I metodi di valutazione degli interventi Parte prima: l analisi finanziaria

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1 Corso di Traspori Urbani e Meropoliani prof. ing. Pierluigi Coppola I meodi di valuazione degli inerveni Pare prima: l analisi finanziaria 1

2 La valuazione degli inerveni Esame e confrono di inerveni (progei) alernaivi sulla base dei loro effei in funzione degli obieivi e dei vincoli del decisore. SCOPO: fornire un supporo per le decisioni. La valuazione dipende dagli obieivi che il decisore si prefigge con l inerveno e dai vincoli cui è sooposo: quesi possono essere moleplici e alora conrasani per lo sesso decisore o per i diversi decisori coinvoli nella realizzazione di un inerveno sul sisema di rasporo. Esempio: differenza fra analisi finanziaria (oica privaa) ed economica (oica pubblica) degli inerveni. 2

3 La valuazione degli inerveni Analisi finanziaria Oica privaa o privaisica OBIETTIVO: MASSIMIZZAZIONE DEL PROFITTO VINCOLI: legislazione e normaive I benefici ed i cosi sono esprimibili in ermini moneari: i benefici sono composi dai ricavi consegueni alla vendia del servizio di rasporo e dalle evenuali sovvenzioni e rimborsi; i cosi sono i diversi cosi finanziari connessi alla produzione del servizio quali il coso di cosruzione, i cosi per la manuenzione e l esercizio, le impose, le asse ec. 3

4 Analisi Finanziaria Definizione: Deerminare, araverso opporune analisi, le previsioni sui flussi di cassa del progeo per calcolare opporuni indici di rendimeno (ad esempio, SRIF e VANF) Linee guida in: Guida all analisi cosi-benefici dei progei d invesimeno ; Commissione Europea (2003). Si aricola nelle segueni fasi: Analisi dei flussi di cassa Enrae: foni di invesimeno, vendie, presii; Uscie: cosi d invesimeno, cosi d esercizio, ineressi, rimborso presii, impose; Sosenibilià finanziaria Calcolo degli indicaori finanziari: VANF e SRIF 4

5 Analisi dei flussi di cassa Individuazione delle enrae e delle uscie finanziarie per ogni anno di cosruzione e di esercizio dell inerveno La differenza ra enrae e uscie fornisce il Flusso di Cassa annuo (FdC) Enraa in funzione dell esercizio Rif Voce di bilancio Anni Toale foni di finanziameno Vendie Toale enrae Toale cosi di esercizio Cosi oali di invesimeno Ineressi Liquidazioni Rimborso presii Impose Toale uscie Toale FdC Toale FdC cumulao

6 Analisi dei flussi di cassa Foni di finanziameno Anni Rif Voce di bilancio Capiale privao Livello locale Livello regionale Livello cenrale Toale conribuo pubblico Sussidio europeo Alre risorse finanziarie Presii Toale foni di finanziameno

7 Analisi dei flussi di cassa Cosi di esercizio Rif Voce di bilancio Anni Maerie prime Lavoro Energia elerica Combusibile Manuenzioni Spese generali indusriali Spese di amminisrazione Spese di vendia Toale cosi d'esercizio

8 Analisi dei flussi di cassa Cosi di invesimeno Rif Voce di bilancio Anni Terreni Fabbricai Impiani nuovi Impiani usai Manuenzione sraordinaria Invesimeni fissi Licenze Brevei Spese pre-produzione Cosi di avviameno Cosi di invesimeno Cassa (+) Clieni (+) Score (+) Passivo correne (-) Capiale circolane neo Variazioni capiale circolane Ripiazzo impiani obsolei Valore residuo Alre voci di invesimeno Cosi oali di invesimeno

9 Analisi dei flussi di cassa Ineressi, liquidazioni, rimborso del presio e impose Rif Voce di bilancio Anni Toale foni di finanziameno Vendie Toale enrae Toale cosi di esercizio Cosi oali di invesimeno Ineressi Liquidazioni Rimborso presii Impose Toale uscie Toale FdC Toale FdC cumulao

10 Analisi dei flussi di cassa Ineressi, liquidazioni, rimborso del presio e impose Rif Voce di bilancio Anni Toale foni di finanziameno Vendie Toale enrae Toale cosi di esercizio Cosi oali di invesimeno Ineressi Liquidazioni Rimborso presii Impose Toale uscie Toale FdC Toale FdC cumulao Dipendono dalle poliiche di Piano di Rimborso 10

