Ingegneria Tessile, Biella Analisi II

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1 Ingegneria Tessile, Biella Analisi II Esercizi svolti In questo file sono contenute le soluzioni degli esercizi sui campi vettoriali (cf foglio 5 di esercizi) Attenzione: in alcuni esercizi il calcolo del potenziale viene fatto utilizzando gli integrali curvilinei: si tratta di un metodo alternativo a quello visto a lezione; se non vi è chiaro, utilizzate pure sempre il metodo con le derivate visto a lezione { x t 1 Calcolare il lavoro del campo vettoriale F(x, y) xy i y 2 2 j lungo la curva : y t, t [, 1] { x Soluzione Osserviamo che 2t y t 2 Si ha quindi che il lavoro è dato da 1 1 L F ds (t 5, t 6 ) (2t, t 2 ) dt (2t 6 t 8 ) dt Calcolare il lavoro del campo vettoriale F(x, y) y cos x i lungo l arco di curva di equazione y cos x che va dal punto di ascissa al punto di ascissa π 2 Soluzione La curva può essere scritta in forma parametrica nel modo seguente: { x t [ :, t, π ] { x 1 y cos t 2 y sin t Il lavoro è quindi dato da L F ds π/2 essendo b a cos2 t dt 1 2 (sin t cos t + t) b a (cos 2 t, ) (1, sin t) dt π/2 cos 2 t dt π 4, Calcolare il lavoro del campo vettoriale F(x, y) (x + y) i (x y) j lungo la curva frontiera del triangolo di vertici O(, ), A(1, 1), B(, 2) percorsa nel verso antiorario Soluzione y (, 2) 2 1 (, ) (1, 1) x Si ha: 1 : 2 : : { x t y t { x t y t + 2 { x y t, t [, 1], t [ 1, ], t [, ] { x 1 y 1 { x 1 y 1 { x y 1 1

2 Il lavoro è dunque dato da: L F ds + 1 F ds + 2 F ds 1 1 (2t, ) (1, 1) dt + 2t dt + 2t dt (2, 2t + 2) ( 1, 1) dt + t dt ( t, t) (, 1) dt 4 Calcolare, se possibile, il lavoro del campo vettoriale F(x, y) y i + x j lungo una qualsiasi curva che unisce i punti A(2, 1) e B(1, ) Soluzione Prima di tutto controlliamo se il campo è conservativo: - F è definito su R 2, che è un insieme stellato; - F è irrotazionale, poiché 1 F 2 ; si ha quindi che F è conservativo, essendo un campo irrotazionale su di un insieme stellato Si ha quindi che il lavoro non dipende dal percorso, ma solo dal punto iniziale e da quello finale; possiamo quindi scegliere una curva comoda che unisca i punti A(2, 1) e B(1, ) per calcolare il lavoro Scegliamo la retta : y x + 5; poiché vogliamo che A sia il punto iniziale e B il punto finale, parametrizziamo la retta nel modo seguente: : { x t y 2t + 5, t [, 1] { x 1 y 2 Il lavoro è quindi dato da L F ds 1 (2t + 5, t) ( 1, 2) dt 1 ( 4t 5) dt 1 5 Sia dato il campo vettoriale F(x, y) y 1+xy i + x 1+xy j Dire se il campo è conservativo sull insieme E {(x, y) R 2 : x, y } Determinare, se possibile, un potenziale di F e calcolare il lavoro di F lungo una qualsiasi curva (contenuta in E) che unisce i punti A ( 1, 2) e B(, ) Soluzione Osserviamo innanzitutto che il campo F è definito in tutti i punti dell insieme E, visto che 1 + xy per ogni (x, y) E Abbiamo dunque: - l insieme E è stellato; - il campo F è irrotazionale: infatti 1 (1+xy) 2 F 2 Si ha quindi che F è conservativo sull insieme E, essendo un campo irrotazionale su di un insieme stellato Calcoliamo un potenziale di F con il metodo dell integrale curvilineo; scegliamo come punto iniziale l origine (, ) (che appartiene ad E), e come curva che collega (, ) al generico punto (x, y) 2

