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1 Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi e Geometria 1 Test di autovalutazione 1. Disegnare nel piano di Gauss i seguenti insiemi di numeri complessi: (a) A = {z C : z, 0 arg z /} (b) B = {w C : w = (1 + i) z, z A} (c) C 1 = {v C : v = w, w B} (d) C = {v C : v = w, w B} (e) C 3 = {v C : v = w, w B}.. Studiare la funzione f definita da f() = (Campo di esistenza, positività, simmetrie, derivata prima, punti di non derivabilità e loro classificazione, punti di massimo e di minimo, immagine, grafico). 3. Sia a un numero reale positivo. Calcolare l integrale I = e a e d.. Risolvere il seguente problema di Cauch = + (1) = 1. Determinare poi il massimo intervallo su cui la soluzione può essere estesa. 5. Si consideri la curva γ di equazioni parametriche = t + cos t γ : = t + sin t z = t t + 1 t R e il punto P 0 di γ corrispondente a t = 0. (a) Si scriva l equazione della retta tangente a γ nel punto P 0. (b) Si scriva l equazione cartesiana del piano osculatore a γ nel punto P 0. (c) Si scrivano i versori della terna intrinseca della curva γ nel punto P 0. (d) Si calcoli la curvatura e la torsione di γ nel punto P 0. (e) Si scrivano le equazioni delle sfere tangenti al piano osculatore di γ nel punto P 0 aventi raggio 1. (f) Si scrivano le equazioni cartesiane della circonferenza osculatrice Γ di γ nel punto P 0. 1

2 Soluzioni 1. (a) L insieme A è dato dalla seguente regione A (b) Poiché B = ( ) 1 + i A e 1 + i = cos + i sin, l insieme B si ottiene ruotando di un angolo ϑ = / (attorno all origine in senso antiorario) la regione corrispondente ad A e applicando poi una dilatazione di ragione. Quindi ossia B = {w C : w, B / arg w /} (c) Poiché C 1 = B, C 1 è il simmetrico di B rispetto all asse reale. Quindi C 1 = {v C : v, 3/ arg v 7/} ossia C 1

3 (d) Poiché w = w e arg w = arg w, si ha C = {v C : v 16, / arg v } ossia C 16 (e) Poiché le radici quadrate di un numero complesso w sono v 0 = ( w cos arg w + i sin arg w ) v 1 = ( ( arg w ) ( arg w w cos + + i sin si ha C 3 = C 3,0 C 3,1, dove )) +, C 3,0 = {v C : v, C 3,1 = {v C : v, /8 arg v /} 9/8 arg v 5/}. Abbiamo così la seguente regione C 3 8. (a) Campo di esistenza. Affinché la funzione esista deve essere 1 0, ossia 1, ossia 1 1. Si osservi che il denominatore non si annulla mai. Quindi il campo di esistenza è l intervallo chiuso e limitato D = [ 1, 1. (b) Positività. Si ha f() 0 per ogni D. In particolare, si ha f(±1) = 0. Quindi, in = ±1, la funzione presenta due punti di minimo (assoluto). (c) Simmetrie. La funzione è pari, ossia f( ) = f() per ogni D. Quindi, essendo simmetrica rispetto all asse, la funzione può essere studiata solo per [0, 1. (d) Derivata prima. Si ha f (1 + () = ) 1 per > (1 + ) 1 + per < 0. 3

4 (e) Punti di non derivabilità e loro classificazione. La funzione non è derivabile agli estremi dell intervallo D, ossia in = ±1. Infatti, si ha lim f () = e lim f () = +. 1 ( 1) + In questi punti si ha tangente verticale. Inoltre la funzione non è derivabile nemmeno in = 0, poiché lim 0 + f () = 1 e lim f () = 1 0. In corrispondenza di = 0, quindi, si ha un punto angoloso. (f) Punti di massimo e di minimo. Poiché per ogni (0, 1), la funzione è decrescente su tutto l intervallo (0, 1). Per simmetria, la funzione è crescente su tutto l intervallo ( 1, 0). Pertanto, la funzione ha un punto di massimo (assoluto) in = 0, dove f(0) = 1. Come già osservato, la funzione presenta anche due punti di minimo (assoluto) in = ±1. (g) Immagine. La funzione è continua sul suo dominio, che è un intervallo chiuso e limitato. Quindi per il teorema di Weierstrass ed il teorema dei valori intermedi, si ha Imf = [0, 1. (h) Grafico: Posto t = e, si ha dt = e d e a I = t dt = t a t + a arcsin t a = e a e + a arcsin e a.. L equazione differenziale data è lineare: () () =

