Carlo Greco. Appunti di Analisi Matematica II

Transcript

1 Carlo Greco Apputi di Aalisi Matematica II

2 Apputi di Aalisi Matematica II 2 Idice dei capitoli. Itroduzioe alle equazioi differeziali Geeralità sulle equazioi differeziali Esercizi Il problema di Cauchy Esercizi Alcui problemi che si risolvoo mediate equazioi differeziali Esercizi Equazioi differeziali a variabili separabili Risoluzioe delle equazioi differeziali a variabili separabili Altri esercizi e problemi relativi ad equazioi a variabili separabili Esercizi Equazioi differeziali lieari del primo ordie Risoluzioe delle equazioi differeziali del primo ordie, lieari Altri esempi di equazioi differeziali del primo ordie, lieari Esercizi Equazioi differeziali lieari del secodo ordie Equazioe differeziale lieare omogeea, del secodo ordie, a coefficieti costati Esempi di risoluzioe dell'equazioe differeziale lieare omogeea, del secodo ordie Esercizi Problemi ricoducibili ad equazioi differeziali lieari omogeee del secodo ordie Esercizi Equazioe differeziale lieare del secodo ordie, completa, a coefficieti costati co termie oto particolare Primo caso: termie oto del tipo: A@D a Esercizi Caso geerale: termie oto del tipo: a HA@D Cos@b D + B@D Si@ b DL Esercizi Ulteriori osservazioi ed esercizi Alcui problemi ricoducibili ad equazioi del secodo ordie Esercizi Lo spazio euclideo -dimesioale Puti di e distaza i I piai coordiati i Piai e rette i Piai Rette Distaza di u puto da u piao Distaza di u puto da ua retta Esercizi Alcui sottoisiemi di 3 defiiti mediate equazioi e disequazioi Sfere Ellissoidi Cilidri Esercizi Altri sistemi di coordiate i 2 e i Le coordiate polari i Le coordiate cilidriche i Le coordiate sferiche i Curve el piao e ello spazio Fuzioi a valori vettoriali Curve semplici. Curve orietate Parametrizzazioi di alcui tipi di curve

3 Apputi di Aalisi Matematica II 3 4. Esercizi Retta tagete. Curve regolari Curve rettificabili; lughezza di ua curva e ascissa curviliea Curve ello spazio e curve geeralmete regolari Geeralità sulle fuzioi di più variabili Geeralità sulle fuzioi di più variabili Fuzioi radialmete simmetriche Fuzioi dipedeti solo da ua variabile Studio dell'isieme di defiizioe Restrizioe ad ua curva Esercizi Limiti e cotiuità per le fuzioi di più variabili Elemeti di topologia i La defiizioe di limite La defiizioe di fuzioe cotiua e i pricipali teoremi Fuzioi cotiue su isiemi coessi Esercizi Derivate parziali Defiizioe di derivata parziale di ua fuzioe i u aperto Derivate successive Fuzioi o derivabili parzialmete Gradiete e derivate direzioali Piao tagete e retta ormale al grafico di ua fuzioe i u puto Gradiete Esercizi Derivate direzioali Esercizi Derivazioe parziale delle fuzioi composte La formula di Taylor Massimi e miimi per le fuzioi di due variabili Geeralità sui puti di miimo e massimo relativo Il teorema dell'hessiao Esercizi Miimi e massimi assoluti su isiemi o compatti Il metodo dei miimi quadrati Itegrali doppi Cei sulla misura secodo Peao-Jorda Defiizioe di itegrale doppio Proprietà degli itegrali doppi Itegrali doppi su rettagoli Esercizi Le formule di riduzioe per gli itegrali doppi Esercizi Itegrali doppi i coordiate polari Esercizi Altri esempi e applicazioi degli itegrali doppi Ceo sugli itegrali doppi geeralizzati Esercizi Le serie umeriche Geeralità sulle serie umeriche Esercizi Primi teoremi sulle serie umeriche Esercizi Il critero del rapporto e della radice

4 Apputi di Aalisi Matematica II 4 6. Esercizi La serie armoica e il criterio dell'ifiitesimo La serie armoica geeralizzata Il criterio dell'ifiitesimo Esercizi Serie alterati e criterio di Leibitz Esercizi Itroduzioe alle serie di fuzioi Serie di fuzioi. Covergeza putuale ed assoluta Serie di poteze. Serie di Taylor Esercizi Serie di fuzioi. La covergeza uiforme Geeralità sulla covergeza uiforme per le serie di fuzioi La covergeza uiforme e quella totale La covergeza uiforme e totale per le serie di poteze Applicazioi della covergeza uiforme Calcolo di alcui sviluppi i serie di Taylor Calcolo di alcui itegrali Itegrazioe per serie di alcue equazioi differeziali Esercizi Idici Idice delle defiizioi Idice dei teoremi Idice aalitico Notazioi Avverteza sulle otazioi usate i questo testo I questi apputi di Aalisi Matematica le otazioi adoperate soo leggermete diverse da quelle stadard; la ragioe è dovuta essezialmete al programma co cui soo stati compilati. Ad esempio si usa la otazioe per idicare le fuzioi, adoperado quidi le paretesi quadre, ivece della otazioe più usata che è f HL. Ache i omi delle fuzioi elemetari soo leggermete diversi da quelli stadard: il logaritmo i base, ad esempio, viee idicato co Log@D, metre di solito si idica co log. Particolare attezioe dovrà essere usata per le poteze delle fuzioi elemetari; ad esempio, per idicare il quadrato del logaritmo di usiamo il simbolo Log@D 2 ivece della otazioe cosueta log 2. Bisoga duque prestare attezioe a o cofodere Log@D 2 co LogA 2 E, che, co le cosuete otazioi si scriverebbe ivece logi 2 M. Al termie di queste dispese si trova u eleco i cui soo idicate tutte le pricipali differeze rispetto alle otazioi cosuete. E' opportuo cosultare spesso questo eleco, i modo da o avere essu dubbio sull'iterpretazioe dei simboli.

