TFA A048. Matematica applicata. Incontro del 28 aprile 2014, ore 15-17

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1 TFA A048. Matematica alicata Incontro del 8 arile 04, ore 5-7 Aunti di didattica della matematica alicata all economia e alla finanza. Alicazioni dell analisi (funzioni in iù variabili) a roblemi di Economia rof. Luigi Tomasi Argomento da svolgere nella classe Quinta. Richiede dei rerequisiti sia di matematica che di economia - funzioni di iù variabili - conoscenza del calcolo differenziale in una variabile - rinciali funzioni dell economia (funzione domanda, funzione offerta, ecc.) - funzioni marginali - elasticità di una funzione Abilità - saer costruire modelli matematici associati a contesti economici del tio: roduzione di imresa, utilità del consumatore; combinazione dei fattori roduttivi - imostare e analizzare i modelli matematici con gli strumenti forniti dall analisi matematica - saere ottimizzare la soluzione dei roblemi rendendo in considerazione i vincoli oerativi - saer effettuare e argomentare simulazioni di soluzioni alternative. Cometenze - Avere buona adronanza del concetto di funzione reale di due variabili e delle sue caratteristiche - Saer interretare i roblemi del contesto economico elaborando modelli descrittivi basati sulla ricerca del massimo e del minimo di funzioni - essere in grado di risolvere roblemi di economia, utilizzando gli strumenti matematici in modo manuale ed usando anche strumenti informatici. Funzioni marginali ed elasticità arziali di una funzione Per funzioni di due o iù variabili, come costi, ricavi, quantità rodotte, ecc. interessa conoscere quanto varia una funzione a causa di una variazione infinitesima di una variabile, mentre le altre variabili rimangono costanti. Se la funzione f è differenziabile (ertanto ammette derivate arziali rime contine), si definisce funzione marginale risetto a una variabile la derivata arziale rima della fuznione risetto a qurlla variabile. Consideriamo la funzione di roduzione Q = f ( K, L) Che esrime la quantità Q rodotta di un bene in funzione dei due fattori di roduzione K=caitale e L=lavoro.

2 f f Se la funzione f è differenziabile le due derivate arziali e sono dette risettivamente K L rodotto marginale del caitale e rodotto marginale del lavoro. Esse raresentano, arossimativamente, la variazione della quantità rodotta er una variazione di una unità, del caitale quando rimane costante o il lavoro L o il caitale K. Esemio Data la funzione Q = 30 KL K L (in unità convenzionali) Il rodotto marginale del caitale è dato da: Q = 30L K K E il rodotto marginale del lavoro è dato da: Q = 30K 4L. L Per un imiego di K=50 e di L=0, determinare quale fattore di roduzione influenza maggiormente la roduttività. Q = 00 K P 0 Mentre Q = 460 L P 0 Quindi la roduzione, con i dati assunti, è molto iù influenzata dalla variazione del fattore di roduzione L che dal fattore di roduzione K. Utilità del consumatore. Un altra alicazione delle derivate arziali si ha nello studio della funzione dell utilità del consumatore se si considerano n beni U = f x x x3 x n (,,,..., ) x i è la quantità dell i-esimo bene. Se la funzione U è derivabile, le derivate arziali singoli beni. i raresentano le utilità marginali riferite ai Esemio E assegnata la seguente funzione di utilità di un consumatore esressa risetto a due beni dei quali ha disonibilità U x α β = x con 0 < α < e 0 < β <. Le utilità marginali sono risettivamente = α x x α β utilità marginale del rimo bene

3 α β = β x x utilità marginale del secondo bene. Queste due funzioni sono entrambe decrescenti. Lo si dimostra derivando un altra volta, ad esemio U α β = = α ( α ) x x che è negativa, esseno α < 0. 3

