 0,793 3,50 3,52 0,33 0,4211 0,520 0,784 3,50 3,23 0,34 0,4391 0,542 0,774 3,50 2,95 0,35 0,4576 0,565 0,765 3,50 2,69 0,36 0,4768 0,589 0,755 3,50 2,44 0,37 0,4968 0,614 0,745 3,50 2,20 0,38 0,5177 0,640 0,734 3,50 1,97 Tabella 10.2 Dati relativi a sezione rettangolare con armatura semplice ( 0 e acciai qualunque con f yk 460 MPa. (trazioni) 0 ) e per 526

3 m Rd f x h z h c 10 3 (compressioni) f 10 3 (trazioni) 0,20 0,2166 0,215 0,923 2,74 10,00 0,22 0,2398 0,231 0,917 3,01 10,00 0,24 0,2634 0,248 0,911 3,29 10,00 0,26 0,2875 0,266 0,904 3,50 9,64 0,28 0,3120 0,289 0,897 3,50 8,61 0,30 0,3370 0,312 0,890 3,50 7,71 0,32 0,3625 0,336 0,883 3,50 6,92 0,34 0,3885 0,360 0,875 3,50 6,22 0,36 0,4150 0,384 0,868 3,50 5,60 0,38 0,4420 0,409 0,860 3,50 5,05 0,40 0,4696 0,435 0,852 3,50 4,54 0,42 0,4979 0,461 0,844 3,50 4,09 0,44 0,5268 0,488 0,835 3,50 3,67 0,46 0,5564 0,516 0,827 3,50 3,29 0,48 0,5869 0,544 0,818 3,50 2,94 0,50 0,6182 0,573 0,809 3,50 2,61 0,20 0,2128 0,177 0,940 2,15 10,00 0,22 0,2319 0,184 0,939 2,25 10,00 0,24 0,2531 0,189 0,938 2,33 10,00 0,26 0,2743 0,195 0,937 2,41 10,00 0,28 0,2954 0,203 0,935 2,54 10,00 0,30 0,3166 0,213 0,933 2,71 10,00 0,32 0,3377 0,224 0,930 2,88 10,00 0,34 0,3589 0,234 0,927 3,06 10,00 0,36 0,3800 0,245 0,925 3,24 10,00 0,38 0,4012 0,256 0,922 3,44 10,00 0,40 0,4223 0,269 0,919 3,50 9,52 0,42 0,4434 0,283 0,916 3,50 8,86 0,44 0,4646 0,298 0,913 3,50 8,26 0,46 0,4857 0,312 0,910 3,50 7,71 0,48 0,5068 0,327 0,907 3,50 7,21 0,50 0,5279 0,342 0,904 3,50 6,74 0,52 0,5490 0,357 0,901 3,50 6,32 0,54 0,5701 0,372 0,898 3,50 5,92 0,56 0,5912 0,387 0,895 3,50 5,55 0,58 0,6124 0,402 0,891 3,50 5,21 0,60 0,6335 0,417 0,888 3,50 4,89 0,20 0,2107 0,143 0,949 1,66 10,00 0,22 0,2319 0,146 0,949 1,71 10,00 0,24 0,2531 0,149 0,948 1,75 10,00 0,26 0,2743 0,151 0,948 1,78 10,00 0,28 0,2954 0,154 0,948 1,81 10,00 0,30 0,3166 0,156 0,948 1,84 10,00 0,32 0,3377 0,157 0,947 1,87 10,00 0,34 0,3589 0,159 0,947 1,89 10,00 0,36 0,3800 0,161 0,947 1,92 10,00 0,38 0,4012 0,162 0,947 1,94 10,00 0,40 0,4223 0,164 0,947 1,95 10,00 0,42 0,4434 0,165 0,947 1,97 10,00 1,00 0,50 0,25 527