5 Apputi di Aalisi Matematica II 3. Le serie umeriche Le serie umeriche. Geeralità sulle serie umeriche I questa sezioe, itroduciamo il cocetto di serie umerica. Ua serie umerica può essere cosiderata la somma formale di u umero ifiito di addedi: e, di solito, tale somma formale viee idicata col simbolo: a + a 2 + a a + a = che si legge: somma di a per che varia da a ; a si dice termie geerale della serie. Ad esempio, co il simbolo, si vuole idicare la somma formale degli ifiiti addedi = +, cioè dei reciproci dei umeri 2 3 iteri. Abbiamo parlato di somma formale i quato dobbiamo acora stabilire come sia possibile dare u sigificato umerico ad ua serie: o è ifatti possibile sommare uo per volta tutti i suoi addedi, essedo questi ifiiti. Tuttavia l'esigeza di defiire i qualche modo la somma di ifiiti addedi si preseta i modo aturale ella vita quotidiaa. Esempio 3.. Suppoiamo che ua palla di gomma elastica sia lasciata cadere al suolo, e compia ifiiti rimbalzi, ciascuo di altezza pari alla metà del precedete. Si vuole calcolare la lughezza totale di tali rimbalzi. Se la palla viee lasciata cadere da ua altezza di h metri, dopo il primo rimbalzo la palla sale percorredo ua lughezza uguale ad h metri: 2 L = 2 h; dopo aver raggiuto la quota di h, la palla tora a scedere per rimbalzare ua secoda volta; dopo questo secodo 2 rimbalzo, percorre h metri, e la somma dei due rimbalzi è: 4 L 2 = 2 h + 4 h; dopo il terzo rimbalzo abbiamo: L 3 = 2 h + 4 h + 8 h; i geerale, dopo l' -esimo rimbalzo diveta: L = 2 h. k E' del tutto aturale, a questo puto, affermare che la lughezza totale dei rimbalzi è data dalla somma ifiita: k= 2 h; k k= poiché il umero L rappreseta la lughezza di rimbalzi, è ache aturale riteere che tale lughezza totale sia data dal limite, per Ø della successioe HL L. E' quidi spotaeo porre, per defiizioe:

6 Apputi di Aalisi Matematica II 3. Le serie umeriche 86 k= 2 k h ª lim Ø L. I altri termii, defiiamo la somma ifiita a primo membro come il limite delle lughezze parziali, dopo rimbalzi, per Ø. Come vedremo tra breve, tale limite vale h, cosicché ua palla lasciata cadere da 2 metri di altezza, compie ifiiti rimbalzi, la cui lughezza totale è pari a 2 metri. Reset Avvio Stop h L = h = h k= 2 k Osservazioe. Il fatto che la somma di ifiite quatità positive (ad es. lughezze) abbia come risultato ua quatità fiita, è, i u certo seso, paradossale, e la cosa o era sfuggita agli atichi filosofi greci, come Zeoe. Ad esempio si osservava che ua freccia o può mai raggiugere u bersaglio posto ad ua certa distaza d, dato che deve percorrere prima la metà della distaza, poi la metà della metà, e così via all'ifiito. I effetti, la somma degli ifiiti addedi: d d 2 + d 4 + d 8 + = k= 2, k ha come risultato ua quatità fiita, che è, ovviamete, d. Diamo ora le prime fodametali defiizioi. Defiizioe 3.. (serie covergete, divergete, idetermiata) Se è u itero aturale, si dice somma parziale -esima della serie: a = la somma s dei suoi primi termii: s = a + a a. Se esiste fiito il limite di s per Ø, la serie si dice covergete, e il limite si dice somma della serie, metre la serie si dice divergete positivamete o egativamete se lim Ø s =. Se il limite delle somme parziali o esiste, la serie si dice idetermiata. Duque, ad ua certa serie umerica: a si associa ua successioe, cioé la successioe Hs L delle somme parziali -esime: = s = a ; s 2 = a + a 2 ;

7 Apputi di Aalisi Matematica II 3. Le serie umeriche 87 s 3 = a + a 2 + a 3 ; s = a + a 2 + a a ; Per defiizioe, se esiste fiito il limite di s per Ø, la serie si dice covergete, e il limite si dice somma della serie, metre la serie si dice divergete positivamete o egativamete se lim Ø s =. Può ache accadere che il limite delle somme parziali o esista, e, i tal caso, la serie si dice idetermiata. Esercizio 3.. Cosideriamo la serie di termie geerale a = 2 + : 2 +. Calcolare s, s 3 ed s 5. Esempio 3..2 (serie a termii costati) Suppoiamo che k sia u fissato umero reale, e cosideriamo la serie di termie geerale a = k: = k I altri termii, la serie data è la somma di ifiiti addedi tutti uguali a k: = k = k + k + k + E' ovvio che si possoo avere solo i segueti casi: ) caso: k > 0; allora la serie data è divergete positivamete; 2 ) caso: k < 0; allora la serie data è divergete egativamete; 3 ) caso: k = 0; i questo caso la serie è covergete ed ha per somma zero. Ciò è del tutto ovvio, dato che, per la serie data, la successioe delle somme parziali -esime è HkL. Esempio 3..3 (serie di Megoli) Cosideriamo la serie: = H + L. = Tale serie si chiama serie di Megoli; vogliamo stabilire se tale serie è covergete, divergete o idetermiata. A tale scopo cerchiamo di studiare il limite della successioe s delle sue somme parziali -esime. Si ha, evidetemete: Per poter calcolare il limite lim Ø s, osserviamo che s = ÿ 2 ; s 2 = ÿ ÿ 3 ; s 3 = ÿ ÿ ÿ 4 ; s = ÿ ÿ ÿ H + L.

8 Apputi di Aalisi Matematica II 3. Le serie umeriche 88 H + L = - +, cosicché: s = ÿ 2 = - 2 ; s 2 = ; quidi, eseguedo le semplificazioi, si ha: s 3 = ; s = , s = - 2 ; s 2 = - 3 ; s 3 = - 4 ; s = - +. I defiitiva, la successioe delle somme parziali -esime o è altro che la successioe di termie geerale: s = -. + Si ha, ovviamete: lim s =, Ø pertato, per defiizioe, la serie data = è covergete, e la sua somma è uguale ad, cioé, come si usa scrivere: H+L Esempio 3..4 Cosideriamo la serie di termie geerale a = H-L : H + L =. = H-L ; = facciamo vedere che si tratta di ua serie idetermiata. A tale scopo, dobbiamo calcolare la somma parziale -esima s, e far vedere che il limite lim Ø s o esiste. I effetti, si ha: s = H-L =-; s 2 = H-L 2 = ; s 3 = H-L 3 =-; s = : - se è dispari se è pari quidi la successioe Hs L è oscillate, e o ammette limite per Ø.

