Moto dell acqua nelle Terre: la quota piezometrica

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1 Moto dell acqua nelle Terre: la quota pieometrica Approccio fenomenologico:. indiiduaione ariabili fisice causa ed effetto caratterianti il fenomeno (erifica analogie e differene con il moto idraulico in condotte e canali). studio legame fisico-meccanico tra cause ed effetti macroscopici Scelta della ariabile causa idraulica delle condotte carico idraulico totale [] = e elocità delle particelle d acqua nei terreni sono talmente basse ce H u = ζ + γ + g ariabile causa = quota pieometrica [] = = ζ + u γ H = quota di risalita dell acqua in un tubo (pieometro) inserito in un punto del sottosuolo u γ ζ ζ = 0

2 Moto dell acqua nelle Terre: la elocità di filtraione Scelta della ariabile effetto idraulica delle condotte portata filtrante [ 3 T - ] V Q = t Nel meo poroso si potrebbe considerare: portata per seione netta = elocità media [T - ] n = Q A n Q (na) Scelta più pratica: ariabile effetto = elocità di filtraione [ 3 T - ] Q Q = n = A A n n n = portata filtrante attraerso una seione unitaria di sceletro solido n

3 3 Esperiena di d Arcy (o Darcy) i es fontaines publiques de la ille de Dijon (Darcy, 856) A permeametro In condiioni di flusso staionario e monodimensionale: Q = = k = k i A k = conducibilità idraulica (o coefficiente di permeabilità) [T - ] (costante dipendente da caratteristice del fluido e del meo poroso) rappresenta la facilità con la quale il fluido può muoersi nei uoti interparticellari i = gradiente idraulico (o cadente pieometrica) [adim.] a legge di Darcy ale nella quasi totalità dei problemi geotecnici, ad ecceione i casi in cui il numero di Reynolds è molto alto (forti gradienti idraulici, porosità eleate; p. es. nelle rocce fratturate).

4 4 Altra esperiena significatia Fuga de agua Mira, Jefe, ay fuga de agua.

5 5 Altra esperiena significatia Fuga de agua No ay prolema, ombre, està pequenita

6 6 Cabròn! No me lo podias aber dico antes?

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8 8 Generaliando nelle tre dimensioni, per un meo continuo ed anisotropo: i 3 = k j= ij x j { } = [ k] { i} = [ k] grad ( ) {} = elocità di filtraione (ettore) = carico idraulico (scalare) [k] = tensore delle permeabilità (matrice) (k ij = componente di elocità lungo la direione i prodotta da un gradiente unitario negatio lungo j) Sistema (x,y,) = assi principali di permeabilità x y = k = k = k x y x y meo isotropo (k x =k y =k =k) { } k grad ( ) =

9 9 Equaione di continuità in un meo omogeneo e isotropo Equaione di continuità della massa di fluido in un elemento di olume: y dx x x + dx massa d acqua in ingresso x d x massa d acqua in uscita y y + dy y + d massa fluido ce si accumula (o ce abbandona) dv = ariaione peso fluido in dv ρ x x x dy y dx dyd + y y dy dxd + d dxdy dt = ( ρ ns ) t In genere: r ddxdy dt Ipotesi del moto di filtraione in regime staionario (o permanente ): le ariabili in gioco non dipendono dalla ariabile tempo (t) meo stabilmente saturo S r = fluido incomprimibile ρ = cost. di { } = 0 sceletro solido indeformabile n = cost.

10 0 Filtraione staionaria in un meo omogeneo e isotropo Equaione di continuità + legame elocità-carico idraulico di{ } {} = 0 = k grad( ) Introducendo la nella : di { grad() } = 0 = 0 (equaione di aplace) a soluione dell equaione di aplace è costituita da due famiglie di superfici. Graficamente di moto di filtraione è descritto da: Superfici isopieice = superfici equipoteniali, doe è costante inee di flusso = cure iniluppo ettori elocità (ortogonali alle isopieice se la permeabilità è isotropa) + q = ΔA = cost. Proprietà delle due famiglie di cure: la quota pieometrica decresce lungo una linea di flusso lungo un tubo di flusso (superficie generata da linee di flusso) la portata è costante non c è flusso lungo una superficie isopieica