4 0,44 0,4646 0,166 0,947 1,99 10,00 0,46 0,4857 0,167 0,947 2,00 10,00 0,48 0,5068 0,168 0,947 2,02 10,00 0,50 0,5279 0,169 0,947 2,03 10,00 0,52 0,5490 0,170 0,947 2,04 10,00 0,54 0,5701 0,171 0,947 2,06 10,00 0,56 0,5912 0,171 0,947 2,07 10,00 0,58 0,6124 0,172 0,947 2,08 10,00 0,60 0,6335 0,173 0,947 2,09 10,00 Tabella 10.3 Dati relativi a sezione rettangolare armata con armatura doppia, con acciai con f yk 430 MPa e con h / h 0,05. m Rd f x h z h c 10 3 (compressioni) f 10 3 (trazioni) 0,20 0,2203 0,224 0,908 2,88 10,00 0,22 0,2436 0,235 0,903 3,08 10,00 0,24 0,2674 0,251 0,897 3,34 10,00 0,26 0,2919 0,270 0,891 3,50 9,44 0,28 0,3170 0,294 0,883 3,50 8,42 0,30 0,3425 0,317 0,876 3,50 7,53 0,32 0,3684 0,341 0,869 3,50 6,75 0,34 0,3950 0,366 0,861 3,50 6,06 0,36 0,4220 0,391 0,853 3,50 5,45 0,38 0,4497 0,417 0,845 3,50 4,90 0,40 0,4780 0,443 0,837 3,50 4,40 0,42 0,5070 0,470 0,828 3,50 3,95 0,44 0,5367 0,497 0,820 3,50 3,54 0,46 0,5671 0,525 0,811 3,50 3,16 0,48 0,5985 0,554 0,802 3,50 2,81 0,50 0,6308 0,584 0,793 3,50 2,49 0,20 0,2186 0,198 0,915 2,47 10,00 0,22 0,2412 0,206 0,912 2,59 10,00 0,24 0,2639 0,213 0,909 2,70 10,00 0,26 0,2866 0,219 0,907 2,80 10,00 0,28 0,3092 0,225 0,905 2,90 10,00 0,30 0,3319 0,230 0,904 2,98 10,00 0,32 0,3546 0,235 0,902 3,06 10,00 0,34 0,3773 0,239 0,901 3,15 10,00 0,36 0,4007 0,250 0,898 3,34 10,00 0,38 0,4243 0,262 0,895 3,50 9,85 0,40 0,4482 0,277 0,892 3,50 9,14 0,42 0,4723 0,292 0,889 3,50 8,50 0,44 0,4965 0,307 0,886 3,50 7,91 0,46 0,5209 0,322 0,883 3,50 7,38 0,48 0,5455 0,337 0,880 3,50 6,89 0,50 0,5703 0,352 0,877 3,50 6,44 0,52 0,5953 0,368 0,874 3,50 6,02 0,54 0,6205 0,383 0,870 3,50 5,63 0,56 0,6459 0,399 0,867 3,50 5,27 0,58 0,6715 0,415 0,864 3,50 4,94 0,60 0,6973 0,431 0,860 3,50 4,63 0,50 0,25 528

