CONOSCENZE 1. espressioni letterali e monomi. 2. le operazioni con i monomi 3. i polinomi 4. le operazioni con i polinomi. 5. i prodotti notevoli

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1 ALGEBRA IL CALCOLO LETTERALE PREREQUISITI l l l conoscere e operare con tutte le operazioni nell'insieme R conoscere e utilizzare le proprietaá delle operazioni conoscere e utilizzare le proprietaá delle potenze CONOSCENZE. espressioni letterali e monomi. le operazioni con i monomi. i polinomi 4. le operazioni con i polinomi 5. i prodotti notevoli ABILITAÁ A. operare con le espressioni letterali B. riconoscere le caratteristiche dei monomi C. operare con i monomi D. riconoscere le caratteristiche dei polinomi E. operare con i polinomi F. riconoscere ed utilizzare i prodotti notevoli PER RICORDARE I monomi:. un'espressione algebrica letterale eá un insieme di numeri, anche rappresentati da lettere, legati uno all'altro da segni di operazione;. un monomio eá un'espressione letterale in cui i numeri e le lettere sono legati tra loro solamente dall'operazione di moltiplicazione;. il segno di un monomio eá determinato dal segno del suo coefficiente; se non figura alcun coefficiente si considera come coefficiente l'unitaá, in particolare: se il monomio eá preceduto dal segno piuá; se il monomio eá preceduto dal segno meno; 4. il grado di un monomio rispetto ad una lettera eá l'esponente con cui questa vi figura; 5. il grado complessivo o totale di un monomio eá dato dalla somma degli esponenti delle varie lettere che in esso figurano; 6. due monomi sono simili se hanno la stessa parte letterale; 7. due monomi sono opposti se sono simili e hanno coefficienti opposti; 8. due monomi sono uguali se sono simili e hanno lo stesso coefficiente. Le operazioni con i monomi: 9. la somma algebrica di due o piuá monomi simili eá uguale ad un monomio simile ai monomi dati, avente per coefficiente la somma algebrica dei coefficienti; 0. la somma algebrica di due o piuá monomi non simili tra loro, non si puoá effettuare;. il prodotto di due o piuá monomi eá un monomio avente per coefficiente il prodotto dei coefficienti e per parte letterale tutte le lettere presenti nei vari monomi, ciascuna scritta una sola volta, con esponente uguale alla somma degli esponenti della stessa lettera;. il quoziente di due monomi, di cui il secondo non nullo, eá un monomio avente per coefficiente il quoziente dei coefficienti e per parte letterale tutte le lettere presenti nel dividendo, ciascuna scritta una

2 IL CALCOLO LETTERALE Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS sola volta, con esponente uguale alla differenza fra gli esponenti della stessa lettera che compaiono nel dividendo e nel divisore;. la potenza di un monomio eá un monomio avente per coefficiente il coefficiente elevato all'esponente della potenza e per parte letterale tutte le lettere aventi per esponente il prodotto tra i loro esponenti e quello della potenza. I polinomi: 4. un polinomio eá la somma algebrica di piuá monomi non simili tra loro; 5. il grado complessivo di un polinomio eá il maggiore fra i gradi dei monomi che costituiscono il polinomio stesso; 6. il grado relativo di un polinomio rispetto ad una lettera eá il massimo esponente con cui quella lettera compare nel polinomio; 7. un polinomio eá ordinato secondo le potenze decrescenti o crescenti di una lettera, se gli esponenti della lettera stessa si succedono in modo decrescente o crescente; 8. un polinomio eá completo rispetto a una lettera quando in esso compaiono tutti gli esponenti di quella lettera ordinati dal valore massimo a zero (o viceversa); 9. un polinomio eá omogeneo se tutti i suoi termini hanno lo stesso grado. Le operazioni con i polinomi: 0. per moltiplicare un polinomio per un monomio basta moltiplicare ciascun termine del polinomio per il monomio ed eseguire la somma algebrica dei prodotti ottenuti;. per moltiplicare due polinomi si moltiplica ciascun termine del primo polinomio per tutti i termini del secondo e poi si esegue la somma algebrica dei prodotti ottenuti;. per moltiplicare piuá di due polinomi si moltiplica, nell'ordine, il primo polinomio per il secondo, il prodotto ottenuto per il terzo polinomio, il prodotto ottenuto per il quarto polinomio... e cosõá via fino a moltiplicare l'ultimo polinomio. Dopo ogni prodotto eá utile eseguire la somma algebrica dei prodotti ottenuti;. per dividere un polinomio per un monomio, non nullo, si divide ciascun termine del polinomio per il monomio e poi si esegue la somma algebrica dei quozienti ottenuti. I prodotti notevoli: 4. il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza eá uguale al quadrato del primo monomio meno il quadrato del secondo monomio; 5. il quadrato di un binomio eá uguale al quadrato del primo monomio, piuá il doppio prodotto del primo monomio per il secondo monomio, piuá il quadrato del secondo monomio; 6. il cubo di un binomio eá uguale al cubo del primo monomio, piuá il triplo prodotto del quadrato del primo monomio per il secondo monomio, piuá il triplo prodotto del primo monomio per il quadrato del secondo monomio, piuá il cubo del secondo monomio. ESERCIZI DI CONOSCENZA Completa la seguente definizione: si dice espressione letterale algebrica un insieme di numeri, rappresentati anche da..., legati uno all'altro da... Si chiama monomio un'espressione letterale in cui i numeri e le lettere sono legati tra loro solamente dalle operazioni di: a. divisione; b. moltiplicazione; c. sottrazione; d. addizione.

