Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 2012/13

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1 La Legge de Grad Numer Cosderata ua sere d prove rpetute co p par alla probabltà d successo ua sgola prova, l rapporto tra l umero d success K ed l umero d prove tede a p quado tede ad fto: K P p ε per co ε ua (qualsas) quattà postva. 452

2 Esempo: dat smulat.18 Stma della probabltà che esca "6" el laco d u dado regolare.175 Frequeza relatva * 453

3 Dado NON truccato: Varabltà Uforme Per u dado o truccato l umero d occorreze atteso per og facca, su N prove, è costate e par a N / se N = p (" Se" ) f N (" Se" ) = =

4 Dmostrazoe: La Legge de Grad Numer (segue) [ ] Var X S basa sulla dsuguaglaza d Chebyshev: P{ X η } X ε 2 ε K co X = (frequeza relatva). La v.a. K è ua Bomale d valore atteso p e varaza pq, qud: η = p Var [ X ] X pq = K p q P p ε 2 ε K lm P p ε = 455

5 Legge de Grad Numer e Frequeza Relatva o La legge de grad umer costtusce u espressoe al lmte dell assuzoe eurstca alla base dell'terpretazoe della frequeza relatva: K p o La varable aleatora K coverge probabltà al umero p: K lm P p ε = per og umero postvo ε e per og p. 456

6 Itroduzoe al Teorema del Lmte Cetrale La somma Y2 = X1+ X2 d due v.a. dpedet X 1 e X 2, detcamete dstrbute co legge Exp{ λ }, ha destà: Y 2 2 ( ) =λ ( λ ) ( ) f y yexp y U y Se s cosdera la somma Y 3 = X 1 + X 2 + X 3 d tre v.a. espoezal dpedet ed detche, s ottee per la destà d Y 3 = Y 2 + X 3 : 3 y fy ( y) =λ exp ( λ y) U ( y) 3 2 Iterado l procedmeto s ottee per la destà della somma: Y = X + X + X X = Y + X λ 1 fy ( y) = y exp λy U y 1! ( ) ( ) ( ) (legge Gamma ) 457

7 Esempo: = 2, E[X ] = Gamma = 2 Normale Destà d Probabltà y Y 2 ( ) ( ) ( ) f y =λ yexp λ y U y, 1 2 = 2, λ =, η = 6, σ =

8 Esempo: = 4, E[X ] = Gamma = 4 Normale Destà d Probabltà y 4 λ 3 fy ( y) = y exp ( λ y) U ( y), = 4, λ =, η = 12, σ =

9 Esempo: = 6, E[X ] = Gamma = 6 Normale Destà d Probabltà y 6 λ 5 fy ( y) = y exp ( λ y) U ( y), = 6, λ =, η = 18, σ =

10 Esempo: = 1, E[X ] = Gamma = 1 Normale Destà d Probabltà y 1 λ 9 fy ( y) = y exp ( λ y) U ( y), 9! 1 2 = 1, λ =, η = 3, σ =

11 Esempo: = 2, E[X ] = Gamma = 2 Normale Destà d Probabltà y 2 λ 19 fy ( y) = y exp ( λ y) U ( y), 19! 1 2 = 2, λ =, η = 6, σ =

12 Esempo: = 3, E[X ] = Gamma = 3 Normale Destà d Probabltà y 3 λ 29 fy ( y) = y exp ( λ y) U ( y), 29! 1 2 = 3, λ =, η = 9, σ =

13 Esempo: = 1, E[X ] = Gamma = 1 Normale Destà d Probabltà y 1 λ 99 fy ( y) = y exp ( λ y) U ( y), 99! 1 2 = 1, λ =, η = 3, σ =

