Le figure che abbiamo ottenuto prendono il nome di spezzate o poligonali. Una spezzata può essere: H S T U

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2 Prendiamo in considerazione le figure geometriche nel piano, cioè le figure piane, intendendo con questo termine un qualsiasi insieme di punti appartenenti a uno stesso piano. Disegniamo più segmenti consecutivi: L N D P E M O Le figure che abbiamo ottenuto prendono il nome di spezzate o poligonali. Q F G R T U H V I S Una spezzata può essere: aperta, se il primo segmento e l ultimo non sono consecutivi; chiusa, se il primo e l ultimo segmento sono consecutivi; semplice, se segmenti non consecutivi non si incontrano in alcun punto; intrecciata, se segmenti non consecutivi si incontrano in un punto.

3 Riassumiamo in una tabella a doppia entrata: Spezzata perta hiusa Semplice Intrecciata Una spezzata semplice chiusa divide il piano in due parti, una interna e una esterna. Quella esterna è infinita, quella interna è finita. La parte interna è quella che si chiama poligono. α E D

4 Si chiama poligono la parte di piano limitata da una spezzata semplice chiusa. E D Le parole della matematica: lato F diagonale Vertice E ngolo esterno D ngolo interno α La spezzata che delimita il poligono si chiama contorno e rappresenta il perimetro del poligono. I segmenti che formano la spezzata si chiamano lati del poligono, e i loro estremi, vertici del poligono, gli angoli convessi formati da due segmenti consecutivi, angoli interni del poligono, gli angoli formati da un lato e dal prolungamento del lato consecutivo, angoli esterni del poligono. ngoli interni e angoli esterni aventi il vertice in comune sono adiacenti e quindi supplementari: α + β = 180. Il segmento che unisce due vertici non consecutivi si chiama diagonale.

5 Il triangolo è un poligono di tre lati e tre angoli. In esso, ovviamente, possiamo anche affermare che: la somma degli angoli esterni misura 2 x 180 α γ β la somma degli angoli interni misura 180 Elementi di un triangolo Si dicono elementi di un triangolo i suoi lati e i suoi angoli interni ed esterni. α β γ compreso fra e, opposto a ; compreso fra e, opposto a ; compreso fra e, opposto ad.

6 onsideriamo il poligono DE e i suoi angoli interni. Sappiamo che angoli interni e angoli esterni aventi il vertice in comune sono supplementari, cioè: α + α = 180 e β + β = 180 omplessivamente allora la somma degli angoli interni ed esterni di un poligono di 5 lati è 5 angoli piatti: = S c bbiamo visto prima che la somma degli angoli esterni è sempre pari a due angoli piatti: Quindi: S I S E = = S SE cioè SI Possiamo concludere dicendo che: In un poligono qualsiasi di n lati, la somma degli angoli interni è sempre : = ( n 2 ) 180 S I ' α E ω α β = = (5 2) 180 δ γ D ' β Sc= angoli esterni + angoli interni SE = somma angoli esterni SI = somma angoli interni

7 Il triangolo è un poligono di tre lati e tre angoli. In esso, ovviamente, possiamo anche affermare che: la somma degli angoli esterni misura 2 x 180 α γ β la somma degli angoli interni misura 180 Elementi di un triangolo Si dicono elementi di un triangolo i suoi lati e i suoi angoli interni ed esterni. α β γ compreso fra e, opposto a ; compreso fra e, opposto a ; compreso fra e, opposto ad.

8 equilatero, se ha i tre lati congruenti; rettangolo, se ha un angolo retto; isoscele, se ha due lati congruenti; scaleno, se ha i tre lati disuguali. acutangolo, se ha tre angoli acuti; ottusangolo, se ha un angolo ottuso.

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10 onsideriamo il triangolo e il suo vertice ; il segmento H che inizia da questo vertice e va a intersecare il lato opposto perpendicolarmente ad esso si chiama altezza del triangolo relativa al lato e il punto H si chiama piede dell altezza. H Poiché il triangolo ha tre lati, avrà complessivamente tre altezze: M K H relativa al lato, di piede H; O K relativa al lato, di piede K; M relativa al lato, di piede M. H In un qualsiasi triangolo le tre altezze si incontrano in un unico punto O detto ortocentro.