9 Apputi di Aalisi Matematica II 3. Le serie umeriche 89 Esempio 3..5 (serie geometrica) U esempio semplice ma fodametale di serie è costituito dalla serie geometrica. Ua serie geometrica è ua serie il cui termie geerale è la progressioe geometrica Hq L : q = + q + q q + =0 Si oti che, i questo caso, si usa far partire l'idice da zero ivece che da, per cui il primo addedo della serie è q 0 =. Il umero q si dice ragioe della serie geometrica. Co u semplice ragioameto si stabilisce facilmete che la somma parziale -esima s della serie è data dalla formula: s = -q+, -q almeo el caso q (altrimeti il deomiatore si aulla). Studiado il limite di Hq L per Ø, si ha che: lim Ø q = 0 se» q» < ; se q ; o esiste se q - pertato lim s - q + = lim Ø Ø - q Ma allora, per la defiizioe precedete, si ha: = -q se» q» < ; se q ; o esiste se q - q = =0 -q se» q» < ; se q ; è idetermiata se q - I altri termii, la serie geometrica di ragioe q, co» q» < è covergete, e la sua somma è il umero geometrica di ragioe q è divergete positivamete, e, ifie, quella di ragioe q - è idetermiata. Esercizio 3..2 (serie geometrica) Dire quali delle segueti serie geometriche soo covergeti, e calcolare la somma: =0 3, =0 2, 2, H-3L H-L,. =0 =0 =0 2 -q ; la serie Osservazioe. La serie geometrica, tra l'altro, è alla base della ozioe di umero come allieameto decimale. Ad esempio, il umero decimale periodico 0. 3, cioé l'allieameto decimale , è uguale a, ifatti: = = 3 0 J N e gli ifiiti addedi i paretesi soo ua progressioe geometrica di ragioe q =, che ha per somma = = 0, 0 -q -ê0 9 da cui apputo = 3 0 = I geerale, data ua certa serie umerica, o è facile trovare l'espressioe esplicita della sua somma parziale -esima s, a differeza di ciò che succede per la serie cosiderate egli esempi precedeti, oppure o è facile calcolare il lim Ø s. Per questo motivo soo particolarmete importati i teoremi sulle serie che cosetoo di dimostrare la covergeza o la divergeza seza bisogo di calcolare esplicitamete la somma parziale -esima. Questi teoremi sarao da oi studiati elle prossime sezioi.

10 Apputi di Aalisi Matematica II 3. Le serie umeriche 90 Esercizi Esercizio 3.2. Si cosideri la serie: = + ; detta Hs L la successioe delle somme parziali -esime, calcolare s 2 ed s 3. Esercizio Si cosideri la serie: H-2L ; detta Hs L la successioe delle somme parziali -esime, calcolare s 2 ed s 3. Esercizio Utilizzado la serie geometrica, calcolare la somma delle segueti serie: Esercizio Calcolare la seguete sommatoria (fiita): Esercizio Calcolare la somma delle segueti serie: = =0 4 ; H-L ; =0 3 =3 4 ; =2 9 Log 0 B + F. = 2 +. H + 2L ; = =2 2 - ; H + L H + 2L. = 3. Primi teoremi sulle serie umeriche Cosideriamo ua serie umerica del tipo: ca ; = duque il suo termie geerale si preseta come il prodotto di ua costate c per la quatità a ; per fare u esempio cocreto, potremmo cosiderare la serie: 7 H + L, = che è ua variate della serie di Megoli, cosiderata i precedeza. Ci chiediamo se sia lecito "portare la costate c fuori dal sego di sommatoria", seza che questo alteri "il carattere" della serie (covergete, divergete o idetermiata); azi, se la serie o è idetermiata, ci aspettiamo che debba essere: ca = c a. = Così, ad esempio, poiché la serie di Megoli coverge ed ha per somma, ci aspettiamo che la variate sopra cosiderata debba ach'essa covergere ed avere per somma 7. I effetti vale il seguete teorema. =

11 Apputi di Aalisi Matematica II 3. Le serie umeriche 9 (distributività della moltiplicazioe per le serie) Sia = a ua serie qualsiasi, e sia c œ co c 0; allora la serie = ca ha lo stesso carattere della serie data, e, se esse o soo idetermiate, si ha ache: ca = c a. = Dimostrazioe. Idichiamo co Hs L la successioe delle somme parziali -esime della successioe data, e co HS L quelle della serie = ca. Per ogi si ha: = S = ca + ca ca = c Ha + a a L = cs, quidi i termii della successioe S differiscoo da quelli di s per ua costate moltiplicativa. Le due successioi Hs L ed HS L o soo etrambe covergeti o etrambe divergeti o etrambe idetermiate; se o soo idetermiate si ha, ovviamete: cioé: lim S = lim Hcs L = c lim s, Ø Ø Ø ca = c a, = e il teorema è dimostrato. à Osservazioe. Il teorema precedete estede alle serie la ota proprietà distributiva del prodotto: c Ha + a 2 L = ca + ca 2. Osservazioe. U'altra osservazioe che vogliamo fare subito è la seguete. Può capitare, talvolta, di dover cosiderare serie del tipo: = a = a k + a k+ + =k che si possoo pesare otteute dalla serie = a "tralasciadoe" i primi k - addedi. Sarebbe facile dimostrare (o lo facciamo per brevità) che il carattere della uova serie è lo stesso di quella data. Più i geerale, modificado solo u umero fiito di addedi di ua serie, il suo carattere o cambia. Ovviamete, el caso di serie covergeti, cambia la somma della serie, come si vede el seguete esempio. Esempio 3.3. Cosideriamo la serie: =3 3 ; si ha: =0 3 = =3 3. Ma la serie =0 J 3 N o è altro che la serie geometrica di ragioe, e pertato è covergete e la sua somma vale 3 = 3 -ê3 2, quidi ache la serie data è covergete, e la sua somma vale: =3 3 = = = = = 8. Esercizio 3.3. Calcolare la somma delle segueti serie:

12 Apputi di Aalisi Matematica II 3. Le serie umeriche 92 =3 4, =2 0, =4-4, H + L. =4 Suppoiamo ora che ua certa serie umerica = a sia covergete; sia œ, e cosideriamo la serie: k=+ a, che si ottiee dalla serie data poedo uguali a zero i primi addedi. Per quato detto sopra, ache tale serie sarà covergete. Idichiamo co r la sua somma, cioé poiamo: r = a ; il umero r si dice resto parziale -esimo della serie data. Detta s la somma della serie, essedo ovviamete: si ha: k=+ s = a = a k + a = s + r, = = k=+ r = s - s. I altri termii, il resto parziale -esimo rappreseta l'errore che si commette approssimado la somma della serie data co la sua somma parziale -esima. Dimostriamo ora alcui semplici teoremi sulle serie umeriche. Iiziamo co u teorema che forisce ua codizioe ecessaria, ache se o sufficiete, per la covergeza di ua serie umerica. Teorema (codizioe ecessaria per la covergeza) Il termie geerale di ua serie covergete è ifiitesimo. Dimostrazioe. Sia a ua serie covergete. Detta S la sua somma, e detta Hs L la successioe delle somme parziali -esime, si ha: passado al limite per Ø, si ha: = a = s - s - ; lim a = lim Hs - s - L = lim s - lim s - = S - S = 0, Ø Ø Ø Ø da cui l'asserto. à Il teorema precedete afferma u fatto del tutto ovvio: la quatità che si ottiee sommado ifiiti addedi o può certamete essere fiita se gli addedi o tedoo a zero. Questo fatto può essere usato proprio per dimostrare che ua data serie o è covergete, come si vede egli esempi segueti. Esempio La serie = o può essere covergete, ifatti il suo termie geerale tede ad uo, quidi o è ifiitesimo. + Esempio La serie 2 = + Esempio o può essere covergete, perché il suo termie geerale tede a, quidi o è ifiitesimo. La serie = H - H-L L o può essere covergete, perché il suo termie geerale a è alterativamete uguale a 2 e a zero, quidi o è ifiitesimo. Purtroppo il fatto che il termie geerale di ua serie sia ifiitesimo è solo ua codizioe ecessaria, ma o sufficiete per garatire la covergeza. I segueti due esempi mostrao che, se ua certa serie ha termie geerale ifiitesimo, essa può sia essere effettivamete covergete, che ache divergete.

