Esercitazioni di Elettrotecnica

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1 Esercitazioni di Elettrotecnica a cura dell Ing ntonio Maffucci Parte II: ircuiti in regime sinusoidale /3

2 Esercitazioni di Elettrotecnica /3 Maffucci ESEIZIONE N7: Fasori ed impedenze ESEIZIO 7 Esprimere la corrente i ( in termini di fasore nei seguenti tre casi: a) i = 4cos( ωt 4) b) i = cos( ωt π) c) i = 8cos( ωt π / ) isultato: a) I = 4 exp( j4) ; b) I = ; c) I = 8 j ESEIZIO 7 alutare (in coordinate cartesiane e polari) le impedenze viste ai capi dei morsetti: ( a) ( b) = Ω = mh = 8 Ω, = 5 mh ω = 4 rad / s = 4 mf, f = 5 Hz isultato: a) = j = exp( jπ / 4) Ω ; b) = 8 54 j = 4 exp( j965) Ω ; c) = 8 j = 5exp( j9) Ω ; ( c) = Ω, = 6 mh = µ F, ω = 5 3 rad / s ESEIZIO 73 e seguenti coppie di fasori esprimono tensione e corrente relative ad un dato bipolo Dire, nei tre casi, se si tratta di un resistore, un condensatore o un induttore e valutare il valore di, o a) v = 5cos(4t ), i = 3sin(4t ) ; b) v ( t ) = 8cos(9t π / 3), i = sin(9t π / 3) ; c) v = cos(5t π / 3), i = 5sin(5t 5π / 6) ; a) b) c) j j( π / ) = 5e, I = 3e Posto = Z & I si ha che: arg( π ) = arg( ) arg( I ) = = jω = = 5 mh I ω jπ / 3 j(π / 3 π / ) jπ / 6 = 8e, I = e = e Posto = Z & I si ha che: j I arg( π ) = arg( ) arg( I ) = = = = 8 mf ω ω jπ/ 3 j(5π / 6 π / ) jπ / 3 = e, I = 5e = 5e Posto = Z & I si ha che: arg( Z &) = arg( ) arg( I ) = = = = 4 Ω I

3 Esercitazioni di Elettrotecnica /3 Maffucci ESEIZIO 74 Si consideri il circuito in figura, determinando tale che la parte immaginaria dell impedenza vista ai capi dei morsetti indicati col pallino risulti Im{ Z & } = Ω = µ F f = khz 'impedenza totale vista ai capi dei morsetti è quindi basta imporre ESEIZIO 75 j j Z & ( ω ) /( ω ) ω = = j j( ω / ω) ω, Im{} ω = = = 9 mh ω quale di queste impedenze corrisponde la fase ϕ = π / 4? : - serie : - serie 3: - parallelo 4: - serie = Ω = Ω = 5 Ω = F = mh ω = rad / s = mf ω = rad / s = F ω = rad / s = H ω = rad / s aso 3: π = = = = 5( j) ϕ = tg ( ) = Y& / jω j 4 ESEIZIO 76 Dati i seguenti fasori = exp( j / 6), = exp( j / 6), = 5exp( j / 3) : π π 3 π a) rappresentare nel piano complesso i fasori,, 3 ; b) calcolare i fasori:,, 3, 3 ; c) rappresentare nel piano complesso i fasori valutati al punto b) d) rappresentare nel tempo le tensioni corrispondenti ai fasori dei punti a) e b), avendo definito la trasformazione fasoriale come segue: v = cos( ωt α) = exp( jα)

4 Esercitazioni di Elettrotecnica /3 Maffucci ESEIZIONE N8: nalisi di reti in regime sinusoidale ESEIZIO 8 on riferimento al seguente circuito, valutare: a) l'impedenza Z & vista ai capi del generatore; b) le correnti i ( e i ( i ( i ( e( e( = cos( = Ω = mh = mf isultato: a) = 5 j5 Ω ; b) i = 45cos(t ), i = sin(t ) ESEIZIO 8 on riferimento al seguente circuito valutare le correnti i ( ed i ( i c ( t ) j ( t ) j ( t ) i ( j = cos j = sin = Ω = µ H = µ F ( ( Passando al dominio dei fasori si avrà la rete di ammettenze: 3 3 J =, J = j, Y& = jω = j S, Y& = j S, Y& = = S jω Questa rete ha due nodi: preso come riferimento il nodo in basso in figura ed indicato con il potenziale del nodo in alto, il metodo dei potenziali nodali consente di scrivere immediatamente a corrente nel condensatore sarà data da Y& Y& Y& ) = J J 5-j5 ( = I = 3 3 Y& = 5 ( j) = 77 exp( jπ / 4), a cui corrisponde, nel tempo: ic = 77 cos(t π / 4) m a corrente nell'induttore sarà invece I = Y& 5( j) = 77 exp( jπ / 4), per cui si ha, tornando nel tempo: i = 77 cos(t π / 4)