11 Disegniamo un triangolo rettangolo e le sue tre altezze. K Osserviamo che: H M O a) l altezza H, relativa al lato, coincide con il lato, che si chiama cateto; b) L altezza M, relativa al lato, coincide con il lato, che è l altro cateto. c) I due piedi H e M coincidono con il vertice dell angolo retto, il piede K è interno al terzo lato, che si chiama ipotenusa; d) L ortocentro O coincide con i due piedi H e M e con il vertice

12 Disegniamo adesso un triangolo ottusangolo e le sue tre altezze, osserviamo che: a) Solo L altezza K, relativa al lato, è interna al triangolo e quindi il suo piede K è interno ad ; K b) Le due altezze H, relativa a, e M, relativa ad, sono esterne al triangolo, esse incontrano il lato relativo nel suo prolungamento, quindi i loro piedi H ed M sono punti esterni ai lati e ; H M c) L ortocentro è un punto esterno al triangolo; esso è il punto di incontro dei prolungamenti delle tre altezze. o

13 Possiamo riassumere dicendo che: L altezza di un triangolo relativa a un lato è il segmento perpendicolare condotto dal vertice opposto alla retta a cui appartiene il lato. Le tre altezze di un triangolo si incontrano in un unico punto O detto ortocentro che può essere interno (nel triangolo acutangolo), esterno (nel triangolo ottusangolo) o coincidente con il vertice dell angolo retto (nel triangolo rettangolo). ortocentro O H O H ortocentro O H ortocentro

14 onsideriamo il triangolo e il suo vertice ; il segmento M che unisce questo vertice con il lato opposto, dividendo l angolo in due parti di uguale ampiezza, si dice bisettrice di vertice del triangolo. M Poiché il triangolo ha tre vertici, avrà complessivamente tre bisettrici: M bisettrice di vertice ; N bisettrice di vertice ; P N P bisettrice di vertice. M

15 Diciamo che: La bisettrice di un triangolo relativa a un vertice è il segmento che unisce il vertice con il lato opposto dividendo a metà l angolo, è cioè il segmento di bisettrice di quell angolo. Le tre bisettrici si incontrano in un unico punto I, detto incentro, che è sempre interno al triangolo. I incentro I incentro I incentro In un qualsiasi triangolo l incentro è equidistante dai tre lati.

16 onsideriamo il triangolo DE e il suo vertice ; il segmento T che unisce questo vertice con il punto medio del lato opposto si chiama mediana relativa al lato DE. nche di mediane, naturalmente, ne esistono tre: T mediana relativa al lato DE D R T S E DS mediana relativa al lato E ER mediana relativa al lato D D T E In ogni triangolo le tre mediane si incontrano in un unico punto detto baricentro. In ogni triangolo le mediane e il baricentro sono sempre interni. In un qualsiasi triangolo il baricentro divide ogni mediana in due parti che sono una il doppio dell altra.

17 Esaminiamo la parola baricentro, essa deriva dal greco bàros, peso, e letteralmente significa centro del peso. Il baricentro gode infatti di una notevole proprietà fisica: è l unico punto di equilibrio del triangolo. Se disegniamo un triangolo su un cartoncino rigido, lo ritagliamo e cerchiamo di farlo stare in equilibrio su una punta o appendendolo a un filo, ci accorgiamo che dobbiamo appoggiarlo o appenderlo per il suo baricentro.

18 Possiamo riassumere dicendo che: La mediana di un triangolo relativa a un lato è il segmento che unisce il punto medio del lato con il vertice opposto. Le tre mediane si incontrano in un unico punto, detto baricentro, che è sempre interno al triangolo. Il baricentro divide ogni mediana in due parti, una doppia dell altra, ed è il punto di equilibrio del triangolo. D G L baricentro baricentro E F H baricentro I

19 D onsideriamo il triangolo DEF e il suo lato EF, sia M il punto medio di EF; la retta m, perpendicolare a EF passante per il punto M, si chiama asse del lato EF E M F asse Essendo tre i lati, tre sono gli assi di un triangolo: m D M asse del lato EF N asse del lato DF R asse del lato DE r R N n In ogni triangolo i tre assi si incontrano in un unico punto detto circocentro. E M m F

20 onsideriamo ancora il triangolo acutangolo, gli assi dei suoi lati e il circocentro: il circocentro è un punto interno al triangolo. r R D N n E M m F Disegniamo un triangolo rettangolo, gli assi e il circocentro; il circocentro coincide sempre con il punto medio dell ipotenusa Disegniamo un triangolo ottusangolo, gli assi e il circocentro: il circocentro è sempre un punto esterno al triangolo. r R M n N m r R n NN M m

21 O Disegniamo un triangolo qualsiasi OPQ, gli assi e il circocentro; misuriamo con un righello i segmenti O, Q e P, ci accorgiamo che hanno la stessa lunghezza: r R N n O P Q P M Q m Possiamo dire che: In un qualsiasi triangolo il circocentro è equidistante dai vertici.

22 Riassumendo quanto detto: L asse di un triangolo relativo a un lato è la retta perpendicolare passante per il punto medio del lato considerato. I tre assi si incontrano in un unico punto detto circocentro che può essere interno (triangolo acutangolo), esterno (triangolo ottusangolo) o coincidente con il punto medio dell ipotenusa (triangolo rettangolo). Il circocentro è sempre equidistante dai vertici del triangolo. G circocentro L circocentro circocentro D E Ortocentro, incentro, baricentro e circocentro prendono il nome di punti notevoli di un triangolo. F H N I

23 Il perimetro di un poligono è la somma del suo contorno, cioè la somma della misura di tutti i suoi lati triangolo equilatero triangolo

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