3 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL CALCOLO LETTERALE Completa le seguenti regole: a. il segno di un monomio eá determinato dal...; b. il grado di un monomio rispetto ad una sua lettera eá...; c. il grado complessivo di un monomio si ottiene sommando... 4 Completa le seguenti definizioni: a. due monomi si dicono simili quando...; b. due monomi si dicono uguali quando...; c. due monomi si dicono opposti quando... 5 La somma algebrica di due o piuá monomi simili eá un monomio simile ai monomi dati: a. avente per coefficiente la differenza dei coefficienti; b. avente per coefficiente il quoziente dei coefficienti; c. avente per coefficiente la somma algebrica dei coefficienti. 6 Completa le seguenti regole: a. il prodotto di due o piuá monomi eá un monomio avente: - per coefficiente,... dei coefficienti; - per parte letterale,... presenti nei vari monomi, ciascuna... e con esponente uguale alla... della stessa lettera; b. il quoziente di due monomi, di cui il secondo non nullo, eá un monomio avente: - per coefficiente,...; - per parte letterale, tutte le lettere presenti nel..., ciascuna scritta una sola volta, con esponente uguale... fra gli esponenti della stessa lettera che compaiono nel... e nel...; c. la potenza di un monomio eá... di tanti monomi, tutti... al monomio dato, quanti ne indica l'esponente; la potenza di un monomio eá dunque un monomio avente: - per coefficiente, il coefficiente... della potenza; - per parte letterale, tutte le lettere aventi per esponente... tra i loro esponenti e quello della potenza. 7 Il polinomio eá: a. la somma algebrica di piuá monomi non simili tra loro; c. la somma algebrica di piuá monomi simili tra loro; b. il prodotto di piuá monomi non simili tra loro. 8 Il grado complessivo del polinomio 4 a b c 5a b 4 a b c eá: a. cinque; b. sette; c. diciassette. 9 Completa la seguente regola: si dice grado relativo di un polinomio rispetto ad una lettera il... con cui quella lettera compare nel polinomio. 0 Indica quale dei seguenti polinomi eá ordinato, quale eá completo e quale eá omogeneo: a. a 4 b 5a bc 4 a b c a 7 8 ; b. 4xy 5 x y x y y4 ; c. a 5 b a b 5 ab b 6. Completa le seguenti regole: a. per moltiplicare un polinomio per un monomio si deve moltiplicare ciascun termine del... per il... ed eseguire la... dei prodotti ottenuti;

4 4 IL CALCOLO LETTERALE Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS b. per moltiplicare due polinomi si... ciascun termine... per e poi si esegue la... dei prodotti ottenuti; c. per dividere un polinomio per un monomio, non nullo, si... ciascun termine del... per il... e poi si esegue... dei quozienti ottenuti. Il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza eá uguale: a. al quadrato del primo monomio piuá il quadrato del secondo monomio; b. al quadrato del primo monomio meno il quadrato del secondo monomio; c. al primo monomio meno il secondo monomio. Il quadrato di un binomio eá uguale: a. al quadrato del primo termine piuá il doppio prodotto del primo termine per il secondo termine, piuá il quadrato del secondo termine; b. al quadrato del primo termine piuá il prodotto del primo termine per il secondo termine, piuá il quadrato del secondo termine; c. al quadrato del primo termine piuá il quadrato del secondo termine. 4 Qual eá il valore di x y? a. x x y xy y ; b. x x y xy y ; c. x x y xy y : ESERCIZI DI ABILITAÁ ) LIVELLO BASE * I monomi Stabilisci le caratteristiche del monomio 5x y. Il monomio 5x y si puoá suddividere nella sua parte numerica 5 e nella parte letterale x y. In particolare: il coefficiente eá 5; il grado complessivo eá ; il grado rispetto la lettera x eá ; il grado rispetto la lettera y eá. Stabilisci le caratteristiche del monomio 4 x y z. Le espressioni letterali Calcola il valore delle seguenti espressioni letterali sostituendo a ciascuna lettera i valori numerici assegnati. a. a b a b per a ˆ e b ˆ; xy x b. per x ˆ e y ˆ 4. x Sostituiamo alle lettere il valore numerico assegnato e poi eseguiamo il calcolo algebrico:

5 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL CALCOLO LETTERALE 5 a. ˆ 4 ˆ8 6 ˆ5; b. 4 ˆ ˆ 0 ˆ? Poiche il denominatore eá 0 la nostra espressione perde significato in quanto, come sappiamo, non eá possibile dividere un numero per 0. 4 Calcola il valore delle seguenti espressioni letterali sostituendo a ciascuna lettera i valori numerici assegnati: a. a ab a per a ˆ e b ˆ; 5 a b. b ab per a ˆ e b ˆ ; b c. x y z per x ˆ ; y ˆ e z ˆ5. La somma algebrica fra monomi Calcola il valore delle seguenti somme algebriche fra monomi: a. ab ; ab ; b. xy z; xy z; c. 4ab ; 7a b. a. I due monomi sono simili (hanno infatti la stessa parte letterale); basta pertanto eseguire la somma algebrica fra i coefficienti: ab ˆ ab ; b. i monomi sono opposti pertanto la loro somma algebrica eá 0; c. i due monomi non sono simili; pertanto non si puoá effettuare alcun calcolo. 6 Calcola il valore delle seguenti somme algebriche fra monomi: 7 a. xy; xy; b. a b c; a b c; c. 5 x y ; 6 7 x y. La moltiplicazione di monomi Esegui le seguenti moltiplicazioni di monomi: a. 4a b a ; b. x yz 5 xy ; c. ab a c 4 5 ac. a. 4a b a ˆ 4 a b ˆ8a b; b. x yz 5 xy ˆ x y z ˆ 5 5 x4 y z; c. ab a c 4 5 ac ˆ 5 a4 b c 4. 8 Esegui le seguenti moltiplicazioni di monomi: a. ab 7 ab ; b. x y z 4 xy ; c. 4 abc 4 abc 4ab.

6 6 IL CALCOLO LETTERALE Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 9 La moltiplicazione Calcola il valore del prodotto xy x y 5 x y x y x y. 0 Calcola il valore del seguente prodotto: a b 4 a bc a bc 4 a bc a bc. Determiniamo prima la somma algebrica fra i monomi simili all'interno della parentesi tonda e poi eseguiamo la moltiplicazione: xy 5 x y ˆ xy 4 5 x y ˆ 7 5 x y. La divisione fra monomi Esegui le seguenti divisioni fra monomi: a. 4a b c : a b ; b. x5 y a. 4a b c : a b ˆa b c ˆabc; b. x5 y : 5 x y ˆ 5 c. a x c : a c ˆ : 5 x y ; c. a x c : a c. x 5 y ˆ 5 x y ; a x c ˆ ax. Esegui le seguenti divisioni fra monomi: a. 4x 4 y z : 7x yz ; b. x4 y : 4 x y ; c. 6 5 a b Le espressioni con i monomi Calcola il valore della seguente espressione con i monomi: a b c a b c 5 6 a b c : ab c 7 6 a4 b a4 b Eseguiamo le somme algebriche all'interno delle parentesi tonde: ˆ a b c : ab c 5 6 a4 b : a b ˆ ˆ 9 ab 5 6 ab ˆ ab ˆ 9 8 ab 4 Calcola il valore della seguente espressione con i monomi: x y x y x y : 4 x 5 ax y ax y ax y : a b : : ay : : ab :