5 0,20 0,2176 0,171 0,919 2,06 10,00 0,22 0,2400 0,175 0,917 2,12 10,00 0,24 0,2623 0,179 0,915 2,18 10,00 0,26 0,2846 0,182 0,914 2,23 10,00 0,28 0,3069 0,185 0,912 2,27 10,00 0,30 0,3292 0,188 0,911 2,31 10,00 0,32 0,3515 0,190 0,910 2,35 10,00 0,34 0,3739 0,193 0,909 2,38 10,00 0,36 0,3962 0,195 0,909 2,42 10,00 0,38 0,4185 0,196 0,908 2,44 10,00 0,40 0,4408 0,198 0,907 2,47 10,00 0,42 0,4631 0,200 0,907 2,50 10,00 0,44 0,4854 0,201 0,906 2,52 10,00 0,46 0,5077 0,203 0,906 2,54 10,00 0,48 0,5300 0,204 0,906 2,56 10,00 0,50 0,5523 0,205 0,905 2,58 10,00 0,52 0,5746 0,206 0,905 2,60 10,00 0,54 0,5969 0,207 0,905 2,61 10,00 0,56 0,6414 0,209 0,904 2,64 10,00 0,58 0,6414 0,209 0,904 2,64 10,00 0,60 0,6637 0,210 0,904 2,66 10,00 Tabella 10.4 Dati relativi a sezione rettangolare armata con armatura doppia, con acciai con f yk 430 MPa e con h / h 0,10. 1,00 m Rd f x h z h c 10 3 (compressioni) f 10 3 (trazioni) 0,20 0,2258 0,253 0,886 3,39 10,00 0,22 0,2511 0,271 0,876 3,50 9,41 0,24 0,2767 0,291 0,867 3,50 8,54 0,26 0,3027 0,310 0,859 3,50 7,78 0,28 0,3290 0,330 0,851 3,50 7,12 0,30 0,3557 0,349 0,843 3,50 6,52 0,32 0,3826 0,369 0,836 3,50 5,99 0,34 0,4099 0,388 0,829 3,50 5,51 0,36 0,4375 0,408 0,823 3,50 5,08 0,38 0,4661 0,432 0,815 3,50 4,60 0,40 0,4959 0,459 0,807 3,50 4,12 0,42 0,5264 0,488 0,798 3,50 3,68 0,44 0,5578 0,517 0,789 3,50 3,27 0,46 0,5902 0,547 0,779 3,50 2,90 0,48 0,6236 0,578 0,770 3,50 2,56 0,50 0,6581 0,610 0,760 3,50 2,24 0,20 0,2258 0,242 0,886 3,19 10,00 0,22 0,2508 0,252 0,877 3,38 10,00 0,24 0,2759 0,263 0,870 3,50 9,82 0,26 0,3012 0,275 0,863 3,50 9,24 0,28 0,3266 0,286 0,857 3,50 8,72 0,30 0,3521 0,298 0,852 3,50 8,25 0,32 0,3776 0,309 0,847 3,50 7,84 0,34 0,4033 0,319 0,843 3,50 7,46 0,36 0,4290 0,330 0,839 3,50 7,11 0,50 0,25 529

6 0,38 0,4548 0,340 0,835 3,50 6,80 0,40 0,4807 0,350 0,832 3,50 6,51 0,42 0,5066 0,359 0,829 3,50 6,24 0,44 0,5326 0,369 0,826 3,50 5,99 0,46 0,5587 0,378 0,823 3,50 5,76 0,48 0,5847 0,387 0,821 3,50 5,54 0,50 0,6109 0,396 0,818 3,50 5,34 0,20 0,2261 0,230 0,884 2,98 10,00 0,22 0,2509 0,236 0,877 3,10 10,00 0,24 0,2758 0,242 0,870 3,20 10,00 0,26 0,3008 0,247 0,864 3,29 10,00 0,28 0,3258 0,252 0,859 3,37 10,00 0,30 0,3508 0,256 0,855 3,44 10,00 0,32 0,3758 0,260 0,851 3,50 9,98 0,34 0,4009 0,264 0,848 3,50 9,75 0,36 0,4260 0,269 0,845 3,50 9,54 0,38 0,4511 0,273 0,842 3,50 9,34 0,40 0,4762 0,276 0,840 3,50 9,17 0,42 0,5013 0,280 0,838 3,50 9,00 0,44 0,5265 0,283 0,836 3,50 8,86 0,46 0,5516 0,286 0,834 3,50 8,72 0,48 0,5767 0,290 0,832 3,50 8,59 0,50 0,6018 0,292 0,831 3,50 8,47 0,52 0,6270 0,295 0,829 3,50 8,36 0,54 0,6521 0,298 0,828 3,50 8,25 Tabella 10.5 Dati relativi a sezione rettangolare armata con armatura doppia, con acciai con f yk 430 MPa e con h / h 0, 20. 1,00 ESEMPIO 1 (procedura di verifica). Sia data una trave di sezione 20 cm x 50 cm in c.a. confezionata con un conglomerato R ck 25 e con acciai ad aderenza migliorata con f yk 430 MPa. La sezione è armata con 2 12 e con 4 16 (vedere dettagli in figura ). Inserire figura: ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 10)\Figura 10_139.tif Figura Dettagli sezione da verificare. 530

