Definizione di limite

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1 Definizione di limite Simone Alghisi Liceo Scientifico Luzzago A.S. 2014/2015 Simone Alghisi (Liceo Scientifico Luzzago) Definizione di limite A.S. 2014/ / 16

2 Definizioni Iniziamo con il ricordare la definizione di intorno di un punto x 0 R. (1.1) Definizione Dato un punto x 0 R, chiamiamo intorno di x 0 ogni intervallo aperto contenente x 0. Calcolare il limite di una funzione f : D R (con D R dominio della funzione y = f(x)) significa capire l andamento della funzione nelle vicinanze di x 0 (cioè significa individuare il comportamento della funzione in un intorno di x 0 ). Il punto x 0 deve essere di accumulazione per il dominio D della funzione. Simone Alghisi (Liceo Scientifico Luzzago) Definizione di limite A.S. 2014/ / 16

3 Casi di limite Esistono globalmente quattro casi generali di limite di una funzione: Caso 1. Limite finito per x che tende ad un valore finito; Caso 2. Limite finito per x che tende ad un valore infinito; Caso 3. Limite infinito per x che tende ad un valore finito; Caso 4. Limite infinito per x che tende ad un valore infinito. Simone Alghisi (Liceo Scientifico Luzzago) Definizione di limite A.S. 2014/ / 16

4 Definizione generale di limite I quattro casi di limite precedenti possono essere ricondotti ad un unica definizione che utilizza la nozione di intorno. (1.2) Definizione (generale di limite) Siano D R, f : D R una funzione, x 0 R {, + } un punto di accumulazione per il dominio D e l R {, + }. Diciamo che il limite per x che tende ad x 0 di y = f(x) è l se per ogni intorno V l di l esiste un intorno U x0 di x 0 tale che f(u x0 D) V l. In tale caso scriveremo lim f(x) = l. x x 0 Spesso in Analisi Matematica l insieme R {, + } viene indicato con R (e si chiama chiusura di R). Simone Alghisi (Liceo Scientifico Luzzago) Definizione di limite A.S. 2014/ / 16

5 Limite finito per x che tende ad un valore finito La definizione (1.2) può essere maggiormente caratterizzata in base al caso di limite che si deve analizzare. (1.3) Definizione Siano D R, f : D R una funzione, x 0 R un punto di accumulazione per il dominio D e l R. Diciamo che il limite per x che tende ad x 0 di y = f(x) è l se per ogni ε positivo e piccolo a piacere, esiste un intorno I di x 0 tale che, per ogni x I (escluso al più x 0 stesso) risulti f(x) l < ε. In tal caso si scrive lim f(x) = l. x x 0 Simone Alghisi (Liceo Scientifico Luzzago) Definizione di limite A.S. 2014/ / 16

6 Come si verifica il limite Se si conosce il valore l del limite e si vuole dimostrarne la correttezza, si procede nel modo seguente: fissato ε > 0, si imposta la disequazione f(x) l < ε; si risolve la precedente disequazione; si osserva che l insieme delle soluzioni è un intorno del punto x 0. Si ricorda che la disequazione f(x) l < ε equivale al sistema { f(x) l < ε f(x) l > ε Simone Alghisi (Liceo Scientifico Luzzago) Definizione di limite A.S. 2014/ / 16

7 Sottocasi della definizione di lim x x0 f(x) = l 1 lim x x + 0 f(x) = l + si traduce nel modo seguente: per ogni ε > 0, esiste un intorno destro I + di x 0 tale che, per ogni x I + si ha l < f(x) < l + ε; 2 lim x x + 0 f(x) = l si traduce nel modo seguente: per ogni ε > 0, esiste un intorno destro I + di x 0 tale che, per ogni x I + si ha l ε < f(x) < l; 3 lim x x 0 f(x) = l + si traduce nel modo seguente: per ogni ε > 0, esiste un intorno sinistro I di x 0 tale che, per ogni x I si ha l < f(x) < l + ε; 4 lim x x 0 f(x) = l si traduce nel modo seguente: per ogni ε > 0, esiste un intorno sinistro I di x 0 tale che, per ogni x I si ha l ε < f(x) < l. Simone Alghisi (Liceo Scientifico Luzzago) Definizione di limite A.S. 2014/ / 16

8 Limite infinito per x che tende ad un valore finito La definizione generale di limite (1.2) può essere maggiormente caratterizzata come segue. (1.4) Definizione Siano D R, f : D R una funzione e x 0 R un punto di accumulazione per il dominio D. Diciamo che il limite per x che tende ad x 0 di y = f(x) è infinito se per ogni K positivo e grande a piacere, esiste un intorno I di x 0 tale che, per ogni x I (escluso al più x 0 stesso) risulti f(x) > K. In tal caso si scrive lim f(x) =. x x 0 Simone Alghisi (Liceo Scientifico Luzzago) Definizione di limite A.S. 2014/ / 16