5 ed è definita per. Integrando, si ha () = e d e d d + c = e ln e ln d + c = ( ) ( ) d + c + = ( ) ( ) d + c = ( ) 1 d + ( ) d + c [ = ( ) ln + c = ( ) ln ( ) + c( ). Imponendo la condizione iniziale (1) = 1, si ottiene c = 1 e quindi la soluzione 0 () = ( ) ln ( ) ( ) = ( ) ln +. L intervallo massimale su cui possiamo considerare questa soluzione è (, ). 5. Si ha = 1 sin t = 1 + cos t z = t 1 = cos t = sin t z = = sin t = cos t z = 0. Quindi P 0 = f(0) = (1, 0, 1), f (0) = (1,, 1), f (0) = ( 1, 0, ), f (0) = (0, 1, 0). (a) La retta tangente a γ nel punto P 0 ha equazioni parametriche = (0) + (0)t = 1 + t = (0) + (0)t ossia = t z = z(0) + z (0)t z = 1 t. (b) Il piano osculatore a γ nel punto P 0 ha equazione (0) (0) z z(0) (0) (0) z (0) (0) (0) z (0) = 0, ossia da cui si ha + z 6 = 0. (c) Il versore tangente è 1 z = 0 t(0) = f (0) (1,, 1) f =. (0) 6 Poiché i j k f (0) f (0) = = (, 1, ) e f (0) f (0) = 1, il versore binormale è b(0) = f (0) f (0) (, 1, ) f (0) f =. (0) 1 Infine, il versore normale è n(0) = b(0) t(0) = i j k = ( 3, 6, 9) 3 1 = ( 1,, 3) 1. 5

6 (d) La curvatura di γ nel punto P 0 è Inoltre, si ha Quindi la torsione è κ(0) = f (0) f (0) f (0) 3 = [f (0), f (0), f (0) = = 1. τ(0) = [f (0), f (0), f (0) f (0) f (0) = 1 1. (e) I centri delle sfere cercate giacciono sulla retta che passa per P 0 ed è ortogonale al piano osculatore di γ in P 0 (ossia che ha b come vettore direttore). Tale retta ha equazioni parametriche = 1 + t = t z = 1 + t. Poiché i centri distano 1 dal piano osculatore di γ nel punto P 0, si deve avere (1 + t) ( t) + (1 + t) 6 1 = 1 da cui t = 1, ossia t = ±1. Per questi valori del parametro abbiamo i due centri C 1 (5, 1, 3) e C ( 3, 1, 1), e quindi le due sfere S 1 : ( 5) + ( + 1) + (z 3) = 1 S : ( + 3) + ( 1) + (z + 1) = 1. (f) Il raggio della circonferenza osculatrice Γ coincide con il raggio di curvatura r = r(0) = 1 κ(0) = 6 7 = 1. 1 Il centro di Γ è il punto C che appartiene alla retta = 1 t = t z = 1 + 3t passante per P 0 e con direzione n(0). Poiché d(c, P ) = r, si deve avere 1 t = 1 1 ossia t = 6/7. Poiché C si trova dalla parte di n(0), il parametro t deve essere positivo e quindi t = 6/7. Pertanto C (1/7, 1/7, 5/7). Infine, Γ giace sul piano osculatore. Quindi, le equazioni cartesiane delle circonferenza osculatrice sono { ( 1/7) + ( 1/7) + (z 5/7) = 7/7 Γ : + z 6 = 0. 6

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