GEOMETRIA LA GEOMETRIA DEL PIANO I TRIANGOLI PERPENDICOLARI E PARALLELE I PARALLELOGRAMMI E I TRAPEZI

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1 GMTRI L GMTRI L PIN I TRINGLI PRPNILRI PRLLL I PRLLLGRMMI I TRPZI

2 T PITL G1 L GMTRI L PIN 1 ggetti geometrici e proprietˆ sercizi p. G5 MTMTI STRI Mtemtic e democrzi ome mi il metodo dimostrtivo è nto proprio in Greci? L rispost Le definizioni L geometri si occup di studire le relzioni fr enti geometrici, cioè oggetti ideli che rppresentno spetti dell reltà. Gli enti sono descritti d definizioni. Un definizione è un frse nell qule viene ssocito un nome un ente e ne vengono elencte le proprietà. Per dre un definizione è necessrio conoscere il significto di lcuni termini. Per esempio, se dimo come definizione di rettngolo: «un rettngolo è un prllelogrmm che h i quttro ngoli congruenti», per stilire che cos è un rettngolo doimo spere che cos significno le prole «prllelogrmm», «ngoli», «congruenti». Se i termini usti non sono conosciuti, si devono dre ltre definizioni. nche in queste srnno utilizzti ltri enti, che loro volt dovrnno essere definiti... Gli enti primitivi Per interrompere questo procedimento non si può fre ltro che supporre che lcuni enti non vengno definiti, m sino ccettti come noti. Questi enti sono detti enti primitivi. In geometri considerimo come enti primitivi: il punto, l rett, il pino. Indichimo i punti con lettere miuscole (,, ), le rette con lettere minuscole (r, s, t ) e i pini con lettere minuscole dell lfeto greco ^cf,, h. punto rett pino r. Il punto idele non h dimensione, mentre quello che disegnimo con l mtit, per qunto piccolo, h un estensione!. L rett che disegnimo h per forz uno spessore, mentre l rett idele è illimitt d entrme le prti e non h spessore. c. Il pino idele è illimitto in tutte le direzioni. Possimo disegnrne sul foglio solo un prte che lo rppresent. G

3 Prgrfo 1. ggetti geometrici e proprietˆ T Le figure geometriche Un insieme qulsisi di punti costituisce un figur geometric; lo spzio è l insieme di tutti i punti e contiene quindi tutte le figure. Un figur che pprtiene un pino si chim figur pin, ltrimenti si chim figur solid. TRI I postulti In geometri ci sono lcune proprietà lle quli ffidimo un ruolo simile quello ssunto dgli enti primitivi rispetto lle figure geometriche. Nell geometri rzionle voglimo ricvre, medinte deduzioni, delle proprietà d ltre proprietà. In questo procedimento doimo ccettre che lcune proprietà vengno ssunte come «primitive», ossi non sino dedotte m ccettte come vere. queste proprietà viene dto il nome di postulti o ssiomi. I teoremi I teoremi sono enunciti l cui verità può essere dimostrt prtire di postulti o d ltri teoremi. Un dimostrzione è un sequenz di deduzioni che, prtendo d ffermzioni considerte vere (ipotesi), f giungere un nuov ffermzione (tesi). In seguito scriveremo spesso l enuncito dei teoremi medinte l struttur linguistic «Se..., llor...». L frse che segue il «se» è l ipotesi, ossi ciò che supponimo vero; quell dopo «llor» è l tesi, ossi l ffermzione d dimostrre. SMPI nuncito del teorem: «Se un tringolo è isoscele, llor h due ngoli congruenti». Ipotesi «Un tringolo è isoscele». Tesi «(Il tringolo) h due ngoli congruenti». Un tringolo è isoscele ipotesi Il tringolo h due ngoli congruenti Un teorem che è l immedit conseguenz di un ltro teorem, è un corollrio. Se in un teorem vengono scmite l ipotesi e l tesi, si ottiene l proposizione invers che, se risult vlid, prende il nome di teorem inverso (o reciproco). SMPI Inverso del teorem precedente: = = tesi Listen to it Within given theory, postulte or xiom is sttement ssumed to e true, while theorem is sttement tht cn e proved. ffermzioni ipotesi deduzioni dimostrzione ffermzioni tesi opo ver individuto l ipotesi e l tesi dei seguenti teoremi, scrivili nell form: se, llor L somm di due numeri nturli dispri è un numero pri. In un qudrto le digonli sono congruenti. ue numeri interi opposti hnno per somm 0. ue rettngoli con l stess se e l stess ltezz hnno re ugule. «Se in un tringolo due ngoli sono congruenti, llor esso è isoscele». Ipotesi «ue ngoli di un tringolo sono congruenti». Tesi «(Il tringolo) è isoscele». L geometri rzionle, fondt su definizioni, enti primitivi, postulti e teoremi, trovò l su prim sistemzione nell oper di uclide, mtemtico greco del III secolo..; per questo motivo, per indicrl, si us nche il termine geometri euclide. G3

4 T pitolo G1. L geometri del pino TRI Listen to it In ucliden geometry there re postultes descriing reltions etween points, lines nd plnes. I postulti di pprtenenz e d ordine sercizi p. G5 imo detto che punto, rett e pino sono enti primitivi. ome possimo llor conoscerne le crtteristiche se non sono definiti? iò è possiile medinte i postulti di pprtenenz e di ordine che possono essere pensti come «definizioni implicite» degli enti primitivi. r Q R P S P, Q, R, llineti P, Q, S, non llineti I postulti di pprtenenz Poiché l rett è un insieme di punti, possimo utilizzre il concetto di pprtenenz. ire che un punto P pprtiene un rett r è equivlente dire che P st su r o nche che r pss per P. Il concetto di pprtenenz è utile nche per rette e pini. Se tutti i punti di un rett r pprtengono un pino, dicimo che r pprtiene d, o nche che r st su, o che pss per r. icimo poi che tre o più punti sono llineti se pprtengono un stess rett. Vlgono i seguenti postulti. imostr che per un rett r e un punto P che non le pprtiene pss un pino e uno solo, utilizzndo i postulti di pprtenenz. nimzione Postulti di pprtenenz 1. un rett pprtengono lmeno due punti distinti e un pino lmeno tre punti distinti non llineti.. ue punti distinti pprtengono un rett e un sol. 3. Tre punti distinti e non llineti pprtengono un pino e uno solo. 4. onsidert un rett su un pino, c è lmeno un punto del pino che non pprtiene ll rett. 5. Se un rett pss per due punti di un pino, llor pprtiene l pino. r r r P Q R nlizzimo l espressione «un e un sol» che compre nel secondo postulto: un: esprime il concetto di esistenz. ti due punti distinti e esiste un rett che pss per e, ossi e pprtengono ll rett. un sol: esprime il concetto di unicità. L rett pssnte per e è unic, e e pprtengono un sol rett. rett Possimo quindi ffermre che e individuno un rett, che chimimo rett. Se dicimo: «Per due punti pss un e un sol rett», escludimo che tutte e tre le linee disegnte nell figur lto sino rette. G4

5 Prgrfo. I postulti di pprtenenz e d ordine T Un conseguenz del secondo postulto è che due rette distinte possono vere l più un punto in comune. In questo cso chimimo le rette incidenti. I postulti d ordine gni rett può essere orientt stilendo su di ess un verso di percorrenz. Nell esempio dell figur lto, dicimo che precede, oppure che segue, perché, percorrendo l rett nel verso fissto, incontrimo prim e poi. Vlgono i seguenti postulti. P rette incidenti PRLM Mettere in oll L livell oll è uno strumento che verific l orizzontlità di un pino. Qundo l livell è post su un pino orizzontle, l oll d ri compre l centro di un zon prestilit dello strumento. Prov usre un livell oll per mettere un pino in orizzontle. Indic il procedimento usto e i postulti su cui si s. Sched di lvoro TRI Postulti d ordine 1. Se e sono due punti distinti di un rett, o precede, o precede.. Se precede e precede, llor precede. 3. Preso un punto su un rett, c è lmeno un punto che precede e uno che segue. 4. Presi due punti e su un rett, con che precede, c è lmeno un punto dell rett che segue e precede. precede precede precede segue e precede rett orientt Spieg perché, se dicimo che fr due punti su un rett ce n è lmeno uno, possimo nche dire che fr i due punti ce ne sono infiniti. Per il postulto 1, non ci sono punti di un rett che non possono essere confrontti e vle l proprietà ntisimmetric; per il postulto, vle l proprietà trnsitiv, quindi l relzione considert è un relzione d ordine totle. Il postulto 3 dice che un rett è illimitt: su un rett non esistono né un primo punto, né un ultimo. Il postulto 4 fferm invece che l rett è un insieme denso: fr due punti distinti esiste sempre un ltro punto. i postulti d ordine, considerti insieme quelli di pprtenenz, si può dedurre che: per un punto di un pino pssno infinite rette; ogni pino contiene infiniti punti e infinite rette. L insieme delle infinite rette di un pino che pssno per un punto P del pino stesso si chim fscio proprio di rette e P è il centro del fscio. P fscio di rette centro del fscio ue rette orientte r e s si intersecno nel punto P. I punti,, pprtengono ll rett r e i punti e F pprtengono ll rett s. Rppresent grficmente le due rette, spendo che: segue P m non segue F; precede P e segue ; segue m non precede P. G5