3 la spezzata 1 2 come in figura: y (x, y) 1 : { x(t) t y(t), t [, x] { x (t) 1 y (t) (, ) 1 2 (x, ) x 2 : { x(t) x y(t) t, t [, y] { x (t) y (t) 1 Si ha che il potenziale è dato da U(x, y) F ds F ds + 1 F ds 2 x y (, t) (1, ) dt + y x dt log 1 + xy 1 + xt ( ) t 1 + xt, x (, 1) dt 1 + xt Per calcolare il lavoro possiamo usare la formula L U(, ) L ( 1, 2) Si ha quindi L log 1 log 5 log 6 6 Provare che il seguente campo vettoriale è conservativo e determinarne un potenziale: F(x, y) (2x cos y y 2 sin x) i + (2y cos x x 2 sin y) j Soluzione - Il campo vettoriale è definito in R 2, che è un insieme stellato; - si ha inoltre che x sin y 2y sin x F 2 ; quindi F è un campo irrotazionale definito su di un insieme stellato, per cui è conservativo Calcoliamo il generico potenziale di F usando il metodo delle derivate; vogliamo trovare una funzione U(x, y) tale che { 2x cos y y2 sin x 2y cos x x2 sin y Integriamo la prima equazione rispetto ad x: dx (2x cos y y 2 sin x) dx U(x, y) x 2 cos y + y 2 cos x + ϕ(y); ( ) ora deriviamo rispetto ad y l espressione trovata: x2 sin y + 2y cos x + ϕ (y); dalla seconda equazione del sistema abbiamo quindi che x 2 sin y + 2y cos x + ϕ (y) 2y cos x x 2 sin y ϕ (y) ϕ(y) C, C R

4 Dalla ( ) si ha quindi che il generico potenziale di F è dato da U(x, y) x 2 cos y + y 2 cos x + C, C R x e t 7 Calcolare il lavoro del campo vettoriale F(x, y, z) x i + xy j + xyz k sulla curva : y e t z 2 t t [, 1] x e t Soluzione Osserviamo innanzitutto che y e t z 2 1 L F ds (e t, 1, 2 t) (e t, e t, 2) dt Si ha quindi: 1 (e 2t e t + 2t) dt e e 1 2, 8 Sia dato il campo vettoriale F(x, y, z) yz i + xz j + xy k Dire se il campo è conservativo su R ; determinare, se possibile, un potenziale di F e calcolare il lavoro di F lungo una qualsiasi curva che unisce i punti A(1, 1, ) e B(2,, 1) Soluzione Osserviamo che il campo è definito su R, che è un insieme stellato; inoltre, F è irrotazionale, infatti z F 2 z y F F 2 z x F Il campo F è dunque un campo conservativo, essendo un campo irrotazionale su di un insieme stellato A titolo di esempio presentiamo i due metodi per il calcolo del potenziale U(x, y, z) - Metodo delle derivate Dobbiamo risolvere il sistema yz xz z xy Integriamo la prima equazione rispetto ad x: dx yz dx U(x, y) xyz + ϕ(y, z); ( ) ora deriviamo rispetto ad y l espressione trovata: ϕ xz + (y, z); dalla seconda equazione del sistema abbiamo quindi che xz + ϕ ϕ (y, z) xz (y, z) ϕ(y, z) ψ(z); 4

5 Dalla ( ) si ha quindi che ora deriviamo quest ultima espressione rispetto a z: dalla terza equazione del sistema si ha quindi che U(x, y) xyz + ψ(z); ( ) z xy + ψ (z); xy + ψ (z) xy ψ (z) ψ(z) C, C R Dalla ( ) si ha quindi che il generico potenziale di F è dato da U(x, y) xyz + C, C R - Metodo dell integrale curvilineo Scegliamo come punto iniziale il punto (,, ), che appartiene al dominio di F Scegliamo la curva che unisce il punto (,, ) al punto generico (x, y, z) nel modo standard: 1 2, con x(t) t 1 : y(t) z(t) (,, ) 1 (x,, ) 2 (x, y, ) (x, y, z);, t [, x] 2 : x(t) x y(t) t z(t) x(t) x, t [, y] : y(t) y z(t) t, t [, z] x (t) 1 y (t) z (t) x (t) y (t) 1 z (t) Si ha quindi che U(x, y, z) F ds + 1 F ds + 2 F ds x z (,, ) (1,, ) dt + xy dt xyz; y (,, xt) (, 1, ) dt + z x (t) y (t) z (t) 1 (yt, xt, xy) (,, 1) dt per ottenere tutti i potenziali di F dobbiamo aggiungere una costante arbitraria, per cui il generico potenziale di F è U(x, y) xyz + C, C R 9 Determinare α e β in modo che il campo vettoriale F(x, y) αx2 + 2xy + y 2 (x 2 + y 2 ) 2 i x2 + 2xy + βy 2 (x 2 + y 2 ) 2 j 5