11 Analisi dei flussi di cassa Ineressi, liquidazioni, rimborso del presio e impose Rif Voce di bilancio Anni Toale foni di finanziameno Vendie Toale enrae Toale cosi di esercizio Cosi oali di invesimeno Ineressi Liquidazioni Rimborso presii Impose Toale uscie Toale FdC Toale FdC cumulao Dipendono dalle poliiche di ammorameno 11

12 Analisi dei flussi di cassa Ineressi, liquidazioni, rimborso del presio e impose Rif Voce di bilancio Anni Toale foni di finanziameno Vendie Toale enrae Toale cosi di esercizio Cosi oali di invesimeno Ineressi Liquidazioni Rimborso presii Impose Toale uscie Toale FdC Toale FdC cumulao Derivano dai dai previsionali di bilancio (Cono Economico previsionale) 12

13 SOSTENIBILITÀ FINANZIARIA La sosenibilià finanziaria di un progeo è verificaa se il flusso di cassa (enrae finanziarie - uscie finanziarie) cumulao è sempre posiivo durane gli anni della via uile del progeo. Rif Voce di bilancio Anni Toale foni di finanziameno Vendie Toale enrae Toale cosi di esercizio Cosi oali di invesimeno Ineressi Liquidazioni Rimborso presii Impose Toale uscie Toale FdC Toale FdC cumulao

14 CALCOLO DEGLI INDICATORI FINANZIARI L aualizzazione (1/2) Definie le enrae e le uscie finanziarie anno per anno, i diversi progei alernaivi sono confronai uilizzando degli indicaori sineici. Problema: confronare flussi di cassa relaivi ad anni diversi. Tasso di aualizzazione o di scono r, incremeno percenuale di valore una somma M dopo un anno: r M 1 M M 14

15 CALCOLO DEGLI INDICATORI FINANZIARI L aualizzazione (2/2) r 1 M 1 M M 1 M M r Il valore M, dopo anni, di una somma M o disponibile oggi può essere calcolao come: M M 1 o r dalla quale consegue che il valore auale M o di una somma M spesa o incassaa fra anni è: M o M 1 r 15

16 CALCOLO DEGLI INDICATORI FINANZIARI Gli indicaori sineici Per il confrono fra i flussi di cassa per i diversi inerveni, gli indicaori più uilizzai sono: 1. Valore Auale Neo Finanziario (VANF) 2. Saggio di Rendimeno Inerno Finanziario (SRIF) 16

17 CALCOLO DEGLI INDICATORI FINANZIARI Gli indicaori sineici 1. Valore Auale Neo Finanziario (VANF) Ripora all anno iniziale i flussi di cassa (FdC ) agli anni calcolai per un periodo di T anni come: VANF ( r) T FdC r 1 1 L inerveno è finanziariamene conveniene se il suo VAN è posiivo; L inerveno i è preferibile all inerveno j se VAN i > VAN j. 17

18 CALCOLO DEGLI INDICATORI FINANZIARI Gli indicaori sineici 2. Saggio di Rendimeno Inerno Finanziario (SRIF) Valore del asso di scono r o che annulla il VANF calcolao in un periodo di T anni: SRIF i = r o ; VANF i (r o ) = 0 l inerveno i è preferibile all inerveno j se SRI i > SRI j. 18

19 Pare seconda: l analisi economica 19

20 La valuazione degli inerveni Esame e confrono di inerveni (progei) alernaivi sulla base dei loro effei in funzione degli obieivi e dei vincoli del decisore. SCOPO: fornire un supporo per le decisioni. La valuazione dipende dagli obieivi che il decisore si prefigge con l inerveno e dai vincoli cui è sooposo: quesi possono essere moleplici e alora conrasani per lo sesso decisore o per i diversi decisori coinvoli nella realizzazione di un inerveno sul sisema di rasporo. Esempio: differenza fra analisi finanziaria (oica privaa) ed economica (oica pubblica) degli inerveni. 20

21 La valuazione degli inerveni Analisi economica Oica pubblica (colleivià divisa in gruppi di ueni, operaori pubblici, non ueni) OBIETTIVI: moleplici e differenziai per i diversi operaori: min coso generalizzao di rasporo; min inquinameno; min disoccupazione; max accessibilià; min defici di bilancio. VINCOLI: budge disponibile, legislazione, normaive 21