13 Apputi di Aalisi Matematica II 3. Le serie umeriche 93 Esempio La serie = 2 ha il termie geerale ifiitesimo, quidi potrebbe essere covergete. I effetti si dimostra che essa è effettivamete covergete, e si ha = p2. = 2 6 Esempio La serie = (serie armoica) ha il termie geerale ifiitesimo, quidi potrebbe essere covergete. I realtà si dimostra che questa serie diverge a. Il prossimo teorema riguarda esclusivamete le serie umeriche a termii positivi. Teorema (carattere di ua serie a termii positivi) Ua serie a termii positivi o è covergete, oppure diverge positivamete. Duque ua serie a termii positivi o può essere idetermiata. Dimostrazioe. Basta osservare che, detta al solito Hs L la successioe delle somme parziali -esime, tale successioe è mootoa crescete, ifatti: s + = s + a + s, dato che a + 0. Ora, per il teorema sulle successioi mootoe, il lim Ø s esiste sempre, fiito o ifiito, da cui l'asserto. à Diamo ora ua defiizioe utile per effettuare ua specie di cofroto tra serie. Defiizioe 3.3. (serie maggiorati e miorati) Se = a e = b soo due serie umeriche, diciamo che la prima è maggiorata dalla secoda, se per ogi, si ha a b (si dice ache che la secoda è miorata dalla prima). La defiizioe appea itrodotta è utile per formulare il seguete teorema, che vale per le serie a termii positivi. Teorema (di cofroto) Ua serie a termii positivi, maggiorata da ua serie covergete, è essa stessa covergete (e la sua somma è miore o uguale di quella della serie maggiorate). Ua serie miorata da ua serie divergete positivamete, è essa stessa divergete positivamete. Dimostrazioe. Suppoiamo che la serie a termii positivi = a sia maggiorata dalla serie = b (ecessariamete ach'essa a termii positivi); ciò sigifica che, per ogi, si ha: a b ; idichiamo ora co Hs L la successioe delle ridotte parziali -esime della prima serie, e co HS L quelle della secoda serie. Dalla disuguagliaza precedete segue immediatamete, per ogi : s S ; passado al limite per Ø(che esiste ecessariamete per il teorema precedete), si ha: lim s lim S. Ø Ø Pertato, se il secodo limite è fiito, ache il primo deve esserlo, e la prima affermazioe del teorema è dimostrata. I modo aalogo si dimostra la secoda. à Esempio Utilizzado la covergeza della serie di Megoli, possiamo facilmete dimostrare che la serie = H+L = è 2 covergete. Ifatti, basta osservare che, per ogi : e, passado ai reciproci: Duque la serie: H + L < H + L H + L = H + L 2, < H + L 2 H + L.

14 Apputi di Aalisi Matematica II 3. Le serie umeriche 94 = H + L 2 = è maggiorata dalla serie di Megoli. Pertato la serie = H+L = è covergete, ed azi la sua somma è miore H+L2 di. Poiché, ovviamete: ache la serie data = = = +, 2 = H + L 2 2 è covergete, e la sua somma è miore di 2. I realtà, come abbiamo già aticipato, si può dimostrare che = p2 > = 2 6 Esempio Ricordiamo che la successioe di termie geerale J + N è strettamete crescete, e coverge verso il umero di Nepero. Pertato, per ogi, si ha: + <. Passado ai logaritmi si deduce immediatamete che: LogB + F <, ossia che HLog@ + D - Log@DL <. Dividedo per, si ha: Log@ + D - Log@D <. Partedo da questa semplice disuguagliaza, ed utilizzado il teorema sul cofroto delle serie, siamo i grado di dimostrare che la serie armoica è divergete positivamete. Ifatti, cosideriamo la serie: La sua somma parziale -esima è: HLog@ + D - Log@DL. = HLog@k + D - Log@kDL = k= HLog@2D - Log@DL + HLog@3D - Log@2DL + + HLog@D - Log@ - DL + HLog@ + D - Log@DL = Log@ + D. Poiché Log@ + D Ø, la serie cosiderata è divergete positivamete. Poiché la serie armoica è miorata da ua serie divergete positivamete, è ach'essa divergete positivamete, come si doveva dimostrare. Osservazioe. La serie armoica ha a che fare col problema di costruire ua torre di mattoi sporgeti come i figura: y

15 Apputi di Aalisi Matematica II 3. Le serie umeriche 95 Ifatti, suppoiamo di utilizzare mattoi di lughezza pari a 2; ua volta collocato il primo mattoe, sistemiamo il secodo mattoe sopra il primo i modo che sporga il più possibile: y Chiaramete dovrà sporgere di rispetto al primo mattoe. Abbiamo così otteuto u blocco di due mattoi co baricetro el puto di ascissa 3 (i mattoi si suppogoo omogeei) 2 idicato dalla freccia. Collocado tale blocco i equilibrio sopra u'altro mattoe, sempre i modo che sporga il più possibile, avremo: y 3 2 ê Il mattoe più alto sporge di ua quatità pari a + rispetto al primo. 2 Il baricetro del blocco di tre mattoi così otteuto è situato el puto di ascissa +H+ê2L+H2+ê2L = 5 (idicato dalla freccia 3 3 più bassa), che "rietra" rispetto a 2, di 2-5 =. Duque, voledo ripetere il procedimeto co u altro mattoe, avremo: 3 3 y ê2 ê