6 sia conservativo sull insieme E { {(x, y) R 2 : x >, y > } Per questi valori di α e β determinare x + 2 cos t il lavoro di F lungo la curva :, t [, 2π] y 2 + sin t Soluzione Osserviamo innanzitutto che l insieme E è stellato, e il campo F è definito su E (l unico punto su cui F non è definito è l origine, che non appartiene ad E) Dunque affinché F sia conservativo su E è sufficiente imporre che F sia irrotazionale, cioé che imponiamo dunque che il che è verificato se e solo se F 2 ; 2x 2y 6xy 2 + (2 4α)x 2 y (x 2 + y 2 ) 2x 2y + (4β 2)xy 2 + 6x 2 y (x 2 + y 2 ), { 2 4α 6 4β 2 6 { α 1 β 1 Calcoliamo ora il lavoro di F lungo per α 1, β 1 Osserviamo che è una curva chiusa, infatti il punto iniziale, corrispondente a t, è (5, 2), e il punto finale, corrispondente a t 2π, è ancora (5, 2) Poiché per i suddetti valori di α e β il campo è conservativo, si ha che il lavoro di F lungo è nullo: L 1 Sia dato il campo vettoriale F(x, y, z) (ze x + x 2 y + y 2 ) i + (x + 2xy) j + (e x + cos( π 2 z)) k Dire se F è conservativo in R e calcolare il lavoro di F lungo una qualsiasi curva in R che va dal punto (,, ) al punto (,, 1) Soluzione Osserviamo che il campo è definito su R, che è un insieme stellato; inoltre, F è irrotazionale, infatti x2 + 2y F 2 z ex F F 2 z F Il campo F è dunque un campo conservativo, essendo un campo irrotazionale su di un insieme stellato Poiché F è conservativo, possiamo scegliere la curva a piacere; scegliamo il segmento dato da x x : y, t [, 1] y z t z 1 Si ha quindi L F ds 1 ( t,, 1 + cos ( π 2 t)) (,, 1) dt 1 ( 1 + cos ( π 2 t)) dt π 6

7 11 Trovare una funzione ϕ C 1 (R) tale che ϕ() per la quale F(x, y) ((y sin x + x 2 ), (ϕ(x) + y 2 )) sia un campo conservativo; per tale ϕ determinare un potenziale di F Soluzione Osserviamo innanzitutto che F è definito su R 2, che è stellato Dunque affinché F sia conservativo su E è sufficiente imporre che F sia irrotazionale, cioé che imponiamo dunque che il che è verificato quando poiché vogliamo che ϕ() imponiamo abbiamo dunque F 2 ; sin x ϕ (x), ϕ(x) cos x + C, C R; cos + C C 1; ϕ(x) cos x + 1 Si tratta quindi di determinare un potenziale del campo F(x, y) ((y sin x + x 2 ), ( cos x y 2 )); Calcoliamo il generico potenziale di F usando il metodo delle derivate; vogliamo trovare una funzione U(x, y) tale che y sin x + x2 { Integriamo la prima equazione rispetto ad x: dx ora deriviamo rispetto ad y l espressione trovata: cos x y2 (y sin x + x 2 ) dx U(x, y) y cos x + x cos x + ϕ (y); dalla seconda equazione del sistema abbiamo quindi che + ϕ(y); ( ) cos x + ϕ (y) cos x y 2 ϕ (y) 1 + y 2 ϕ(y) y + y + C, C R Dalla ( ) si ha quindi che il generico potenziale di F è dato da U(x, y) y cos x + x + y + y + C, C R 7