22 Fasi del processo di valuazione La valuazione può essere, in generale, scomposa in re fasi logicamene successive: 1. INDIVIDUAZIONE degli effei, o impai, rilevani per il decisore o i decisori rispeo agli obieivi dell inerveno; 2. IDENTIFICAZIONE delle variabili quaniaive e qualiaive (indicaori di presazione) rappresenaive degli impai sessi e sima delle rispeive variazioni aribuibili all inerveno; 3. CONFRONTO dei piani alernaivi sulla base dei rispeivi impai. 22

23 Individuazione degli effei rilevani La definizione degli effei rilevani per un inerveno sul sisema di rasporo è il principale indicaore dell oica e della ampiezza della aivià di valuazione. IMPATTI INTERNI PER GLI UTENTI DEL SISTEMA DI TRASPORTO: Impai considerai per il complesso degli ueni, calcolando le variazioni dei cosi generalizzai, percepii e non: per i diversi modi di rasporo per le diverse classi di ueni (segmeni di mercao) PER GLI OPERATORI: I cosi di cosruzione, manuenzione ed esercizio, calcolai a prezzi di mercao, vengono scomposi nelle risorse impiegae (non sempre il prezzo di mercao delle varie risorse riflee il loro effeivo valore per la colleivià). 23

24 Individuazione degli effei rilevani IMPATTI ESTERNI Uleriore ampliameno dello spero degli effei considerai: Effei di diversa naura sui membri della colleivià non direamene ineressai dal servizio di rasporo (non ueni). Impai economici Impai errioriali Impai sociali Impai ambienali 24

25 Individuazione degli effei rilevani Impai economici: variazioni di sao del sisema economico inrodoe dall inerveno in esame (direamene misurabili in ermini moneari). Impai errioriali: impai sull uso del erriorio (es., la rilocalizzazione di residenze e aivià economiche indoe dalle variazioni dei differenziali di accessibilià delle diverse zone dell area di sudio). Impai sociali: variazioni delle relazioni fra le persone e le isiuzioni sociali inrodoe dagli inerveni sul sisema di rasporo. Impai ambienali: effei dell inerveno sull ambiene fisico: - effei sull ecosisema; - effei sull inquinameno acusico, amosferico e visivo. 25

26 CLASSIFICAZIONE DEGLI EFFETTI PER LA VALUTAZIONE DI UN SISTEMA DI TRASPORTO Classificazione degli effei * Ueni (per classe) - Variazione di uilià nea (surplus) percepia dagli ueni dell inero sisema di rasporo - Variazione di cosi non percepii * Amminisrazioni e Aziende (per ciascun operaore coinvolo) - Variazioni della quanià di risorse (mano d opera, maeriali, capiale) e dei cosi necessari per la cosruzione delle infrasruure, l acquiso dei veicoli e dei sisemi di conrollo (invesimeni) - Variazioni delle risorse e dei cosi per la manuenzione delle infrasruure e delle ecnologie - Variazioni delle risorse e dei cosi per la gesione dei servizi di rasporo - Cosi di esproprio e riallocazione - Variazioni di ricavi della vendia di servizio - Variazione di asse pagae dagli ueni del sisema di rasporo (carburani, lubrificani ec.) e dai non ueni (proprieà ec.) - Variazioni di rasferimeni fra le diverse amminisrazioni * Non ueni del sisema di rasporo Impai Economici e Terrioriali - Variazioni degli impai economici della incidenalià - Variazioni della produzione dei diversi seori economici - Variazioni dei valori immobiliari - Variazioni di uso degli immobili e rilocalizzazione di residenze e aivià economiche Impai Sociali - Variazione di accessibilià alle aivià sociali (scuola, cenri sociali e religiosi, aivià ricreaive ec.) - Modifiche nella sruura e nella coesione di comunià locali - Variazioni degli effei sociali della incidenalià Impai Ambienali - Modifiche dell ecosisema - Variazioni di inquinameno acusico e amosferico - Variazioni di inrusione visiva 26

27 Idenificazione e previsione degli indicaori di presazione Gli effei di un progeo di sisema di rasporo vengono rappresenai da un insieme di variabili noe come indicaori di presazione. Gli effei di un progeo sono valuai in ermini differenziali : variazioni delle variabili e degli indicaori che li sineizzano fra lo sao di Progeo del sisema (P) e quello di Non Progeo (NP) (che include la realizzazione di inerveni già decisi e non soggei a valuazione). I diversi impai di un inerveno si verificano nel empo in modo differenziao: gli indicaori di presazione vanno calcolai per i diversi sooperiodi significaivi di funzionameno del sisema. Convenzionalmene si fa riferimeno agli anni di via economica del progeo scomposi nei sooperiodi per quali si assume un funzionameno sazionario. 27