16 Apputi di Aalisi Matematica II 3. Le serie umeriche 96 Questa volta il mattoe più alto sporge di + + rispetto al primo. 2 3 Così proseguedo, si ottiee che sovrappoedo + mattoi, si ottiee ua torre che sporge di ua lughezza pari a rispetto al primo mattoe. Tale lughezza o è altro che la somma parziale -esima della serie armoica: s =. k= Ciò che abbiamo provato ell'esempio precedete, cioé che la serie armoica diverge positivamete, sigifica che, pur di sovrapporre u umero sufficiete di mattoi, co la torre i equilibrio possiamo colmare ua distaza grade a piacere. y k =. k= Si osserva che la somma parziale -esima della serie armoica cresce sempre più letamete al crescere di. Se la serie umerica = a o è costituita tutta da termii positivi o egativi, è utile itrodurre, accato ad essa, la serie che ha per termie geerale il valore assoluto di a, cioé la serie =» a». Defiizioe (covergeza assoluta) Ua serie = a si dice assolutamete covergete, se è covergete la serie =» a». Ovviamete il cocetto di covergeza assoluta coicide co quello di covergeza (semplice) se tutti i termii della serie soo positivi (o egativi). Il legame tra la covergeza assoluta e quella semplice, è data dal seguete teorema, che o dimostriamo. Teorema (covergeza assoluta e covergeza semplice) Ua serie assolutamete covergete è ache (semplicemete) covergete. L'implicazioe opposta, ivece, o sussiste. La covergeza assoluta di ua serie è spesso più facile da studiare della covergeza semplice, e ifatti molti teoremi sulle serie soo teoremi di covergeza assoluta. Ua volta stabilita la covergeza assoluta di ua certa serie, il teorema precedete garatisce ache la covergeza semplice. Osservazioe (importate). Termiiamo questa sezioe osservado che, poiché il carattere di ua serie o si altera modificado u umero fiito di termii, i teoremi precedeti valgoo ache se le ipotesi soo soddisfatte solo da u certo idice 0 i poi, ossia se esse soo, come si, usa dire, defiitivamete soddisfatte. 4. Esercizi Esercizio 3.4. Dire se il termie geerale delle segueti serie è ifiitesimo e, di cosegueza, se esse possoo o meo essere covergeti.

17 Apputi di Aalisi Matematica II 3. Le serie umeriche 97 Esercizio Quale delle segueti due serie maggiora l'altra? Esercizio Utilizzado il criterio del cofroto, stabilire che: Esercizio = ; - Log@D Si@D ; ; = 2 + Log@D +. = = Log@D = 2 + ; = Cos@D Log@D la serie è covergete, metre la serie è divergete. 2 + = Di quato sporge la torre sopra descritta se si sovrappogoo 0 mattoi? Esercizio Ripetere la costruzioe della torre sopra descritta el caso i cui i mattoi che formao la torre o soo omogeei, ma hao il baricetro a 3 ê 2 della lughezza: y = 3 2 ê2 3ê Il critero del rapporto e della radice Di alcue delle serie icotrate è stato facile trovare u'espressioe esplicita per la somma parziale -esima s ; fatto ciò, per calcolare la somma è stato sufficiete calcolare il limite lim Ø s. Tuttavia o sempre è possibile seguire questa strada, azi, il calcolo esplicito della somma di ua serie seguedo tale via è abbastaza eccezioale. Per questo motivo assumoo particolare importaza quei teoremi che ci cosetoo almeo di stabilire il carattere di ua serie, ache se poi o siamo i grado di calcolare esplicitamete la somma. I tre criteri che vedremo i questo paragrafo (del rapporto, della radice e dell'ifiitesimo) soo tre criteri di covergeza assoluta. Ovviamete, come già sappiamo, se ua data serie è assolutamete covergete, essa è ache, a maggior ragioe, semplicemete covergete. La dimostrazioe dei tre criteri è basata, i sostaza, sul cofroto della serie data co u'opportua serie geometrica covergete, come vedremo subito. Teorema 3.5. (criterio del rapporto) Se la serie = a è a termii tutti o ulli, esiste il lim Ø Ã a + à =, e risulta <, la serie è assolutamete a covergete. Se ivece >, la serie o è eache (semplicemete) covergete. Dimostrazioe. Suppoiamo che sia < ; dobbiamo dimostrare che la serie è assolutamete covergete. A tale scopo fissiamo u > 0 i modo tale che sia pure + < (ciò è possibile perché stiamo suppoedo < ). Per defiizioe di limite (di ua successioe), esiste 0 œ tale che, per ogi 0, si abbia:

18 Apputi di Aalisi Matematica II 3. Le serie umeriche 98 a + a < +. Moltiplicado per» a», e poedo, per brevità, + = q, si ha, sempre per ogi 0 : Si ha duque:» a +» < q» a». a 0 + < q a 0 ; a 0 +2 < q a 0 + < q 2 a 0 ; a 0 +3 < q a 0 +2 < q 3 a 0 ; a 0 +k < q a 0 +k- < q k a 0 ; Duque la serie dei valori assoluti =» a» è maggiorata, almeo da u certo termie i poi, dalla serie: Iq k a 0 M = a 0 q k. = Quest'ultima serie o è altro che ua serie geometrica (a parte il fattore a 0 ) di ragioe miore di uo, e, pertato è covergete. Ma allora, per il teorema del cofroto, essedo la serie =» a» defiitivamete maggiorata da ua serie covergete, è essa stessa covergete. E' così dimostrata la prima affermazioe del teorema. Dobbiamo ora dimostrare che, se ivece >, la serie data o è covergete. A tale scopo fissiamo u > 0 i modo che sia - > (il che è possibile i quato stiamo suppoedo > ), e osserviamo che, sempre per defiizioe di limite di ua successioe, esiste 0 œ tale che, per ogi 0, si abbia: Ma allora, sempre per 0, si ha:» a» <» a +», cioé: = < - < a + a. a 0 < a 0 + < a 0 +2 <, pertato la successioe Ha L o può essere ifiitesima, e quidi la serie data = a o può essere covergete, e questo completa la dimostrazioe del teorema. à Osservazioe. Se, el teorema precedete, si ha =, o si può dire ulla sul carattere della serie, che può essere covergete, divergete o idetermiata. Per stabilire la atura, occorre applicare altri criteri. Esempio 3.5. La serie = 2 è (assolutamete) covergete, ifatti à a + à = a + = + 2 Ø <. a a Esempio 3.5.2! Si ha = 2 =, ifatti à a + à = a + a a = H+L! 2 = + Ø>. 2+! 2 Esempio Il criterio del rapporto o è applicabile alla serie, ifatti = 4 + À a + a À = a + a = + H+L 4 + Il secodo criterio di assoluta covergeza è il criterio della radice: Teorema (criterio della radice) Data la serie = a, se esiste il lim Ø» a» =, e risulta <, la serie è assolutamete covergete. Se ivece >, la serie o è eache (semplicemete) covergete. Dimostrazioe. Suppoiamo che risulti < ; fissiamo > 0 i modo che + <, e osserviamo che, i corrispodeza di esiste 0 œ tale che, per ogi 0, si abbia: 4 + Ø.

