Lezioni di Algebra Lineare. II. Aritmetica delle matrici e eliminazione di Gauss. versione ottobre 2008

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1 versione ottobre 2008 Lezioni di Algebra Lineare II. Aritmetica delle matrici e eliminazione di Gauss Contenuto. 1. Somma di matrici e prodotto di una matrice per uno scalare 2. Prodotto di matrici righe per colonne 3. Trasposta di una matrice 4. Matrice di un sistema lineare 5. Risoluzione di un sistema lineare con l eliminazione di Gauss 1

2 2 1. Somma di matrici e prodotto di una matrice per uno scalare Una matrice a coefficienti reali di misura n m (brevemente matrice reale n m), è una tabella di numeri reali a n righe e m colonne (dove n e m sono interi positivi). Gli elementi (o termini, o componenti) della matrice sono i numeri che la compongono; l elemento di posto (o posizione) (i, j) è l elemento che compare nella i-esima riga e nella j-esima colonna (1 i n, 1 j m). ( ) Esempio. 1 2 è una matrice reale 2 3. Il suo elemento di posto 3 0 (2, 2) è 2 3. Notazione. La scrittura A = (a ij ) 1 i n vuol dire che A è una matrice n m e 1 j m che il suo termine di posto (i, j) è a ij. Gli indici i e j si chiamano l indice di di riga e l indice di colonna, rispettivamente, dell elemento a ij. Se la misura di A è già definita nel contesto, scriviamo semplicemente A = (a ij ) Somma di matrici. Se A e B sono matrici della stessa misura, n m, denotiamo con A + B la matrice n m, ottenuta sommando A e B componente a componente. Esempio. ( ) = ( ) Problema. Dimostrare che la somma di matrici della stessa misura è commutativa e associativa. 1.2 Prodotto di una matrice per uno scalare. Se A è una matrice n m e λ è un numero reale, il prodotto λa è la matrice n m ottenuta da A moltiplicando ciascuno dei suoi elementi per λ. Esempio. 1 2 ( ) = /2 1 2/2. 1/2 3/2 0

3 Denotiamo con M n,m (R) l insieme delle matrici reali n m. È immediato verificare che la matrice nulla n m, cioè la matrice n m con tutti gli elementi uguali a 0, è un elemento neutro per la somma. Inoltre per ogni M M n,m (R) la matrice ( 1) M è l opposta di M rispetto alla somma. Quindi scriviamo M in luogo di ( 1) M. 3 Problema. Dimostrare che M n,m (R), con le operazioni definite sopra è uno spazio vettoriale reale di dimensione n m. 2. Prodotto di matrici righe per colonne. Il prodotto (righe per colonne) AB di due matrici reali A e B è definito se e solo se il numero di colonne di A è uguale al numero di righe di B, cioè A è n m e B è m k, con n, m, k interi positivi. In questo caso, AB è una matrice n k. Il prodotto di matrici non è commutativo: in generale, se il prodotto AB è definito, il prodotto di B per A potrebbe non esserlo e, se è definito, BA può essere diversa da AB. Nei prossimi paragrafi descriveremo la regola aritmetica per la moltiplicazione di due matrici e le proprietà del prodotto definito. Riga per colonna. Consideriamo il caso particolare in cui a è una matrice 1 m, (vettore riga) e b una matrice m 1 (vettore colonna): b 1... a = (a 1,..., a m ), b =. b m Allora b 1... ab = (a 1,..., a m ) b m = def a 1 b a m b m. Cioè: ab è lo scalare (matrice 1 1) ottenuto moltiplicando ordinatamente gli elementi della riga a per gli elementi della colonna b e sommando i prodotti.