7 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL CALCOLO LETTERALE 7 5 Le potenze con i monomi Calcola il valore delle seguenti potenze di monomi: a. 4xy ; b. x yz ; c. 4 4 a b 4 c. a. 4xy ˆ 4xy 4xy ˆ 6x y ; b. x yz ˆ x yz x yz x yz ˆ 8 7 x6 y z 6 ; 6 Calcola il valore delle seguenti potenze di monomi: a. a c ; b. 5 x6 y 4 ; c. 4 4 a b c. 7 8 Calcola il valore della seguente espressione contenenti potenze di monomi: 6: 5 4x. 4x y b 4x y b y b 9 0 Calcola il valore della seguente espressione contenente potenze di monomi: : : 5x y z x y 5 6x y z x z. c. 4 a b 4 c 4ˆ 56 8 a4 b 4 4 c 4 ˆ 56 8 a b 6 c 4. Le espressioni contenenti potenze di monomi Calcola il valore della seguente espressione contenente potenze di monomi aventi la stessa base: a b c 5 a b c : a b c 6. a b c 5 a b c : a b c 6ˆ a b c 5 6ˆ a b c ˆ 4a 4 b 6 c Le espressioni contenenti potenze di monomi Calcola il valore dell'espressione a b a bc a 0 b 4 c : ab. a b a bc 4a 0 b 4 c : ab ˆ ˆ 7a 6 b 9 a bc 4a 0 b 4 c : 4a b 4 ˆ 7a 8 b 0 c a 8 b 0 c ˆ8a 8 b 0 c: La somma algebrica di polinomi Calcola la seguente somma algebrica di polinomi: a b 4a bx 5a b 6a b a bx a bx. a b 4a bx 5a b 6a b a bx a bx ˆ ˆ 5 6 a b 4 a bx ˆa b a bx.

8 8 IL CALCOLO LETTERALE Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Calcola la seguente somma algebrica di polinomi: 4x y z 4x ay x ay x y z x ay 5x y z x ay. 4 Calcola il valore della seguente moltiplicazione tra un monomio e un polinomio: x y z xy x y 4x z. 5 6 Calcola il valore della seguente moltiplicazione di polinomi e riduci, eventualmente, i termini simili: a c a c 4ac a. 7 8 Calcola il valore della seguente espressione con i polinomi: x y x y x y x y. 9 La moltiplicazione di un monomio per un polinomio Calcola il valore della seguente moltiplicazione tra un monomio e un polinomio: a b c a 4a b ax. a b c a 4a b ax ˆ6a b c a 5 b c 6a b cx. La moltiplicazione di due polinomi Calcola il valore della seguente moltiplicazione di polinomi e riduci, eventualmente, i termini simili: a b ab a b 4a b. a b ab a b 4a b ˆ6a 4 b 5 a 5 b 6 4a b 4 8a 4 b 5 ˆ ˆ 6 8 a 4 b 5 a 5 b 6 4a b 4 ˆ4a 4 b 5 a 5 b 6 4a b 4 Le espressioni con i polinomi Calcola il valore della seguente espressione con i polinomi: a b a b a b a b. a b a b a b a b ˆ ˆ a ab ab b 6a 6ab ab b ˆ a ab b 6a 8ab b ˆ ˆ a ab b 6a 8ab b ˆ4a 9ab 5b. La divisione di un polinomio per un monomio Calcola il quoziente della seguente divisione tra un polinomio e un monomio: a 4 b 9a b 5 7a 4 b 4 : a b. a 4 b 9a b 5 7a 4 b 4 : a b ˆ ˆ : a 4 b 9 : a b 5 7 : Ša 4 b 4 ˆ4a b 9ab.

9 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL CALCOLO LETTERALE 9 0 Calcola il quoziente della seguente divisione tra un polinomio e un monomio: 7x 4 y 5 x y 5 49x y z : 7x y : Calcola il valore del prodotto delle seguenti somme di due monomi per le loro differenze: a. xy x xy x ; b. ab x ab x. Il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza Calcola il valore del prodotto delle seguenti somme di due monomi per le loro differenze: a. ab b ab b ; b.. a. ab b ab b ˆ 4a b 9b ; b. Il quadrato di un binomio Calcola il valore dei seguenti quadrati di binomi: a. x y ; b. a. x y ˆ 9x xy 4y ; b. a b a b 4 5 x y x. 4 Calcola il valore dei seguenti quadrati di binomi: a. 4a 5ab ; b. a b a b ˆ 4 a 4b x y ˆ x 6 5 x4 y x y 4 x. a 5 b. ESERCIZI DI ABILITAÁ ) LIVELLO MEDIO ** Le espressioni letterali Calcola il valore delle seguenti espressioni letterali sostituendo a ciascuna lettera i valori assegnati. a. a b 4 a 5 ab per a ˆ; b ˆ ; b. a b a b per a ˆ; b ˆ. a. a b 4 a 5 ab ˆ 4 5 ˆ ˆ ::: ::: ˆ 4 ::: ::: ::: ::: ˆ ::: ::: ˆ 4 ; b. a b a b ˆ ˆ::: ::: ::: ˆ 4.