7 Verificare a rottura la sezione sapendo che il momento flettente di servizio è stato valutato pari a: M serv 8tm 8, dancm. SOLUZIONE. Calcolo resistenze di progetto materiali: conglomerato: f cd 110 dan / cm 2 (tab. 9.2); acciai: f yd f yk 430 MPa 374 MPa. s 1,15 Calcolo altezza utile sezione: h H h (50 cm) (3,4cm) 46,60 cm ; avendo letto nella figura h 3,40 cm. Risulta, quindi: h (3, 40 cm) 0,07. h (46,60 cm) Per sicurezza, si utilizza la tabella 10.4 relativa a h / h 0,10. Calcolo sollecitazione flettente adimensionale: M m (8, dancm) 0,25. b h 2 f cd (20 cm) (46,60 cm) 2 (110daN / cm 2 ) Calcolo rapporto meccanico armatura inferiore effettiva: ( f ) eff (F ) f eff b h f yd 4 (2,01 cm 2 ) f cd (20 cm) (46,60 cm) (3740daN / cm 2 ) 0, 293 ; (110 dan / cm 2 ) Risultando: 2 (1,13 cm2 ) 0, 28, 4 (2,01cm 2 ) si assume per sicurezza / / 0, 25. Pertanto, dalla tabella 10.4 in corrispondenza di 0, 25 e di f 0,2119 < ( f ) eff 0,293 si legge: m Rd 0,26. Risultando m Rd 0,26 > m 0, 25, la sezione è verificata a rottura. Infine, in corrispondenza al valore m Rd 0,26, si leggono le deformazioni unitarie dei materiali: fibra di conglomerato maggiormente compressa: c 3,50 ; armature inferiori tese: f 9, 44. Si deduce che la sezione ricade all interno del campo di rottura 3, quasi in condizioni di massima duttilità. ESEMPIO 2 (progetto condizionato). Sia data una trave in c.a. di sezione 30 cm x 50 cm confezionata con un conglomerato R ck 25 e acciai ad aderenza migliorata con f yk 430 MPa. Supponendo che il ricoprimento delle armature più esterne sia pari a c 2,5 cm e che la staffatura prevista sia di diametro 8 mm, progettare le armature affinché la sezione presenti la massima duttilità possibile, se sottoposta ad una sollecitazione flettente di progetto pari a: M 28 tm 2, dancm. SOLUZIONE. Calcolo resistenze di progetto materiali: conglomerato: f cd 110 dan / cm 2 (tab. 9.2); acciai: f yd f yk 430 MPa 374 MPa. s 1,15 Calcolo (massima) distanza baricentri armature longitudinali dai casseri: 531

8 h c + staffe + long / 2 (2,5cm)+ (0,8cm)+ (2,6cm)/2 4,60 cm ; avendo supposto un diametro massimo delle barre longitudinali di 26 mm. Calcolo altezza utile (minima) sezione resistente: h H h (50 cm) (4,60 cm) 45,40 cm ; risultando: h (4,60 cm) 0,10. h (45, 40 cm) Si utilizzano i dati della tabella 10.4, relativi a 0,10. Calcolo sollecitazione flettente adimensionale di progetto: M m (2, dancm) 0,41. b h 2 f cd (30 cm) (45, 40 cm) 2 (110daN / cm 2 ) Volendo la massima duttilità per la sezione ( c 3,5 e f 10 ), in corrispondenza dei valori m Rd m 0, 41 si individua il particolare rapporto tra le armature / in corrispondenza del quale le deformazioni unitarie dei materiali si avvicinano maggiormente alla condizione di massima duttilità. In particolare, dai dati in tabella 10.4, si osserva che per rapporti / 0, 50 con m Rd 0,42 m 0,41 le deformazioni unitarie corrispondenti sono: c 3,5 e f 8, 50 < 10 (rottura nel campo 3, in condizioni di quasi massima duttilità perché l allungamento dell acciaio non è troppo lontano dal valore del 10 ). In corrispondenza, risulta un rapporto meccanico di armatura inferiore pari a: f 0,4723. Passando alle aree di armatura, si ha: f b h f cd f yd 0, 4723 (30 cm) (45,40 cm) (110daN / cm 2 ) (3740 dan / cm 2 ) 18,92 cm 2 ; 0, 50 0,50 (18,92 cm 2 ) 9, 46 cm 2. Si dispongono: (5,30 cm 2 ) 21,24 cm 2 > 18,92 cm 2 ; (5, 30 cm 2 ) 10,62 cm 2 > 9,46 cm 2. OSSERVAZIONI. Dai dati della tabella 10.4 è possibile adottare anche / 1,00 a cui corrisponde, per m Rd 0,42 m 0,41, un rapporto meccanico di armatura pari a f 0,4631 e con deformazioni unitarie: c 2, 5 < 3,5 e f 10. I quantitativi di armatura si calcolano: f b h f cd 0, 4631 (30 cm) (45, 40 cm) (110 dan / cm2 ) f yd (3740 dan / cm 2 ) 18,55 cm2. Realizzabili disponendo: (5, 30 cm 2 ) 21,24 cm 2 > 18,55 cm 2. In quest ultimo caso, la sezione può ritenersi più duttile della precedente (armata non simmetricamente) in quanto, anche se diminuisce l accorciamento del conglomerato compresso, l acciaio teso può raggiungere il massimo allungamento consentito. Si riporta, nella figura , una proposta di carpenteria esecutiva della sezione progettata. 532