6 T pitolo G1. L geometri del pino TRI 3 Gli enti fondmentli sercizi p. G7 Le semirette Listen to it ry is the set of points on line tht either ll precede or ll follow given point. FINIZIN t un rett orientt e un suo punto, chimimo semirette: l insieme formto d e d tutti i punti che lo seguono; l insieme formto d e d tutti i punti che lo precedono. Il punto si chim origine dell semirett. L definizione fferm che su un rett esistono due semirette opposte, venti l stess origine. L origine è il solo punto che due semirette opposte hnno in comune. I segmenti Listen to it segment is the set of points of line contined etween two points, the endpoints of the segment. FINIZIN t un rett orientt e due suoi punti e, con che precede, chimimo segmento l insieme dei punti dell rett formto d, d e di punti che seguono e precedono. prolungmenti segmenti consecutivi segmenti dicenti I punti e si chimno estremi del segmento, i punti compresi fr e sono i punti interni del segmento. Un segmento è nullo se i suoi estremi coincidono, ossi se è privo di punti interni. Il segmento nullo è costituito d un solo punto. Fissti due punti e, possimo nche pensre ll rett divis in tre prti: il segmento, l semirett di origine che non contiene e l semirett di origine che non contiene. Queste due semirette vengono dette prolungmenti del segmento. ue segmenti sono consecutivi se hnno in comune soltnto un estremo; sono dicenti qundo sono consecutivi e pprtengono ll stess rett. Le poligonli FINIZIN Si dice poligonle un figur costituit d un insieme ordinto di segmenti in cui ciscun segmento e il successivo sono consecutivi. Un poligonle è chius se l ultimo estremo coincide con il primo. In cso contrrio l poligonle è pert. I segmenti di un poligonle si dicono nche lti dell po G6

7 Prgrfo 3. Gli enti fondmentli T ligonle. Un poligonle è intreccit se lmeno due suoi lti (non consecutivi) si intersecno. primo estremo. Poligonle pert. F ultimo estremo F. Poligonle chius. F c. Poligonle intreccit. TRI I semipini L definizione di semirett è possiile perché un punto divide un rett in modo che, «muovendosi» sull rett, per pssre d un semirett ll ltr isogn «ttrversre» il punto. Il postulto di prtizione del pino medinte un rett serve per introdurre un concetto nlogo per il pino. PSTULT Un rett di un pino divide i punti del pino che non le pprtengono in due insiemi distinti, in modo che, se due punti pprtengono llo stesso insieme, llor il segmento di cui sono estremi non intersec l rett; se pprtengono insiemi diversi, llor il segmento intersec l rett. Il postulto dice che, se considerimo un rett r (figur lto), ess divide i punti del pino in due insiemi e in modo che, per pssre dll insieme ll insieme, doimo «ttrversre» r; mentre questo non succede se «restimo», per esempio, in. FINIZIN onsidert un rett r di un pino, un semipino di origine r è l insieme dei punti di r e di uno dei due insiemi in cui il pino è diviso d r. semipino r origine semipino icimo che i due semipini originti d un rett in un pino sono opposti. L rett origine di entrmi è l loro intersezione. r PQ intersec r r P R S RS non intersec r Q Figure convesse, figure concve FINIZIN Un figur è convess se due suoi punti qulsisi sono estremi di un segmento tutto contenuto nell figur. In cso contrrio l figur è concv. figur convess figur concv Spieg perché l figur costituit d due rette è un figur concv. G7

8 T pitolo G1. L geometri del pino TRI Listen to it n ngle cn e considered s either of the two prts of the plne ordered y two rys with common endpoint. Gli ngoli FINIZIN Un ngolo è ciscun delle due prti di pino individute d due semirette venti l stess origine, incluse le due semirette. V ngolo ngolo lti vertice Le due semirette sono i lti dell ngolo; il punto di origine in comune è il vertice dell ngolo. In un pino trcci due rette e che si intersecno in. onsider le possiili intersezioni fr un semipino di origine e uno di origine. Quli figure ottieni? nimzione I punti che pprtengono ll ngolo, m non i suoi lti, sono i punti interni dell ngolo. Per indicre un ngolo di vertice e con lti le semirette e, usimo il simolo W. Un ngolo si può nche indicre con un letter grec (per esempio:,, c). Qundo due ngoli hnno in comune soltnto il vertice e un lto, si dicono consecutivi. ue ngoli consecutivi i cui lti non comuni pprtengono ll stess rett si dicono dicenti. SMPI c e f V d. Gli ngoli Ô e Ôc sono consecutivi.. Gli ngoli dvˆe ed evˆf sono dicenti. ngolo pitto, ngolo giro, ngolo nullo Un ngolo è pitto qundo i suoi lti sono due semirette opposte; coincide con un semipino e spesso lo indicheremo con r. L ngolo giro è l ngolo i cui lti sono semirette coincidenti e che coincide con l intero pino. Un ngolo è nullo qundo i suoi lti sono due semirette coincidenti e non comprende ltri punti oltre quelli dei lti. ngolo pitto ngolo giro ngolo nullo G8

9 Prgrfo 3. Gli enti fondmentli T Gli ngoli possono essere si figure concve si figure convesse. Per decidere se un ngolo è concvo o convesso, nziché ricorrere ll definizione precedente, possimo considerre i prolungmenti dei suoi lti. TRI ngolo concvo ngolo convesso ngolo pitto π. eccezione dell ngolo giro, se un ngolo contiene l proprio interno i prolungmenti dei lti, llor è concvo. Inftti è possiile scegliere due punti in modo che il segmento che li unisce non si contenuto intermente nell ngolo.. Se un ngolo non contiene l proprio interno i prolungmenti dei lti, llor è convesso. Inftti, comunque sceglimo due punti, il segmento che li unisce è contenuto sempre intermente nell ngolo. c. L ngolo pitto è convesso. π contiene il prolungmento dei suoi lti, m non l proprio interno. L congruenz delle figure Qundo prlimo di movimento rigido intendimo dire che nell mito dell geometri euclide si può pensre di spostre le figure senz deformrle. È un concetto che deve essere considerto primitivo. In geometri utilizzeremo l prol uguglinz (e il simolo =) soltnto per indicre l coincidenz punto punto di due figure. Useremo invece l prol congruenz per indicre l sovrpponiilità punto punto di un figur un ltr medinte un movimento rigido. FINIZIN ue figure sono congruenti se sono sovrpponiili punto punto l un ll ltr medinte un movimento rigido. Per indicre l congruenz di due figure useremo il simolo,. SMPI Nel tringolo isoscele (figur lto) l medin e l ltezz reltive ll se sono uguli, perché coincidono, mentre i lti e sono congruenti. Lo indichimo con:,. Per l congruenz di figure vlgono le seguenti proprietà che ssumimo come postulti. medin = ltezz ~ = G9