14 Somma d 2 uform dpedet tra (,1) Somma Normale

15 Somma d 5 uform dpedet tra (,1).7.6 Somma Normale

16 Somma d 2 uform dpedet tra (,1).35.3 Somma Normale

17 Teorema del Lmte Cetrale Il Teorema del Lmte Cetrale (TLC) mostra che, sotto opportue codzo, molt feome aleator tedoo al modello gaussao. Teorema: Date varabl aleatore dpedet ed detcamete dstrbute co = 1,2,..., (d valor atteso μ e devazoe stadard σ), la loro somma (d valore atteso μ e devazoe stadard σ ) ormalzzata (rspetto al valore atteso ed alla devazoe stadard): Y = 1= 1 è ua v.a. la cu dstrbuzoe F ( ) Y X σ μ y tede ad ua ormale stadard. X 468

18 Teorema del Lmte Cetrale (segue) I forma cocsa, data la sequeza d v.a...d. { X } co: la v.a. Y : μ= E[ X ] e σ= [ ] Y X μ Var X 1= 1 1 X μ = = σ σ = 1 per l TLC Coverge Dstrbuzoe a N(,1 ). Coè: y 2 1 t 2 2 lm F Y ( ) y = exp dt π 469

19 Teorema del Lmte Cetrale (segue) Nel caso partcolare cu: X B( p) allora: soo v.a. Beroullae: μ= E[ X ] = p e Var [ X ] σ= = pq Y X p 1= 1 = = pq K p pq dove K (par al umero d success su prove) è ua v.a. Bomale (valore atteso p e devazoe stadard pq ) la cu fuzoe d dstrbuzoe tede alla gaussaa stadard per che va ad fto. 47

20 Legge de Grad Numer e TLC La legge de grad umer dca semplcemete l lmte al quale tede l rapporto K quado l umero d prove tede ad fto. Il TLC forsce formazo sulla dstrbuzoe d probabltà del umero d success K. 471

21 Approssmazoe del Modello Bomale Teorema d De Movre - Laplace La probabltà d k success prove rpetute, co p probabltà d successo ua sgola, è data approssmatvamete dalla formula: per ( k p) 2 1 P{ X = k} = exp 2 π pq 2pq pq 1 p pq k p + pq 472

22 Approssmazoe del Modello Bomale (segue).25 Modello Bom ale: = 1,p = :5.2 P(X = k) k 473

23 Approssmazoe del Modello Bomale (segue) = 2, p =.5 Gaussaa B( = 2, p =.5) Destà - Massa d Probabltà X = k Cofroto tra le destà d probabltà bomale e gaussaa 474

24 Approssmazoe del Modello Bomale (segue) = 1, p =.7 B( = 1, p.7) Gaussaa Destà - Massa d Probabltà X = k Cofroto tra le destà d probabltà bomale e gaussaa 475

25 Approssmazoe del Modello Bomale (segue) o Modello bomale e legge d Posso Teorema d Posso Data la legge bomale d parametr (, p ), quado: >> 1 p << 1 e rsulta p = costate l modello bomale può essere approssmato da u modello d Posso co valore atteso Coè: λ = p. k p k q k exp λ k =, 1, 2,... λ k k! ( ) 476

26 Dmostrazoe: Approssmazoe del Modello Bomale (segue) k ( ) ( + ) 1... k 1 k = per >> k k! k! ( ) k p q q = 1 p e per p << 1 ( p) k λ p ( k) = p q p e e e k = = k! k! k! k k k k k p p λ 477

27 Approssmazoe del Modello Bomale (segue).2.18 Posso(λ = 4) B( = 1, p =.4) Massa d probabltà X = k Cofroto tra le destà d probabltà bomale e possoaa 478

28 Approssmazoe del Modello d Posso Per >> 1 Posso λ N λ, λ λ ( ) ( ).25 Posso(λ = 4) Gaussaa Massa - Destà d probabltà x = k 479

29 Legam tra le Varabl Aleatore Fodametal Beroullaa Ber(p) Somma (rpetzoe volte) Bomale B(,p), p, p λ = ( ) μ = p, σ = p 1 p Normale N(μ, σ) >> 1 p >> 1 k dell'orde d p Posso P(λ) Somma λ = λ λ Somma 2 2 μ = μ, σ = σ Normale N(μ, σ) μ = λ, σ = λ 48

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