9 Inserire figura: ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 10)\Figura 10_140.tif Figura Proposta di carpenteria esecutiva della sezione progettata. ESEMPIO 3 (progetto condizionato). Sia data una trave a spessore solaio di sezione 120 cm x 24 cm, confezionata con un conglomerato R ck 25 e con acciai ad aderenza migliorata con f yk 430 MPa. Si ipotizzi che il ricoprimento delle armature più esterne sia fissato a c 2,0 cm e che le armature al taglio siano previste del diametro di 8 mm. Progettare le armature della sezione (che si vogliono simmetriche) in modo che si abbia: c 3, 5 e f 10. La sollecitazione flettente di progetto è: M 12,5tm 1, dancm. SOLUZIONE. Calcolo resistenze di progetto materiali: conglomerato: f cd 110 dan / cm 2 (tab. 9.2); acciai: f yd f yk 430 MPa 374 MPa. s 1,15 Calcolo (massima) distanza baricentri armature longitudinali dai casseri: h c + staffe + long / 2 (2,0cm) + (0,8cm) + (2,6cm)/2 4,10 cm ; avendo supposto un diametro massimo delle barre longitudinali di 26 mm. Calcolo altezza utile (minima) sezione resistente: h H h (24 cm) (4,10 cm) 19,90 cm ; risultando: h (4,10 cm) 0, 21. h (19,90 cm) Si utilizzano i dati della tabella 10.5, relativi a 0,20. Calcolo sollecitazione flettente adimensionale di progetto: M m (1, dancm) 0, 24. b h 2 f cd (120 cm) (19,90 cm) 2 (110daN / cm 2 ) Dai dati riportati in tabella 10.5, si evince che per m Rd m 0, 24 si ha c 3,20 < 3, 5 e f 10 solo per rapporti / 1,00 con rapporto meccanico di armatura tesa pari a: f L area di armatura corrispondente risulta: f b h f cd f yd 0, 2758 (120 cm) (19, 90 cm) (110daN / cm2 ) (3740daN / cm 2 ) 19,37 cm 2. Si dispongono: (5, 30 cm 2 ) 21,24 cm 2 > 19,37 cm

10 La sezione risulta così verificata a rottura nel campo 2, in condizioni quasi al massimo della duttilità. Si riporta, nella figura , una proposta di carpenteria esecutiva della sezione progettata. Inserire figura: ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 10)\Figura 10_141.tif Figura Proposta di carpenteria esecutiva della sezione della trave a spessore progettata. ESEMPIO 4 (procedura di verifica). Sia data una trave a spessore in c.a. di sezione 120 cm x 24 cm, confezionata con un conglomerato R ck 25 e acciai ad aderenza migliorata con f yk 430 MPa. La sezione sia armata in modo simmetrico con 6 26 (vedere dettagli in figura ). Inserire figura: ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 10)\Figura 10_142.tif Figura Sezione trave a spessore da verificare. 534