28 Processo di previsione degli impai Infrasruure Fabbisogno di mezzi e ecnologie Modello dei cosi di invesimeno Cosi di Invesimeno Servizi Sruura Tariffaria Progeo Sisema di modelli di - domanda - offera - assegnazione Scenario di evoluzione del sisema socio-economico e errioriale Flussi sugli archi Domanda di rasporo/o/d per modo /servizio e percorso Effei eserni Modelli di presazione Ricavi del raffico Effei per gli ueni Scenario Produivo Modello dei Cosi di Esercizio Cosi di Esercizio Analisi finanziaria Analisi economica 28

29 Meodi di confrono di progei alernaivi Analisi Benefici - Cosi L analisi Benefici - Cosi confrona le diverse alernaive di inerveno considerando i loro effei moneari o moneizzabili come variazioni rispeo allo sao di non progeo. Le applicazioni del meodo B-C considerano per ciascun anno di via economica del progeo i le segueni ipologie di effei: CC i: differenza fra coso di cosruzione di P e gli evenuali cosi di cosruzione e manuenzione sraordinaria di NP; CM i: differenza fra cosi di invesimeno in veicoli di P e di NP; CME i: differenza fra il coso di manuenzione ed esercizio di P e quelli dello sao NP; RT i: differenza fra i ricavi della vendia dei servizi di rasporo in P e in NP; ITI i: differenza fra gli inroii per asse e impose consegueni a P e quelli di NP; DS i: variazione di surplus percepio dagli ueni del sisema di rasporo in P rispeo alla siuazione NP, espressa in unià monearie; BUNP i: variazioni di benefici non percepii dagli ueni fra il P ed NP, espresse in unià monearie; ENU i: variazione degli effei per i non ueni fra P e NP, compresi gli impai sull ambiene e sul sisema economico e errioriale. 29

30 Analisi Benefici Cosi Crieri generali Le variabili sono calcolae uilizzando i prezzi di mercao, qualora quesi esisano, depurai dei rasferimeni inerni alla pubblica amminisrazione (IVA, asse, ec.). In alcune applicazioni ai prezzi di mercao sono sosiuii prezzi ombra, o cosi opporunià, che rifleono il valore per la colleivià di una risorsa, in assenza di un prezzo di mercao per ques ulima o in difformià da queso a seguio di obieivi o vincoli di ineresse sociale. Devono essere eviai i doppi coneggi, (conabilizzazione dello sesso effeo con lo sesso segno in più variabili), che inrodurrebbero delle disorsioni nei risulai. Alcuni effei possono essere preseni con segni diversi in due o più variabili: ali effei si annullano reciprocamene nella somma algebrica delle diverse variabili e non comporano disorsioni. 30

31 Analisi Benefici Cosi L aualizzazione (1/2) Definii gli effei rilevani per l analisi e la loro valuazione in ermini moneari, i diversi progei alernaivi sono confronai uilizzando degli indicaori sineici. Problema: confronare benefici e cosi relaivi ad anni diversi. Tasso di aualizzazione o di scono r, incremeno percenuale di valore una somma M dopo un anno: r M 1 M M 31

32 Analisi Benefici Cosi L aualizzazione (2/2) r 1 M 1 M M 1 M M r Il valore M, dopo anni, di una somma M o disponibile oggi può essere calcolao come: M M 1 o r dalla quale consegue che il valore auale M o di una somma M spesa o incassaa fra anni è: M o M 1 r 32

33 Analisi Benefici Cosi Gli indicaori sineici Per il confrono fra i flussi di benefici e di cosi per i diversi progei P i. I più uilizzai sono: 1. Valore Auale Neo Economico (VANE) 2. Saggio di Rendimeno Inerno Economico (SRIE) 33

34 Analisi Benefici Cosi Gli indicaori sineici 1. Valore Auale Neo Economico (VANE) Ripora all anno iniziale i diversi effei calcolai per un periodo di T anni come: VANE ( r) T DS BUNP ENU 1 1 DS ITI r RT CC CM CME Il Progeo i è preferibile rispeo al Non Progeo NP se il suo VAN è posiivo; il Progeo i è preferibile al Progeo j se VAN i > VAN j. 34