5 Esercitazioni di Elettrotecnica /3 Maffucci ESEIZIO 83 on riferimento al seguente circuito, valutare: a) l'impedenza Z & vista ai capi del generatore; b) la potenza complessa S & erogata dal generatore; j( j( = cos = Ω = H = 5 F Passando al dominio dei fasori si avrà la rete di impedenze: J =, = j /( ω) = j, = jω = j, = = 'impedenza di ingresso vista dal generatore è data da: = //[ // ] = 8 j4 Ω a potenza complessa erogata da j( si valuta facilmente una volta nota Z & : * * (8 j4) S& J J J = JJ = J = = 4 j ESEIZIO 84 on riferimento al seguente circuito, valutare: a) la matrice delle ammettenze Y & del doppio-bipolo visto ai capi dei generatori; b) la potenza complessa S & erogata dai generatori; i ( ) i t e ( ) t e ( t ) e = cos( e = sin( = Ω = mh = mf isultato: a) Y & = 5 Ω, Y& = 5 j Ω, Y& m = 5 j Ω ; b) S& er er = 75W, S& = 5W jr

6 Esercitazioni di Elettrotecnica /3 Maffucci ESEIZIO 85 on riferimento al seguente circuito valutare a) la potenza complessa erogata dal generatore; b) la reattanza da inserire in parallelo al generatore in modo che l'impedenza complessiva vista dal generatore stesso assorba la stessa potenza media di prima ma abbia un fase ϕ tale che cosϕ = 9 (rifasamento) e( e( = sin( ω ω = 4 rad / s, = Ω = mf, = 5 mh a) Passando al dominio dei fasori si avrà la rete di impedenze: E =, = j Ω, = 5 j Ω, = Ω 'impedenza uivalente vista dal generatore è = quindi la potenza complessa erogata dallo stesso sarà = 453e j46 Ω, S& = P jq = EI * = EE * * = E * = j46 e 453 = mw jr b) a fase ϕ dell'impedenza vista dal generatore deve essere tale che cosϕ = 9 ϕ = cos (9 ) = 45 rad Poiché la fase di Z & non verifica tale condizione, occorre inserire un'opportuna Z & tra l'impedenza Z & ed il generatore in modo che l'impedenza complessiva Z & verifichi tale richiesta ffinchè tale inserzione non alteri la potenza media x O { S} mw P = e & = Z & deve essere posta in parallelo al generatore e deve essere: x = jx Per stabilire il valore di tale reattanza si può applicare il principio di conservazione delle potenze, che impone, dopo l'inserzione di, che: Z & x E Z & x x Z & P = P, Q = Q Q O O a fase ϕ dell'impedenza Z & // è legata a P, Q dalla relazione O = x O O x

7 Esercitazioni di Elettrotecnica /3 Maffucci ϕ = tg Q P O O = tg Q Q P x Q x = Ptgϕ Q Imponendo la condizione desiderata su ϕ si ottiene Q x = r, il che significa che Z & x è un'impedenza capacitiva icordando l'espressione della potenza reattiva assorbita da una capacità ai capi della quale sia imposta la tensione si ha la condizione richiesta ESEIZIO 86 E Q x = ω = = µ F alcolare la potenza attiva e la potenza reattiva Q assorbita dalla serie P j ( t ) j ( t ) j = 4cos j = cos = = = F = Ω = H ( 4 ( 4t π / 3) Passando al dominio dei fasori si avrà la rete di impedenze: j π / 3 J = 4, J = e, = j / 8 Ω, = = 4 j Ω pplicando la sovrapposizione degli effetti, valutiamo il contributi ad I dovuti a J ed a J Pertanto si ha quindi la potenza complessa assorbita da I = J = 3 j, I = J = 5 j85 I = I I = 53 j84 = 75exp( j5), Z & sarà * * 4 j S & = P jq = I = I I = I = 75 = 36( j)