4 4 Esempio. ( ) 3 2 = 1 ( 3) + 2 ( 2) = Notazione. Se M è una matrice reale n m, denotiamo con M i la i-esima riga di M (i = 1,..., n) e con M j la j-esima colonna di M (j = 1,..., m). Esempio. Se M = 1 2 3, allora M 1 = ( ), M 2 = ( ), M 1 = Righe per colonne. 1, M 2 = 4 2, M 3 = Sia A una matrice reale n m e B una matrice reale m k. Allora AB è la matrice n k così definita: l elemento di posto (i, j) di AB è il prodotto riga per colonna A i B j. Esempio. Sia A = B = ( Allora A è 3 2 e B è 2 2, quindi AB è definita ed è 3 2. esplicitamente. AB = ( ) = ) ( 1) ( 2) ( 1) ( 2) = ( 2) Calcoliamola Problema 1. Poniamo A = ; B = ; C =

5 5 Dire quali prodotti tra le precedenti matrici sono definiti e calcolarli. Soluzione. Scriviamo la misura delle matrici: Alllora: A : 2 3; B : 3 2; C : 4 2. AB è definita ed è una matrice 2 2; BA è definita ed è una matrice 3 3; CA è definita ed è una matrice 4 3; AC, BC, CB non sono definite. Calcoliamo esplicitamente AB, gli altri prodotti sono lasciati allo studente AB = = ( 1) 2 1 ( 1) ( 1) 5 = ( 1) Formula del prodotto. La regola del prodotto di matrici si sintetizza nella formula seguente. Siano A e B matrici reali n m e m k, rispettivamente, così che AB è una matrice reale n k. Poniamo A = (a ij ), B = (b ij ), AB = (c ij ). Allora m c ij = a ik b kj. k=1 Dalla definizione del prodotto righe per colonne seguono direttamente le proprietà algebriche che descriviamo qui sotto. Proprietà del prodotto: matrice per vettore colonna. Supponiamo che A sia una matrice n m a coefficienti reali. Le colonne A 1,..., A m di A sono vettori

6 6 b 1... in R n. Sia poi b = una matrice reale m 1. In queste ipotesi (numero di b m colonne di A uguale al numero di componenti di b) il prodotto Ab è definito ed è il il vettore di R n con la seguente proprietà : Ab è la combinazione lineare delle colonne di A che ha per coefficienti le componenti di b, cioè Ab = b 1 A b m A m. Esempio. Sia Allora Ab = A = 1 2 3, b = = [Se non vi è chiaro, verificatelo facendo esplicitamente i conti.] Proprietà del prodotto: caso generale. Siano A una matrice n m e B una matrice m k. In queste ipotesi le colonne di B sono vettori in R m e quindi è definito il prodotto di A per ciascuna delle colonne di B. In effetti vale il fatto seguente. Proposizione 1. Le colonne di AB sono i prodotti di A per le colonne di B. Precisamente, la i-esima colonna di AB è il prodotto di A per la i-esima colonna di B (i = 1,..., k). In particolare, le colonne di AB sono combinazioni lineari delle colonne di A. Esempio. A = 1 2 3, B = Allora AB è la matrice 2 2 le cui colonne sono ordinatamente , e [Se non vi è chiaro, verificatelo facendo esplicitamente i conti.]

7 Nella prossima proposizione sono enunciate, senza dimostrazione, alcune proprietà aritmetiche del prodotto di matrici. Gli studenti dovrebbero dimostrarne almeno una per esercizio: le dimostrazioni consistono in una verifica diretta utilizzando la definizione o la formula del prodotto. Proposizione 2. Valgono le proprietà distributive: 7 A(B + C) = AB + AC (A n m, B e C m k), Vale inoltre la proprietà: (A + B)C = AC + BC (A e B n m, C m k). λ(ab) = (λa)b = A(λB) (A n m, B m k, λ scalare). Infine vale la proprietà associativa: A(BC) = (AB)C (A n m, B m k, C k l). 3. Trasposta di una matrice. La definizione che segue è un po informale. Due definizioni formali sono contenute nelle successive Osservazioni 1 e 2. Definizione. Sia A una matrice reale n m. La trasposta di A, che si denota con t A, è la matrice m n che ha come colonne le righe di A (e come righe le colonne di A). Esempio. Se A = Osservazioni immediate , allora t A = Se A = (a ij ), allora il termine di posto (i, j) di t A è a ji. 2. Se a = (a 1... a m ) è un vettore riga in R m (quindi una matrice 1 m), allora t a a 1 è il vettore colonna... Se A 1,..., A n sono le righe di A, allora le colonne di a m

