Funzioni derivabili in un intervallo

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1 Funzioni derivabili in un intervallo Studiamo le proprietà delle funzioni derivabili in un intero intervallo, tramite due teoremi fondamentali e le conseguenze che portano. Teorema (di Rolle). Sia f continua su [a, b] e derivabile in (a, b). Sef assume valori uguali agli estremi di [a, b] allora ammette almeno un punto critico in (a, b). In altri termini: se f C ([a, b]) èderivabilein(a, b) etalechef (a) =f (b), allora x 0 (a, b) tale che f (x 0 )= x Osserviamo che la retta tangente in x 0 è parallela alla secante per (a, f (a)) e (b, f (b)). Dimostrazione. Poiché f è continua sul compatto [a, b], per il teorema di Weierstrass x m,x M [a, b] tali che f (x m )= min x [a,b] f (x) e f (x M)= max x [a,b] f (x). Se x m,x M sono entrambi agli estremi di [a, b], allora l ipotesi f (a) =f (b) implica f (x m )=f(x M ),cioèmin [a,b] f =max [a,b] f. Allora f ècostantesu[a, b] equindif (x) =0per ogni x (a, b). Se invece almeno uno tra x m,x M è interno ad [a, b], allora questo è punto di estremo interno in cui f è derivabile e quindi è punto critico di f per il teorema di Fermat.

2 Teorema (di Lagrange). Sia f continua su [a, b] ederivabilein(a, b). Allora esiste almeno un punto x 0 (a, b) tale che f (b) f (a) b a = f (x 0 ) Ogni x 0 (a, b) cherealizzitaleuguaglianzaèdettopunto di Lagrange per f in (a, b). In un punto di Lagrange, la retta tangente è parallela alla secante per (a, f (a)) e (b, f (b)). Dimostrazione. Applichiamo il teorema di Rolle alla funzione ausiliaria g (x) =f (x) f (b) f (a) b a (x a). g ècontinuasu[a, b] e derivabile in (a, b) perché di erenza di funzioni che hanno tali proprietà (f per ipotesi, l altra perché a ne). Si ha g (a) =f (a) e g (b) =f (b) f(b) f(a) b a Allora x 0 (a, b) tale che (b a) =f (a), dacuig (b) =g (a). 0 = Rolle g (x 0 ) = regole di derivazione f (x 0 ) f (b) f (a). b a

3 Osservazione. Nessuna ipotesi dei teoremi di Rolle e Lagrange è condizione necessaria alla tesi, ma tutte sono essenziali per la validità dei teoremi. f non continua su [a, b] (nessun punto critico e nessun punto di Lagrange) f non derivabile in (a, b) (nessun punto critico e nessun punto di Lagrange) f (a) = f (b) (nessun punto critico) Conseguenze del teorema di Lagrange Indichiamo con I un intervallo qualsiasi econi l insieme dei suoi punti interni. Teorema (caratterizzazione delle costanti). Sia f continua su I e derivabile in I. Allora f ècostantesui f (x) =0per ogni x I. Dimostrazione. Già dimostrata. Siano x 1,x 2 I con x 1 <x 2. Applicando il teorema di Lagrange sull intervallo [x 1,x 2 ] I, risulta che esiste (x 1,x 2 ) I tale che f (x 2 ) f (x 1 )=f ( ) =0 (x 2 x 1 )=0 equindif (x 2 )=f (x 1 ).

4 Teorema (intervalli di monotonia). Sia f continua su I e derivabile in I. Allora 1) f è crescente su I f (x) 0 per ogni x I 2) f (x) > 0 per ogni x I = f strettamente crescente su I. Analogamente nel caso della decrescenza. Dimostrazione. 1) Sia x 0 I. Essendo f crescente su I, perognix I risulta f (x) f (x 0 ) x x 0 0 perché f (x) f (x0 ) se x x 0 > 0 f (x 0 ) se x x 0 < 0 equindif (x 0 )= lim x x0 f (x) f (x 0 ) x x 0 0 per il corollario della permanenza del segno. 1) Siano x 1,x 2 I con x 1 <x 2. Applicando il teorema di Lagrange sull intervallo [x 1,x 2 ] I, risulta che esiste (x 1,x 2 ) I tale che f (x 2 ) f (x 1 )=f ( ) 0 (x 2 x 1 ) >0 0 ( ) equindif (x 2 ) f (x 1 ). 2) Se f ( ) > 0 in ( ), allora si ottiene f (x 2 ) >f(x 1 ).

5 Osservazione. Nel teorema precedente: l equivalenza 1) riconduce la ricerca degli intervalli di monotonia di f (e dei suoi estremi) allo studio del segno di f (x) (v. esempio seguente); l implicazione 2) non può essere rovesciata, cioè la crescenza stretta non garantisce la positività stretta della derivata: 100 ad esempio f (x) =x 3 è strettamente crescente su R, x 4 ma f (0) = Esempio. Studiare la monotonia di f (x) =log(x +1) arctan x edeterminarnegli eventuali punti di estremo.

6 Esercizio. Studiare la monotonia di f (x) =log(x +1) arctan x edeterminarnegli eventuali punti di estremo. Svolgimento. Nulla si conclude per di erenza, perché log (x +1)e arctan x sono entrambe crescenti. dom f =( 1, + ) èunintervalloedf è derivabile ovunque, quindi gli intervalli di monotonia di f coincidono con quelli su cui f non cambia segno. Siha f (x) = 1 x x 2 = x (x 1) (x +1)(1+x 2 ) per ogni x> 1 e quindi, studiando il segno di f (x) (per x> 1), si ottengono i risultati seguenti: intervallo : ( 1, 0] [0, 1] [1, + ) segno di f : monotonia di f : Si noti che la monotonia è sempre stretta, perché f èine etti sempre > 0 oppure < 0 all interno degli intervalli considerati. Poiché f è crescente su ( 1, 0] e decrescente su [0, 1], sihaf (x) f (0) per ogni x ( 1, 1] e dunque x =0è un punto di massimo locale per f. Analogamente risulta che x =1è un punto di minimo locale per f. Nessuno dei due è punto di estremo globale perché lim f (x) = e lim f (x) =+. x 1 x +