10 0 IL CALCOLO LETTERALE Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Calcola il valore delle seguenti espressioni letterali sostituendo a ciascuna lettera i valori assegnati: 4 a. 7 a bc ab c per a ˆ ; b ˆ e c ˆ ; b. x y x y 5 per x ˆ ; y ˆ. La somma algebrica fra monomi Calcola la somma algebrica dei seguenti monomi: 4 a b c 5 a b a b c 5 6 a b c 6 a b. Individuiamo i monomi simili e, per evidenziarli, si sottolineano con uno o due trattini: 4 a b c 5 a b a b c 5 6 a b c 6 a b Effettuiamo separatamente la somma algebrica fra i due gruppi di monomi simili: ::::: ::::: ::::: a b c ˆ :::::a b c ::::: ::::: a b ˆ :::::a b Pertanto avremo: 4 a b c 5 a b a b c 5 6 a b c 6 a b ˆ :::::a b c :::::a b. 4 Calcola la somma algebrica dei seguenti monomi: 5 6 Calcola il valore della seguente espressione: a b 7 4 a b a b a b ab 6 ab 7 5 x yz 4 x4 y x yz x4 y x4 y. Le espressioni con i monomi Calcola il valore della seguente espressione: 7 a b 9 a b a 4 a 6 ab ab ab 4 4 a a. Determiniamo la somma algebrica fra i monomi simili all'interno delle parentesi tonde: 7 :::::: 9 a 4 6 h i 4 ab :::::: a ˆ ˆ a b 4 a 5 4 ab 4 a ˆ 95 6 :::: 5 6 :::: ˆ ˆ 95 5 a b ˆ a b. La divisione fra espressioni contenenti monomi simili Calcola il valore della seguente espressione: a4 b c 7 6 a4 b c a 4 b c : a c 4 a c a c. 5 a4 b a 4 b.

11 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL CALCOLO LETTERALE Determiniamo il valore della somma algebrica fra monomi simili all'interno delle parentesi tonde: h i ::::: ::::: ::::: h a 4 b ::::: ::::: ::::: i c : a c ˆ 6 6 a4 b c : 5 6 a c ˆ ::::ab. 8 Calcola il valore della seguente divisione contenente monomi simili: 5 4 x5 y x5 y : x4 y x4 y x 4 y. 9 0 Calcola il valore della seguente espressione con i monomi: a4 b c 5 a4 b c a 4 b c : 5 a b c x a b x a b Le espressioni con i monomi Calcola il valore della seguente espressione con i monomi: 4 x y z x y z : xy x yz 5 x yz 4 5 x yz : Eseguiamo la somma algebrica all'interno delle parentesi tonde: 4 ::::::: : xy ::::: ::::: ::::: x yz : 5 y ˆ ˆ x y z : xy 5 x yz : y ˆ ˆ 4 ::::::: :::::::x z ˆ 4 ::::: ::::::: ˆ ::::::: y. : x ab. Le espressioni con potenze di monomi Calcola il valore della seguente espressione contenente potenze di monomi aventi la stessa base: x y z : 5 4 x y z : 5 4 x y z x y z : 5 4 x y z : 5 4 x y z ˆ 5 4 x y z 6::::::ˆ 5 4 x y z :::ˆ ::::::::::::::: Calcola il valore delle seguenti espressioni contenenti potenze di monomi aventi la stessa base: a. 4 x5 y x5 y : 5 x5 y ; b. 4 5 a b 4 c : 5 a b 4 c 5 a b 4 c ; c. 7 a4 c d 7 4 a4 c d 7 a4 c d : 7 7 a4 c d.

12 IL CALCOLO LETTERALE Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Le espressioni contenenti potenze di monomi Calcola il valore della seguente espressione contenente potenze di monomi: a b c 9 8 bc a b 7 c 6 : ac. a b c 9 8 bc a b 7 c 6 : ac ˆ ˆ 8 7 ::::::::::: 9 8 bc a b 7 c 6 : ::::::: ˆ ::::::: a9 b 7 c 4 ˆ::::::::. 4 Calcola il valore della seguente espressione contenente potenze di monomi: x4 y 9 xy x5 y 4 : 5 x. 5 6 Calcola il valore della seguente espressione con i monomi: h i h 4x y y x y xy : : i x x xy 5 : x y x y. 7 Le espressioni con i monomi h Calcola il valore della seguente espressione: i h i a b a b 9 a b a b 7 : ab 4a b. h i h i a b a b 9 a b a b 7 : ab 4a b ˆ ˆ 7a 6 b 9 4a 6 b 9 4a 4 b a b 7 : ab 6a 4 b 4 ˆ ˆ 7a 6 b 9 :::: 4a 6 b ::: : 48a ::: b ::: Š ˆ ˆ:::a 6 b 9 : 48a ::: b ::: Š ˆ :::: 48 ab :::. La somma algebrica di polinomi Calcola la seguente somma algebrica di polinomi: a b a b a b a b a b a b. a b a b a b a b a b a b ˆ ˆ a b a b a b a b a b a b ˆ ˆ 4 ::::: ::::: ::::: a ::: b ::: 6 ::::: ::::: a ::: b ˆ a b :::::a b.