11 Supponendo che l altezza utile della sezione sia pari a h 19,90 cm, verificare a rottura la sezione per una sollecitazione flettente di progetto pari a: M 24 tm 2, dancm. SOLUZIONE. Calcolo resistenze di progetto materiali: conglomerato: f cd 110 dan / cm 2 (tab. 9.2); acciai: f yd f yk 430 MPa 374 MPa. s 1,15 Calcolo distanza adimensionale baricentro armature longitudinali dai casseri: h h H h (24 cm) (19,9cm) 0, 21. h (19,9cm) Si utilizza la tabella 10.5, relativa a 0,20. Calcolo sollecitazione flettente adimensionale di progetto: M m (2, dancm) 0, 46. b h 2 f cd (120 cm) (19,90 cm) 2 (110daN / cm 2 ) Calcolo rapporto meccanico armatura inferiore effettiva: ( f ) eff (F ) f eff b h f yd 6 (5, 30 cm 2 ) f cd (120 cm) (19,9cm) (3740daN / cm2 ) 0, 45. (110daN / cm 2 ) Essendo la sezione armata con armatura doppia simmetrica, si deve prendere in considerazione la parte della tabella 10.5 relativa a / 1,00. In particolare, in corrispondenza di m Rd m 0, 46, risulta necessario un rapporto meccanico di armatura inferiore almeno pari a: f 0,5516. Risultando, però, ( f ) eff 0, 45 < f 0, 5516, la sezione non è verificata a rottura. OSSERVAZIONI. Si vuole far notare che la procedura di verifica appena illustrata è utile a livello operativo; in quanto, a rigore, il criterio di verifica a rottura di una sezione inflessa va eseguito controllando che risulti m Rd m. In particolare, nella tabella 10.5 (relativa a 0,20 e per armatura simmetrica) in corrispondenza del valore ( f ) eff 0,45 si legge m Rd 0,38. Pertanto, risultando m Rd 0,38 < m 0,46 la sezione risulta non verificata a rottura. Nota. Si riportano, di seguito, due esempi di procedura di progetto delle armature di una sezione presso-tensoinflessa, nell ipotesi che la sollecitazione di flessione sia predominante rispetto alla forza assiale di compressione (o trazione). Vale a dire, quando l eccentricità e M / N è abbastanza grande (e > h ), il calcolo della sezione presso-tensoinflessa si può trasformare, con buona approssimazione, in quello di una sezione inflessa con doppia armatura. ESEMPIO 5 (progetto condizionato). Un elemento strutturale pressoinflesso in c.a. di sezione 30 cm x 50 cm è sottoposto alle seguenti sollecitazioni di progetto: N 5t 5, dan (compressione); M 31 tm 3, dancm (tendente le armature inferiori ). Risulta: e M / N (31tm)/(5t) 6,2m> h. Si supponga che l elemento sia stato confezionato con un conglomerato R ck 25 e con acciai ad aderenza migliorata con f yk 430 MPa. Inoltre, si ipotizzi che il ricoprimento dell armatura più esterna sia pari a c 2,5 cm e che la staffatura sia prevista con barre di diametro 8 mm. 535

12 SOLUZIONE. Calcolo resistenze di progetto materiali: conglomerato: f cd 110 dan / cm 2 (tab. 9.2); acciai: f yd f yk 430 MPa 374 MPa. s 1,15 Calcolo distanza baricentro armature longitudinali dai casseri: h h c + staffe + long / 2 (2,5 cm) + (0,8 cm) + (2,6 cm)/2 4,60 cm ; avendo considerato, come diametro massimo delle barre longitudinali, il valore di 26 mm. Calcolo altezza utile (minima) della sezione resistente: h H h (50 cm) (4,60 cm) 45,50 cm ; risultando, quindi: h (4,60 cm) 0,10. h (45, 40 cm) Si utilizza la tabella 10.4, relativa a 0,10. Calcolo sollecitazioni adimensionali di progetto: N n (5, dan) 0, 03 ; b h f cd (30 cm) (45,4cm) (110daN / cm 2 ) M m (3, dan) 0,46. b h 2 f cd (30 cm) (45, 4cm) 2 (110daN / cm 2 ) Calcolo sollecitazione flettente adimensionale equivalente (1) (con h / h ): * m m + n 0,5 (1 ) 0, ,03 0, 5 (1 0,10) 0, 45. Armatura inferiore fittizia (vedere paragrafo ): * + N f yd + (5, dan) (3740daN / cm 2 ) + (1,34 cm 2 ). Assumendo / F * * f 1,00, nella tabella 10.4, per m Rd m 0, 45 risulta mediando: 0, , 5077 * f 0,50. 2 La relative armature risultano: 1,00 F * f * f b h f cd 0, 50 (30 cm) (45,4cm) (110daN / cm 2 ) f yd (3740 dan / cm 2 ) 20,03 cm 2. F * f (1, 34 cm 2 ) (20, 03 cm 2 ) (1,34 cm 2 ) 18,69 cm 2. Si dispongono (5, 30 cm 2 ) 21,24 cm 2 > 20,03 cm 2. Nella figura , si riporta una proposta di carpenteria esecutiva della sezione progettata. 1 * Relativamente al computo della sollecitazione flettente adimensionale equivalente m, si faccia riferimento a quanto detto a proposito delle equazioni parametriche (vedere, in particolare, il paragrafo ). 536

