Geotecnica e Laboratorio. L acqua nel terreno Permeabilità delle terre

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1 Corso di Laurea a ciclo Unico in Ingegneria Edile-Architettura Geotecnica e Laboratorio L acqua nel terreno Permeabilità delle terre Prof. Ing. Marco Favaretti marco.favaretti@unipd.it website: 1

2 Permeabilità Il flusso di acqua attraverso un mezzo poroso può avvenire in condizioni stazionarie o non stazionarie. Il flusso di acqua può inoltre essere classificato come 1-D// -D// 3-D. Nel flusso 1-D tutti i parametri dell acqua (pressione, velocità, temperatura, ecc.) sono costanti su ciascuna sezione trasversale perpendicolare alla direzione del flusso. Questi stessi parametri possono ovviamente variare da sezione a sezione lungo la direzione del flusso. (es. percolazione verticale di acqua meteorica). Nel flusso -D tutti i parametri dell acqua sono costanti su piani paralleli (es. flusso attraverso una diga in terra). Nel flusso 3-D tutti i parametri possono variare nelle tre direzioni x, y, z (es. filtrazione di un fluido contaminato con sorgente puntiforme). Le variazioni di densità dell acqua possono essere trascurate ai livelli di sollecitazione tipici dell ingegneria geotecnica. Il fluido viene quindi considerato incomprimibile.

3 Permeabilità Il MOTO è considerato LAMINARE quando l acqua si muove su piani tra loro paralleli, senza miscelazioni o turbolenze (condizione in cui fluttuazioni di velocità casuali determinano miscelazioni di acqua e dissipazione di energia interna). Ci possono essere anche stati intermedi tra il moto laminare e quello turbolento. i: gradiente idraulico h: perdita di carico i = L: lunghezza del percorso L h La perdita di carico o di energia aumenta in modo lineare con la velocità (moto laminare). Il passaggio da I a III avviene attraverso la fase di transizione. Diminuendo la v da III a I il passaggio avviene direttamente senza transizione. 3

4 Che cos é la permeabilità? Misura la capacità di un terreno a farsi attraversare da un fluido, in particolare l acqua. Ogni terra e roccia soddisfa a questa condizione. L acqua passa quindi attraverso sia l argilla, sia la ghiaia, ma tale fenomeno avviene con intensità completamente diverse. Terra sciolta Terra densa acqua Terra sciolta - Facile da permeare - Permeabilità più elevata Terra densa - Più difficile da permeare - Permeabilità più bassa 4

5 Permeabilità Darcy (1856) stabilì che la velocità di flusso attraverso le sabbie pulite è direttamente proporzionale alla perdita di carico e inversamente proporzionale alla lunghezza del percorso. v = k i LEGGE DI DARCY (1856): valida per moti di tipo laminare. Terzaghi ha dimostrato la sua applicabilità a tutti i terreni; Tavenas e altri (1983) hanno ammesso la validità della legge per i = 0,1 50, mentre per i inferiori hanno sottolineato l impossibilità di verificarne l attendibilità a causa delle variazioni di volume del campione. LEGGE DI CONSERVAZIONE DELLA MASSA. Nel caso di moti stazionari di fluidi incompressibili questa legge si riduce all EQUAZIONE DI CONTINUITA : q = v A1 = v A 1 = costante 5

6 EQUAZIONE DELL ENERGIA MONODIMENSIONALE (Bernoulli) per moti stazionari di fluidi incompressibili: Permeabilità energia costante z g p v z g p v w 1 w 1 1 = + ρ + = + ρ + Questa equazione rappresenta l energia di un moto stazionario in ntermini di energia per unità di massa di fluido (J/kg). Spesso tale equazione viene rappresentata in termini di energia per unità di volume, dividendo ciascun termine per g : carico totale costante z p v z g p g v w 1 w 1 1 = + ρ + = + ρ + 6

7 Permeabilità Il moto d acqua è dovuto ad una differenza di carico totale esistente tra un punto di partenza e uno di arrivo. Durante tale moto (in tubi, canali, nel terreno) si genera una perdita di energia o di carico totale h f. v 1 p1 v p + + g z1 = + + g z + h f ρw ρw Parliamo di CARICO cinetico, di pressione, di posizione poiché ciascun termine dimensionalmente è una lunghezza. Nei moti di filtrazione nei terreni il carico cinetico viene trascurato essendo assai modesto. 7

8 Permeabilità q = v A = k i A = k h L A La permeabilità intrinseca K i è definita come: K i = k µ ρ g = k µ γ = k ν γ µ viscosità dinamica o assoluta (Pa sec); ν viscosità cinematica (= µ/ρ) (m /sec) v n porosità; velocità effettiva dell acqua nel terreno = n v s Essendo n < 1 la velocità effettiva è sempre maggiore della velocità espresso come q/a. 8

