Il Teorema di Lagrange. B. Sciunzi
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- Francesca Antonelli
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1 Il Teorema di Lagrange B. Sciunzi Department of Mathematics Università della Calabria February 10, 2014 B. Sciunzi (UNICAL) Lagrange February 10, / 14
2 Theorem Sia f : [a, b] R, continua in [a, b] e derivabile in (a, b). Allora esiste almeno un punto c (a, b) tale che: f (c) =. B. Sciunzi (UNICAL) Lagrange February 10, / 14
3 Proof. Definiamo h(x) := f (x) Kx K R. Notiamo che h risulta continua in [a, b] e derivabile in (a, b). Determiniamo K in modo che h(a) = h(b). Con alcuni calcoli si ricava K = h(x) = f (x) x. Dal Teorema di Rolle deduciamo l esistenza di c (a, b) tale che h (c) = 0. Per tale c risulta f (c) =. B. Sciunzi (UNICAL) Lagrange February 10, / 14
4 Proof. Definiamo h(x) := f (x) Kx K R. Notiamo che h risulta continua in [a, b] e derivabile in (a, b). Determiniamo K in modo che h(a) = h(b). Con alcuni calcoli si ricava K = h(x) = f (x) x. Dal Teorema di Rolle deduciamo l esistenza di c (a, b) tale che h (c) = 0. Per tale c risulta f (c) =. B. Sciunzi (UNICAL) Lagrange February 10, / 14
5 Proof. Definiamo h(x) := f (x) Kx K R. Notiamo che h risulta continua in [a, b] e derivabile in (a, b). Determiniamo K in modo che h(a) = h(b). Con alcuni calcoli si ricava K = h(x) = f (x) x. Dal Teorema di Rolle deduciamo l esistenza di c (a, b) tale che h (c) = 0. Per tale c risulta f (c) =. B. Sciunzi (UNICAL) Lagrange February 10, / 14
6 Domande agli studenti 1) Perché definiamo la funzione ausiliaria h? Perché la scelta giusta è h(x) := f (x) Kx? 2) Come possiamo sapere che esisterà un K tale che h(a) = h(b)? 3) Quale è il significato geometrico del punto c? OBIETTIVO: introduzione della retta secante passante per i punti (a, f (a)) e (b, f (b)) e del significato geometrico del Teorema di Lagrange. B. Sciunzi (UNICAL) Lagrange February 10, / 14
7 Domande agli studenti 1) Perché definiamo la funzione ausiliaria h? Perché la scelta giusta è h(x) := f (x) Kx? 2) Come possiamo sapere che esisterà un K tale che h(a) = h(b)? 3) Quale è il significato geometrico del punto c? OBIETTIVO: introduzione della retta secante passante per i punti (a, f (a)) e (b, f (b)) e del significato geometrico del Teorema di Lagrange. B. Sciunzi (UNICAL) Lagrange February 10, / 14
8 Domande agli studenti 1) Perché definiamo la funzione ausiliaria h? Perché la scelta giusta è h(x) := f (x) Kx? 2) Come possiamo sapere che esisterà un K tale che h(a) = h(b)? 3) Quale è il significato geometrico del punto c? OBIETTIVO: introduzione della retta secante passante per i punti (a, f (a)) e (b, f (b)) e del significato geometrico del Teorema di Lagrange. B. Sciunzi (UNICAL) Lagrange February 10, / 14
9 Domande agli studenti 1) Perché definiamo la funzione ausiliaria h? Perché la scelta giusta è h(x) := f (x) Kx? 2) Come possiamo sapere che esisterà un K tale che h(a) = h(b)? 3) Quale è il significato geometrico del punto c? OBIETTIVO: introduzione della retta secante passante per i punti (a, f (a)) e (b, f (b)) e del significato geometrico del Teorema di Lagrange. B. Sciunzi (UNICAL) Lagrange February 10, / 14
10 Equazione retta secante passante per i punti (a, f (a)) e (b, f (b)): r s (x) = Possibilmente da ricavare dal fascio di rette r q (x) = (x a) + f (a). x + q. Equazione retta tangente alla funzione nel punto (c, f (c)): t c (x) = f (c)(x c) + f (c) = (x c) + f (c). Portiamo gli studenti a fare osservazioni sui coefficienti angolari. B. Sciunzi (UNICAL) Lagrange February 10, / 14