10 T pitolo G1. L geometri del pino TRI Verific le tre proprietà con i tringoli dell figur. PSTULTI Proprietà riflessiv: ogni figur è congruente se stess:,. Proprietà simmetric: se,, llor,. Proprietà trnsitiv: se, e se,, llor,. Pertnto l relzione di congruenz è un relzione di equivlenz. Inoltre vle nche il seguente postulto. PSTULT Sono congruenti fr loro: due rette, due semirette, due pini, due semipini. Il trsporto dei segmenti e degli ngoli Vlgono i seguenti postulti. Postulto del trsporto dei segmenti t un semirett di origine e un segmento, sull semirett esiste ed è unico il punto P tle che P,. P rco Postulto del trsporto di ngoli ti un semipino, sull cui origine si si fisst un semirett s di origine l, e un ngolo W di origine, c è ed è unic l semirett p pprtenente l semipino, tle che W, sx lp. ' p s punti esterni estremi punti interni Line semplice chius. Line intreccit pert. Le linee pine Se disegnimo un punto su un foglio e muovimo l mtit, senz stccrl dl foglio, ottenimo un line. iremo che un line pin è un insieme di punti ottenuti dl movimento continuo di un punto del pino. L rett può essere vist come un cso prticolre di line. gni line che non si un rett, un semirett o un segmento viene dett line curv o semplicemente curv. Un trtto di curv compreso fr due suoi punti viene detto rco; i due punti si chimno estremi. gni line è percorriile in due versi opposti. Immginimo di percorrere un line, prtendo d un suo punto, sempre nello stesso verso. Se fine percorso rrivimo nuovmente l punto di prtenz, l line è chius; in cso contrrio l line è pert. Se poi, durnte il percorso, incontrimo uno stesso punto più di un volt, llor l line è intreccit. In cso contrrio è semplice. gni line semplice chius divide l insieme dei punti del pino che non le pprtengono in due regioni: un che contiene segmenti, m non rette; l ltr che contiene nche rette. I punti dell prim regione si dicono interni ll line, quelli dell second si dicono esterni. G10

11 Prgrfo 3. Gli enti fondmentli T PSTULT Prtizione del pino medinte un line chius Un line che congiunge un punto interno e un punto esterno di un line chius l intersec in lmeno un punto. TRI onsiderimo un punto e tutti i punti P, Q, R, tli che P, Q, R icimo nche che P, Q, R, hnno distnz ugule d. L insieme di tli punti è un prticolre line chius non intreccit: l circonferenz. FINIZIN ti su un pino i punti e P, l circonferenz di centro e rggio P è l insieme dei punti del pino che hnno d distnz ugule quell di P. Q centro R ~ = P ~ = Q P rggio R circonferenz Listen to it circle cn e defined s the set of points with the sme distnce from point. L prte di circonferenz compres fr due suoi punti è un rco. L insieme dei punti di un circonferenz e di tutti quelli interni ess è un cerchio. mmettimo il seguente postulto dell circonferenz. rco cerchio Un circonferenz, un rco di circonferenz, un cerchio sono figure concve o convesse? ccompgn le risposte con esempi. PSTULT Presi picere, in un pino, un punto e un segmento, esiste un sol circonferenz che h per centro quel punto e per rggio quel segmento. MTMTI STRI I primi tre postulti Nel suo liro lementi, uclide chiede che si poss: 1. condurre un line rett d un qulsisi punto ogni ltro punto;. prolungre continumente per diritto un rett termint (noi diremmo un segmento); 3. descrivere un circonferenz con ogni centro e ogni distnz. I primi due postulti vengono detti «postulti dell rig» perché ci permettono di usre l rig non grdut. Il terzo postulto è detto «postulto del compsso». Il compsso del terzo postulto si chiude non ppen lo sollevimo dl foglio, quindi in se tle postulto non possimo riportre un distnz d un punto un ltro. Solo ttrverso successive dimostrzioni uclide giunge l trsporto di un segmento. ltre i postulti, uclide formul delle nozioni comuni. Trov degli esempi. erc nel we: uclide, postulti, nozioni comuni. I poligoni Nello studio dell geometri euclide hnno prticolre importnz le figure che si generno trccindo poligonli chiuse e non intreccite. FINIZIN Un poligono è l insieme dei punti di un poligonle chius e non intreccit e di tutti i suoi punti interni. F poligono G11

12 S S T pitolo G1. L geometri del pino TRI isegn sei punti,,,,, F in modo che si un qudriltero convesso, con,,, disposti in senso orrio, un punto interno d e F un punto esterno, con F che intersec soltnto. Indic se i poligoni,, F, sono figure concve o convesse. In generle, un poligono può essere convesso o concvo. Per revità, se non fremo ltre preciszioni, useremo il termine poligono per indicre un poligono convesso. In un poligono: i segmenti che formno l poligonle sono i lti; i loro estremi sono i vertici; gli ngoli convessi formti dlle semirette di lti consecutivi sono gli ngoli del poligono, o ngoli interni; gli ngoli dicenti gli ngoli interni sono gli ngoli esterni; ciscun ngolo interno corrispondono due ngoli esterni; F G H M i segmenti che hnno per estremi due vertici del poligono che non pprtengono llo stesso lto sono le digonli. I digonli lto vertice L P ngolo esterno S Q ngolo interno R ngolo esterno imo ffermto che in un poligono di n lti il numero delle digonli d è dto dll formul nn ( - 3) d =. Verificlo per n = 3, 4, 5, 6. imostr l vlidità dell legge per n qulsisi. nimzione Un poligono con tutti i lti congruenti è equiltero, con tutti gli ngoli congruenti è equingolo. Un poligono è regolre se è equiltero ed equingolo. lssifichimo i poligoni in se l numero dei lti: un tringolo h 3 lti, un qudriltero 4, un pentgono 5, un esgono 6, un ettgono 7, un ottgono 8, un enngono 9, un decgono 10 e vi dicendo. Si può dimostrre che in un poligono di n lti il numero d delle digonli è: d = nn ( - 3). S S F S esgono regolre S P 4 Le operzioni con i segmenti e con gli ngoli sercizi p. G30 ~ = P < P Il confronto di segmenti onfrontre due segmenti signific stilire se sono o non sono congruenti e, in quest ultimo cso, qule dei due è mggiore. Per effetture il confronto st sovrpporre i segmenti in modo che un estremo dell uno coincid con un estremo dell ltro. Se nche il secondo estremo coincide, i segmenti sono congruenti. Nell esempio in figur, scrivimo:, P. Se il secondo estremo di uno risult interno ll ltro (figur ), i due segmenti non sono congruenti. Scrivimo: 1 ( minore di ), ( mggiore di ). G1

13 = Prgrfo 4. Le operzioni con i segmenti e con gli ngoli T omplet inserendo uno dei simoli 1,,,. Fi il confronto tr i segmenti con il compsso. FG FQ PF F FG G P F Q G TRI ostruzione per determinre un punto equidistnte d due punti dti Quello che segue è un esempio di costruzione con rig e compsso. In queste costruzioni, crtteristiche dell geometri euclide, il compsso serve per trccire circonferenze o rchi di circonferenz, l rig per congiungere punti e trccire segmenti, mentre non può essere ust per misurre, come simo ituti fre. to un segmento, cerchimo un punto equidistnte d e d, vente come distnz quell del segmento stesso. = =. È dto il segmento.. Trccimo l circonferenz c. e ' sono equidistnti d e d. di centro e rggio, poi l pprtiene ll circonferenz di circonferenz di centro e rggio. centro, quindi ~ =. pprtiene nche ll circonferenz di centro, quindi ~ =. Per l proprietà trnsitiv, ~ =. ' Nell costruzione dell figur usimo il postulto dell circonferenz. Nell figur c utilizzimo l definizione di circonferenz. LÕddizione e l sottrzione fr segmenti Somm di segmenti ti due segmenti dicenti e, l loro somm è il segmento, che h per estremi i loro estremi non comuni. Scrivimo: + =. Per estendere quest definizione due segmenti qulsisi, st considerre due segmenti dicenti che sino congruenti quelli dti. L ddizione fr segmenti gode delle proprietà commuttiv e ssocitiv. Inoltre, esiste l elemento neutro, che è il segmento nullo. + = F F G13