13 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL CALCOLO LETTERALE 8 Calcola la seguente somma algebrica di polinomi: 4 x y x yz 4 x y xz x y xz. 9 0 Calcola il valore della seguente moltiplicazione tra un monomio e un polinomio: 7 x y z x y xz x y. La moltiplicazione di un monomio per un polinomio Calcola il valore della seguente moltiplicazione tra un monomio e un polinomio: 4 5 a b ab a b a. 4 5 a b ab a b a ˆ:::a b :::a ::: b ::: 4 ::: ::: ˆ 8 ::: ::: 5 5 ::: 4 ::: ::: La moltiplicazione di due polinomi Calcola il valore della seguente moltiplicazione di polinomi e riduci, eventualmente, i termini simili: 7 xy x x x y. 7 xy x x x y ˆ 7 x y 9 7 xy x x y x 9xy ˆ ˆ :::::::: x y 9 7 xy :::::x :::::x :::::::xy ˆ ::::::::::x y ::::xy :::::x :::::x :::::::xy Calcola il valore della seguente moltiplicazione di polinomi e riduci, eventualmente, i termini simili: ab ac a a ab. La moltiplicazione di piuá polinomi Calcola il valore della seguente moltiplicazione di tre polinomi: xz xy x 4 y 5 yz x. Moltiplichiamo il primo polinomio per il secondo: x y xyz 4 x y 8 xy 5 yz x. Nella prima parentesi ci sono due monomi simili; stabiliamo comunque di moltiplicare il risultato ottenuto per il terzo polinomio ed eseguire le somme algebriche dei monomi simili nel prossimo passaggio: ˆ 5 6 x y z 9 x y 5 xy z 9 x yz 0 x y z 4 9 x y 0 xy z 8 9 x y ˆ

14 4 IL CALCOLO LETTERALE Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 4 Calcola il valore della seguente moltiplicazione di tre polinomi: a b 4 ab a a b ab a. 5 6 Calcola il quoziente delle seguenti divisioni tra un polinomio e un monomio: 5 x4 y z 5 x5 y 4 4 x y 4 : x y. 7 8 Calcola il valore della seguente espressione con i polinomi: 9 Effettuiamo la riduzione dei termini simili: ::::: ::::: ˆ x y ::::: ::::: z x y 5 6 ::::: xy z 9 x yz 0 xy z ::::::::x y ˆ ˆ :::::::x y z :::::::::::x y ::::::::xy z ::::::::x yz 0 xy z 8 9 x y. La divisione di un polinomio per un monomio Calcola il quoziente della seguente divisione tra un polinomio e un monomio: 5 a b c 4 9 a b 4 c a 4 c 5 : a c. 5 a b c 4 9 a b 4 c a 4 c 5 : a c ˆ ˆ 5 4 " a ::::: b ::::: c ::::: 4 # 9 ˆ 0 9 b::::: ::::: ::::: ab::::: c ::::: ::::: a c 4. Le espressioni con i polinomi Calcola il valore della seguente espressione con i polinomi: a 4b a b a b a b. a 4b a b a b a b b. a :::::::::: b :::::::::: c :::::::::: ::::: ::::: a :::::::::: c :::::::::: ˆ a b a b a b ˆ a :::b a ab :::::: b ::: a :::b ˆ ˆ a :::b a ab :::::: b ::: a :::b ˆ :::a ::::b a :::ab b. Il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza Calcola il valore del prodotto delle seguenti somme di due monomi per le loro differenze: a. x 5 xz x 5 xz ; b. a a b a a b.