4 Elasticità arziali Avevamo dato la seguente definizione er una funzione in una sola variabile f f variazione relativa di f = = =coefficiente di elasticità x variazione relativa di x x f valore marginale di f = x = =coefficiente di elasticità f valor medio di f x x f = f x Al limite si ottiene x df = = elasticità untuale f dx Se la funzione f è crescente, l elasticità è ositiva Se la funzione f è decrescente, l elasticità è negativa Per valutare la variazione della domanda risetto al rezzo, avevamo calcolato il coefficiente di elasticità, raorto tra la variazione relativa della domanda e la variazione relativa del rezzo. Se indichiamo con e i rezzi di uno stesso bene e con x e x le corrisondenti quantità domandate, la variazione relativa della domanda è definita come segue: x x x = x x e la variazione relativa dei rezzi come segue: = Si definisce coefficiente di elasticità relativa della domanda il raorto seguente: x x x x x x d = = = =coefficiente di elasticità rel. della domanda x x Al limite si ha dx d = =elasticità untuale della domanda x d in un unto di coordinate (, x) nel diagramma x ( sull asse delle ascisse e x sull asse delle ordinate). Di solito si considera l esressione d Se < la domanda è rigida o non elastica d Se d = la domanda è anelastica o unitaria Se d > la domanda si dice elastica- Il coefficiente di elasticità varia da unto a unta della curva della domanda. 4

5 Il coefficiente di elasticità si estende alle funzioni di iù variabili Sia z = f ( x, x, x3,..., x n ) una funzione differenziabile. Si definisce grado di elasticità arziale di z risetto a una variabile x i, il seguente raorto. zx i z i xi z valore marginale di z risetto a xi = = = =grado di elasticità arziale z z xi valor medio di z risetto a xi x i Di solito si considera l esressione zx i Se zx i < la funzione è non elastica Se zx i = la funzione è elastica unitaria Se zx i > la funzione dice elastica. Esemio 3 La domanda di un bene è funzione del rezzo e del reddito dei consumatori secondo la legge: q = , 0Y dove = rezzo del bene Y= reddito Trovare l elasticità della domanda risetto al rezzo e verificare che è negativa. q q = q Qual è il significato? Determinare l elasticità della domanda risetto al debito q Y qy = Y q e verificare che è ositiva. Verificare er i seguenti valori: =00, Y=6000. Poiché risulta < la domanda risulta non elastica risetto al rezzo. Stesso risetto al reddito. q Se si one =300 e Y=6000, la domanda risulta elastica risetto al rezzo. La domanda di un bene uò essere funzione, oltre che del rezzo del bene stesso e del reddito, anche del rezzo di altri beni. L elasticità arziale della domanda di un bene risetto al rezzo di un altro bene è detta, in economia, elasticità incrociata. I beni sono distinti in - succedanei o surrogati, se un bene uò sostituirne un altro - comlementari, come ad esemio la benzina e l automobile (elasticità incrociata negativa). Se tra due beni non esiste relazione, l elasticità incrociata è nulla. 5

6 Esemio 4 La domanda di un bene è funzione del rezzo del bene stesso, del rezzo di un altro bene e del reddito del consumatore, secondo la legge: q = ,0Y dove q è la quantità richiesta del rimo bene, è il rezzo del rimo bene, è il rezzo del secondo bene ed Y è il reddito. Calcolare le elasticità arziali. q q = q q q q = = 0,45 Caso numerico Posto =300, =50, Y=5000, si ha q =00. Calcolare le elasticità. 6

7 Massimo rofitto di un imresa Si definisce utile netto o rofitto la differenza tra il ricavo totale e il costo totale Π = R C Profitto di una imresa in un mercato di concorrenza erfetta Un imresa roduce due beni in un mercato di concorrenza erfetta q, q ai rezzi,. Nota la funzione costi C(q,q), determiniamo la combinazione roduttiva che consente il massimo utile. La funzione ricavo risulta R = q + q La funzione rofitto o utile da massimizzare è data da Π = R C = q + q C( q, q ) Esemio Un imresa roduce due beni e li vende in un mercato di concorrenza erfetta ai rezzi =30, =50. Suoniamo che il costo congiunto er la roduzione dei due beni sia dato dalla funzione C( q, q ) = q + q q + q. Determinare la combinazione roduttiva che massimizza il rofitto. Ricaviamo le derivate arziali rime. Candidato=(0,00) Si determina l hessiano. Si trova il massimo. Profitto di una imresa in condizioni di monoolio Consideriamo ora il roblema di determinare il massimo rofitto di un imresa che roduce due beni e li vende in condizione di monoolio. In questa condizione i rezzi non sono costanti ma diendono dalle funzioni di domanda dei due rodotti (che ossono essere comlementari o surrogati). Esemio Le due leggi della domanda sono q = q = Il costo di roduzione è di 80 er ogni unità del rimo rodotto e di 30 er ogni unità del secondo rodotto. Determinare la combinazione roduttiva che consente il massimo utile. Ricaviamo i rezzi in funzione delle quantità q e q. La funzione che esrime il rofitto è 7