19 Apputi di Aalisi Matematica II 3. Le serie umeriche 99» a» < +. Poedo, per brevità, + = q, ed elevado alla poteza -esima etrambe i membri, si ha, sempre per 0 :» a» < q. Pertato la serie dei valori assoluti =» a» è maggiorata defiitivamete dalla serie geometrica = q, che è covergete perché q <, e duque è covergete. Questo dimostra che la serie data è assolutamete covergete, che è la prima affermazioe del teorema. Suppoiamo che ivece risulti >, e dimostriamo che la serie data = a o coverge. I effetti fissiamo acora > 0, i modo che, questa volta, risulti - > ; esiste allora 0 œ tale che, per ogi 0, si abbia: e quidi, elevado alla poteza -esima: < - <» a» <» a». Da ciò cosege che la successioe Ha L o può essere ifiitesima, e quidi la serie data = a o è covergete, e co questo il teorema è dimostrato. à Esempio La serie = è (assolutamete) covergete, ifatti,» a» = = Ø 0 <. Esempio Si ha = 2 =, ifatti» a» = 2 = 2 Ø>. Esempio Il criterio della radice o è applicabile alla serie, ifatti =» a» = a = = Ø. 6. Esercizi Esercizio 3.6. Applicado il criterio del rapporto o quello della radice, studiare la covergeza delle segueti serie umeriche. = ;! = ; = 2 ; 3! ; 3 = = ; 2 5! ; = = 2 +. Esercizio Applicado il criterio del rapporto o quello della radice, studiare la covergeza delle segueti serie umeriche. = 2! ; = ; H + L! 2 ; + = 3 - = ; =.

20 Apputi di Aalisi Matematica II 3. Le serie umeriche La serie armoica e il criterio dell'ifiitesimo Come abbiamo visto el paragrafo precedete, i criteri del rapporto e della radice utilizzao il cofroto co la serie geometrica per stabilire la covergeza o meo di ua data serie umerica. U altro criterio di covergeza (assoluta) è ivece basato sul cofroto co u'altra serie umerica importate, la serie armoica geeralizzata. ü La serie armoica geeralizzata La serie armoica geeralizzata è la serie:, a = co a>0. La serie =, i particolare, si chiama serie armoica. Abbiamo già dimostrato che la serie armoica (quidi co a =) è divergete positivamete; abbiamo ache dimostrato che la serie = 2 (quidi la serie armoica geeralizzata, co a=2) è ivece covergete. Il seguete teorema forisce il risultato completo, cioé per tutti i valori possibili di a. Teorema 3.7. (serie armoica geeralizzata) La serie armoica geeralizzata: = a coverge se a >, diverge positivamete se ivece 0 < a. Dimostrazioe. Cosideriamo la fuzioe = a, co > 0; il suo grafico è simile a quello di u ramo di iperbole (è esattamete quello dell'iperbole equilatera se a =): y f@d= a Dal seguete grafico si vede immediatamete che, per ogi, valgoo le segueti disuguagliaze: - k=2 k < a < a k= k. a (3.7.8) Ifatti, la prima sommatoria o è altro che l'area del trapezoide iscritto della figura seguete, dove si è preso, ad esempio, = 5: y ê2 a ê3 a ê4 a ê5 a =5

21 Apputi di Aalisi Matematica II 3. Le serie umeriche 20 Si ha, evidetemete: 5 k=2 5 k = a 2 + a 3 + a 4 + a 5 < a, a e ciò giustifica la prima delle due disuguagliaze (3.7.8). Aalogamete, la secoda sommatoria che compare ella (3.7.8) è l'area del trapezoide circoscritto tracciato ella figura seguete, dove si è preso acora = 5: y ê2 a ê3 a ê4 a =5 I questo caso si ha, ovviamete: 5 < + a 2 + a a 4 = a k= k a Ciò premesso, passiamo alla dimostrazioe del teorema. ) caso: a > ; i questo caso, per dimostrare che la serie data coverge, cosideriamo la prima delle due disuguagliaze (3.7.8), e calcoliamo l'itegrale i essa coteuto: k < a k=2 a = B -a -a F Passado al limite per Ø, e ricordado che a >, cosicché -a Ø 0, si ha: k=2 k a -a H-L = a-. = -a I-a - M. Ciò dimostra che la serie data è covergete (i questo caso). 2 ) caso: a ; i questo caso, la serie data diverge positivamete; per dimostrarlo, utilizziamo la secoda delle due disuguagliaze (3.7.8): calcolado l'itegrale che i essa compare, otteiamo: - k= > a = a Log@D se a= C -a -a G = -a I-a - M se a< Duque la successioe delle somme parziali della serie data è miorata, i questo caso, da ua successioe che tede a, quidi la serie data, i questo caso, è divergete positivamete, e il teorema è dimostrato. à ü Il criterio dell'ifiitesimo Possiamo ora dimostrare facilmete il seguete criterio. Teorema (criterio dell'ifiitesimo) Data la serie = a, se il termie geerale è ifiitesimo di ordie maggiore di a, co a >, la serie è assolutamete covergete. Se ivece il termie geerale della serie è ifiitesimo di ordie miore o uguale ad, la serie o è assolutamete covergete. Dimostrazioe. Suppoiamo che la successioe Ha L sia ifiitesima di ordie maggiore di a, co a >; si ha duque: lim Ø» a» H ê L a = 0, pertato, fissato u > 0, esiste u 0 tale che, per ogi > 0, si ha:

22 Apputi di Aalisi Matematica II 3. Le serie umeriche 202» a» H ê L a <, cioé: a < a. Duque la serie dei valori assoluti: =» a» è defiitivamete maggiorata dalla serie = a, che è covergete perché a>, e pertato è essa stessa covergete. Questo dimostra la prima affermazioe del teorema. Suppoiamo ora che la successioe Ha L sia ifiitesima di ordie miore o uguale ad ; si ha allora: lim Ø» a» ê =, dove = se la successioe Ha L è ifiitesima di ordie miore, metre œ + se essa è ifiitesima di ordie uguale ad. I ogi caso, preso u umero reale k, co 0 < k <, per defiizioe di limite esiste 0 œ tale che, per ogi > 0, si ha: da cui: k <» a» ê, k < a. Duque la serie =» a» è defiitivamete miorata dalla serie = che è divergete positivamete, pertato ach'essa è divergete positivamete, e questo coclude la dimostrazioe del teorema. à Esempio 3.7. La serie = è (assolutamete) covergete, ifatti il termie geerale è ifiitesimo esattamete di ordie Esempio Si ha =, ifatti il termie geerale è ifiitesimo di ordie. = +0 2 Esempio Il criterio dell'ifiitesimo o è applicabile alla serie =, ifatti il termie geerale di tale serie è ifiitesimo di log ordie maggiore di, ma miore di ogi a, co a >. 8. Esercizi Esercizio 3.8. Applicado il criterio dell'ifiitesimo, studiare la covergeza delle segueti serie umeriche. Esercizio = + + ; 2 4 = ; Log@D Log@D Si@D ; ; ; TaB 3 = = 2 = 2 = F. 2 Utilizzado la (3.7.8), dimostrare che: + Log@D < k < + Log@D. k= Adoperare la precedete disuguagliaza per stimare la somma dei primi 0 0 termii della serie armoica.