15 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL CALCOLO LETTERALE 5 a. x 5 xz x 5 xz ˆ 9 4 ::: 4 5 :::; b. a a b a a b ˆ :::a :::a 6 b. 0 Calcola il valore del prodotto delle seguenti somme di due monomi per le loro differenze: a. x y xy x y xy 4 ; b. a 4 4 a a 4 a. Calcola il valore dei seguenti quadrati di binomi: a. 5 a x xy ; b. ab a. Il quadrato di un binomio Calcola il valore dei seguenti quadrati di binomi: a. a b 4 a ; b. x xy. a. a b ˆ 4 a 4 a4 b :::::a b 9 6 a ; b. x ˆ xy :::::x :::::x y :::::x y. Il cubo di un binomio Calcola il valore dei seguenti cubi di binomi: a. a b ; b. a. a b ˆa 6::: ::: 8b ; x y. b. x ˆ y :::x 6 :::x 4 y :::x y :::y. 4 Calcola il valore dei seguenti cubi di binomi: a. x y ; b. ab a. 5 Le espressioni con i prodotti notevoli Calcola il valore dell'espressione a b a b a a b a b Come prima operazione svolgiamo i prodotti notevoli: ˆ 4 a ::: ::: a b a 9 a ::: ˆ ˆ 4 a ab ::: a ::: a ::: 6::: 9 a ::: ˆ ::::a :::ab ::::a :::b..

16 6 IL CALCOLO LETTERALE Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Calcola il valore della seguente espressione con i prodotti notevoli. 6 x y x y x y y y x. 7 a a a a a a. 8 x y x y xy y. 8 " 9 5 a b 5 a 9 < b 5 ab = : 5 a b ; : 9 5 ab. ESERCIZI DI ABILITAÁ ) LIVELLO AVANZATO *** Calcola il valore delle seguenti espressioni con i monomi. 7 4 x y 4 x y x y x y 4 x y 5 x y 4 x y. 5 x z x z ax x z ax 5 ax x z 5 ax. 4 a5 b a bc 8 a5 b c. 4 ab c 4 ab abx a x a c 4 5 a b 7 a5 b c. 5 a b 6ax a x 4 a 4 b. 6 4 abc abc abc a b 8 4 a b 5 ab ab. 7 4 a x a x ab 7 ab 4 a bx a bx ab ab 7 ab x7 y 8 z 4 x7 y 8 z 4 x7 y 8 z x7 y 8 z 4 : 4 x y z. 9 4 a5 b z 4 5 a5 b z 4 : 4 a bz a bz 5 8 a bz abx 4 abx 5 abx : 4ab ab 5 x x x. " 4 ab 5 4 ab : # 7 4 ab. 8 " 4 7 x y 4 # " 4 7 x y : 4 7 x y 4 # 95 < = : 7 x y ;. " 4 abx # ab : 4 ab x : 5 4 a 7 a.

17 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL CALCOLO LETTERALE 7 Calcola il valore delle seguenti espressioni con i polinomi. 4 4 ax ax 4 ab ab 5ax 5 abx 4 ab 5 a b. 6 7 a x b a b ax 4 ab ab x y a x y. 8 8 a b 7 6 a5 b x 4 a4 b 8 5 a b 4 a b : a b. 9 a b a a a b a 4 ab : 4 5 a.. Calcola il valore delle seguenti espressioni contenente prodotti notevoli. 0 x x x x 4 x. a b b a b a a b 4 : ab. 8 " x y y # 9 < x x y = x y : ; x. y y x a a b ab 6a a b ab 7a. 4 4 a b a b 4 a b 4 a b a 8b. SOLUZIONE DEGLI ESERCIZI VALUTAZIONE DEGLI ESERCIZI DI CONOSCENZA lettere, segni di operazione. b. a. segno del suo coefficiente; b. l'esponente con cui la lettera vi figura; c. gli esponenti delle varie lettere del monomio. 4 a. hanno la stessa parte letterale; b. sono simili e hanno lo stesso coefficiente; c. sono simili e hanno coefficienti opposti. 5 c. 6 a. il prodotto, tutte le lettere, scritta una sola volta, somma degli esponenti; b. il quoziente fra i coefficienti, dividendo, alla differenza, dividendo, divisore; c. il prodotto, uguali, elevato all'esponente, il prodotto. 7 a. 8 b. 9 massimo esponente. 0 a. ordinato e completo rispetto la lettera a; b. omogeneo; c. ordinato secondo le potenze crescenti di b e decrescenti di a.