8 8 t A sono t A 1,..., t A n. Analogamente, se A 1,..., A m sono le colonne di A, allora le righe di t A sono t A 1,..., t A m. 3. Per ogni matrice A si ha t ( t A) = A. Proposizione: trasposta di un prodotto di matrici. Siano A e B due matrici reali n m e m k, rispettivamente. Allora t (AB) = t B t A. Dimostrazione. Supponiamo prima che A abbia una sola riga e B una sola b 1... colonna, A = (a 1... a m ) e B =. Allora AB è uno scalare, quindi t (AB) = b m AB, e la tesi equivale a AB = t B t A. Questo è immediato, infatti b 1... a 1 (a 1... a m ) = a 1 b a n b n = (b 1... b m )... b m a m Torniamo al caso generale e indichiamo come al solito con A 1,..., A n le righe di A e con B 1,..., B k le colonne di B. Confrontiamo gli elementi di t (AB) con quelli di t B t A. Per l Osservazione 1, l elemento di posizione (i, j) di t (AB) è uguale al termine di posizione (j, i) di AB, quindi è uguale a A j B i. Per l Osservazione 2, il termine di posizione (i, j) di t B t A è t (B i ) t (A j ). A j B i = t (B i ) t (A j ), quindi otteniamo che t (AB) = t B t A. Per la prima parte della dimostrazione Problema. Utilizzando la Proposizione precedente e la Proposizione 1 della sezione 2, dimostrare che le righe di AB sono combinazioni lineari delle righe di B. 4. Matrice di un sistema lineare Consideriamo un sistema di n equazioni lineari a coefficienti reali in m incognite x 1,..., x m : a 11 x a 1m x m = b a n1 x a nm x m = b n

9 La matrice A = (a ij ) si chiama la matrice dei coefficienti del sistema; il vettore b 1... b = si chiama la colonna dei termini noti del sistema; la matrice (A b), b n ottenuta aggiungendo ad A la colonna b, si chiama la matrice completa del sistema; x 1 il vettore x =.. si chiama il vettore delle incognite del sistema. x m Se ricordiamo la regola di moltiplicazione tra matrici, vediamo subito che i termini a sinistra delle equazioni del sistema sono le componenti del vettore Ax. Quindi il sistema dato equivale all equazione, nell incognita x, 9 Ax = b. Tutti i sistemi che tratteremo saranno di equazioni lineari a coefficienti reali, anche se non lo diremo esplicitamente. Esempio. Consideriamo il sistema di tre equazioni nelle quattro incognite x, y, z, t: 2x z + 3t = 1 x + 4y z t = 2 x + y + 5t = 0 Allora , x y, z t 1 2, sono rispettivamente la matrice dei coefficienti, il vettore delle incognite, la colonna dei termini noti, la matrice completa del sistema. Il sistema dato equivale all equazione dove l incognita è il vettore t (x, y, z, t) x y = 1 2, z t Dalla Proprietà del prodotto matrice per vettore enunciata nell Sezione 2 deduciamo immediatamente la seguente Osservazione basilare.

10 10 Osservazione. Il sistema lineare Ax = b ha soluzioni se e solo se il vettore b è combinazione lineare delle colonne di A. 5. Risoluzione di un sistema lineare con l eliminazione di Gauss Risolvere un sistema lineare a coefficienti reali Ax = b di n equazioni in m incognite, vuol dire trovare tutti i vettori v in R m tali che Av = b. Se non esistono soluzioni, diciamo che il sistema non è risolubile. Consideriamo tre esempi. x + y 3z = 1 y + z = 0 2z = 1 2x + y 3z = 1 y + z = 0 2z = 1 0 = 2 x 1 + x 2 + x 3 3x 4 + x 5 = 2 x 3 + x 4 + 2x 5 = 1 2x 4 4x 5 = 2 (1) (2) (3) È del tutto evidente che il sistema (1) è risolubile ed ha un unica soluzione: basta risolverlo per sostituzione dal basso, cioè: deduciamo il valore di z dalla terza equazione; lo sostituiamo nella seconda e calcoliamo il valore di y; sostituiamo i valori di ze y nella prima equazione e calcoliamo quello di x. L unica soluzione del sistema è x y = 2 1/2 z 1/2 È anche del tutto evidente che il secondo sistema è privo di soluzioni, perché la quarta equazione non è soddisfatta da nessuna attribuzione di valori reali a x, y, z.

