Università degli studi della Tuscia DIBAF Corso di Matematica Dr. L.Secondi a.a. 2014/15 SIMULAZIONE PROVA DI COMPLETAMENTO [A]

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1 ESERCIZIO 1 Il direttore di un ristorante di New York classifica i clienti in base a come si vestono in eleganti, casual e trasandati e rileva che, tra la sua clientela, le proporzioni di ogni categoria sono rispettivamente il 0%, il 40% e il 10%. Il direttore ha riscontrato inoltre che il 70% degli eleganti ordina il vino, così come il 0% dei casual e il 30% dei trasandati. a) Qual è la probabilità che un cliente scelto a caso ordini il vino? b) Se viene ordinato il vino, qual è la probabilità che chi lo ordina sia vestito in modo elegante? c) Se viene ordinato il vino, qual è la probabilità che chi lo ordina non sia vestito in modo elegante? ESERCIZIO 2 La tabella seguente riporta la distribuzione di 10 studenti universitari secondo i caratteri ore di studio dedicate alla preparazione di un esame universitario e svolgimento di un attività sportiva : Studio/Attività Si, tutti i giorni Si, qualche volta No sportiva a settimana a) Considerando la distribuzione (marginale) delle ore di studio, determinare la media, la mediana e la moda della distribuzione; b) Si ipotizzi di aver rilevato sugli stessi studenti anche il voto conseguito all esame e di aver ottenuto un valore medio pari a 24 e una deviazione standard pari a 4. Comparare, mediante il calcolo di un indice opportuno, la variabilità della distribuzione del voto con quella delle ore di studio indicando quale delle due distribuzioni presenta minore variabilità. c) E possibile affermare che oltre il 0% degli studenti intervistati studia meno di 20 ore per la preparazione dell esame in questione? d) Interpretando la probabilità secondo l approccio frequentista, determinare la probabilità di selezionare uno studente che svolge un attività sportiva tutti i giorni avendo già rilevato che dedica alla preparazione dell esame tra 20 e 40 ore. e) E possibile affermare che gli eventi Ore dedicate alla preparazione dell esame tra 20 e 40 e non svolgere attività sportiva sono statisticamente indipendenti? ESERCIZIO 3 Verificare la compatibilità del seguente sistema e, in caso affermativo, risolverlo applicando la regola di Cramer o ricorrendo al teorema di Rouché-Capelli: x y + 3z = 11 2x + 3y z = 6 4x + y + z = 28 Domanda teorica: 1. Descrivere cosa si intende per determinante di una matrice quadrata e, successivamente, illustrare la regola di Sarrus chiarendo in quali circostanze può essere applicata.

2 SOLUZIONE SINTETICA ESERCIZIO 1 Identifichiamo gli eventi nel modo seguente: E=cliente elegante C= cliente casual T= cliente trasandato P( E ) = 0.0 P( C ) = 0.40 P( T ) = 0.10 P ( V/ E) = 0.70 P ( V/ C) = 0.0 P ( ) V/ T = 0.30 a) la probabilità che un cliente scelto a caso ordini il vino si ottiene come: ( ) ( V/ E) ( ) ( V/ C) ( ) ( V/ T) ( ) P V = P P E + P P C + P P T = ( ) + ( ) + ( ) = = 0.8 b) Se viene ordinato il vino, qual è la probabilità che chi lo ordina sia vestito in modo elegante. La probabilità cercata è P ( E/ V) ( ) P( V ) ( ) (V/ E) P E V P E P = = P( V ) P E/ V = = ( ) c) Se viene ordinato il vino, qual è la probabilità che chi lo ordina non sia vestito in modo elegante ( ) P E / V = 1 P(E/ V ) = P( C / V ) + P( T / V ) P( E / V) = = 0.397

3 ESERCIZIO 2 Ore studio n c c *n f F d h =n /d a) x =17.33 Classe mediana Me = 1.83 Moda= classe (classe a cui è associata la più elevata densità di frequenza) b) µ voto = 24 Voto conseguito all esame: σ voto = 4 Avendo già determinato il valore medio delle ore di studio (pari a 17.33) occorre determinare la varianza e quindi lo scostamento quadratico medio (deviazione standard) ricordando che stiamo lavorando con una distribuzione di frequenza in classi. Si avrà quindi: ( ) 2 k c x n 2 = σ = N = 10 = da cui: σ ( ) 2 k c x n = = 1 = = N Per poter confrontare correttamente la variabilità delle due distribuzioni (ore di studio e voto conseguito) si deve procedere al calcolo del coefficiente di variazione (CV): σ 4 σ 9.81 CVvoto = = = CV ore = = = 0.66 µ 24 µ E possibile concludere che la distribuzione del voto all esame presenta minore variabilità. c) Calcolando le frequenze relative cumulate (e quindi le frequenze percentuali cumulate) si ottiene che circa il 66.7% degli studenti studia meno di 20 ore per la preparazione dell esame. Pertanto l affermazione è corretta.

4 d) P ( sport tutti i giorni ore studio 20-40) = = e) due eventi A e B si definiscono indipendenti se: P ( A B) = P ( A) P ( B) Nell esercizio proposto definiamo gli eventi: A: Ore dedicate alla preparazione dell esame tra 20 e 40 e B: non svolgere attività sportiva sono statisticamente indipendenti da cui si ha: P(A)=0/10=0.333 P(B)=7/10=0. P(A B)=2/10=0.167 Pertanto in caso di indipendenza si dovrà avere: ( A B) = ( ) ( ) P P A P B = Possiamo quindi concludere che i due eventi sono indipendenti. ESERCIZIO 3 Il rango della matrice incompleta ed il rango della matrice completa sono entrambi pari a 2. Il sistema è compatibile e ammette q-r=3-2=1 soluzioni

5 x y + 3z = 11 2x + 3y z = 6 4x + y + z = 28 x = ( 39 8h) 7 16 y = h z = h