INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO Il teorema di Shannon

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1 INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO Il teorema di Shannon Prof. Carlo Rossi DEIS - Università di Bologna Tel: crossi@deis.unibo.it

2 Introduzione Il teorema di Shannon, o del campionamento, stabilisce la connessione esistente tra i segnali fisici tempo-continui e il mondo digitale delle sequenze numeriche stabilisce che, sotto alcune circostanze, è sufficiente conoscere i campioni a tempo discreto di un segnale tempo-continuo per poter conoscere e ricostruire completamente il segnale originale x x X X a () t ( n) = xa ( nt ) ( jω ) a ( jω T ) e Segnale analogico Segnale campionanto discreto Trasformata del segnale analogico Trasformata del segnale discreto 2

3 Il processo di campionamento Campionando un segnale analogico ad istanti discreti, in generale si perde informazione: si considera cosa succede nel dominio frequenziale + 1 jω nt x( n) = xa ( nt ) = X a( jω ) e dω 2π + ωs jω nt = e X a[ j( ω + k ωs )] dω 2π ω 2 k = s Dall espressione per la trasformata discreta si ricava poi X + k = ( jω T ) 1 e = X j( ω + k ω ) T a [ ] s 3

4 Il processo di campionamento A parte il fattore di scala, da non dimenticare, lo spettro discreto si ottiene a partire da quello continuo, facendone copie ritardate di multipli interi della pulsazione di campionamento e sommando tutti gli spettri così ottenuti 2 Spettro continuo e discreto equivalente ampiezza Frequenza normalizzata 4

5 La ricostruzione del segnale Dalle relazioni precedenti si ricava anche la seguente + X k = a [ j( ω + k ω )] = T x( n) s Essa mostra che nel segnale campionato esiste l informazione relativa continuazione periodica dello spettro continuo Lo spettro continuo non può in generale essere ricostruito esistono infinite combinazioni di spettri continui che danno la stessa continuazione periodica esistono infinite funzioni tempo-continue che interpolano i campioni a tempo discreto del segnale analogico originale A partire dai soli dati campionati, il segnale originale non può in genere essere ricostruito + n= e jω nt 5

6 Segnali a banda limitata Esiste un caso particolare che permette la ricostruzione del segnale originale. Se lo spettro del segnale originale è contenuto nell intervallo 0 < ω < ω s non esiste in questo caso sovrapposizione o aliasing nella continuazione periodica lo spettro originale può essere ricostruito a partire da quello periodico filtrando con un filtro passa basso ideale con frequenza di cutoff pari a ω s tale filtro applicato alla sequenza discreta ricostruisce il segnale originale di partenza 6

7 Segnali a banda limitata Nel caso considerato si ha x X + ω 1 = 2π ( n) X ( jω ) a ω ( ) jω T T X e ( jω ) = 0 Applicando la trasformata inversa si ha s s 2 2 a e jω nt dω ω < π T ω π T x a + () t = x( n) n= senω ω s s ( t nt ) ( t nt )/ / 2 2 = + x n= ( n) sinc[ π ( t / T n) ] 7

8 Segnali a banda limitata L interpolazione avviene con la funzione sinc è unitaria per t = 0 e nulla in tutti gli altri istanti di campionamento 1 sinc(π t/t) tempo normalizzato t/t Attenzione: filtro ideale non realizzabile funzione sinc non causale ricostruzione perfetta non possibile con operazione causale 8

9 Effetti della conversione di segnale Sia la conversione analogico/digiatale che quella digitale/analogica comporta delle distorsioni rispetto alla situazione ideale considerata finora è necessario utlizzare conversioni causali effetti dovuti alla quantizzazione dei segnali ritardi di conversione vincoli tecnologici della realizzazione 9

10 La conversione analogico/digitale Lo schema generico di una sezione di conversione A/D è x a ( t) Passa basso S/H A x( n) ω c T D il filtro passa basso anti-aliasing elimina le componenti spettrali del segnale di ingresso idealmente la frequenza di cutoff è quella di Nyquist (metà della frequenza di campionamento) il filtro ha una banda di transizione che quindi riduce ulteriormente la banda utile per il segnale filtri con ordine elevato e pendenza nella banda di transizione elevata introducono sfasamento notevole critico negli anelli di controllo 10

11 La conversione analogico/digitale Il campionatore necessario poichè il convertitore in cascata necessita di un segnale costante durante il tempo di conversione I campionatori con frequenza di campionamento pari al doppio della banda di segnale sono detti campionatori di Nyquist importanti nel trattamento di segnale, non sono utilizzati nell ambito dei sistemi di controllo Il campionamento normalmente avviene a frequenze più elevate (oversampling), ed la scelta del relativo periodo dipende anche da altre considerazioni tempo normalizzato t/t 11

12 La conversione analogico/digitale Tra i fattori che condizionano la scelta del convertitore ci sono precisione risoluzione caratteristiche del segnale in ingresso velocità di conversione La funzione base è quella di convertire il rapporto tra la tensione del segnale analogico di ingresso ed una fissata tensione di riferimento in un numero intero troncamento arrotondamento Introduce sempre un errore di quantizzazione, i cui effetti saranno analizzati successivamente 12

13 La conversione digitale/analogico Si è visto che la ricostruzione di un segnale analogico a partire dai suoi campioni si ottiene concettualmente con un filtraggio passa basso Lo schema di generale della conversione D/A è x( n) D Anti-glitch Passa basso x a ( t) A T ω c Durante il cambiamento da un valore all altro, il D/A può provocare dei glitch. L anti glitch serve ad eliminarli L anti glitch genera un segnale pulsato con periodo τ minore o uguale a T 13

14 La conversione digitale/analogico Il filtro passa basso ricostruisce il segnale analogico Il segnale in ingresso è costituito da una sequenza di impulsi ad una frequenza 1/T. L ampiezza degli impulsi è τ e il valore corrisponde al valore della sequenza x(n) Solitamente si pone τ = T, così che l ingresso è un segnale a gradino 14

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