23 Apputi di Aalisi Matematica II 3. Le serie umeriche Serie alterati e criterio di Leibitz I precedeti tre teoremi, cioé il criterio del rapporto, della radice e dell'ifiitesimo erao criteri di covergeza assoluta. Vedremo ora u criterio di covergeza semplice, che si applica alle cosiddette serie alterati. Ua serie alterate è del tipo: H-L - b = b - b 2 + b 3 - b 4 = Le serie alterati hao duque la particolarità di presetare alterativamete termii positivi e termii egativi. Per questo tipo di serie si dimostra il seguete criterio di covergeza semplice. Teorema 3.9. (criterio di Leibitz) Data la serie alterate = H-L - b, se la successioe Hb L è decrescete e ifiitesima, la serie è (semplicemete) covergete, e si ha» r» b +. Osservazioe. r deota, come al solito, il resto parziale -esimo della serie data. Duque il criterio di Leibitz forisce o solo u criterio di covergeza, ma ache ua stima dell'errore commesso ell'approssimare la somma della serie co la sua somma parziale -esima. Esempio 3.9. (serie armoica geeralizzata a segi alteri) La serie = H-L - a si chiama serie armoica geeralizzata a segi alteri. Essa è (semplicemete) covergete per ogi a >0, ifatti la successioe a è decresete e ifiitesima. Si ha ioltre r H+L a ; ad esempio, cosideriamo la serie = H-L - ; si ha: 2» r 00» = Pertato, detta s la somma della serie data: s = = k=0 H-L - H-L k- k , si ha: s - s 00 = r 00 = Duque, sommado i primi 00 termii della serie si ottiee u valore approssimato della somma a meo di Esercizio 3.9. Per ciascua delle segueti serie, stabilire se è applicabile il criterio di Leibitz, e, i caso affermativo, stimare l'errore che si commette sommado i primi 00 termii della serie. H-L - Log@ + D ; H-L - SiA p- p E ArcTa@D ; 2 = = = Esercizi Esercizio 3.0. Utilizzado i vari criteri coosciuti, studiare le segueti serie umeriche. H + L! =0 H + L ; ê! ; H-L =0 = + 5 ; =2 3 - CosA p E 2 ; ; = Si@Log@DD =2 2 Log@D ; Si@D + H-L. = 2 Esercizio Utilizzado i vari criteri coosciuti, studiare le segueti serie umeriche, e, ove possibile, calcolare la somma.

24 Apputi di Aalisi Matematica II 3. Le serie umeriche =2 3 ; H-L!!+ ; H-L 2 = = 3 ; SiB + = 2 + F; H-L Log@D ; = =0 3 ; +3 =4 2 ; Log@D + Log@D ;! + H + L! ; ArcTa@ + D - H-L ; = = =0 KTaB p F - TaB p + FO; =4 =0 H-L ; 2 =0 3 ; + =2 H-L ; = TaBArcSiB FF.

25 Apputi di Aalisi Matematica II 4. Itroduzioe alle serie di fuzioi Itroduzioe alle serie di fuzioi I questo capitolo itrodurremo la ozioe di serie di fuzioi, e di covergeza putuale ed assoluta di ua serie di fuzioi. Studieremo poi il problema dell'approssimazioe di ua fuzioe co la serie di Taylor.. Serie di fuzioi. Covergeza putuale ed assoluta I questo paragrafo, iiziamo ad esamiare la ozioe di serie di fuzioi. Sia co =, 2, 3, ua successioe di fuzioi defiite ciascua ello stesso isieme X. Come per le serie umeriche, possiamo cosiderare la somma formale = che si dice serie di fuzioi di termie geerale La serie di fuzioi = si trasforma i ua serie umerica o appea si fissa u valore œ X. Si@D Si@3 D Ad esempio, dalla serie di fuzioi =0, poedo = 3, otteiamo la serie umerica 2 =0, che è covergete 2 per il criterio dell'ifiitesimo. Naturalmete può accadere che il carattere della serie umerica che si ottiee dalla = fissado il valore di, vari al variare di. Ad esempio, la serie =0 si trasforma, poedo =, ella serie geometrica di ragioe : 4 4 =0 ed ha per somma - 4 4, che è covergete, = 4. Se però poiamo = 2, otteiamo la serie 3 =0 2, che, ivece, è divergete positivamete. Ha quidi seso dare la seguete defiizioe. Defiizioe 4.. (covergeza putuale e assoluta) La serie di fuzioi = si dice putualmete covergete i u sottoisieme X di X, se per ogi 0 œ X la serie umerica = 0 D è covergete. X si dice isieme di covergeza putuale della serie data. Si dice assolutamete covergete i u sottoisieme X 2 di X, se per ogi 0 œ X 2 la serie umerica = 0 D è assolutamete covergete. X 2 si dice isieme di covergeza assoluta della serie data. Ovviamete si ha X 2 Õ X Õ X, seza escludere che vi possa essere l'uguagliaza tra questi isiemi. Defiizioe 4..2 (fuzioe somma di ua serie) Se la serie = è putualmete covergete i u sottoisieme X di X, la fuzioe s:x Ø R che associa ad ogi œ X la somma della serie umerica = si dice somma della serie di fuzioi data. Esempio 4.. La serie =0 è, per ogi œ, ua serie geometrica di ragioe, pertato è covergete se e solo se»» < ; l'isieme di covergeza putuale di questa serie è duque l'itervallo D Per ogi œd la serie data ha per somma pertato la serie di fuzioi =0, covergete putualmete ell'itervallo D ha per somma, i tale itervallo, la fuzioe s@d =. - Per studiare la covergeza assoluta della serie data, cosideriamo la serie dei valori assoluti: =0»». Poiché possiamo scrivere»» =»», si ha: =0»» = =0»». Quest'ultima serie è acora ua serie geometrica, di ragioe»», pertato è covergete ach'essa per ogi œd duque, per questa serie, l'isieme di covergeza putuale coicide co quello di covergeza assoluta. Se = è ua serie di fuzioi, per ogi œ possiamo cosiderare la sua somma parziale -esima: = + a + + ª Per le serie di fuzioi, ovviamete, la somma parziale -esima è a sua volta ua fuzioe defiita i X, e o u umero, come per le serie umeriche. Se la serie data coverge putualmete i X, allora per ogi 0 œ X, la successioe 0 DL tede, per Ø, verso il valore s@ 0 D. Si dice, i tal caso, che la successioe di fuzioi coverge putualmete, i X, alla fuzioe s@d. k= -,

26 Apputi di Aalisi Matematica II 4. Itroduzioe alle serie di fuzioi 206 Esempio 4..2 Cosideriamo uovamete la serie =0 ; per ogi, = , duque ogi somma parziale -esima è u poliomio di grado, defiito, ovviamete, i tutto. Nell'itervallo D la successioe coverge putualmete verso la fuzioe s@d = (che è defiita i \ 8<). - La situazioe è rappresetata ella seguete figura. 0 s =. y - La liea rossa più spessa, rappreseta il grafico della fuzioe s@d = (che ha u asitoto per = ); la liea era più - sottile rappreseta il grafico dei poliomi cioè delle somme parziali -esime per =,, 30. Nella figura seguete si è fissato u valore 0 ell'itervallo D di covergeza putuale, e si vede come la successioe dei valori 0 D coverga verso s@ 0 D. 4 y s = s@ 0 D s 0 D 0 2. Serie di poteze. Serie di Taylor I questo paragrafo daremo la defiizioe di serie di poteze, che è uo dei tipi più semplici e utili elle applicazioi di serie di fuzioi, e vedremo u metodo per trovare, data ua certa fuzioe, ua serie di poteze (la serie di Taylor della fuzioe) che la approssima. Iiziamo duque col dare la seguete defiizioe.