14 = = = = = T pitolo G1. L geometri del pino TRI Verific con esempi che l ddizione fr segmenti gode dell proprietà commuttiv e ssocitiv. Vlgono inoltre le seguenti proprietà. ti quttro segmenti,, F, GH: 1. se, ed F, GH, llor + F, + GH, ossi somme di segmenti congruenti sono congruenti;. se ed F GH, llor + F + GH, se 1 ed F 1 GH, llor + F 1 + GH, ossi somme di segmenti disuguli nello stesso senso sono disuguli nello stesso senso. = inftti + = ifferenz di segmenti ti i segmenti e (con o, ), l differenz fr e è il segmento che, ddizionto d, dà come somm. Scrivimo: - =. ti quttro segmenti,, F, GH, vle l seguente proprietà: se, ed F, GH (con F ), llor -F, - GH, ossi differenze di segmenti ordintmente congruenti sono congruenti. I multipli e i sottomultipli di segmenti = 3 1 = = 3 3 ti i segmenti MN, PQ, RS, tli che PQ, RS e 5 3 MN, PQ, dimostr che: 1 4 PQ + RS -MN, PQ. 5 nimzione Verific geometricmente l relzione dell esercizio sopr. nimzione Si chim multiplo di un segmento, secondo il numero nturle n 1, un segmento congruente ll somm di n segmenti congruenti d. Scrivimo = n. Se n = 1, possimo estendere l definizione, considerndo in questo cso, come multiplo di, stesso. Se n = 0, è il segmento nullo. Nell relzione precedente possimo nche dire che è sottomultiplo di secondo il numero n (con n! 0). Scrivimo = n 1 oppure = n. Inoltre, con m numero nturle, l scrittur c m c = n = m n k. SMPI Il segmento si ottiene dl segmento considerndo il multiplo secondo del sottomultiplo secondo 3 di : = 3 k = 3. Vlgono i seguenti postulti. m = n (con n! 0) signific Postulto di udosso-rchimede per i segmenti ti due segmenti, che non sino congruenti o nulli, esiste sempre un segmento multiplo del minore che super il mggiore. Postulto di divisiilità dei segmenti to un segmento, esiste il suo sottomultiplo secondo un qulsisi numero nturle. = 3 G14

15 X X Prgrfo 4. Le operzioni con i segmenti e con gli ngoli T Il punto medio di un segmento Punto medio di un segmento Il punto medio di un segmento è il punto che lo divide in due segmenti congruenti. Vle il seguente postulto. M TRI Unicità del punto medio siste sempre il punto medio di un segmento ed è unico. escrivi il procedimento per ottenere con rig e compsso l seguente costruzione per individure il punto medio di un segmento e utilizzl con un segmento scelto d te. (smineremo le giustificzioni delle costruzioni nei prossimi cpitoli.) P P 1 M ~ = M M P Q Q Q c Video Il confronto di ngoli onfrontre due ngoli signific stilire se sono o non sono congruenti e, in quest ultimo cso, verificre qule dei due è mggiore. Per effetture il confronto st sovrpporre un ngolo ll ltro, in modo che coincidno i due vertici e un lto. Se nche il secondo lto risult sovrpposto, come nell figur, i due ngoli sono congruenti. Scrivimo:,. Se il secondo lto di un ngolo risult interno ll ltro, come nell figur, i due ngoli non sono congruenti. Scrivimo: 1 ( minore di ) oppure ( mggiore di ). ~ = ~ = < o > G15

16 T pitolo G1. L geometri del pino TRI escrivi il procedimento, che puoi osservre nell figur, per l costruzione con rig e compsso di un ngolo congruente un ngolo dto e utilizzlo con un ngolo scelto d te. (Nell nimzione c è nche l giustificzione dell costruzione: l esmineremo nel prossimo cpitolo.) R V ~ = QP 1 1 ~ = QR ~ = Q P V V c d V nimzione L ddizione e l sottrzione fr ngoli Somm di ngoli ti due ngoli consecutivi V W e Vc W, l loro somm è l ngolo Vc W, che h per lti i loro lti non comuni. Scrivimo: V W + Vc W = Vc W. Se due ngoli non sono consecutivi, ottenimo l somm con l seguente costruzione.. isegnimo i due ngoli e.. ostruimo un ngolo consecutivo d e congruente : ˆ = +. ʼ G16 = ti quttro ngoli,, c, d, per l ddizione vlgono le seguenti proprietà: 1. se, e c, d llor + c, + d, ossi somme di ngoli congruenti sono congruenti;. se e c d llor + c + d, se 1 e c 1 d llor + c 1 + d, ossi somme di ngoli disuguli nello stesso senso sono disuguli nello stesso senso. ifferenz di ngoli ti gli ngoli e (con o, ), l differenz fr e è l ngolo che, ddizionto, dà come somm. Scrivimo: - = c. ti quttro ngoli,, c, d, vle l seguente proprietà: se, e c, d (con c), llor -c, - d, ossi differenze di ngoli ordintmente congruenti sono congruenti. L differenz di due ngoli congruenti è l ngolo nullo.

17 Prgrfo 4. Le operzioni con i segmenti e con gli ngoli T I multipli e i sottomultipli di ngoli Per gli ngoli vlgono considerzioni nloghe quelle viste per i segmenti, m, per poter ottenere sempre i multipli, è necessrio estendere il concetto di ngolo in modo d poter ottenere ngoli mggiori di un ngolo giro. onsiderimo un ngolo V W e un verso di rotzione, per esempio quello ntiorrio, come nell figur. L ngolo può essere pensto come l insieme delle semirette che si ottengono fcendo ruotre, nel verso scelto, l semirett fino frl coincidere con. onsiderimo or tutte le semirette che si ottengono d un rotzione dell semirett, come quell dell figur : l ngolo V W ottenuto dl movimento di fino sovrpporsi dopo ver effettuto un giro completo è un ngolo mggiore di un ngolo giro. L divers e più mpi definizione di ngolo che imo esminto permette di ottenere sempre l somm di due ngoli. V V TRI SMPI onsiderti gli ngoli Y e cd Y dell figur, l ngolo Zpq, Y + cd Y esiste ed è mggiore di un ngolo giro. d c q pq ^ ~ = ^ + cd ^ ~ = ~ = p Questo modo di considerre gli ngoli permette nche di definire un multiplo di un ngolo secondo un numero n qulsisi. Si chim multiplo di un ngolo, secondo il numero nturle n 1, un ngolo che si l somm di n ngoli congruenti d. Scrivimo: = n. Se n = 1, possimo estendere l definizione, considerndo in questo cso, come multiplo di, stesso. Se n = 0, è l ngolo nullo. Nell relzione precedente possimo nche dire che è sottomultiplo di secondo il numero n (con n! 0). Scrivimo: = n oppure = n 1. Inoltre, con m numero nturle, l scrittur m 1 c = n = m` n j. m c = n (con n! 0) signific G17

18 T pitolo G1. L geometri del pino TRI isegn gli ngoli,, c tli che 1 = 4 e c =. 3 omplet:, c;, ;, c; c,. SMPI L ngolo è multiplo dell ngolo secondo n = 3. L ngolo è multiplo secondo m = del sottomultiplo secondo n = 3 dell ngolo. = 3 1 = 3 1 = 3 = 3 Vlgono inoltre i seguenti postulti. Postulto di udosso-rchimede per gli ngoli ti due ngoli, che non sino congruenti o nulli, esiste sempre un ngolo multiplo del minore che super il mggiore. Postulto di divisiilità degli ngoli to un ngolo, esiste il suo sottomultiplo secondo un qulsisi numero nturle. L isettrice di un ngolo FINIZIN L isettrice di un ngolo è l semirett uscente dl vertice che divide l ngolo in due ngoli congruenti. isettrice Vle inoltre il seguente postulto. Unicità dell isettrice Per un qulsisi ngolo esiste ed è unic l isettrice. escrivi il procedimento per ottenere con rig e compsso l seguente costruzione per trovre l isettrice di un ngolo e utilizzl con un ngolo scelto d te. (smineremo le giustificzioni delle costruzioni nei prossimi cpitoli.) 1 V V ~ = V ~ = c Video G18

19 Prgrfo 4. Le operzioni con i segmenti e con gli ngoli T ngoli retti, cuti, ottusi FINIZIN Un ngolo che si: metà di un ngolo pitto è un ngolo retto; minore di un ngolo retto è un ngolo cuto; mggiore di un ngolo retto e minore di un ngolo pitto è ottuso. TRI = π < π > π ngolo retto ngolo cuto ngolo ottuso Indicheremo l ngolo retto con r. Poiché tutti gli ngoli pitti sono congruenti, nche tutti gli ngoli retti sono congruenti fr loro. Inoltre, possimo vedere l ngolo giro come il doppio di un ngolo pitto e quindi lo indichimo con r. imostr che tutti gli ngoli retti sono congruenti. ue ngoli sono supplementri se l loro somm è un ngolo pitto. ue ngoli sono complementri se l loro somm è un ngolo retto. ue ngoli sono esplementri se l loro somm è un ngolo giro. e supplementri + = π e complementri + = π e esplementri + = π ngoli complementri di uno stesso ngolo TRM Se due ngoli sono complementri di uno stesso ngolo, o di ngoli ordintmente congruenti, llor sono congruenti. r r Ipotesi 1. + c, ;. + c, ; Tesi,. IMSTRZIN r r Per l ipotesi 1: + c,, d cui, r r Per l ipotesi : + c,, d cui, - c. - c. Poiché tutti gli ngoli retti sono congruenti fr loro e differenze di ngoli ordintmente congruenti sono congruenti, si deduce che,. G19