11 Studiamo il terzo sistema. Vogliamo mostrare che questo è risolubile e ha infinite soluzioni. In primo luogo trasformiamolo portando le incognite x 2 e x 5 sul lato destro delle equazioni: x 1 + x 3 3x 4 = 2 x 2 x 5 x 3 + x 4 = 1 2x 5 (3 ) 2x 4 = 2 + 4x 5 A sinistra del segno di uguaglianza ora abbiamo le stesse espressioni del sistema (1), a parte il nome diverso delle incognite. Allora, se attribuiamo a x 2 e x 5 due valori reali arbitrari, possiamo dedurre come abbiamo fatto per il sistema (1) i valori di x 4, x 3 e x 1 in modo da soddisfare le equazioni in (3 ). Precisamente, se a e b sono due numeri reali qualunque, ponendo x 2 = a e x 5 = b otteniamo: dalla terza equazione, x 4 = 1 + 2b; sostituendo nella seconda, x 3 = 1 + 2b + (1 + 2b) = 2 + 4b; sostituendo nella prima, x 1 = 2 a b + 3(1 + 2b) (2 + 4b) = 3 a + b. Quindi otteniamo che x 1 = 3 a + b, x 2 = a, x 3 = 2 + 4b, x 4 = 1 + 2b, x 5 = b è una soluzione del sistema (3) qualunque siano i numeri a e b. Dunque le soluzioni ci sono e ce ne sono infinite. Questo si riassume nel modo seguente: L insieme delle soluzioni del sistema (3) è 3 a + b a 2 + 4b 1 + 2b b 11 a, b R. ( ) I tre sistemi che abbiamo appena studiato hanno una forma particolare, la cosiddetta forma a scala. La nozione di sistema a scala può essere precisata in termini della matrice completa del sistema. Definizione: matrici a scala. Sia M una matrice non nulla n m. M si dice a scala se: (1) se M ha delle righe nulle, queste seguono (nell ordine dall alto verso il basso) le righe non nulle;

12 12 (2) se M 1,..., M k (1 k n) sono le righe non nulle di M e, p i (i = 1,..., k) è il primo elemento diverso da 0 della riga M i (nell ordine da sinistra a destra), allora p i+1 si trova strettamenente più a destra di p i, per i = 1,..., k 1. Se M è a scala gli elementi p 1,..., p k si chiamano i pivot di M. Esempio (a scala) (non a scala) La prima delle due matrici scritte sopra è a scala e i suoi pivot sono gli elementi sottolineati. Invece la seconda matrice non è scala, perché non soddisfa la condizione (2) della definizione. Infatti, nelle notazioni della condizione (2), p 2 è il 7 sottolineato, p 3 è il 4 sottolineato, e p 3 non si trova strettamente più a destra di p 2. Definizione: sistemi a scala. Un sistema si dice a scala se la sua matrice completa è a scala. Per un sistema a scala, come abbiamo sperimentato negli esempi, è immediato vedere se esistono soluzioni e, se ne esistono, calcolarle. La tecnica di risoluzione dei sistemi che descriveremo, l eliminazione di Gauss, consiste nel trasformare qualunque sistema dato in un sistema a scala che abbia lo stesso insieme di soluzioni. Le operazioni che si fanno per ottenere questo risultato sono del tipo: (1) scambiare di posizione due equazioni; (2) cambiare una certa equazione sommandole un multiplo di un altra equazione. Le operazione di tipo (2) si usano per eliminare un incognita dall equazione su cui operiamo. Facciamo un esempio che chiarisca le parole in caratteri obliqui. Esempio 2. Se ho il sistema di due equazioni { 2x + 2y + z = 2 3x + y + z = 2 per eliminare la x dalla seconda equazione, sommo a questa, membro a a membro, la prima equazione moltiplicata per 3 2 : 3x + y + z = 2 (II eq.) 3x 3y 3 2 z = 3 ( 3 2 I eq.) (L) 2y 1 2 z = 5