27 Apputi di Aalisi Matematica II 4. Itroduzioe alle serie di fuzioi 207 Defiizioe 4.2. (serie di poteze) Ua serie di poteze è ua serie di fuzioi del tipo: a H - 0 L. I umeri a si dicoo coefficieti, e il umero 0 si dice puto iiziale della serie di poteze. Duque ua serie di poteze è ua particolare serie di fuzioi, il cui termie geerale è =0 = a H - 0 L. I coefficieti e il puto iiziale di ua serie di poteze possoo essere umeri reali o complessi, ma, el seguito, supporremo sempre, per semplicità, che siao umeri reali. Più esplicitamete, possiamo scrivere: a H - 0 L = a 0 + a H - 0 L + a 2 H - 0 L a H - 0 L + =0 (4.2.9) Esempio 4.2. La serie geometrica =0 è u tipico esempio di serie di poteze. I coefficieti di questa serie soo tutti uguali ad uo, e il puto iiziale è 0 = 0.! La serie H - =0 + L è ua serie di poteze; i coefficieti soo i umeri!, co = 0,, 2,, e il puto iiziale è + 0 =. La serie =0 + Si@ D, ivece, o è ua serie di poteze. Ache la serie =0 + Log@D, o è ua serie di poteze, ache se, co la sostituzioe Log@D = t, si trasforma ella serie di poteze della uova variabile t: =0 + t. Tutte le serie di poteze covergoo almeo per = 0, cioé el puto iiziale, co somma uguale ad a 0 ; ifatti, poedo = 0, la somma (4.2.9) si riduce al solo addedo a 0. Il seguete teorema precisa la atura dell'isieme di covergeza putuale di ua serie di poteze. Teorema 4.2. (isieme di covergeza di ua serie di poteze) Per ua serie di poteze di puto iiziale 0 si possoo verificare le segueti possibilità: ) la serie coverge el solo puto 0 ; 2 ) la serie coverge assolutamete i tutto ; 3 ) la serie coverge assolutamete i u itervallo aperto del tipo D 0 - r, 0 + r@ (co r > 0) e o coverge fuori dell'itervallo 0 - r, 0 + rd. Il teorema precedete afferma, i sostaza, che l'isieme di covergeza di ua serie di poteze è sempre u itervallo cetrato i 0, itervallo che, evetualmete, si può ridurre al solo puto 0, o, viceversa, essere uguale a tutto. Più precisamete, la covergeza della serie è assoluta cioè coverge la serie» a H - 0 L» ell'itero di tale itervallo. All'estero dell'itervallo 0 - r, 0 + rd, la serie ivece o coverge. =0 Si oti che il teorema precedete o dice ulla per quato riguarda la covergeza agli estremi dell'itervallo; ifatti egli estremi la serie può covergere (semplicemete o assolutamete), divergere, o essere idetermiata. E' del tutto aturale, a questo puto, dare la seguete defiizioe. Defiizioe (raggio di covergeza) Se si verifica la terza evetualità del teorema precedete, il umero r > 0 si dice raggio di covergeza della serie. Se si verifica la prima (risp. la secoda) evetualità, si dice che la serie ha raggio di covergeza ullo (risp. uguale a ).

28 Apputi di Aalisi Matematica II 4. Itroduzioe alle serie di fuzioi 208 Esempio La serie geometrica =0 ha raggio di covergeza uguale ad uo: coverge assolutamete ell'itervallo D metre o coverge al di fuori dell'itervallo D. Per quato riguarda il comportameto agli estremi di tale itervallo, sappiamo che, per =- la serie è idetermiata, metre per = la serie diverge positivamete. Vediamo ora come è possibile determiare il raggio di covergeza di ua serie di poteze a partire dai suoi coefficieti. Teorema (del rapporto per le serie di poteze) Sia =0 a H - 0 L ua serie di poteze a coefficieti tutti diversi da zero. Se esiste il limite lim À a + À, Ø a il raggio di covergeza della serie è uguale al reciproco di tale limite, co la covezioe che = 0, =. 0 Dimostrazioe. La dimostrazioe del teorema precedete discede facilmete dal teorema sul criterio del rapporto per le serie umeriche. Ifatti, fissiamo u œ, co 0, e cosideriamo la serie a H - 0 L, =0 che è ua serie umerica di termie geerale a H - 0 L, diverso da zero. Applichiamo il criterio del rapporto per le serie umeriche; si ha: lim Ø a + H - 0 L + a H - 0 L = lim Ø a + H - 0 L a = lim Ø a + a - 0. Ora, poiamo lim à a + à =, Ø a e distiguiamo i segueti casi: ) caso: 0 < <; allora» - 0» < per À - 0 À <, pertato la serie coverge assolutamete per 0 - < < 0 -, metre o coverge all'estero di tale itervallo; pertato il umero è il raggio di covergeza della serie. 2 ) caso: = 0; allora il limite precedete è sempre = 0, e quidi miore di, per qualsiasi œ, pertato il raggio di covergeza è ifiito. 3 ) caso: =; i questo caso, il limite precedete è uguale a e quidi è maggiore di, per qualsiasi œ, pertato il raggio di covergeza, i questo, caso è uguale a zero. à Teorema (della radice per le serie di poteze) Sia =0 a H - 0 L ua serie di poteze. Se esiste il limite lim Ø» a», il raggio di covergeza della serie è uguale al reciproco di tale limite, co la covezioe che = 0, =. 0 I due teoremi precedeti presetao due diversi modi di calcolare il raggio di covergeza di ua serie di poteze. Esempio Calcolare il raggio di covergeza della serie =0 2, e studiare il comportameto egli estremi dell'itervallo di covergeza. Applichiamo, ad esempio, il primo teorema; si ha: a + = + 2 a + 2 = + 2 Ø 2 quidi il raggio di covergeza è uguale a 2. Sappiamo a questo puto che la serie coverge assolutamete i D -2, 2@, metre o coverge al di fuori dell'itervallo 2D. Resta da vedere cosa accade agli estremi. Per questo, poiamo prima =-2; la serie si trasforma ella la serie umerica =0 2 H-2L = H-L =0 2 2 = H-L, =0