18 8 IL CALCOLO LETTERALE Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS a. polinomio, monomio, somma algebrica; b. moltiplica, del primo polinomio, tutti i termini del secondo, somma algebrica; c. divide, polinomio, monomio, la somma algebrica. b. a. 4 c. VALUTAZIONE DEGLI ESERCIZI DI ABILITAÁ : LIVELLO BASE coefficiente: 4 ; parte letterale: x y z; grado rispetto la lettera x: ; grado rispetto la lettera y: ; grado rispetto la lettera z: ; grado complessivo: 6. 4 a. 84; b. impossibile; c a. 5xy; b. non sono simili e quindi non si possono sommare; c. 4 x y. 8 a. 7 a b 4 ; b. 4 x y z; c. 4a b 4 c 5. 0 a 5 b c. a. x y ; b. x; c. 5 a b x y. 6 a. 8a 9 c ; b. x0 y 0 8 ; c. 56 a8 b c x 9 y 6 b. 0 x 4 y 4 z. x y z x ay. 4 4x y 6 z 6x 4 y 5 z 8x 4 y z a c 5 8a 4 c 6a 5 c. 8 5x xy y 0 x y xy 7xz. a. 4x y 9x 4 ; b. 4 9 a b 4 x. 4 a. 6a 40a b 5a b ; b. 9 a4 4 5 a b 4 5 b6. VALUTAZIONE DEGLI ESERCIZI DI ABILITAÁ : LIVELLO MEDIO a ˆ 4 0 ˆ 4 9 a. ; b a b c ˆ 5 a b c; x yz 6 x4 y. 5 a b; 4 a b ˆ ; 95 6 a b ; b. 9 ˆ 4. a b; 5 a b c a b. 5 6 a b a5 b a 4 b 6 8 c : a c ˆ 6 6 a4 b c : 5 6 a c ˆ 5 ab xy. 9 x y 0 4 z; ; 5 4 x z 5 x z ˆ 4 x z ˆ x z. 0 7 a b. 5 4 x y z 6ˆ 5 4 x y z ˆ 5 4 x y z. a. 9 x0 y 4 4 ; b. 5 a6 b 8 c 4 49 ; c. 9 a8 c 4 d. 8 7 a9 b 6 c 9 8 bc a b 7 c 6 : a c ˆ a9 b 7 c 4 a9 b 7 c 4 ˆ a9 b 7 c 4.

19 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL CALCOLO LETTERALE 9 4 x9 y a 6 b 9 a 6 b 9 4a 6 b 9 : 48a 5 b 6 ˆ 5a 6 b 9 : 48a 5 b 6 ˆ5 6 y x y x yz xz a b 4 a b ˆ a b a b a b 8 5 a b 4 5 a b 0 ˆ 8 5 a4 b 8 5 a5 b a4 b x4 y 4 z x4 y 4 x yz. 4 x y xy x x 9xy ˆ 7 4 x y 9 7 xy x x 9xy. 4 a b a b a c a bc a x y z 4 9 x y 5 xy z 9 x yz 0 xy z 8 9 x y ˆ ˆ 5 x y z x y 5 xy z 9 x yz 0 xy z 8 9 x y. 48 ab. 4 a4 b a 4 b 4 a b 9 4 a b 6 a b a 8 a b 4 a b a b. 5 5 " a b 0 c 4 # a b 40 c a 4 c 5 ˆ b 8 7 ab4 c 4 a c xz 9 0 x y y. 7 a 4 b a ab ab b a b ˆ a 4 b a ab ab b a b ˆ ˆ a b a ab b. 8 4 a b b ab. 9 a. 0 a. 4x 6 y 4 x y ; b. 6 9 a4 6 a6. a. 9 4 x4 4 5 x z ; b. 9 a 4a 6 b. 4 a4 b 4 a b 9 6 a ; b. 4x 6x y 9 4 x y. 9 a. 5 a6 x 4 5 a x y 4 9 x y 4 ; b. 9a b 4 9a b 9 4 a4. a. a 6a b ab 8b ; b. 8 x6 x4 y x y 8 7 y. 4 a. 8 x 9 4 x y 7 xy 7y ; b. 7 a b 6 a b 4 4a b 8a. 5 4 a ab b a b a 9 a b ˆ 4 a ab b a a ab 6b 9 a b ˆ ˆ 49 6 a ab a 6b. 6 xy 5y. 7 a 8 8a 5. 8 x 6y 7x y xy ab.

20 0 IL CALCOLO LETTERALE Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS VALUTAZIONE DEGLI ESERCIZI DI ABILITAÁ : LIVELLO AVANZATO 9 6 x y. 8 5 x z 8 5 ax. 8 a8 b 9 c. 4 5 a b 8 c a b 6 x a4 b 5 c. 7 8 a b x. 8 9 x4 y 6 z a b z x. 9 6 a b 4.. a. 4 5 ax 7 7 ab a b x 5 a b x abx. 6 8 a x 9 7 a bx 4 ab b. 7 a b 4abx aby ax 6x 5xy ay y. 8 4 b 7 a bx 8 a b 6 5 ab. 9 4 a ab 4 a 8 b. 0 4x 8x. 5 9 b 5 ab. 6x y 8x y. 4a. 4 5b ab 6a b ab.