13 13 e ottengo il nuovo sistema { 2x + 2y + z = 2 2y 1 2 z = 5 (L ) Il sistema (L ) è a scala. Se sapessi che ha le stesse soluzioni di (L), potrei lavorare su (L ). Ora è chiaro che una terna di valori reali (a, b, c) per (x, y, z) che soddisfa il sistema (L) soddisfa anche (L ), per come questo è costruito. Ma è vero anche il viceversa, perché (L) si ottiene da (L ) facendo l operazione inversa di quella fatta, precisamente, la seconda equazione di (L) si ottiene dalla seconda equazione di (L ) sommando a questa i 3 2 della prima equazione. Quindi l operazione descritta non cambia le soluzioni. Nota. Per evitare coefficienti frazionari avrei anche potuto prima moltiplicare la seconda equazione per 2, e poi sottarre la prima equazione moltiplicata per 3. I discorsi sulle soluzioni funzionerebbero allo stesso modo. Definizione: Sistemi equivalenti. Due sistemi di equazioni lineari si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni. È chiaro che le operazioni sulle equazioni di un sistema del tipo descritto nell Esempio 2 si possono vedere come operazioni sulla matrice completa del sistema. Riduzione a scala di una matrice: eliminazione di Gauss. L algoritmo che stiamo per descrivere serve a trasformare un arbitraria matrice non nulla in una matrice a scala. L algoritmo è strutturato in modo che, se applicato alla matrice completa di un sistema, la trasforma nella matrice completa di un sistema equivalente. Le operazioni permesse sono: (1) Scambiare di posizione due righe. (2) Sommare ad una riga un multiplo di un altra riga. L algoritmo procede in modo ricorsivo nel modo seguente: (a) Se M è nulla o è già a scala, M resta invariata e la procedura termina. (b) Altrimenti: (1) Vediamo qual è la prima colonna non nulla di M: supponiamo sia la i-esima. Scegliamo in modo arbitrario una riga R di M con l i-esima componente non nulla e, se non abbiamo scelto la prima riga, scambiamo di posto la prima riga e la R scelta.

14 14 (2) Sia p il primo elemento non nullo di R (il pivot). L elemento p sta sulla Ricorsione. prima riga e non ha elementi strettamente alla sua sinistra. Modifichiamo le righe successive alla prima in modo da rendere nulli anche tutti i termini che stanno sotto p (nella stessa colonna di p), nel modo seguente: k-esima riga (1 < k): se x ki è il termine di posizione (k, i) (cioè (k-esima riga, stessa colonna di p)), sommiamo alla k-esima riga R. x ki p Sia M la matrice ottenuta al termine del passo 2 e M la sottomatrice di M costituita dalle righe successive alla prima. Lasciamo la prima riga di M invariata ed eventualmente cambiamo le righe successive, applicando la procedura che abbiamo appena descritto a M in luogo di M. Esempio 3. Applichiamo la riduzione a scala alla matrice M scritta sotto Non serve alcuno scambio di righe L 1 sottolineato è il pivot Le operazioni da fare sono: M = III riga 2 I riga IV riga I riga V riga I riga Si lavora sulle righe sotto la linea. Dobbiamo scambiare la II riga o con E ora l unica operazione la III o con la IV: scegliamo la IV da fare è: (la numerazione delle righe è riferita III riga + II riga alla matrice completa) Qui scambiamo III e IV riga Infine: V riga 2 III riga = S Abbiamo ottenuto la matrice a scala S. Gli elementi sottolineati sono i suoi pivot Nota. Il risultato finale dipende, ad ogni stadio dell iterazione dell algoritmo, da come scegliamo la prima riga. Ad esempio, al passaggio dalla seconda alla terza matrice, avremmo potuto scambiare la II riga con la III. Analogamente, all inizio del procedimento, avremmo potuto, come primo passo, scambiare la I riga con la III, la IV o la V: l unica riga che non va bene è la II, perché in corrispondenza della seconda colonna ha uno 0.