20 T pitolo G1. L geometri del pino TRI Verific con un disegno che l unione dei punti di due ngoli opposti l vertice è un figur concv. Gli ngoli opposti l vertice FINIZIN ue ngoli si dicono opposti l vertice se hnno in comune il vertice e i lti di un ngolo sono i prolungmenti dei lti dell ltro. Se due ngoli sono opposti l vertice, hnno in comune il vertice e i loro lti pprtengono lle stesse rette. Il teorem degli ngoli opposti l vertice Listen to it pposite ngles re congruent. TRM Se due ngoli sono opposti l vertice, llor sono congruenti. Ipotesi e opposti l vertice; Tesi,. IMSTRZIN. Indichimo con l ngolo. ˆ. sservimo che e sono supplementri: + π. c. sservimo che nche e sono supplementri: + π. + c, r poiché dicenti, quindi, r- c; + c, r poiché dicenti, quindi, r- c. Poiché tutti gli ngoli pitti sono congruenti fr loro e differenze di ngoli congruenti sono congruenti, si deduce che,. Nel dimostrre il teorem precedente imo nche dimostrto che ngoli supplementri dello stesso ngolo, o di ngoli congruenti, sono congruenti, utilizzndo uno schem nlogo quello del teorem degli ngoli complementri di uno stesso ngolo o di ngoli congruenti. Si può nche dimostrre che gli ngoli esplementri dello stesso ngolo o di ngoli congruenti sono congruenti. G0

21 Prgrfo 5. Lunghezze, mpiezze, misure T 5 Lunghezze, mpiezze, misure sercizi p. G4 TRI Le lunghezze e le mpiezze L relzione di congruenz fr segmenti è un relzione di equivlenz. Possimo llor dividere l insieme dei segmenti in clssi di equivlenz, ognun contenente tutti i segmenti fr loro congruenti. gni clsse di equivlenz indic un proprietà comune i segmenti che le pprtengono: l lunghezz. FINIZIN L lunghezz di un segmento è l clsse di equivlenz, dell relzione di congruenz fr segmenti, cui pprtiene il segmento. ue segmenti congruenti hnno lunghezz ugule. Indichimo un lunghezz con un letter minuscol (,, c, ) o precisndo gli estremi di un segmento che i quell lunghezz (, PQ, F, ). Le lunghezze si possono confrontre, sommre e sottrrre riferendosi i segmenti reltivi. FINIZIN L distnz fr due punti è l lunghezz del segmento che congiunge i due punti. Qunto detto per segmenti e lunghezze può essere ripetuto per ngoli e mpiezze. P ~ = stess lunghezz distnz fr P e Q Q FINIZIN L mpiezz di un ngolo è l clsse di equivlenz, dell relzione di congruenz fr ngoli, cui pprtiene l ngolo. ue ngoli congruenti hnno mpiezz ugule. Indichimo le mpiezze come gli ngoli ( V, Y,, ). ~ = stess mpiezz Le misure Per misurre l lunghezz di un segmento PQ, fissimo l lunghezz di un ltro m m segmento, non nullo, come unità di misur: se PQ = n, con n numero m rzionle positivo o nullo, dicimo che n è l misur dell lunghezz di PQ rispetto d e che le lunghezze PQ e sono commensurili. PQ m Possimo scrivere l uguglinz come rpporto = n e dire che il rpporto fr m le lunghezze PQ e è n. Indichimo le misure con simoli come PQ,,, Le misure sono dei numeri, quindi questi simoli non vnno confusi con PQ,,,, che indicno segmenti o lunghezze. G1

22 T pitolo G1. L geometri del pino TRI SMPI Se considerimo i segmenti dell figur e prendimo come unità di misur l lunghezz di, indicndol con u: PQ = 3 4 Q PQ PQ = 4 3 = 4 3 u " = 4 3 ; PQ = 4 3. P u In un tringolo rettngolo il cteto è 4 3 del cteto e l loro somm è 35 cm. Qul è l lunghezz in centimetri dell ipotenus? Qunto misur rispetto d? i solito utilizzimo come unità di misur per le lunghezze il metro (m) e i suoi multipli o sottomultipli. Per esempio, il centimetro (cm) è il sottomultiplo del metro rispetto 100. Il concetto di misur può essere esteso nche l cso di lunghezze incommensurili, tli cioè che l misur di un rispetto ll ltr non è un numero rzionle. In questo cso l misur è un numero rele di cui, nei prolemi, si può utilizzre un vlore pprossimto. SMPI lcolimo l misur di, spendo che è un tringolo rettngolo e che = 3 e = 4. pplichimo il teorem di Pitgor: - = - = 4-3 = 7 6,. 3 4 nimzione? etermin le mpiezze di due ngoli spendo che l loro differenz è 30 e l loro somm è 66. Qul è l misur dell mpiezz del minore rispetto quell del mggiore? Per le misure delle mpiezze degli ngoli vlgono considerzioni nloghe quelle viste per le lunghezze e le loro misure. m m Se e sono le mpiezze di due ngoli e = n, con n numero rzionle positivo o nullo, dicimo che n è l misur di rispetto m. Indichimo l misur dell mpiezz di un ngolo ncor con. Utilizzimo come unità di misur delle mpiezze degli ngoli il grdo sessgesimle, sottomultiplo rispetto 360 dell ngolo giro. Un ngolo pitto h mpiezz 180, un ngolo retto MTMTI INTRN NI Senz ussol sistono vrie tecniche di orientmento per riconoscere l propri posizione nche in un luogo inesplorto e forse quell più comune è l uso dell ussol. Non sempre però si h disposizione questo strumento. Riusciresti trovre il Nord usndo solo un comune orologio d polso e il Sole? L rispost G

23 In sintesi T IN SINTSI L geometri del pino TRI ggetti geometrici e proprietà Un figur geometric è un qulsisi insieme di punti. Lo spzio è l insieme di tutti i punti. Fr le proprietà geometriche, lcune sono espresse medinte postulti: proprietà che ccettimo come vere. Le ltre sono descritte d teoremi, ossi proposizioni che devono essere dimostrte. I postulti di pprtenenz e d ordine Postulti di pprtenenz 1. un rett pprtengono lmeno due punti distinti e un pino lmeno tre punti distinti non llineti.. ue punti distinti pprtengono un rett e un sol. 3. Tre punti distinti e non llineti pprtengono un pino e uno solo. 4. onsidert un rett su un pino, c è lmeno un punto del pino che non pprtiene ll rett. 5. Se un rett pss per due punti di un pino, llor pprtiene l pino. Postulti d ordine 1. Se e sono due punti distinti di un rett, o precede, o precede.. Se precede e precede, llor precede. 3. Preso un punto su un rett, c è lmeno un punto che precede e uno che segue. 4. Presi due punti e su un rett, con che precede, c è lmeno un punto dell rett che segue e precede. Gli enti fondmentli t un rett orientt e un suo punto, sono semirette: l insieme formto d e d tutti i punti che lo precedono; l insieme formto d e d tutti i punti che lo seguono. t un rett orientt e i suoi punti e, con che precede, il segmento è l insieme dei punti dell rett formto d, d e di punti che seguono e precedono. ue segmenti sono: consecutivi se hnno in comune solo un estremo; dicenti se sono consecutivi e pprtengono ll stess rett. segmento F estremi segmenti consecutivi G P Q R segmenti dicenti t un rett r di un pino, un semipino di origine r è l insieme dei punti di r e di uno dei due insiemi in cui il pino è diviso d r. In un figur convess, presi due punti qulsisi, il segmento che li congiunge è contenuto tutto nell figur. In un figur concv quest proprietà non è ver per lmeno due punti. Un ngolo è ciscun delle due prti di pino individute d due semirette venti l stess origine, incluse le due semirette. ue ngoli sono: consecutivi se hnno in comune il vertice e un lto e gicciono d prti opposte rispetto l lto in comune; dicenti se sono consecutivi e i lti non comuni pprtengono ll stess rett. lti V vertice ngolo V ˆ ngoli consecutivi P ngoli dicenti Un ngolo è pitto qundo i suoi lti pprtengono ll stess rett. L ngolo giro è l ngolo che coincide con l intero pino. ue figure sono congruenti se sono sovrpponiili medinte un movimento rigido. G3