8 Π = R C = q + q C ( ) = q + q q + q Π( q, q ) Si determinano le derivate arziali rime e oi con l hessiano il unto di massimo. Profitto di un imresa che vende un rodotto in due mercati diversi in regime di monoolio Un roduttore vende uno stesso rodotto in regime di monoolio su due mercati searati, a rezzi diversi oure uguali. Si devono determinare le quantità q e q dello stesso rodotto che deve immettere sui due mercati in modo che il rofitto sia massimo, tenendo conto che, in generale, le leggi della domanda nei due mercati sono diverse. Esemio 3 Un imresa vende uno stesso rodotto in due mercati searati in cui le leggi della domanda sono date da q = 334 0, 4 q = 0, dove q e q sono le domande e e sono i rezzi. Suoniamo che il costo totale di roduzione sia esresso dalla relazione C = q + 0, q dove q = q + q. Il roblema consiste nel massimizzare il seguente rofitto: Π = q + q C. Caso con rezzi diversi. Caso con rezzi uguali. 8

9 3. Massimo dell utilità di un consumatore con il vincolo del bilancio Riguarda le scelte del consumatore di beni e servizi. Limitiamo lo studio a soli due beni A e B le cui quantità, indicate con x e x, formano il cosiddetto aniere di consumo. Per rocurarsi i due beni, il consumatore ha a disosizione una somma B di denaro, detta nella teoria economica, bilancio. Se e sono i rezzi dei due beni, il vincolo del bilancio è esresso x + x = B Tra i vari anieri che soddisfano il vincolo del bilancio, il consumatore sceglie quello di utilità massima. La funzione utilità associa a ogni aniere un valore numerico. Nella teoria economica si usano varie funzioni utilità, con la condizione che siano differenziabili e tali che > 0 Il roblema consiste nel trovare il massimo della funzione U = U( x, x) con il vincolo di bilancio x + x = B Utilizzando il metodo dei moltilicatori di Lagrange, la funzione lagrangiana è data da ( ) Z( x, x, λ) = U( x, x ) + λ B x x Calcolando le derivate arziali e onendole uguali a zero (6,, 6). λ = 0 x U 0 x λ = x + x = B Dalle rime due equazioni si ricava Si ottiene quindi che = = λ Per massimizzare l utilità, il consumatore deve distribuire il suo bilancio in modo che sia uguale, er ogni bene, il raorto tra l utilità marginale e il rezzo del bene. 9

10 In Economia di referisce usare il metodo di Lagrange er determinare il valore di λ, che misura, la sensibilità della soluzione. Esemio Determinare il massimo della funzione di utilità U = x + x + ( )( ) dove x e x sono le quantità dei due beni i cui costi sono = e = 3 (in unità convenzionali) se si ha a disosizione B = 65. Quindi il vincolo di bilancio diventa x + 3x = 65. Si scrive la funzione lagrangiana. Si ricavano le derivate arziali. Si calcola l hessiano orlato e si trova il massimo della funzione. Il valore di λ nel unto di massimo viene anche interretato come utilità marginale della moneta quando sia da massimizzare l utilità del consumatore. Nello studio della funzione utilità U = U ( x, x) si trova in economia un efficace visualizzazione della funzione mediante le linee di livello. Infatti le curve di equazione U( x, x ) = costante sono dette in economia curve di indifferenza erché ognuna di esse è la raresentazione di tutte le ( x, x ) delle quantità acquistate dei due beni che lasciano invariata l utilità e che, combinazioni quindi, raresentano consumi indifferenti. Nella teoria economica si ricava che le curve di indifferenza hanno la concavità rivolta verso l alto, con andamento decrescente, tali che er ogni unto ne assa una e una sola e che al crescere di U si allontanano dall origine (vedi figura). 0

