Fisica Generale T (L) Scritto Totale Compito A

Transcript

1 Fisica Generale (L) Scrio oale INGEGNERIA EDILE (Prof Mauro Villa) 14/07/014 Compio A Esercizi: 1) Un corpo di massa M = 10 kg e di raggio R = 0 cm è appoggiao su un piano orizzonale scabro Un corpo di massa m = 8 kg, appeso lungo la vericale, rascina il corpo M ramie una fune inesensibile di massa rascurabile avvola al corpo M su una sporgenza cilindrica di raggio r = 5 cm e massa rascurabile come mosrao in figura Considerando la carrucola che sosiene la fune ideale, calcolare: a) il coefficiene di ario che permee al corpo M di roolare senza srisciare; b) l accelerazione del sisema; c) la ensione della fune che lega i due corpi ) L energia poenziale di un campo di forze è pari a V(x, y, z) = αx+3βz Deerminare: a) l espressione della forza; b) le dimensioni fisiche delle cosani α e β; c) le equazioni del moo di un puno maeriale di massa m che viene lasciao nel puno A (3,-,4) con velocià 3) Un arciere vuole colpire con una freccia una mela su un albero ad alezza h = 1 m rispeo all'arciere La disanza in linea d'aria ra arciere e bersaglio sia d = 35 m Se l'arciere sa mirando in direzione della mela a un angolo di 30 rispeo all'orizzonale, si deermini: a) il valore minimo della velocià iniziale che consene all'arciere di colpire il bersaglio; b) l alezza massima raggiuna dalla freccia 4) Un uomo di 7 kg si rova in un ascensore su un dinamomero a molla Parendo da fermo l'ascensore sale, raggiungendo la sua massima velocià di 10 m/s in 08 secondi e coninuando a quesa velocià cosane per i successivi 5 secondi L'ascensore poi procede con un accelerazione uniforme per 15 s lungo la direzione negaiva dell'asse y, dopodiché si ferma Cosa regisrerà il dinamomero: a) durane i primi 08 secondi? b) menre l'ascensore procede a velocià cosane? c) durane il empo in cui decelera? Domande: 1) Illusrare le caraerisiche delle forze conservaive ) Enunciare e spiegare la seconda equazione cardinale 3) Enunciare e dimosrare il eorema delle forze vive Avverenze: non è consenio consulare libri, appuni, compagni né avere in aula cellulari accesi o speni Risolvere almeno due esercizi e rispondere alle re domande Le rispose e le soluzioni devono essere espresse in ermini dei simboli e dei dai specificai nel eso Occorre spiegare i passi principali che hanno condoo alla soluzione g = 9,8 m / s

2 Soluzioni θ Esercizio 1: Iniziamo cercando di visualizzare meglio la siuazione fisica del problema Vi sono due corpi rigidi di massa M e m che si muovono soo l azione di forze Il O FA corpo di massa m si muove soo l azione della sua forza peso W (=mg) e della ensione del filo ale corpo può y essere descrio come un puno maeriale che rasla lungo una direzione vericale Il corpo di massa M, invece, x deve essere raao come un corpo rigido che rasla (si W muove verso desra) e conemporaneamene roola senza srisciare Le forze che agiscono in queso caso sono due: la ensione del filo e la forza d ario F A, enrambe di inensià non noa Per descrivere il moo di queso corpo avremo bisogno di enrambe le equazioni cardinali Scegliamo un sisema di riferimeno per descrivere il moo dei corpi: asse x orizzonale e asse y vericale come in figura Aggiungiamo anche una coordinaa θ che ci serve per descrivere le roazioni del disco Per convenzione scegliamo un puno sul bordo del disco e descriviamo la sua posizione con la coordinaa θ che aumena quando il disco compie un moo aniorario Nel nosro caso, viso che il disco si muove verso desra facendo una roazione oraria, la coordinaa θ diminuirà al progredire del moo L inero problema può essere quindi raao con re incognie che descrivono il moo dei due corpi: la coordinaa y del corpo di massa m (il suo CM), la coordinaa x del disco (coordinaa del CM o del puno di appoggio O), la roazione del disco descria dall angolo θ Ovviamene quese re coordinae non sono indipendeni: - Quando il disco rasla verso desra di una quanià x, il disco compie una roazione oraria (segno meno) di una quanià pari a θ = - x/r - Se il disco rasla e ruoa, il filo si sposa e si svolge dall avvolgimeno, causando un abbassameno del corpo di massa m Calcoliamo ale abbassameno - y (>0): Ad uno sposameno x il filo si allunga di l = x + r θ (dove l ulimo ermine è il conribuo dello svolgimeno del filo) e causa uno sposameno in y del cm del corpo di massa m ale che : y=- l= x + r θ = x (1+r/R) Ora occorre imposare le equazioni della dinamica: per il corpo di massa m e per le raslazioni di M le equazioni sono praicamene immediae Rimane da scegliere come descrivere le roazioni del disco (coordinaa θ) Poremmo scegliere di usare come polo per le roazioni il CM ma facendo così dovremmo lavorare simulaneamene con i momeni della ensione e della forza d ario e sono enrambi incognii E più uile usare come polo il puno di appoggio O: la roazione aorno a queso puno è ancora descria da θ (proprieà delle ruoe che roolano senza srisciare), l asse di roazione è parallelo a quello del CM, la velocià del puno di appoggio è pari a quella del CM e quindi nell equazione cardinale non ci sono ermini aggiunivi In più però, scegliendo O come polo, il momeno della forza d ario si annulla e si elimina così una incognia Il sisema di equazioni da risolvere è quindi: my ɺɺ = mg + Mx ɺɺ = + FA Iɺɺ θ = ( R + r) dove y è la coordinaa vericale del corpo di massa m, x è la coordinaa del CM (o del puno di appoggio O) del disco, menre θ descrive la roazione del disco ue quese coordinae sono ra loro dipendeni come abbiamo viso prima per gli sposameni, relazioni simili valgono per le velocià (che sono sempre sposameni diviso empo) e per le accelerazioni:

3 ɺɺ x = R ɺɺ θ, ɺɺ y = ( ɺɺ x r ɺɺ θ ) = ɺɺ x(1 + r / R) = ɺɺ θ ( R + r) La quanià I è il momeno d inerzia del disco calcolao rispeo ad O Usando il eorema di 1 3 Huygens-Seiner si ha I = ICM + MR = MR + MR = MR Dal sisema di equazioni è quindi possibile usare la prima equazione per rovare e sosiuirla nelle alre, la seconda per rovare F A, e la erza per rovare θ: my ɺɺ = mg + = m( ɺɺ y + g) = m[( R + r) ɺɺ θ + g] ɺɺ θ = ( R + r) mg /[ I + m( R + r) ] Mx ɺɺ = + FA FA = + MRɺɺ θ = m( ɺɺ y + g) = mgi /[ I + m( R + r) ] Iɺɺ θ = ( R + r) Iɺɺ θ = ( R + r) m[( R + r) ɺɺ θ g] + FA = MmgR( R r) /[ I + m( R + r) ] dove nell ulimo passaggio, prima si è usaa la erza equazione per rovare ɺɺ θ, quindi sosiuendo nella prima si è rovaa la ensione e infine sosiuendo enrambe, si è rovaa la forza d ario necessaria a fare in modo che la ruoa non srisci Per rovare il coefficiene di ario minimo necessario è sufficiene imporre che la forza di ario rovaa sia uguale a quella massima e risolvere per µ S : Max F = F = µ Mg µ = F / Mg = mr( R r) /[ I + m( R + r) ] A A S S A Sosiuendo i valori numerici si ha: 1 a) µ = 0, 18; b) ɺɺ θ = 17,8s ; ɺɺ x = 3, 56m/s ; c) = 4,8N S Esercizio : a) La forza è pari al gradiene dell energia poenziale cambiao di segno: V V (,, ) ˆ ˆ V F = V x y z = ι j kˆ = αι ˆ 6β zkˆ x y z b) Da quesa espressione possiamo dedurre anche che il coefficiene α deve avere le dimensioni di una forza, quindi [α]=[ml - ] Il coefficiene β deve avere le dimensioni di una forza F z diviso z, da cui [β]=[m - ] c) per rovare l equazione del moo dobbiamo risolvere un problema inverso di dinamica a parire dal secondo principio: F=ma Risolviamola per componeni La componene x della forza è cosane Il moo sarà quindi uniformemene accelerao Inserendo le condizioni α iniziali, si ha: x( ) = La componene y della forza è nulla Il moo sarà m uniforme: y( ) = La componene z della forza sembra la forza di una molla (elasica), con cosane elasica pari a 6 β Il moo sarà armonico: 6β z( ) = 4 cos ω con ω = m Esercizio 3: L esercizio riguarda il moo dei gravi Iniziamo definendo un SdR inerziale con origine nella posizione dell arciere La freccia deve colpire un puno che si rova ad alezza h e a disanza d dall origine, y parendo con una velocià di direzione e verso noa (inclinaa di α=30 rispeo all orizzonale) La siuazione fisica è quella di figura La freccia sarà scoccaa dalla posizione (0,0) e dovrà raggiungere il bersaglio poso nella posizione (x B,y B )= v d h ( d h, h) Le equazioni del moo per la freccia sono: x

