Logica proposizionale classica. Studia il comportamento dei connettivi proposizionali quali ( And ) e ( Or )

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1 Logica proposizionale classica Studia il comportamento dei connettivi proposizionali quali ( And ) e ( Or ) Parte da una famiglia di enunciati atomici di cui non analizziamo la struttura interna, che rappresentiamo con delle lettere, di cui ci interessa conoscere solo il valore di verità Da queste lettere proposizionali costruiamo enunciati più elaborati usando i connettivi proposizionali Determinare gli enunciati composti veri a causa della loro struttura, le tautologie, e gli enunciati che sono conseguenza logica di altri 1

2 Linguaggio della logica proposizionale classica insieme P = {p 1,p 2,p 3,...} di lettere proposizionali simboli di costante: (vero) e (falso) connettivi proposizionali: unari: (negazione) binari:,,,,... parentesi: (,) 2

3 Definizione delle formule proposizionali Una formula atomica è una lettera proposizionale, o. Indichiamo con ATProp l insieme di tutte le formule atomiche L insieme delle formule proposizionali Prop viene definito come il più piccolo insieme S Σ + che gode delle seguenti proprietà: 1.ATProp S 2.X S X S 3.X,Y S (X Y) S, per ogni connettivo binario 3

4 Principio di induzione strutturale Metodo di dimostrazione che sfrutta la struttura induttiva delle formule Sia Q Prop, se CASO BASE: 1.ATProp Q PASSO INDUTTIVO: 2.X Q X Q 3.X,Y Q (X Y) Q, per ogni connettivo binario Allora Q = Prop 4

5 Principio di ricorsione strutturale C è una ed una sola funzione f definita su Prop tale che CASO BASE Il valore di f è specificato esplicitamente sulle formule atomiche attraverso una funzione g : ATProp D PASSO INDUTTIVO il valore di f su X viene specificato in termini del valore di f su X attraverso una funzione f : D D il valore di f su (X Y) viene specificato in termini dei valori di f su X e su Y mediante una funzione l : BinarySymbol D D D 5

6 Unicità del parsing Ogni formula proposizionale è esattamente in una delle tre categorie: Atomica X per un unica formula proposizionale X (X Y) per un unico simbolo binario e formule proposizionali uniche X e Y 6

7 Sottoformula Le sottoformule immediate sono definite come segue: 1. Una formula atomica non ha sottoformule immediate 2.La sola sottoformula immediata di X è X 3.Per un simbolo binario, le sottoformule immediate di (X Y) sono X e Y L insieme delle sottoformule di una formula X è il più piccolo insieme S tale che: X S per ogni Y S, tutte le sottoformule immediate di Y sono contenute in S 7

8 Semantica della logica proposizionale La logica classica è a due valori. Prendiamo come spazio dei valori di verità l insieme Tr = {t,f} Come interpretiamo ciascuno dei simboli di operazione del linguaggio? Per la negazione assumiamo di avere una mappa : Tr Tr data da (t) = f e (f) = t Possiamo individuare dieci connettivi. Otto primari e due secondari 8

9 Connettivi binari t t t t t t f f f f t f t f f t f t t f t f f t f t f t t f t f f t f t f f f f t t t t f f t f 9

10 Valutazioni booleane Una valutazione booleana è un applicazione v : Prop Tr che soddisfa le condizioni 1.v( ) = t, v( ) = f 2.v( X) = v(x) 3.v(X Y) = v(x) v(y), dove sta per uno dei connettivi proposizionali Lemma Data f : {p 1,p 2,...} Tr, esiste un unica valutazione booleana v f tale che v f (P) = f(p), per ogni lettera proposizionale P. 10

11 Valutazioni booleane Lemma Siano S un insieme di lettere proposizionali, X una formula proposizionale coinvolgente solo lettere proposizionali in S, e v 1,v 2 due valutazioni booleane tali che v 1 (P) = v 2 (P) per ogni P S, allora v 1 (X) = v 2 (X). 11

12 Formula soddisfacibile, tautologia Una formula proposizionale X è soddisfatta da una valutazione booleana v, se v(x) = t (in simboli, v = X) Una formula proposizionale X è soddisfacibile se v = X, per qualche valutazione booleana v Una formula proposizionale X è insoddisfacibile (o contraddittoria) se v = X, per ogni valutazione booleana v Una formula proposizionale X è una tautologia se v = X, per ogni valutazione booleana v 12

13 Sia S Prop Soddisfacibilità di insiemi di formule S è soddisfatto da v se v = X, per ogni X S (in simboli v = S) S è soddisfacibile se esiste v tale che v = S S è insoddisfacibile se v = S, per ogni v X è conseguenza logica di S (in simboli S = X) se per ogni v tale che v = S si ha che v = X 13

14 Validità, insoddisfacibilità e conseguenza logica Lemma X è una tautologia se e solo se X è insoddisfacibile Lemma S = X se e solo se S { X} è insoddisfacibile Lemma S {X} = Y se e solo se S = X Y Teorema della deduzione semantica X 1,...,X n = Y se e solo se = (X 1...(X n Y)) 14