15 È chiaro che un operazione del tipo (1), cioè uno scambio di righe, sulla matrice completa di un sistema corrisponde allo scambio di posizione di due equazioni e perciò non cambia le soluzioni del sistema. Neanche le operazioni del tipo (2), che sono analoghe a quella descritta nell Esempio 2, cambiano le soluzioni. Proposizione 1. Sia L un sistema lineare e sia M la matrice completa di L. Sia poi S una matrice a scala ottenuta da M per eliminazione di Gauss e sia L il sistema lineare di matrice completa S. Allora L e L sono equivalenti. 15 A questo punto scriviamo come si tratta in generale un sistema a scala. Enunciamo i risultati principali. Proposizione 2. (a) Un sistema a scala è risolubile se e solo se la sua matrice completa non ha pivot nell ultima colonna. (b) Se vale la condizione di risolubilità scritta sopra, la soluzione è unica se e solo la matrice dei coefficienti ha un pivot in ogni colonna, altrimenti le soluzioni sono infinite. La conclusione di questo paragrafo è dedicata alla dimostrazione della Proposizione precedente. Il fatto che vi è un pivot p nella colonna dei termini noti equivale al fatto che l ultima equazione del sistema è 0 x x n = p che non è risolubile perché p 0. Quindi se questo succede il sistema non è risolubile. (Cfr. sistema (2) all inizio del paragrafo.) Ora supponiamo che non vi sia un pivot nella colonna dei termini noti e che invece nella matrice dei coefficienti vi sia un pivot per ogni colonna. Questo è il caso esemplificato dal sistema (1) all inizio del paragrafo: il sistema è di tipo con gli a ii tutti diversi da zero. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 22 x a 2n x n = b a nn x n = b n Si risolve per sostituzione dal basso, partendo dall ultima equazione: troviamo x n = b n /a nn ; sostituiamo questo valore al posto

16 16 di x n nelle altre equazioni; dalla penultima equazione otteniamo il valore di x n 1 ; proseguiamo induttivamente fino a determinare x 1. Infine supponiamo che non ci sono pivot nella colonna dei termini noti e che nella matrice dei coefficienti vi siano colonne senza pivot. Questo vuol dire che vi sono delle incognite alle quali non corrisponde alcun pivot, come nell esempio (3) all inizio del paragrafo. Come primo passo separiamo le incognite corrispondenti alle colonne dei pivot da quelle corrispondenti alle colonne senza pivot, precisamente, in tutte le equazioni del sistema, portiamo a destra dell uguaglianza i termini con le incognite corrispondenti alle colonne senza pivot. Esempio: x 1 x 2 + 2x 3 x 4 + x 5 = 1 x 3 + x 4 x 5 = 1 x 5 = 1 x 1 + 2x 3 + x 5 = 1 + x 2 + x 4 x 3 x 5 = 1 x 4 x 5 = 1 Ora osserviamo che se attribuiamo dei valori reali arbitrari alle incognite che abbiamo spostato, torniamo al caso prececente, otteniamo un sistema nelle incognite rimanenti con soluzione unica. Esempio (seguito): x 2 = a, x 4 = b (a, b R) x 1 + 2x 3 + x 5 = 1 + a + b x 3 x 5 = 1 b x 5 = 1 x 1 = a + 3b 4 x 3 = 2 b x 5 = 1 (l ultimo passaggio si ottiene risolvendo il sistema per sostituzione dal basso). Quindi il sistema ha infinite soluzioni, una per ogni scelta dei valori da attribuire alle incognite che abbiamo spostato a destra.

17 17 Esempio (conclusione): Al variare di a e b in R si ottengono infinite soluzioni; precisamente l insieme delle soluzioni è a + 3b 4 a 2 b b 1 a, b R. Terminologia. Nel caso in cui le soluzioni sono infinite, nella loro descrizione compaiono delle indeterminate (nell esempio a e b). Queste indeterminate si chiamano parametri reali, o variabili libere. Il generico vettore soluzione del sistema si chiama soluzione generale (nell esempio t (a + 3b 4, a, 2 b, b, 1)). Fissando i parametri, cioè attribuendo ad essi dei valori numerici, si ottengono le soluzioni particolari del sistema (ad esempio scegliendo a = 0 e b = 2 nell esempio studiato si ottiene la soluzione particolare t (2, 0, 0, 2, 1)). Nota. L espressione della soluzione generale non è unica. Vedremo però che non può cambiare il numero dei parametri che occorrono nella soluzione generale. Esempio. Consideriamo il sistema di una sola equazione nelle due incognite x e y x y = 2. Il metodo di soluzione descritto in generale, in questo caso, si applica così: scriviamo ( l equazione ) come x = y + 2 e ponendo y = a troviamo la soluzione a + 2 generale (a R). a Ma potremmo anche scrivere y = x 2 e ponendo x = a trovare la soluzione a generale (a R). a 2 E in effetti si verifica facilmente che { } { } a + 2 a a R = a R, a a 2 cioè che abbiamo scritto lo stesso insieme di soluzioni in due modi diversi.