4 x( ) = ( v cos α) dove v è la velocià incognia Imponendo che la freccia passi 1 y( ) = g + ( v sin α) per il bersaglio si ha: x /( cos ) B = ( v cos α) = xb v α 1 1 ( ) xb g yb = g + ( v sin α) yb = g xb /( v cos α) + xb anα v= cosα ( xb an α h) Il puno di massimo della raieoria viene raggiuno quando la velocià in y è nulla e quindi quando yɺ ( ) = 0 = g +v ( sin α), cioè al empo max =v sin α / g e quindi, max sosiuendo nelle equazioni del moo, alla coordinaa x daa da xmax = v cosαsin α / ge alla coordinaa y daa da: ymax = v sin α /( g) Sosiuendo i valori numerici si rova: x B =3,9 m, v=45,3 m/s, max =,31 s, x max =90,8 m, y max =6, m Dao che il valore di x a cui si raggiunge il verice della parabola è dopo il bersaglio, la massima alezza della freccia vale h=1 m! Esercizio 4: l esercizio richiede un piccolo sforzo di comprensione Capìa la siuazione fisica, l esercizio è molo facile Proviamo a rifrasarne l inizio in queso modo: Un uomo enra in un ascensore fermo dove è presene una bilancia (=dinamomero arao in kilogrammi-forza) e vi sale sopra Ovviamene la bilancia ne segna il suo peso Quando l ascensore inizia a muoversi verso l alo di moo uniformemene accelerao (raggiungendo la velocià di 1 m/s in un empo pari a 08 s), la bilancia segnerà ovviamene di più Quano segna la bilancia? Perché? L esercizio ora sembra più facile perché quello che succede all inerno dell ascensore è descrio con moli più deagli Nella prima fase della salia, quando l ascensore accelera, queso cosiuisce un sisema di riferimeno non inerziale, dove quindi è presene una forza fiizia Se l accelerazione a O (dell ascensore e di uo quello che vi è denro) è direa verso l alo, l uomo sene una forza fiizia (o forza di rascinameno) pari a F = ma O direa verso il basso che quindi si aggiunge alla forza peso dell uomo sulla bilancia/dinamomero La bilancia/dinamomero segnerà quindi una forza complessiva di modulo pari a mg+ma nella prima fase Calcoli: l accelerazione a 1 vale a 1 =1/08 = 15 m/s La forza complessiva vale quindi F 1 =7*(98+15)=814 N Nella seconda fase, quando l ascensore viaggia di moo reilineo, non vi è forza fiizia e la bilancia/dinamomero segna solo il peso dell uomo: F =7*98= 706 N Nella erza fase, quando l ascensore rallena, ha una accelerazione direa verso il basso di modulo a 3 =1,/1,5 = 0,8 m/s La forza fiizia senia dall uomo sarà quindi direa verso l alo e ridurrà complessivamene l enià della forza che agisce sulla bilancia/dinamomero di una quanià pari a ma 3 : F 3 =m*(g-a 3 )=7*(98-0,8)=648 N Esempi di rispose alle domande che hanno oenuo il massimo puneggio: 1) Illusrare le caraerisiche delle forze conservaive Sudene A: Le forze conservaive sono forze che non dissipano energia; per ali forze l energia meccanica si conserva e la somma di energia cineica e energia poenziale è cosane Proprieà:

5 a) L = F ids = 0 LAB = LBA b) una energia (?? Noa: una funzione scalare) che dipende dalla posizione: L = U U = V V AB B A A B dove V è l'energia poenziale c) F = V d ) F = 0 ) Enunciare e spiegare la seconda equazione cardinale Sudene B: dp O ES = M O, d PO momeno angolare o momeno della quanià di moo del sisema [rispeo al polo O] ES M O momeno della forza [eserna rispeo al polo O], variazione di momeno angolare La seconda equazione cardinale descrive, insieme alla prima, il moo di un puno, di due puni e di un corpo rigido In paricolare descrive il moo roaorio del corpo rigido [aorno ad un asse passane] per il cenro di massa dp CM ES dpcm dω ES Vale: = M CM, inolre = I = Iα = M CM d d d 3) Enunciare e dimosrare il eorema delle forze vive Sudene C: Il eorema delle forze vive esprime il lavoro compiuo da una qualsiasi forza su un 1 1 qualsiasi sisema meccanico: LAB = B A = mv B mv ed è uguale alla variazione di energia A cineica fra il puno finale e quello iniziale Dimosrazione: dl = Ridl = mai dl (perché la risulane delle forze soddisfa il secondo principio) dv dl dv m d ( vv i ) d m dl = Ridl = maidl = m i d = m i v d = d = v d d d d d d A A B 1 d d Poso: = mv Energia cineica dl d da cui L dl d B = d = = d =