24 T pitolo G1. L geometri del pino TRI ti nel pino i punti e, l circonferenz di centro e rggio è l insieme dei punti del pino che hnno d distnz ugule quell di. L insieme dei punti di un circonferenz e dei suoi punti interni si chim cerchio. Un poligono è l insieme dei punti di un poligonle chius e non intreccit e di tutti i suoi punti interni. Un poligono con tutti i lti congruenti è equiltero, con tutti gli ngoli congruenti è equingolo. Un poligono è regolre se è equiltero ed equingolo. Le operzioni con i segmenti e con gli ngoli Per i segmenti è possiile fre il confronto ed eseguire le operzioni di ddizione e di sottrzione. Inoltre, definimo multiplo del segmento secondo il numero nturle n il segmento : somm di n segmenti congruenti d, se n 1; ugule d, se n = 1 ; ugule l segmento nullo, se n = 0. Scrivimo: = n. Se n! 0, possimo nche dire che è sottomultiplo di e scrivimo = n. = 3 = 3 Il punto medio di un segmento è il punto che lo divide in due segmenti congruenti. nche per gli ngoli è possiile fre il confronto, eseguire le operzioni di ddizione e di sottrzione, definire multipli e sottomultipli. L isettrice di un ngolo è l semirett uscente dl vertice che divide l ngolo in due ngoli congruenti. Un ngolo retto è l metà di un ngolo pitto. Un ngolo cuto è minore di un ngolo retto. Un ngolo ottuso è mggiore di un ngolo retto e minore di un ngolo pitto. ue ngoli sono: complementri se l loro somm è un ngolo retto; supplementri se l loro somm è un ngolo pitto; esplementri se l loro somm è un ngolo giro. Teorem. Se due ngoli sono complementri di uno stesso ngolo, llor sono congruenti. ue ngoli sono opposti l vertice se hnno in comune il vertice e i lti di un ngolo sono i prolungmenti dei lti dell ltro. Teorem. Se due ngoli sono opposti l vertice, llor sono congruenti. V ~ = Lunghezze, mpiezze, misure L lunghezz di un segmento è l clsse di equivlenz, dell relzione di congruenz fr segmenti, cui pprtiene il segmento. L distnz fr due punti è l lunghezz del segmento che congiunge i due punti. L mpiezz di un ngolo è l clsse di equivlenz, dell relzione di congruenz fr ngoli, cui pprtiene l ngolo. Per misurre l lunghezz di un segmento PQ, fissimo l lunghezz di un ltro segmento, m non nullo, come unità di misur: se PQ = n, m con n numero rzionle positivo o nullo, dicimo che n m è l misur dell lunghezz di PQ rispetto d e che le lunghezze PQ e sono commensurili. Per misurre l mpiezz di un ngolo fissimo l mpiezz x di un ngolo, non nullo, come unità di misur. m m Se = n, con n numero rzionle positivo m o nullo, dicimo che n è l misur di rispetto. G4

25 Prgrfo. I postulti di pprtenenz e d ordine PITL G1 SRIZI SRIZI 1 Teori p. G ggetti geometrici e proprietà 1 VR FLS?. Un ente geometrico primitivo non viene definito. V F. Un punto è un figur geometric. V F c. Un teorem è un proposizione che si deduce di postulti. V F d. Postulti e teoremi sono enunciti ccettti come veri. V F TST Qule tr i seguenti è il teorem inverso del seguente: «Il prodotto di due numeri nturli pri se lmeno uno dei due fttori pri»? 3 4 Trsform nell form «Se..., llor...» i seguenti enunciti.. «gni corpo non vincolto cde verso il centro dell Terr.». «Immergendo un corpo cldo in cqu fredd, ess si riscld.» c. «Un pllin lncit verso l lto ricde terr.» d. «Toccndo il fuoco, ci si ruci.» Scrivi di finco ogni enuncito se è un definizione o un proprietà. Il prodotto di due numeri nturli pri è un numero pri. Se il prodotto di due numeri nturli è pri, llor lmeno uno dei due fttori è dispri. Se il prodotto di due numeri nturli è pri, llor lmeno uno dei due fttori è pri. Il prodotto di due numeri nturli è dispri se i due fttori sono entrmi dispri.. «zimut è l ngolo compreso tr il circolo verticle di un stro e il meridino del luogo di osservzione.». «Il cielo è zzurro.» c. «Il poliuretno è un mteri plstic ust per le fire sintetiche e nell preprzione di vernici e desivi.» Teori p. G4 I postulti di pprtenenz e d ordine I postulti di pprtenenz 5 VR FLS?. Tre punti distinti definiscono sempre un pino. V F. siste un solo pino che pss per due punti. V F c. Per due punti distinti pssno un sol rett e un solo pino. V F d. siste sempre un solo pino che pss per un rett e per un punto che non pprtiene ll rett. V F Utilizz gli ssiomi di pprtenenz per giustificre le seguenti ffermzioni Tre punti non llineti individuno tre rette distinte. Un rett è un sottoinsieme proprio del pino. ue rette distinte che si intersecno in un punto pprtengono llo stesso pino. G5

26 pitolo G1. L geometri del pino SRIZI 9 URK! Uno strno pino Si P = {,, c, d, e} un insieme qulsisi di cinque elementi distinti. Si R = {{ x, y} x, y! P, x! y} l insieme di tutti i sottoinsiemi di P formti d due elementi distinti di P. etto «pino» l insieme P, detti «punti» i suoi elementi e detti «rette» gli elementi di R, possono pensrsi vlidi senz contrddizioni i primi tre postulti di pprtenenz dell geometri del pino euclideo? Qunte sono le «rette» in questo modello di «pino»? [sì; 10] PPRFNIMNT Punti, rette e postulti L figur rppresent un modello in cui il pino è costituito d quttro punti disegnti in rosso e le rette sono le linee chiuse in lu. Scrivi quli postulti di pprtenenz dell rett sono vlidi per questo modello. Risoluzione - 6 esercizi in pi. I postulti d ordine 10 VR FLS? onsider l seguente figur e scrivi di finco ogni ffermzione se è ver o fls (il verso di percorrenz dell rett è indicto dll frecci). 11 MPLT le seguenti frsi, stilendo l ordine fr i punti indicti: specific se un punto precede o segue un ltro punto (il verso di percorrenz dell rett in figur è indicto dll frecci).. precede. V F. precede. V F c. segue. V F d. precede. V F e. segue. V F f. segue. V F ; ; ; ; segue ; ; precede ; precede. 1 FI UN SMPI Indic su quli delle seguenti figure è possiile definire un relzione d ordine e, qundo non è possiile, mostr un esempio che giustifichi l tu rispost. 13 Rppresent su un rett orientt i punti,,,,, F in modo che: preced F m non ; segu e preced ; segu m non preced né F né. G6

27 Prgrfo 3. Gli enti fondmentli Giustific medinte i postulti di pprtenenz e d ordine le seguenti ffermzioni, iutndoti con un disegno ue rette distinte hnno l più un solo punto in comune. gni pino contiene infiniti punti. gni pino contiene infinite rette SMPI IGITL Per un punto di un pino pssno infinite rette. te due rette, esiste lmeno un punto che non pprtiene nessun delle due. SRIZI 3 Teori p. G6 Gli enti fondmentli Semirette, segmenti e poligonli 19 VR FLS?. ue segmenti dicenti sono nche consecutivi. V F. ue segmenti consecutivi sono nche dicenti. V F VR FLS? onsider l figur c. L intersezione del segmento con il segmento è. V F d. L intersezione dell semirett, di origine, con l semirett, di origine, è. V F. e sono punti interni del segmento. V F. e sono segmenti dicenti. V F c. e sono segmenti consecutivi. V F e. Un poligonle intreccit non può essere chius. V F d. è un poligonle chius. V F e. e sono segmenti dicenti. V F 0 1 SPIG PRHÉ lessndro: «In un segmento ci sono infiniti punti». rlo: «llor è illimitto!». Spieg perché lessndro h rgione e rlo no. TST che or l lncett delle ore e quell dei minuti possono essere descritte come due segmenti dicenti? lle 17. lle VR FLS?. ue segmenti con un estremo in comune si dicono consecutivi. V F. ue segmenti dicenti possono vere nche più di un punto in comune. V F c. Se due segmenti consecutivi pprtengono ll stess rett, sono dicenti. V F lle 18. lle 0. d. ue segmenti che pprtengono ll stess rett si dicono dicenti. V F 4 SSI ciscun frse ll reltiv corrett scrittur simolic e per ogni ffermzione fi un possiile rppresentzione grfic. 1. Il punto non pprtiene ll rett r.. L rett intersec l rett nel punto P. 3. Il punto pprtiene l segmento. 4. L rett t intersec il pino nel punto P. 5. Le rette e non si intersecno..!. t + = { P} c. + = Q d.! e. + = { P} G7