35 Analisi Benefici Cosi Gli indicaori sineici 2. Saggio di Rendimeno Inerno Economico (SRIE) Valore del asso di scono r o che annulla il VANE calcolao in un periodo di T anni: SRIE i = r o ; VANE i (r o ) = 0 Il Progeo i è preferibile rispeo al Non Progeo NP se il suo SRIE è superiore al valore del asso di scono sociale ; il Progeo i è preferibile al Progeo j se SRIE i > SRIE j. 35

36 Analisi Benefici Cosi Esempio di andameno del VAN in funzione del asso di scono per due progei. La superiorià di un progeo P i rispeo ad un alro P j può dipendere significaivamene dal saggio di scono r uilizzao per il calcolo del VAN. Progei che hanno cosi di invesimeno minori e benefici minori sono in generale favorii da valori elevai di r (progeo B in figura), viceversa assi bassi favoriscono progei più cososi che forniscono maggiori benefici (progeo A in figura). Progeo B Progeo A SRI(B) SRI(A) 36

37 Analisi Benefici Cosi Criiche a) Criiche relaive alle modalià di impiego 1. Uilizzazione dei prezzi di mercao nella valuazione degli effei per i quali ali prezzi esisono. 2. Valuazione incomplea o inesaa anche dei soli effei moneizzabili per gli ueni e per i non ueni del sisema. b) Criiche sruurali 1. Non sommabilià degli effei per i soggei o gruppi di soggei, ineressai in modo diverso dal progeo. 2. Non effeuazione delle compensazioni fra gli individui che subiscono effei diversi dal progeo. 3. Limiazione dell analisi ai soli effei moneari o moneizzabili rascurando la serie di effei non direamene o significaivamene moneizzabili. Sulla base di quese osservazioni, l analisi B-C non va consideraa come meodo di valuazione complessivo, ma come meodo di valuazione dei soli impai economici del progeo nel quale si considerano esclusivamene cosi e ricavi moneari o direamene moneizzabili. 37

38 Meodi di confrono di progei alernaivi Analisi Muli - Crierio (MCDM) (1/2) Si prefigge di fornire un supporo al decisore ( o ai decisori) per realizzare un compromesso acceabile fra i diversi obieivi perseguii. I diversi obieivi che il decisore si pone con l inerveno in esame vanno preliminarmene rasformai in crieri di valuazione o indicaori di presazione (variabili quaniaive o qualiaive che misurano il grado di soddisfacimeno del generico obieivo). La individuazione degli obieivi e dei relaivi crieri di valuazione è una fase molo delicaa: bisogna eviare di specificare obieivi e crieri con diverso livello di deaglio che porebbero orienare impliciamene i risulai dell analisi. 38

39 Meodi di confrono di progei alernaivi Analisi Muli - Crierio (MCDM) (2/2) Regola praica: uilizzare un numero di crieri equilibrao fra i diversi macro-obieivi dell inerveno in esame. A ciascun crierio m, è aribuio un peso w m 0 che ne misura l imporanza relaiva: la definizione dei pesi è una operazione poliica nella quale il decisore, o i decisori, devono esprimere giudizi di valore. 39

40 Analisi Muli - Crierio Meodi di deerminazione dei pesi incognii Meodo DELFI: Si fa dichiarare separaamene a ciascun decisore in modo esplicio il peso relaivo di ciascun crierio; si ripeono le inervise, riporando a ciascuno il veore dei pesi dichiarai dagli alri decisori, fino al raggiungimeno di una convergenza di compromesso sui valori dei pesi. Nel caso in cui il decisore non possa, o non voglia, esprimere dei pesi si possono uilizzare delle procedure che li ricavino impliciamene (ad es., simando i pesi che giusificherebbero le scele effeuae in conesi analoghi a quello in esame, per inerveni dello sesso ipo e dimensione). Alri meodi simano il veore dei pesi in modo implicio ineragendo con il decisore: - chiedendo di scegliere fra la soluzione correne e alre che migliorano la soddisfazione di alcuni obieivi - chiedendo quano sarebbe disposo a sacrificare di un obieivo per migliorare un alro