11 Equazione retta secante passante per i punti (a, f (a)) e (b, f (b)): r s (x) = Possibilmente da ricavare dal fascio di rette r q (x) = (x a) + f (a). x + q. Equazione retta tangente alla funzione nel punto (c, f (c)): t c (x) = f (c)(x c) + f (c) = (x c) + f (c). Portiamo gli studenti a fare osservazioni sui coefficienti angolari. B. Sciunzi (UNICAL) Lagrange February 10, / 14
12 B. Sciunzi (UNICAL) Lagrange February 10, / 14
13 Seconda dimostrazione del Teorema di Lagrange Proof. Definiamo ( ) h(x) := f (x) r s (x) = f (x) (x a) + f (a). Notiamo che h risulta continua in [a, b] e derivabile in (a, b). Inoltre risulta h(a) = h(b) = 0. Dal Teorema di Rolle deduciamo l esistenza di c (a, b) tale che h (c) = 0. Per tale c risulta f (c) = 0 e quindi f (c) =. B. Sciunzi (UNICAL) Lagrange February 10, / 14
14 Seconda dimostrazione del Teorema di Lagrange Proof. Definiamo ( ) h(x) := f (x) r s (x) = f (x) (x a) + f (a). Notiamo che h risulta continua in [a, b] e derivabile in (a, b). Inoltre risulta h(a) = h(b) = 0. Dal Teorema di Rolle deduciamo l esistenza di c (a, b) tale che h (c) = 0. Per tale c risulta f (c) = 0 e quindi f (c) =. B. Sciunzi (UNICAL) Lagrange February 10, / 14
15 Seconda dimostrazione del Teorema di Lagrange Proof. Definiamo ( ) h(x) := f (x) r s (x) = f (x) (x a) + f (a). Notiamo che h risulta continua in [a, b] e derivabile in (a, b). Inoltre risulta h(a) = h(b) = 0. Dal Teorema di Rolle deduciamo l esistenza di c (a, b) tale che h (c) = 0. Per tale c risulta f (c) = 0 e quindi f (c) =. B. Sciunzi (UNICAL) Lagrange February 10, / 14
16 Domande agli studenti 1) Come è possibile intuire l idea di questa dimostrazione? 2) E possibile utilizzare una retta diversa dalla retta secante? 3) Come può essere individuato graficamente il punto c? Possiamo aiutarci con un software didattico. OBIETTIVO: avviare l intuizione verso una dimostrazione più geomtrica. B. Sciunzi (UNICAL) Lagrange February 10, / 14
17 Domande agli studenti 1) Come è possibile intuire l idea di questa dimostrazione? 2) E possibile utilizzare una retta diversa dalla retta secante? 3) Come può essere individuato graficamente il punto c? Possiamo aiutarci con un software didattico. OBIETTIVO: avviare l intuizione verso una dimostrazione più geomtrica. B. Sciunzi (UNICAL) Lagrange February 10, / 14
18 Domande agli studenti 1) Come è possibile intuire l idea di questa dimostrazione? 2) E possibile utilizzare una retta diversa dalla retta secante? 3) Come può essere individuato graficamente il punto c? Possiamo aiutarci con un software didattico. OBIETTIVO: avviare l intuizione verso una dimostrazione più geomtrica. B. Sciunzi (UNICAL) Lagrange February 10, / 14
19 Terza dimostrazione del Teorema di Lagrange Theorem (Il Teorema di Lagrange per funzioni continue) Sia f : [a, b] R una funzione continua. Se esiste x (a, b) tale che f ( x) < r s ( x), allora esistono anche c (a, b) e q R tali che f (x) r q (x) in [a, b] e f (c) = r q (c). Ricordiamo e r s (x) = r q (x) = (x a) + f (a). x + q. B. Sciunzi (UNICAL) Lagrange February 10, / 14
20 Consideriamo, al variare del parametro q R, la retta r q (x) = x + q. E facilmente intuibile che per valori piccoli del parametro q (q < 0 e q grande) si avrà r q (x) < f (x) per ogni x [a, b]. Questo segue dall ipotesi di continuità su f. Infatti, ponendo m f := min x [a,b] f (x) e M q := max x [a,b] r q(x) si avrà r q (x) < f (x) in [a, b], se M q < m f. B. Sciunzi (UNICAL) Lagrange February 10, / 14