13 Inserire figura: ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 10)\Figura 10_143.tif Figura Carpenteria esecutiva della sezione pressoinflessa progettata. ESEMPIO 6 (progetto condizionato). Un elemento strutturale tensoinflesso in c.a. di sezione 30 cm x 50 cm è sottoposto alle seguenti sollecitazioni di progetto: N 30 t 3, dan (trazione); M 27 tm 2, dancm (tendente le armature inferiori ). Risulta: e M / N (27 tm)/ (30 t) 0,9m> h. Si supponga che l elemento sia stato confezionato con un conglomerato R ck 25 e con acciai ad aderenza migliorata con f yk 430 MPa. Inoltre, si ipotizzi che il ricoprimento dell armatura più esterna sia pari a c 2,5 cm e che la staffatura sia prevista con barre di diametro 8 mm. SOLUZIONE. Calcolo resistenze di progetto materiali: conglomerato: f cd 110 dan / cm 2 (tab. 9.2); acciai: f yd f yk 430 MPa 374 MPa. s 1,15 Calcolo distanza baricentro armature longitudinali dai casseri: h h c + staffe + long / 2 (2,5 cm) + (0,8 cm) + (2,6 cm)/2 4,60 cm ; avendo considerato, come diametro massimo delle barre longitudinali, il valore di 26 mm. Calcolo altezza utile (minima) della sezione resistente: h H h (50 cm) (4,60 cm) 45,50 cm ; risultando, quindi: h (4,60 cm) 0,10. h (45, 40 cm) Si utilizza la tabella 10.4, relativa a 0,10. Calcolo sollecitazioni adimensionali di progetto: N n ( 3, dan ) 0,20 ; b h f cd (30 cm) (45,4cm) (110daN / cm 2 ) M m (2, dan ) 0,40. b h 2 f cd (30 cm) (45, 4cm) 2 (110daN / cm 2 ) Calcolo sollecitazione flettente adimensionale equivalente (con h / h ): * m m + n 0,5 (1 ) 0, , 20 0,5 (1 0,10 ) 0,49. Armatura superiore fittizia (vedere paragrafo ): 537

14 * + N + (3, dan) f yd (3740daN / cm 2 ) F f + (8, 02cm 2 ). Assumendo * * / 1,00, nella tabella 10.4, per m Rd m 0, 49 risulta mediando: 0, ,5523 f 0, La relative armature risultano: f b h f cd 0, 541 (30 cm) (45,4cm) (110 dan / cm2 ) f yd (3740 dan / cm 2 ) 21,68 cm 2. * (8,02 cm 2 ) 1,00 (8,02 cm 2 ) (21,68 cm 2 ) (8,02 cm 2 ) 13,66 cm 2. Si dispongono: (5, 30 cm 2 ) 26, 55 cm 2 > 21,68 cm 2 ; (5,30 cm 2 ) 15,93 cm 2 > 13,66 cm 2. Nella figura , si riporta una proposta di carpenteria esecutiva della sezione progettata. Inserire figura: ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 10)\Figura 10_144.tif Figura Carpenteria esecutiva della sezione pressoinflessa progettata. 538

( dan) 0, 313 ; b h f cd

( dan) 0, 313 ; b h f cd ESEMPIO 17 (progetto condizionato). Progettare le armature di una trave di collegamento tra plinti di fondazione di sezione 40 cm x 45 cm, soggetta ad una trazione ultima di calcolo pari a: N 55 t 55000

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