41 Analisi Muli - Crierio La sandardizzazione degli indicaori In mole ecniche di MCDM gli indicaori di presazione sono raai allo scopo di renderli confronabili: per eviare disorsioni dovue all uilizzazione di faori di scala diversi nella misura della soddisfazione, i valori degli indicaori possono essere sosiuii con valori l mj normalizzai. l mj k x mj max x min mk Esempi di forme di normalizzazione: k k x mk min x mk l mj k x mj max x mk l mj x mj k x mk (1/2) con: xmj = variabile che esprime il valore dell m-simo crierio per il j-esimo progeo (il valore cresce all aumenare del livello di soddisfazione). 41

42 Analisi Muli - Crierio La sandardizzazione degli indicaori Se x mj misura un effeo negaivo può essere inveria, ad es., sosiuendola con il valore della riduzione rispeo al valore massimo assuno dall indicaore: x' mj = max k x mk -x mj (2/2) x' mj sarà pari a zero per il progeo peggiore (a valori di riduzione maggiori corrisponderà una maggiore soddisfazione). In alcune applicazioni gli indicaori x mj vengono sandardizzai araverso funzioni non lineari, monoone e cresceni (funzioni di uilià), che engono cono dell andameno decrescene dell uilià marginale all aumenare del livello di soddisfacimeno di un crierio. Andameno della funzione di uilià per un generico crierio u mj 1 Con: U mj = Indicaori di uilià 0 min k x mk max k x mk x mj 42

43 Analisi Muli - Crierio La marice di valuazione (1/2) E la marice degli elemeni x mj (o x' mj ) con: numero di righe pari ai crieri di valuazione; numero di colonne pari ai progei alernaivi. Viene denominaa marice di valuazione sandardizzaa nel caso che vi compaiano le misure l mj o u mj. 43

44 Analisi Muli - Crierio La marice di valuazione Un esempio: Marice di valuazione di J progei alernaivi rispeo a M crieri. (2/2) Crierio di valuazione 1 2 m M Progeo j... J Pesi x 11 x 21 x m1 x M1 x 12 x 22 x m2 x M2 x 1j x 2j x mj x Mj x 1J x 2J x mj x MJ w 1 w 2 w m w M 44

45 Analisi Muli - Crierio Progei Pareo - oimali Un progeo j si dice dominao se esise almeno un progeo h che soddisfi in modo migliore o al più uguale ui gli obieivi, ovvero: x mj x mh m= 1,..., M Con almeno una delle disuguaglianze soddisfaa in modo sreo. Un PROGETTO non dominao è deo efficiene o PARETO-OTTIMALE: Non esise alcun progeo che migliori il livello di soddisfazione di almeno un obieivo senza peggiorarne nessuno. La froniera di efficienza dell inerveno è daa dall insieme dei progei non dominai che soddisfano i vincoli del problema (ad esempio vincoli di budge). Tui i puni di ale froniera sono poenzialmene delle soluzioni oimali al problema decisionale per un opporuno sisema di pesi dei diversi obieivi/crieri. 45

46 Analisi Muli - Crierio Meodi di confrono Meodo della disanza: (1/3) La soluzione di miglior compromesso è l alernaiva j di minima disanza dalla soluzione ideale (progeo che soddisfa nel grado massimo ui gli obieivi espliciai e che non si rova fra i progei disponibili). Il veore x* = (x* 1, x* 2,..x* m ) T, rappresena gli effei del progeo ideale, con: x* m = valore più elevao dell indicaore di presazione della soddisfazione per il crierio m-esimo. 46

47 Analisi Muli - Crierio Meodi di confrono Meodo della disanza: (2/3) La disanza viene misuraa come la p-norma pesaa del veore differenza fra i veori x j e x* (ovvero fra i veori l j e l* ovvero u j ed u* a secondo dei casi): L p (x j, x*) = m w m (x* m - x mj ) p 1/p Al variare di p si oengono diverse misure di disanza fra i veori x j e x*: per p = 2, si oiene la disanza pesaa fra veori nello spazio euclideo: L 2 (x j, x*) = m w m (x* m - x mj ) 2 1/2 Al endere di p ad infinio, per ciascun progeo, la disanza viene definia esclusivamene dalla differenza, rispeo all ideale, dell indicaore che più se ne discosa: L (x j, x*) = max m w i (x* m - x m j ) 47

48 Analisi Muli - Crierio Meodi di confrono Meodo della disanza: (3/3) Andameno della disanza L p al variare della norma p 12 Obieivo Progei Peso Ideale Lp P Lp1 Lp2 Lp3 48