8 Esercitazioni di Elettrotecnica /3 Maffucci ESEIZIONE N9: nalisi di reti in regime sinusoidale/ ESEIZIO 9 on riferimento al seguente circuito, valutare la potenza media P assorbita dal resistore e verificare che è possibile sovrapporre le potenze medie j ( t ) j ( t ) j = cos( j = sin( = Ω = mf = mh Poiché i generatori non sono isofruenziali, cioè ω ω, il circuito non ammette un regime sinusoidale e quindi non è possibile trasformare la rete in una rete di impedenze uttavia, essendo la rete lineare, si può applicare la sovrapposizione degli effetti e ricavare la corrente che circola in come i = i i, dove i si ricava dal circuito ausiliario I e i dal circuito ausiliario II i i j ( t ) j ( t ) I II iascuna di queste due reti può essere rappresentata da una rete di impedenze: rete I: J =, = j, = j, = rete II: J, = 5 j, = j, pplicando i partitori di corrente: = = 3 j33 I = J = e i = cos(t 33) m j3 I = J = e i = sin(t 3) Quindi i ( t ) = i i = cos(t 33) sin(t 3) 3 Nota la corrente si può calcolare la potenza istantanea assorbita da e quindi la potenza media: π π P = p( dt = i dt = i dt i dt i i dt = max, ω ω I primi due contributi rappresentano le potenze medie dissipate nei circuiti I e II, quindi sono: 6 i dt I 5 W, = = i t dt I W ( ) = = 5 'ultimo contributo è nullo perché per ω ω si ha: cos( ωt α) sin( ωt β) dt = α, β In definitiva se ω ω è possibile sovrapporre le potenze medie: P 5 W

9 Esercitazioni di Elettrotecnica /3 Maffucci ESEIZIO 9 on riferimento al seguente circuito, valutare la potenza media P assorbita dal resistore verificare che è possibile sovrapporre le potenze medie e e( j( j( = 4 e( = cos( = Ω = Ω = H = mf isultato: P = 4 kw ESEIZIO 93 alutare l'uivalente di hévenin ai capi dei morsetti -' e( i( ri( Passando alla rete di impedenze si avrà: E = e jπ / 6, = j, = 4 j, e( = sin( ωt π / 6) = Ω r = 3 Ω X = 4 Ω X = Per calcolare basta applicare la K alla maglia di sinistra della rete: = Ω E E = Z & I ri I = = 368 j57 r pplicando un partitore di tensione si ha, quindi: j 6 = ri = 7 j64 = 7e Per calcolare Z & occorre spegnere tutti (e soli) i generatori indipendenti, cioè ancora la la K alla maglia di sinistra della rete: = I ri I = E pplicando quindi nella rete per il calcolo di Z & risulta spento anche il generatore controllato, visto che la sua variabile di controllo è nulla, per cui in definitiva: = = 4( j) Ω

10 Esercitazioni di Elettrotecnica /3 Maffucci ESEIZIO 94 Il circuito seguente riproduce lo schema uivalente di un amplificatore a transistor per alta fruenza Determinare la tensione ai capi del resistore di carico ( v S S v in i o ( gv in U v U v S S U = cos( ω ω = 8 = o rad / s = Ω, = Ω, = ph = nf i = 5 Ω g = Ω isultato: v = 959 cos( ωt 36 k ESEIZIO 95 U ) on riferimento al seguente circuito valutare la corrente i ( ) nel circuito primario t i ( t ) e( e( = sin( = Ω = 3 mh M = mh = Ω = mh Poiché M l'accoppiamento non è perfetto Posto =, possiamo scegliere in modo che l'aliquota verifichi le condizioni di accoppiamento perfetto: = = M = M / mh questo punto il circuito uivalente sarà il seguente i ( t ) a e( a = = M Per la formula del trasporto dell'impedenza in un trasformatore ideale, il circuito è anche uivalente al seguente: i ( t ) e( a

11 Esercitazioni di Elettrotecnica /3 Maffucci rasformato il circuito in una rete di impedenze, nella quale si è introdotto il fasore l'impedenza uivalente vista dal generatore è: da cui & Z a jω = jω = j Ω a jω E 5 5 jπ / 4 I = = ( j) = e i = 5sin(t π / 4) E =, ESEIZIO 96 on riferimento al seguente circuito valutare la potenza complessa S & assorbita dal condensatore j( j( = cos( = = mh, = 5 Ω = 4 mh M = mh, = 5 mf isultato: S& = j5 r