11 Moti di filtraione modimensionali Se è sufficiente una sola ariabile geometrica per descriere il fenomeno si parla di moti di filtraione monodimensionali (o uniformi ) Sia s la ariabile geometrica (direione del flusso); l eq. di aplace si scrie allora: d = 0 ds con le associate condiioni al contorno d i ds = = cost Il gradiente idraulico è costante. = A+ Bs Il carico idraulico è funione INEARE di s; A e B costanti di integraione. u = γ ( ) ζ a pressione del fluido è combinaione lineare di funioni lineari: è quindi lineare ance essa

12 Modifice di stati tensionali indotte da moti di filtraione Gli effetti dei moti di filtraione (nei terreni saturi) sono diersi a seconda del erso (concorde o discorde) del flusso rispetto alle aioni litostatice. Fluido in quiete quota pieometrica costante ζ σ,σ,u H σ σ u σ = γ = γ = σ sat u = ζ + γ u = ζ + = γ = H = cost. u σ

13 3 Modifice di stati tensionali indotte da moti di filtraione. Filtraione monodimensionale (D) in un meo omogeneo = A+B (integraione eq. aplace): andamento lineare del carico idraulico Fluido in moto erso il basso quota pieometrica decrescente con ζ σ,σ,u i = Δσ u σ σ u σ Δσ = i < = γ( ζ) = γ = γ sat = γ + γ = Δu i = γ i ( i + > 0 ) = γ γ i

14 4 Modifice di stati tensionali indotte da moti di filtraione 3. Filtraione monodimensionale in un meo omogeneo = A+B (integraione eq. aplace): andamento lineare del carico idraulico Fluido in moto erso l alto quota pieometrica crescente con ζ σ,σ, u i = Δσ u σ σ u σ Δσ = + i > = γ( ζ) = γ = γ sat = γ γ = Δu i = γ i ( + i + < 0 ) = γ + γ i a filtraione in direione erticale aggiunge alle tensioni efficaci litostatice una ariaione γ i (fora di trascinamento) concorde con il erso del moto

15 5 Fenomeni deformatii prodotti da moti di filtraione: subsidena e fore di trascinamento indotte dai moti di filtraione erso il basso producono: aumento delle tensioni efficaci ( cedimenti) Es.: subsidena (cedimento del piano di campagna) indotta da emungimento da un acquifero σ,σ,u u σ Δσ = γ = Δσ ' Δu Δu Δu γ ε d = d = d = d d = E 0 0 ed E 0 ed E E E γ + E ed, ed, ed, ed,

16 6 Fenomeni di instabilità prodotti da moti di filtraione:sifonamento e fore di trascinamento indotte dai moti di filtraione erso l alto producono: diminuione delle tensioni efficaci ( collasso) ζ σ,σ, u i = Δσ u σ Se σ =0 allo sbocco del moto di filtraione: σ = γ u = γ + γ i σ ' sat = σ u = ( γ sat γ γ i) = ( γ ' γ i) γ γ Se ( γ ' γi) = 0, oero ies = = = icrit, σ = 0 per ogni γ i es = gradiente idraulico di eserciio i crit = gradiente idraulico critico SIFONAMENTO le sabbie mobili!!!

17 7 Problemi di filtraione piana e reti idrodinamice In un problema piano ( y = 0): superfici linee isopieice la soluione dell eq. di aplace può essere ricercata per ia grafica, disegnando la rete idrodinamica, costituita da due famiglie di cure (isopieice e linee di flusso) tracciate rispettando le condiioni al contorno per e e, ce nel caso di isotropia della permeabilità sono tra loro ortogonali. superficie pieometrica = a isopieica - superficie impermeabile a i b i + Nella maglia elementare Δs Δa, la portata è data da Δ q = Δ a = k i a = k a n i i bi (Δs = distana tra due linee isopieice, Δa = distana tra due linee di flusso = seione tubo)

18 8 Calcolo di portata e pressioni interstiiali Tracciando una rete a maglie con rapporto tra i lati costante (a i /b i =cost) E compatibile con le condiioni al contorno: a i Δ q = k costante lungo ogni tubo di flusso b i Δq = costante in ogni tratto di tubo di flusso tra due isopieice = perdita di carico tra due isopieice = costante nell intera rete H = ariaione totale di carico idraulico n = numero di campi tra le isopieice (salti equipoteniali) Δ = ΔH n Calcolo portata filtrante Q (n q = numero di tubi di flusso): ai ΔH a n i q ai Q= nqδ q= nqk Δ = nqk = kδ H = kδhc b n b n b i i i Distribuione pressioni interstiiali u: u = γ ( ζ) n q k ΔH n

