Studio del comportamento di materiali anelastici per grandi deformazioni e spostamenti con un codice ad elementi finiti programmato per oggetti

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1 Studio del comportamento di materiali anelastici per grandi deformazioni e spostamenti con un codice ad elementi finiti programmato per oggetti Marco Morandini Dottorato di ricerca in ingegneria aerospaziale, XV ciclo 2002

2 Motivazione Scopo: legge costituiva per schiume metalliche grandi deformazioni flessioni pareti: materiale polare snervamento: pressione danneggiamento? Legge costitutiva iperelastica Equilibrio alle rotazione in forma debole Sviluppo codice

3 Notazione tensore gradiente di deformazione: F = x / = x /ξ i g i tensore destro di deformazione di Cauchy-Green C = F T F tensore di deformazione di Green: E = 1 (C I) 2 primo tensore sforzo di Piola-Kirchhoff: Ŝ = JσF T secondo tensore sforzo di Piola-Kirchhoff: tensore sforzo di Biot: S = F 1 Ŝ = JF 1 σf T T = Φ T Ŝ

4 Equilibrio Formulazioni Lagrangiane deformazioni quadratiche Π δ = S = S(E) V δe : SdV V δx fdv + S δx tds deformazioni lineari; equilibrio alla rotazione in forma debole Π δ = T = T S + ˆτ T S = T S ( ( Φ T F I ) S ) V ˆτ ax(φ T F ) = 0 δf : ΦT ϕ δ 2ax (ΦT ) F T ( ) +δ ˆτ 2ax Φ T F dv δx fdv δx tds V S

5 Misure di sforzo e deformazione coniugate Trasformazione coassiale di T r di C = F T F : T r (I) = 0 T r (C) C = 1 2 IS1243 C=I Tensore sforzo S coniugato con T r (C): δe : S = δt r (C) : S T r (E) E S δe = S : δe linearizzazione: richiede 2 T r (E) E 2

6 Deformazioni infinitesime decomposizione additiva tensore di deformazione: σ = W (ε εp ) ε con E e = 2 W (ε ε p ) ε 2 costante. dominio elastico Eσ = {(σ, q) S R m f(σ, q) 0} leggi di flusso: ε p = γr(σ, q) q = γh(σ, q) associate: ε p = γ f σ q = γ [D] f q

7 Legge costitutiva No legge ipoelastica Legge iperelastica Vincoli termodinamici: S = ψ /E t 1 t 0 S : Ėdt 0 con E(t 0 ) = E(t 1 ) (Naghdi e Trapp) ψ = 1 2 (E Hp ) : E : (E H p ) Ḣp = γ f S

8 Decomposizioni moltiplicative Deviatorica - volumetrica F = J 1 3F F = JF S vol = 1 3 S : C C 1 frag replacements S dev = S 1 3 S : C C 1 Elastica - plastica F = F e F p S p E f 0 g 0 S E p S0 sforzi deformazioni

9 Legge costitutiva I Recupero decomposizione additiva deformazioni trasformazione coassiale tensore di deformazione sforzo equivalente: spazio trasformato sforzo e deformazioni plastiche trasformate: legge flusso associata recupero sforzo e modulo tangente Identificazione deformazione plastica: post-processing E isotropo trasformazione logaritmica: coniugato R T τ R sforzo

10 Legge costitutiva II Decomposizione additiva deformazioni Sforzo equivalente: f(τ ) Legge flusso non associata recupero σ ɛ scarico: errato modulo elastico instabilità

11 Deformazione: E = 1 2 Sforzo di Biot ( ) F T F I ε S = C = F T F X S = ( ) S Φ T F I ( ) S Φ T F Decomposizione deviatorica volumetrica: det F det F = J 1 3F ε S = ( ) S Φ T F ( det ε S) 1 3 ε S Recupero decomposizione additiva deformazioni trasformazione coassiale tensore di deformazione sforzo equivalente: spazio trasformato sforzo e deformazioni plastiche trasformate: legge flusso associata recupero sforzo e modulo tangente Identificazione deformazione plastica: post-processing Trasformazione logaritmica

12 Codice Libreria metematica: tensori fino al quarto ordine corrispondenza formule programmazione: dδw = δe T : E : de ddw = deltae.transpose().ddot(e4).ddot(dee); Separazione dati indipendenti dipendenti Connessioni funzioni di interpolazione funzioni di integrazione punti integrazione dati indipendenti metrica dati dipendenti Contributi alle equazioni (elementi)

13 Codice Solutore diretto Newton Algoritmo ricerca del passo Elementi solidi Elementi solidi, orientazione e ˆτ costante Integrazione parzialmente ridotta Elementi di vincolo - moltiplicatori

14 Verifica del codice Problema non lineare: trave inflessa verifica elementi e procedura di soluzione confronto elementi: integrazione ridotta più flessibile Integrazione legge costitutiva PSfrag replacements σz B dεx dεz 45 C dεz A σx dεz dεx dεx

15 Misure sforzo - deformazione Trazione di un cubo di acciao forza/spostamento PSfrag replacements Soluzione di riferimento Assoc., def. quadratiche Non assoc., def. quadratiche Assoc., def. ln Forza [kn] Spostamento [mm] 3000 modulo elastico PSfrag replacements Modulo elastico [MPa] Non assoc., def. quadratiche Assoc., def. ln Spostamento [mm]

16 Cilindro in trazione Sforzo coniugato con la deformazione logaritmica

17 PSfrag replacements Cilindro in trazione Raggio 2499R 2501R 2502R 2515ST Hemp Nike2D Simo Deformazioni ln (l l 0 )/l 0 r/r 0

18 Cilindro in trazione - convergenza Quarto incremento di carico 1000 PSfrag replacements Norma e-06 Residuo: ricerca con limite Residuo: ricerca Soluzione: ricerca con limite Soluzione: ricerca 1e Iterazione

19 PSfrag replacements Cilindro in trazione - deformazioni quadratiche Raggio 1 r/r R 2501R 2502R 2515ST Hemp Nike2D Simo Non associata, def. quadratiche Associata, def. ln (l l 0 )/l 0 Deformata

20 PSfrag replacements Cilindro in trazione - equilibrio alla rotazione Raggio 1 r/r R 2501R 2502R 2515ST Hemp Nike2D Simo Deformazioni ln Deformazioni ln, sforzo di Biot (l l 0 )/l 0 Deformata

21 Conclusioni e sviluppi futuri Infrastruttura generale Leggi iperelastiche Dipendenza dalla pressione Materiali polari Leggi di danno propagazione del danno leggi non locali stabilità