28 pitolo G1. L geometri del pino SRIZI 5 Semipini e ngoli MPLT le scritture in riferimento ll figur, utilizzndo nche i simoli!,!, + ( e sono i due semipini di origine r)..! d. +! Q. r! Q e. r c. f. = r 6 isegn due rette in modo che l intersezione di due dei quttro semipini originti dlle rette si ncor un semipino. os puoi dire degli ltri due semipini? 7 VR FLS?. F è un figur concv. V F. F V è convesso. V F c. c è concvo. V F F d. è concvo. V F e. è convesso. V F 8 URK! onvesso è ello Quli di questi sottoinsiemi del pino sono figure convesse? I. Un esgono qulunque. II. L unione di due figure convesse. III. L intersezione di due figure convesse. I e II. I e III. II e III. I, II e III. Nessun delle risposte precedenti. (US Northern Stte University: 48 th nnul Mthemtics ontest, 001) 9 FI UN SMPI on esempi, iutndoti con un disegno, fi vedere che:. l unione di due figure convesse può essere concv;. l intersezione di due figure concve può essere convess; c. l unione di due figure concve può essere convess. 31 TST Nell figur è fls l relzione: cwd + dwe = d Wc + Wc = W c d W, Wd = d W Wc + Wd = d W Wc+ de W = Q c d e 30 TST Qule dei seguenti enunciti è flso? Un ngolo ottuso è minore di un ngolo pitto. 3 VR FLS? c Un ngolo retto è minore di un ngolo ottuso. d Un ngolo ottuso è doppio di un ngolo retto. Un ngolo ottuso è convesso. Un ngolo cuto è convesso.. L ngolo d W è un semipino. V F. W e W c sono dicenti. V F c. W e c W d sono consecutivi. V F d. W c e c W d sono consecutivi. V F G8

29 Prgrfo 3. Gli enti fondmentli 33 VR FLS?. ue ngoli consecutivi sono nche dicenti. V F. ue ngoli dicenti sono nche consecutivi. V F c. Se due ngoli hnno il vertice in comune, llor sono consecutivi. V F d. Se un ngolo h i lti coincidenti, llor è nullo. V F e. In un ngolo pitto i lti coincidono. V F 34 Scrivi tutte le coppie di ngoli consecutivi e di ngoli dicenti che vedi nell figur. δ SRIZI MTMTI STRI he cos è un ngolo? Leggi le seguenti definizioni, numerte d 8 1, trtte dgli lementi di uclide e rigurdnti il concetto di ngolo. «8. Un ngolo pino è l inclinzione reciproc di due linee in un pino le quli si incontrino e non giccino in line rett.» «9. Qundo le linee che comprendono l ngolo sono rette, l ngolo è detto rettilineo.» «10. Qundo un rett innlzt prtire d un ltr rett form con ess ngoli dicenti uguli fr loro, ciscuno dei due ngoli è retto e l rett si dice perpendicolre quell su cui è innlzt.» «11. icesi ngolo ottuso l ngolo mggiore di un ngolo retto.» «1. icesi cuto l ngolo minore di un ngolo retto.». Relizz opportune figure che illustrino nel modo secondo te più corretto e completo ciscun delle definizioni precedenti. sserv, nell definizione 8, il termine «line»: potri interpretrlo in modo molto mpio, non solo nel senso di «line rett».. Rivedi le definizioni che coinvolgono il concetto di ngolo riportte nelle pgine dell uclide ritrtto nell «Scuol d tene» di Rffello (Vticno, Stnz dell Segntur, ). teori di questo cpitolo. onfrontle con quelle trtte direttmente dgli lementi di uclide (riportte qui sopr), soffermndoti in prticolre sui termini che in esse vengono usti: nelle definizioni degli lementi trovi lcuni termini vghi e di difficile interpretzione? Risoluzione - Un esercizio in più - ttività di ricerc: ngoli, stronomi, orologi. L congruenz delle figure 35 VR FLS?. Tutti i punti sono congruenti. V F. Tutte le semirette sono congruenti. V F c. Se due figure sono uguli, llor sono congruenti. V F d. Se due figure sono congruenti, llor sono uguli. V F e. Un rett e un segmento non possono essere congruenti. V F 36 URK! he figure! Sino F 1, F e F 3 figure qulsisi del pino euclideo. Qule ffermzione tr le seguenti è fls? Se F 1 è congruente F e F è congruente F 3, llor F 1 è congruente F 3. te F 1 e F congruenti tr loro, è possiile che F + F = Q. 1 Se F 1 e F non sono congruenti tr loro, non esiste lcun figur F 3 che si congruente si F 1 si F. f. Un ngolo e un semipino non possono essere congruenti. V F t F 1, esiste lmeno un figur F del pino, congruente F 1 e tle che F + F = Q. 1 G9

30 pitolo G1. L geometri del pino SRIZI Le linee pine FI UN SMPI di curv pert intreccit, di curv semplice chius, di curv intreccit chius. isegn tu scelt cinque curve chiuse, evidenzindo con colori diversi le prti interne. 39 isegn tuo picimento tre curve chiuse. Per ogni curv, evidenzi con due colori diversi l prte intern e quell estern. ll interno di ogni curv disegn quttro segmenti e ll esterno disegn quttro rette. I poligoni VR FLS?. L insieme dei segmenti che costituiscono il ordo di un poligono è un poligonle. V F. In un poligono il numero dei lti è ugule l numero dei vertici. V F c. In un poligono il numero degli ngoli esterni è mggiore di quello degli ngoli interni. V F d. Un poligono è equiltero se e solo se è equingolo. V F e. I poligoni regolri sono convessi. V F TST Il numero delle digonli di un poligono con n lti: è sempre superiore n. può essere ugule n. è n -. è sempre un numero pri VR FLS?. Se un poligono è concvo, h lmeno un digonle estern l poligono. V F. Un qudriltero non può essere concvo. V F c. Un poligono convesso non può vere un ngolo concvo. V F d. Un esgono h 6 digonli. V F e. Se un poligono h gli ngoli congruenti, è regolre. V F etermin il numero delle digonli di un poligono di:. 10 lti; c. 1 lti;. 11 lti; d. 13 lti. Riesci, deducendolo di risultti ottenuti nell esercizio 43, determinre il numero delle digonli di un poligono di 14 lti senz pplicre l formul? 4 Teori p. G1 Le operzioni con i segmenti e con gli ngoli Il confronto di segmenti 45 VR FLS? x x x x. +, +. V F.. V F c.. V F 46 to il segmento, disegn su r con il compsso un segmento,. r r c r G30

31 Prgrfo 4. Le operzioni con i segmenti e con gli ngoli 47 MPLT Utilizzndo il compsso, confront i seguenti segmenti e inserisci l posto dei puntini uno dei tre simoli,,, 1. F GH F GH F MN GH MN MN MN F GH F G N M H SRIZI L ddizione e l sottrzione fr segmenti È vero che l somm di due segmenti si ottiene disponendo i due segmenti dti uno consecutivmente ll ltro? l somm di due ngoli? Fcendo riferimento lle figure dell esercizio 47, costruisci i segmenti somm. + MN ; F + GH ; GH + MN ; + MN ; + F ; + GH ; + GH ; F + MN. Fcendo riferimento i segmenti dell esercizio 47, costruisci i segmenti differenz. - ; - GH ; F - ; GH - MN. 51 VR FLS?. ue segmenti sono sempre sommili. V F. L differenz fr segmenti gode dell proprietà ssocitiv. V F c. Somme di segmenti non congruenti non sono congruenti. V F d. L differenz di due segmenti può essere il segmento nullo. V F TST Gli esercizi 5 e 53 si riferiscono ll figur riportt sotto. I segmenti contrssegnti con lo stesso simolo sono tr loro congruenti. 5 Il segmento somm + è congruente : +. + G FG. Il segmento - è minore di:. G - S S F S G.. G31