9 Come si verifica il limite Se si conosce il valore del limite (infinito) e si vuole dimostrarne la correttezza, si procede nel modo seguente: fissato K > 0, si imposta la disequazione f(x) > K; si risolve la precedente disequazione; si osserva che l insieme delle soluzioni è un intorno del punto x 0. Si ricorda che la disequazione f(x) > K equivale a f(x) < K f(x) > K. Simone Alghisi (Liceo Scientifico Luzzago) Definizione di limite A.S. 2014/ / 16

10 Sottocasi della definizione di lim x x0 f(x) = 1 lim x x + 0 f(x) = + si traduce nel modo seguente: per ogni K > 0, esiste un intorno destro I + di x 0 tale che, per ogni x I + si ha f(x) > K; 2 lim x x + 0 f(x) = si traduce nel modo seguente: per ogni K > 0, esiste un intorno destro I + di x 0 tale che, per ogni x I + si ha f(x) < K; 3 lim x x 0 f(x) = + si traduce nel modo seguente: per ogni K > 0, esiste un intorno sinistro I di x 0 tale che, per ogni x I si ha f(x) > K; 4 lim x x 0 f(x) = si traduce nel modo seguente: per ogni K > 0, esiste un intorno sinistro I di x 0 tale che, per ogni x I si ha f(x) < K. Simone Alghisi (Liceo Scientifico Luzzago) Definizione di limite A.S. 2014/ / 16

11 Limite finito per x che tende ad un valore infinito La definizione generale di limite (1.2) può essere maggiormente caratterizzata come segue. (1.5) Definizione Siano D R illimitato, f : D R una funzione e l R. Diciamo che il limite per x che tende a infinito di y = f(x) è l se per ogni ε positivo e piccolo a piacere, esiste M > 0 tale che, per ogni x R con x > M risulti f(x) l < ε. In tal caso si scrive lim f(x) = l. x Simone Alghisi (Liceo Scientifico Luzzago) Definizione di limite A.S. 2014/ / 16

12 Come si verifica il limite Se si conosce il valore l del limite e si vuole dimostrarne la correttezza, si procede nel modo seguente: fissato ε > 0, si imposta la disequazione f(x) l < ε; si risolve la precedente disequazione; si osserva che l insieme delle soluzioni è un intorno di. Simone Alghisi (Liceo Scientifico Luzzago) Definizione di limite A.S. 2014/ / 16

13 Sottocasi della definizione di lim x f(x) = l 1 lim x + f(x) = l+ si traduce nel modo seguente: per ogni ε > 0, esiste un M > 0 tale che, per ogni x R con x > M si ha l < f(x) < l + ε; 2 lim x + f(x) = l si traduce nel modo seguente: per ogni ε > 0, esiste un M > 0 tale che, per ogni x R con x > M si ha l ε < f(x) < l; 3 lim x f(x) = l+ si traduce nel modo seguente: per ogni ε > 0, esiste un M > 0 tale che, per ogni x R con x < M si ha l < f(x) < l + ε; 4 lim x f(x) = l si traduce nel modo seguente: per ogni ε > 0, esiste un M > 0 tale che, per ogni x R con x < M si ha l ε < f(x) < l. Simone Alghisi (Liceo Scientifico Luzzago) Definizione di limite A.S. 2014/ / 16

14 Limite infinito per x che tende ad un valore infinito La definizione generale di limite (1.2) può essere maggiormente caratterizzata come segue. (1.6) Definizione Siano D R illimitato e f : D R una funzione. Diciamo che il limite per x che tende a infinito di y = f(x) è infinito se per ogni K positivo e grande a piacere, esiste un M > 0 tale che, per ogni x R con x > M risulti f(x) > K. In tal caso si scrive lim f(x) =. x Simone Alghisi (Liceo Scientifico Luzzago) Definizione di limite A.S. 2014/ / 16

15 Come si verifica il limite Se si conosce il valore del limite e si vuole dimostrarne la correttezza, si procede nel modo seguente: fissato K > 0, si imposta la disequazione f(x) > K; si risolve la precedente disequazione; si osserva che l insieme delle soluzioni è un intorno di. Simone Alghisi (Liceo Scientifico Luzzago) Definizione di limite A.S. 2014/ / 16

16 Sottocasi della definizione di lim x f(x) = 1 lim f(x) = + si traduce nel modo seguente: per ogni K > 0, x + esiste un M > 0 tale che, per ogni x R con x > M si ha f(x) > K; 2 lim f(x) = si traduce nel modo seguente: per ogni K > 0, x + esiste un M > 0 tale che, per ogni x R con x > M si ha f(x) < K; 3 lim f(x) = + si traduce nel modo seguente: per ogni K > 0, x esiste un M > 0 tale che, per ogni x R con x < M si ha f(x) > K; 4 lim f(x) = si traduce nel modo seguente: per ogni K > 0, x esiste un M > 0 tale che, per ogni x R con x < M si ha f(x) < K. Simone Alghisi (Liceo Scientifico Luzzago) Definizione di limite A.S. 2014/ / 16