19 9 Tipologia dei problemi in relaione alla ariabilità nel tempo Nei problemi di filtraione, l analisi del problema idraulico è disaccoppiabile da quella statica In base alla ariabilità spaio-temporale delle condiioni al contorno, si classificano in: Flusso staionario (condiioni al contorno e dominio di saturaione inariabili nel tempo) H = cost. Es. aggottamento da fondo scao Flusso transitorio (condiioni al contorno e/o dominio di saturaione ariabili nel tempo) t Es. risalita acqua in pieometro/poo

20 0 Tipologia dei problemi in relaione alle condiioni al contorno Flusso confinato (contorno indipendente dal dominio di saturaione) H Es. traersa in muratura Flusso non confinato (contorno ariabile col dominio di saturaione) H Es. diga in terra

21 Fenomeni di instabilità prodotti da moti di filtraione: sifonamento e fore di trascinamento indotte dai moti di filtraione erso l alto producono: diminuione delle tensioni efficaci ( collasso) sifonamento indotto da filtraione lungo una palancola in un terreno a grana grossa σ, σ ',u γ γ i σ u = γ σ' = γ = σ sat + γ i u = ( γ sat γ γ i) = ( γ' γ i) i m u u u erifica < i c γ' = γ u d = d σ' 0 = 0 i m = d per i = i c γ' = γ annullamento delle σ (σ =0 ) collasso per sifonamento (/solleamento) (gradiente idraulico critico)

22 Il coefficiente di permeabilità Il coefficiente di permeabilità (o conducibilità idraulica k) non è un parametro intrinseco del terreno in quanto dipende ance dal fluido e dallo stato del terreno stesso. In linea di principio k si potrebbe esprimere come: γ k = k μ k = permeabilità assoluta, dipendente solo dal solido poroso γ, μ = peso specifico e iscosità del fluido I principali fattori ce influenano k sono quindi: per il fluido la temperatura (da cui dipendono γ e μ ) per il solido la granulometria (influena dimensione e tortuosità degli interstii) influena della granulometria è riflessa dalla relaione empirica per sabbie uniformi: k = c D 0 (Haen, 9) (k in cm/s, c=0.4., D 0 in mm) ce eidenia la dipendena di k soprattutto dalla dimensione dei granuli più fini!

23 3 Valori tipici del coefficiente di permeabilità Terreni limosi 0-7 <k<0-4 cm/s Terreni argillosi k < 0-7 cm/s Terreni sabbiosi k > 0-4 cm/s

24 4 Filtraione in mei disomogenei In ciascun tratto omogeneo: = A+B: andamento lineare del carico idraulico ζ, Ak, i =, A, k i = Continuità della portata: q = q; = k + A = k A = + ka k A a perdita di carico complessia si ripartisce nei mei in ragione dei contrasti di permeabilità, di area e di percorso (lungea) di filtraione

25 5 Filtraione in mei disomogenei: esempio D Ad es., se A A, e k =00k (contrasto di permeabilità tra una giaia e una sabbia) si a: (0/00) (/00) 0 Quindi, nel meo, di permeabilità maggiore, il fluido si muoe con perdite di carico trascurabili, ce sono concentrate nel meo. Nel meo la distribuione dei carici idraulici (e quindi delle pressioni interstiiali) è sostanialmente idrostatica. Serbatoio di capacità infinita: un meo nel quale il fluido si muoe con perdite di carico trascurabili ζ, Ak,, A, k A B C Per il sifonamento: se (e 0): erifica nel meo ; se (e 0): ATTENZIONE. Infatti, in B σ B 0 sempre (condiioni idrostatice); Verifica da effettuare nel punto C, per il quale la pressione interstiiale (funione di ) può dientare maggiore della tensione totale erticale: SOEVAMENTO DI FONDO SCAVO e non SIFONAMENTO (nel quale σ B =0 per ogni ).

26 6 Filtraione in mei disomogenei: procedura generale. Esistono almeno due punti a carico idraulico dierso?. Sono connessi idraulicamente? Se sì, siamo in presena di un moto di filtraione. 3. Indiiduaione del dominio di filtraione (oero delle one nel quali il moto del fluido aiene con perdite di carico appreabili), guardando i contrasti di permeabilità e i rapporti tra le aree in gioco (continuità delle portate) 4. Definiione dei caratteri del moto nel dominio di filtraione indiiduato (monodimensionale, bidimensionale) e delle condiioni al contorno. 5. Soluione dell eq. di aplace (per ia analitica se monodim., per ia grafica se bidim.).