9 Permeabilità La legge di Darcy vale certamente in sabbie pulite. In ghiaie molto pulite o in detriti rocciosi il flusso può essere di tipo turbolento. Hansbo (1960) ha rilevato che in terreno argillosi e per gradienti i bassi la relazione tra i e v non è lineare (n 1.5) 9

10 Prove di Permeabilità in laboratorio k = Q L a L h1 k = ln h A t A t h 10

11 Permeabilità 11

12 Condizione idrostatica h w σ v ( x) = γ h + γ z w w sat L z X provino u ( x) = γ (h z) σ' v w w + ( x) = ( γ γ ) z = γ' z sat w 1

13 σ u v Moto verticale dall alto in basso ( x) = γ h + γ z w w sat ( x) = γ ( h + z) γ h = γ ( h + z) γ i z σ' v w w w ( x) = γ' z + γ i z w z L uguale al caso idrostatico w w w flusso Effetto (-) del moto h h w u = γ w h w Effetto (+) del moto L z X provino u = γ w (h w +L-h) 13

14 Moto verticale dal basso verso l alto σ v ( x) = γ h + γ z w w sat uguale al caso idrostatico u ( x) = γ ( h + z) + γ h = γ ( h + z) + γ i z σ' v w w w z L ( x) = γ' z γ i z w w w w Effetto (+) del moto u = γ w h w flusso h h w Effetto (-) del moto L z X soil u = γ (h w +L+h) 14

15 Gradiente critico Gradiente idraulico CRITICO (i c ) σ' v ( x) = γ' z γw i z = γw z i γ w γ' flusso h i > i c la tensione efficace è analiticamente negativa. La situazione è inverosimile, ma corrisponde ad una situazione di assenza di contatti intergranulari. La resistenza al taglio del terreno è nulla. h w L z X soil 15

16 Gradiente critico Quanto maggiore è h al di sopra di B, tanto maggiore sarà l energia, o perdita di carico, dissipata nell attraversamento del provino. Maggiori saranno pure le forze di filtrazione trasmesse dall acqua al provino. Quando le forze di filtrazione superano quelle gravitazionali si dice che è stata raggiunta una quick condition e si assiste al manifestarsi di bolle nel terreno. 16

17 Erosione e sifonamento attraverso il corpo diga o il terreno di fondazione 17

18 Sifonamento fontanazzi 18

19 Moti di filtrazione monodimensionali Esercizio n.01 19

20 Moti di filtrazione monodimensionali Esercizio n.01 0

21 Moti di filtrazione monodimensionali Esercizio n.0 0 cm 1

22 Moti di filtrazione monodimensionali Esercizio n.0 0 cm

23 Moti di filtrazione monodimensionali Esercizio n.03 3

24 Moti di filtrazione monodimensionali Esercizio n.03 4

25 Moti di filtrazione monodimensionali Esercizio n.04 5

26 Moti di filtrazione monodimensionali Esercizio n.05 6

27 Moti di filtrazione monodimensionali Esercizio n.06 7

28 Moti di filtrazione monodimensionali k 1 = 5 k Il gradiente è lo stesso per i due terreni, L 1 = L Esercizio n.07 8

29 Moti di filtrazione bidimensionali Per calcolare la portata di filtrazione attraverso i terreni è utile determinare la distribuzione della pressione dell acqua dei pori mediante la costruzione del reticolato di flusso, cioè del sistema di linee di corrente e di linee equipotenziali che rappresentano il flusso dell acqua attraverso un terreno incompressibile. 9

30 Moti di filtrazione bidimensionali Accettando l ipotesi di terreno incompressibile per i moti di filtrazione in regime permanente e piani, l equazione di continuità può essere scritta nella forma: v x v z x + z = 0 Le due componenti della velocità del liquido, in base alla legge di Darcy, possono essere espresse nella forma seguente: v x = k i x = k h x v z = k i z = k h z Combinando queste tre equazioni si ottiene: x h + z h = 0 che è l equazione di Laplace per moto permanente su un piano, nell ipotesi di materiale omogeneo, isotropo e incompressibile. 30

31 Moti di filtrazione bidimensionali Questa equazione può essere espressa a mezzo di due funzioni coniugate φ e ψ. Possiamo esprimere v x e v z come derivate parziali rispetto a x e z della funzione φ = k h e quindi: φ = x v x = k h x φ z = v z = k h z Possiamo allora scrivere: x φ + z φ = 0 * L esistenza della funzione [φ = k h] funzione a potenziale di velocità per un fluido in moto, implica vorticità nulla e che il moto sia irrotazionale. Possiamo allora dire che si ha una funzione di corrente tale che : ψ v x = z ψ v z = x 31