21 Poniamo A := {q : r q (x) < f (x)} e q := sup A. Notiamo che r q (x) f (x) e che, necessariamente, c (a, b) tale che r q (c) = f (c). B. Sciunzi (UNICAL) Lagrange February 10, / 14
22 Per dedurre il Teorema di Lagrange ultilizzeremo il seguente Lemma (Funzioni tangenti in un punto) Siano f, g : (a, b) R due funzioni derivabili in (a, b). Se f (x) g(x) per x (a, b) e f (c) = g(c) c (a, b) allora f (c) = g (c). Proof. Ponendo h(x) := f (x) g(x), segue che h( ) ha un minimo in x = c. Dal Teorema di Fermat si ha h (c) = 0 da cui f (c) = g (c). B. Sciunzi (UNICAL) Lagrange February 10, / 14
23 Per dedurre il Teorema di Lagrange ultilizzeremo il seguente Lemma (Funzioni tangenti in un punto) Siano f, g : (a, b) R due funzioni derivabili in (a, b). Se f (x) g(x) per x (a, b) e f (c) = g(c) c (a, b) allora f (c) = g (c). Proof. Ponendo h(x) := f (x) g(x), segue che h( ) ha un minimo in x = c. Dal Teorema di Fermat si ha h (c) = 0 da cui f (c) = g (c). B. Sciunzi (UNICAL) Lagrange February 10, / 14
24 Theorem (Il nostro approfondimento sul Teorema di Lagrange) Sia f : [a, b] R continua in [a, b] e derivabile in (a, b). Se esiste x (a, b) tale che f ( x) < r s ( x) allora esistono anche c (a, b) e q R tali che f (x) r q (x) in [a, b] e f (c) = r q (c). Per tale valore c risulta f (c) =. Inoltre r q (x) t c (x). Proof. Dal Teorema di Lagrange per funzioni continue otteniamo che esiste c (a, b) e q R tali che f (x) r q (x) in [a, b] e f (c) = r q (c). Dal Lemma Funzioni tangenti in un punto segue f (c) = r q(c). B. Sciunzi (UNICAL) Lagrange February 10, / 14
25 Theorem (Il nostro approfondimento sul Teorema di Lagrange) Sia f : [a, b] R continua in [a, b] e derivabile in (a, b). Se esiste x (a, b) tale che f ( x) < r s ( x) allora esistono anche c (a, b) e q R tali che f (x) r q (x) in [a, b] e f (c) = r q (c). Per tale valore c risulta f (c) =. Inoltre r q (x) t c (x). Proof. Dal Teorema di Lagrange per funzioni continue otteniamo che esiste c (a, b) e q R tali che f (x) r q (x) in [a, b] e f (c) = r q (c). Dal Lemma Funzioni tangenti in un punto segue f (c) = r q(c). B. Sciunzi (UNICAL) Lagrange February 10, / 14
26 Per gli studenti Ottenere tutti i risultati precedenti nel caso analogo " x (a, b) tale che f ( x) > r s ( x)...". Dedurre il seguente Theorem (Il nostro approfondimento sul Teorema di Lagrange) Sia f : [a, b] R continua in [a, b] e derivabile in (a, b). Se esistono x 1 (a, b) tale che f ( x 1 ) < r s ( x 1 ) e x 2 (a, b) tale che f ( x 2 ) > r s ( x 2 ) allora esistono anche c 1 (a, b), q 1 R e c 2 (a, b), q 2 R tali che f (x) r q1 (x) in [a, b] e f (c 1 ) = r q1 (c 1 ) e f (x) r q2 (x) in [a, b] e f (c 2 ) = r q2 (c 2 ). Per tali c 1, c 2 risulta f (c 1 ) = = f (c 2 ). B. Sciunzi (UNICAL) Lagrange February 10, / 14
27 Per gli studenti Ottenere tutti i risultati precedenti nel caso analogo " x (a, b) tale che f ( x) > r s ( x)...". Dedurre il seguente Theorem (Il nostro approfondimento sul Teorema di Lagrange) Sia f : [a, b] R continua in [a, b] e derivabile in (a, b). Se esistono x 1 (a, b) tale che f ( x 1 ) < r s ( x 1 ) e x 2 (a, b) tale che f ( x 2 ) > r s ( x 2 ) allora esistono anche c 1 (a, b), q 1 R e c 2 (a, b), q 2 R tali che f (x) r q1 (x) in [a, b] e f (c 1 ) = r q1 (c 1 ) e f (x) r q2 (x) in [a, b] e f (c 2 ) = r q2 (c 2 ). Per tali c 1, c 2 risulta f (c 1 ) = = f (c 2 ). B. Sciunzi (UNICAL) Lagrange February 10, / 14
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