11 Un altra imortante rorietà delle curve di indifferenza si ricava differenziando la funzione U = U( x, x ) che abbiamo suosto continua e differenziabile du = dx + dx Su una curva di indifferenza si ha du = 0. Dalla relazione du = dx + dx se x si ricava dx dx 0 = U Ne segue che la tangente in un unto P a una curva di indifferenza ha er endenza il raorto tra le utilità marginali cambiato di segno. Questo raorto, in economia, viene detto tasso marginale si sostituzione dei due beni e raresenta la quantità infinitesima del secondo bene che il consumatore è disosto a cedere er acquistare una quantità del rimo bene, e viceversa, mantenendo costante l utilità. D altra arte, nella ricerca dei massimi e dei minimi vincolati con le linee di livello, si deve determinare la linea di livello tangente alla retta del vincolo. Se l equazione del bilancio x + x = B, la scriviamo nella forma: x = x + B si deduce che la condizione necessaria er il massimo vincolato è data da

12 = U = e si ritrova la relazione che avevamo ricavato con il metodo dei moltilicatori di Lagrange. Esemio Risolvere geometricamente, mediante le curve di indifferenza, il roblema del recedente esemio.

13 4. Combinazione ottima dei fattori di roduzione Esaminiamo in questo aragrafo due roblemi tiici che un imresa deve risolvere er determinare la combinazione ottima dei fattori di roduzione. Tra i fattori di roduzione si considerano in modo secifico il caitale imiegato K e la quantità di lavoro L utilizzata. Gli economisti hanno trovato numerose funzioni er esrimere il legame tra K, L e Q (quantità di bene rodotto). La funzione di roduzione è data dal massimo rodotto che si uò ottenere dalle diverse combinazioni di caitale e lavoro: Q = f ( K, L) Queste funzioni, che raresentano dei modelli teorici, devono essere continue con le loro derivate rime e seconde e si richiede che er la natura economica dei dati, che il rodotto marginale del caitale e quello del lavoro siano ositivi e decrescenti. Si ottiene quindi: Q > 0 K Q > 0 L Q K < 0 Q L < 0 Le linee di livello di queste funzioni sono chiamati isoquanti erché ognuna di esse Raresenta tutte le combinazioni (L,K) di lavoro e caitale che lasciano invariata Q. Per le iotesi fatte, le curve isoquanti sono nel I quadrante, decrescenti, concave verso l alto e tali che al crescere di Q si allontanano dall origine. In economia si usa la endenza della retta tangente in un unto P a un isoquanto, detto tasso tecnico marginale di sostituzione, il cui valore si ricava differenziando la funzione di roduzione: 3

14 Q dq = dk + dl K L Lungo un isoquanto si ha dq = 0 e quindi si ricava Q dl = L dk K Di uso frequente in economia è la funzione di Cobb-Douglas esressa da: Q = A K α L β con 0 < α < e 0 < β < e A è una costante ositiva diendente dal livello tecnologico dell azienda. Se α + β = si ha la funzione di roduzione di Cobb-Douglas in senso stretto; negli altri casi si ha la funzione di roduzione di Cobb-Douglas generalizzata. I roblemi che si ossono resentare sono due: - minimizzare il costo totale dei fattori di roduzione (inut) er rodurre una quantità refissata di un bene (outut) oure -massimizzare la roduzione a un livello di costi refissato. Primo roblema- Minimo costo di roduzione con il vincolo della roduzione refissata Q Si vuole minimizzare la funzione del costo Secondo roblema- Massima la roduzione a un livello di costi refissato. Libri di testo consultati - Annamaria Gambotto Manzone, Bruna Consolini, Nuovo matematica con alicazioni informatiche, vol., vol., vol. 3 Per gli Istituti Tecnici Settore Economico Tramontana RCS, Milano -Bergamini, Trifone, Barozzi, Matematica.Rosso, vol.3, vol.4, vol.5 Zanichelli Bologna -Manfredi Toscano, Math.rosso. vol., vol., vol.3 Ghisetti & Corvi, Milano. 4