32 Moti di filtrazione bidimensionali E quindi si ha: φ ψ = x z φ ψ = z x Possiamo allora scrivere: ψ z + ψ x = 0 ** φ e ψ sono conosciute come funzione rispettivamente di potenziale e di corrente. La soluzione delle due equazioni (*) e (**) può essere rappresentata graficamente da due complessi di linee per valori di φ e ψ costanti, complessi detti di linee equipotenziali e di linee di corrente che si tagliano reciprocamente ad angolo retto. 3

33 Moti di filtrazione bidimensionali La rete di filtrazione è la soluzione grafica dell equazione di Laplace in -D. h x + h z = 0 Dove h è il carico nel punto di coordinate (x, z). L equazione di Laplace rappresenta la perdita di energia che si verifica in ogni mezzo resistivo. Se le condizioni al contorno (geometria, condizioni di flusso, carico idraulico al contorno) sono semplici, può essere possibile risolvere il problema in forma chiusa, quindi in modo esatto. Le reti di filtrazioni o le soluzioni numeriche non sono soluzioni esatte, ma soddisfano i principali problemi ingegneristici 33

34 Moti di filtrazione bidimensionali Linee guida per disegnare una rete di filtrazione. Le LF e LE devono essere disegnate in modo tale che le figure tra loro delimitate siano approssimativamente dei quadrati con angoli retti ai vertici. Non tutti i quadrati hanno le stesse dimensioni. Le LF non intersecano i contorni impermeabili, poiché questi sono pure LF. Le LE intersecano a 90 le linee di contorno impermeabili. Il numero di canali di flusso e quello di salti di EP non necessariamente devono essere numeri interi. Possono essere quindi anche frazioni di numeri interi. 34

35 Moti di filtrazione bidimensionali Linea di flusso o di filtrazione è il percorso seguito da una particella d acqua da monte a valle il carico totale diminuisce lungo tale linea h L H = h L traversa H = 0 terreno Strato impermeabile 35

36 Moti di filtrazione bidimensionali Linea equipotenziale è il luogo dei punti caratterizzati dal medesimo carico totale h L H = h L traversa H = 0 H=0.8 h L soil Strato impermeabile 36

37 Moti di filtrazione bidimensionali La rete di filtrazione è costituita da una serie di linee di flusso e di linee equipotenziali che descrivono il moto di filtrazione nel terreno traversa 90º terreno Strato impermeabile 37

38 Moti di filtrazione bidimensionali Q N k h f L N d Numero di canali di flusso Portata d acqua di filtrazione (Q) =. per unità di lunghezza normale al piano considerato Numero di salti di equipotenziale Perdita di carico totale da monte a valle h L traversa Strato impermeabile 38

39 Moti di filtrazione bidimensionali Sifonamento Gradiente idraulico in uscita i uscita = h l F = sifonamento i i c uscita Valori tipici di F compresi tra 5-6 traversa h L l datum h = perdita di carico totale per campo equipotenziale terreno Strato impermeabile 39

40 Moti di filtrazione bidimensionali 40

41 Moti di filtrazione bidimensionali 41

42 Moti di filtrazione bidimensionali La rete di filtrazione potrebbe in linea teorica essere costituita da un numero infinito di linee di flusso (LF) e di linee equipotenziali (LE). Nella realtà viene selezionato solo un numero finito di linee, rappresentative del moto. Il gradiente idraulico è pari al rapporto tra la perdita di carico tra due LE e la distanza tra le stesse LE. 4

43 Moti di filtrazione bidimensionali 43

44 Moti di filtrazione bidimensionali 44

45 Moti di filtrazione bidimensionali 45

46 Moti di filtrazione bidimensionali 46

47 Moti di filtrazione bidimensionali 47

48 Moti di filtrazione bidimensionali 48

49 Moti di filtrazione bidimensionali 49

50 Moti di filtrazione bidimensionali 50

51 Terreni stratificati 51

52 Terreni stratificati Flusso d acqua orizzontale k 1 k H 1 H Flusso d acqua orizzontale k H, eq H 1 + H k H,eq = H 1 *k1 + H *k H H + H H 1 n n k n = H k ( ) ( H) i i

53 Terreni stratificati Prefiltro di sabbia pompa Strato equivalente Strato 1 (k 1, H 1 ) Strato (k, H ) k equivalente spessore = H1 + H + H3 Strato 3 (k 3, H 3 )

54 ( ) ( ) = = i i n n 1 1 n 1 v,eq k H H k H... k H k H H... H H k Flusso d acqua verticale k 1 k H 1 + H k H, eq H 1 H Moti di filtrazione bidimensionali

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