15 Dualità fra i connettivi binari Per la logica proposizionale classica c è un elegante nozione di dualità Siano e due operazioni binarie su Tr. Diciamo che è il duale di se (x y) = ( x y) Esempio: è il duale di La dualità per i connettivi della logica proposizionale è simmetrica. 15

16 Sostituzioni Sia P una lettera proposizionale, X ed F due formule. Indichiamo con FX P la formula che si ottiene sostituendo X a P in F. sub P,X (F) : Prop Prop sub P,X (F) = F P X La formula F si può indicare come F(P) sottolineando che P è una lettera proposizionale importante che potrebbe anche non occorrere in F. F(X) è il risultato della sostituzione di P con X se P è presente. 16

17 Teorema di sostituzione Teorema di sostituzione versione I. Siano F(P), X e Y delle formule proposizionali, e v sia una valutazione booleana. Se v(x) = v(y) allora v(f(x)) = v(f(y)). Teorema di sostituzione versione II. Se X Y è una tautologia, tale è F(X) F(Y). 17

18 Le forme normali Utilizziamo i teoremi di sostituzione per la costruzione delle forme normali Le forme normali vengono introdotte per semplificare il procedimento di verifica delle tautologie I dimostratori automatici più efficienti non agiscono sulle formule della logica proposizionale completa, ma richiedono che ciascuna formula venga posta in forma normale Studiemo le seguenti forme normali forma normale negativa forma normale congiuntiva forma normale disgiuntiva 18

19 Forma normale negativa Una formula proposizionale X viene detta in forma normale negativa se gli unici simboli di negazione in X occorrono davanti alle lettere proposizionali. Ogni formula proposizionale può essere messa in forma normale negativa 19

20 Notazione uniforme Per ridurre il numero di casi da considerare con i vari metodi e tecniche di dimostrazione e nelle implementazioni, conviene considerare un piccolo numero di connettivi di base e prendere gli altri come derivati. Useremo la notazione uniforme di Smullyan che mette a disposizione un vasto insieme di connettivi senza dover considerare un gran numero di casi nelle dimostrazioni e nelle definizioni. raggruppiamo le formule proposizionali delle forme (X Y) e (X Y) (, connettivo primario) in due categorie α-formule (congiuntive) β-formule (disgiuntive) 20

21 α- formule e β-formule α α 1 α 2 β β 1 β 2 X 1 X 2 X 1 X 2 (X 1 X 2 ) X 1 X 2 (X 1 X 2 ) X 1 X 2 X 1 X 2 X 1 X 2 (X 1 X 2 ) X 1 X 2 X 1 X 2 X 1 X 2 (X 1 X 2 ) X 1 X 2 X 1 X 2 X 1 X 2 (X 1 X 2 ) X 1 X 2 X 1 X 2 X 1 X 2 X 1 X 2 X 1 X 2 (X 1 X 2 ) X 1 X 2 X 1 X 2 X 1 X 2 (X 1 X 2 ) X 1 X 2 X 1 X 2 X 1 X 2 (X 1 X 2 ) X 1 X 2 21

22 Altri tipi di formule Abbiamo anche: Le formule,, P, P,,. Le formule di tipo Z In questo modo esauriamo tutti i tipi di formule 22

23 Sia Q Prop. Se Principio di induzione strutturale Caso Base:Ogni formula atomica e la sua negazione ha la proprietà Q, Passo induttivo: se Z ha la proprietà Q, anche Z ha la proprietà Q, se α 1 ed α 2 hanno la proprietà Q, anche α ha la proprietà Q, se β 1 e β 2 hanno la proprietà Q, anche β ha la proprietà Q, allora Q = Prop. 23

24 Principio di ricorsione strutturale Sia B = ATProp ATProp, D e g : B D h : D D l α : D D D l β : D D D esiste unica f : Prop D tale che f(x) = g(x), X B f( X) = h (f(x)), X Prop f(α) = l α (f(α 1 ),f(α 2 )), α,α 1,α 2 Prop f(β) = l β (f(β 1 ),f(β 2 )), β,β 1,β 2 Prop 24

25 Congiunzioni e disgiunzioni generalizzate Sia X 1,...,X n una lista di formule proposizionali (possibilmente vuota). [X 1,...,X n ] è la disgiunzione generalizzata di X 1,...,X n X 1,...,X n è la congiunzione generalizzata di X 1,...,X n Semantica Se v è una valutazione booleana, in aggiunta alle altre condizioni richiediamo che v([x 1,...,X n ]) = t esiste un i {1,...,n} tale che v(x i ) = t v( X 1,...,X n ) = t per ogni i {1,...,n}, v(x i ) = t 25

26 Letterali, clausole, formule normali Un letterale è una lettera proposizionale, o la sua negazione, o una delle costanti, (Lit = ATProp P) Una clausola è una disgiunzione generalizzata [X 1,...,X n ] in cui ogni membro è un letterale Una clausola duale è una congiunzione generalizzata X 1,...,X n in cui ogni membro è un letterale Una CNF (Conjunctive Normal Form) è una congiunzione generalizzata di clausole C 1,...,C n Una DNF (Disjunctive Normal Form) è una disgiunzione generalizzata di clausole duali [D 1,...,D n ] 26