32 S S S S S S S S S pitolo G1. L geometri del pino SRIZI MPLT 54 I multipli e i sottomultipli di segmenti Scrivi le relzioni esistenti fr le seguenti coppie di segmenti. M F N H K S S L N N Z N N N N T = F = HK = SZ = = MN = ST = T LT = 55 omplet osservndo l figur..,., c., d. F, e. F, f., 1 3 g., 3 F 56 omplet osservndo l figur..,., c., d. F, e., f. F, 5 g., 5 3 F 57 VR FLS? x x x x 1.,. V F ,. V F c.. V F MTMTI INTRN NI lcio 5 Nicol e i suoi mici si llenno in un vecchio cmpo d clcio e decidono di rifre tutte le linee. Serve un compssoé 40 m 3 m 3 m 5 m 6 m 6 m 6 m Prolem e risoluzione. ostruzioni 58 isegn un tringolo e, utilizzndo rig e compsso, costruisci il punto medio di ognuno dei suoi lti. 60 to un segmento scelto picere, disegn i 1 segmenti congruenti, 3 e isegn quttro segmenti consecutivi m non dicenti tli che l somm dei primi due si congruente ll differenz tr il doppio del terzo e l metà del qurto. 61 isegn due segmenti dicenti e di ognuno determin il punto medio utilizzndo rig e compsso. G3

33 Prgrfo 4. Le operzioni con i segmenti e con gli ngoli 6 isegn sull stess rett tre segmenti, e F tli che si il punto medio del segmento, si il punto medio del segmento F e vlg F, 3. sprimi come multiplo del segmento. 63 Spendo che l differenz di due segmenti e è congruente ll somm tr i 3 di e 6 1 di, determin secondo qule numero n è multiplo di. isegn poi i due segmenti e trovti e verific grficmente l relzione del testo. SRIZI Il confronto di ngoli 64 MPLT le relzioni confrontndo gli ngoli in figur. 1 ~ d + = + c = c ~ ~ ~ - c = d- = δ ω 65 MPLT Utilizzndo rig e compsso, confront gli ngoli illustrti e scrivi le relzioni esistenti fr essi medinte i simoli,,, 1. δ 66 L ddizione e l sottrzione fr ngoli L somm di due ngoli cuti è sempre un ngolo cuto? È sempre un ngolo convesso? ostruzioni con rig e compsso In ognun delle seguenti situzioni esegui, se possiile, le operzioni richieste ;.. + ;. c. ;. d. + ; ; ; +.. ; + ;. c. ; ; +. d. + ; ; +. G33

34 pitolo G1. L geometri del pino SRIZI Fcendo riferimento gli ngoli dell esercizio 65, costruisci gli ngoli somm. + ; + c; + d; + c; + d; c+ d. Fcendo riferimento gli ngoli dell esercizio 65, costruisci gli ngoli differenz. - ; - c; - c; - d; - d; c- d isegn due ngoli, uno minore e uno mggiore di un ngolo pitto e con rig e compsso costruisci un ngolo congruente ognuno dei due. isegn due ngoli in modo che l loro somm si un ngolo pitto e che l loro differenz si congruente uno dei due isegn tre ngoli con il vertice in comune in modo che l loro somm si un ngolo giro e che l differenz tr il primo e il terzo ngolo si congruente l secondo ngolo. isegn tre ngoli,, c in modo che si verifict l relzione + ( - c) 1. I multipli e i sottomultipli di ngoli MPLT scrivendo le relzioni esistenti fr le seguenti coppie di ngoli MPLT osservndo l figur. d c e 80 VR FLS? d c f V g. V Wc, VW. V Wc, VW e c. f VW g, d. d V W c, V Wc e. W Vf- evwf, 6 f. f VW 1 g, 4.,. V F. +, 1 3 d W. V F c. + c. V F d. 1 d - e. 3 d W, + c. V F W V F G34

35 Prgrfo 4. Le operzioni con i segmenti e con gli ngoli 81 8 L isettrice di un ngolo isegn due ngoli, uno mggiore e uno minore di un ngolo pitto e per ognuno costruisci l isettrice, utilizzndo rig e compsso. VR FLS? ll figur deducimo che:. W, dc W. V F. c è isettrice di d W. V F c. c è isettrice di W e. V F d. W - d W è l ngolo nullo. V F e. d W 1, e W. V F e d c SRIZI 83 Le definizioni reltive gli ngoli isegn un ngolo cuto e un suo complementre, un ngolo retto e un suo supplementre, un ngolo ottuso e un suo supplementre. 84 VR FLS?. L differenz fr due ngoli cuti è sempre un ngolo cuto. V F. volte due ngoli cuti sono complementri. V F c. volte due ngoli ottusi sono supplementri. V F d. L somm di due ngoli cuti è sempre un ngolo cuto. V F e. Se due ngoli sono supplementri, uno è cuto e uno è ottuso. V F 85 VR FLS? Rispondi osservndo l figur.. è complementre di c. V F. c, f. V F c. è supplementre di d. V F d. {, d. V F δ ε φ e. d è complementre di. V F 86 Per ogni figur scrivi il termine reltivo ll ngolo considerto, scegliendolo fr i seguenti (più termini possono essere vlidi per l stess figur): giro, retto, cuto, ottuso, convesso, concvo, ngoli dicenti, ngoli consecutivi, ngoli complementri, ngoli supplementri. c d e f g h G35

36 X X X X pitolo G1. L geometri del pino SRIZI 87 Per ogni ngolo indicto disegn un suo supplementre. 88 Per ogni ngolo indicto disegn, se possiile, un suo complementre. 89 MPLT i finco ogni coppi di ngoli scrivi se essi sono dicenti, consecutivi, supplementri o complementri., cd, l, l δ +, l+ l δ dl, l + d, + l 90 isegn un ngolo cuto, un ngolo retto e un ngolo ottuso. Per ognuno degli ngoli disegn un ngolo dicente esso e un ngolo consecutivo m non dicente. Figure e dimostrzioni ll figur ll su descrizione 91 SRIZI GUI opo ver osservto l figur, cerchimo di descriverl in modo che ess poss essere riprodott d un person che non l vede. Per descrivere quest figur è necessrio specificre che: c è un segmento ; il punto non pprtiene ll rett ; il punto st sul segmento e è l qurt prte di ; sono trcciti i segmenti e, che risultno consecutivi e non dicenti. 1 In modo sintetico possimo scrivere:! ; = 4. e sono segmenti consecutivi non dicenti. Queste informzioni sono sufficienti per riprodurre non un figur identic ll precedente, m un figur che i tutte le proprietˆ che ci interessno. G36

37 Figure e dimostrzioni Negli esercizi seguenti, per ogni figur propost descrivi le proprietà presenti, in modo che poss essere riprodott d un tuo compgno che non l vede. 9 FG 93 c 94 SRIZI Q P S S S l testo ll figur 95 SRIZI GUI Tenendo presente l descrizione simolic, disegnimo l figur corrispondente:,,, sono segmenti;! ; W 1 = r. Le informzioni permettono di dire che l figur è compost d quttro segmenti consecutivi, di cui gli ultimi due formno un ngolo retto. L estremo del terzo segmento st su. Poiché non è specificto che,, il punto non si deve scegliere in modo prticolre, ossi non deve essere il punto medio di. llo stesso modo il segmento non deve essere dicente d. Le figure e, pur soddisfcendo le condizioni poste, non sono ccettili in qunto sono presenti delle proprietà in più rispetto quelle descritte. L figur richiest è l c. N N Sí c H S NN VI FR In generle, qundo si deve trdurre in rppresentzione grfic un testo ftto di prole o di simoli, è ene non disegnre mi i csi prticolri, meno che non sino proprio quelli richiesti. sempi:. «isegn un punto P sul segmento.». «isegn un semirett intern ll ngolo.» ^ c. «isegn un ngolo.» ^ SÌ P c SÌ SÌ X P N X Il punto P non deve essere il punto medio di. c N L semirett non deve essere l isettrice dell ngolo. L ngolo non deve essere prticolre, per esempio non deve essere retto o pitto. N N G37

38 pitolo G1. L geometri del pino SRIZI Negli esercizi seguenti, per ogni descrizione, disegn l figur corrispondente ,,, sono segmenti;! ;,. è un segmento;,!, = 4 ; W 1 = 4 r. W + c W + cd W = r; W 1 = d W. W, c W, cd W,! c; d non è intern d c W. Teoremi sui segmenti 100 SRIZI GUI Sull rett r disegnimo, nell ordine, tre punti, e, e il punto medio M di. imostrimo che: - M =. isegnimo l figur: Per l proprietà simmetric dell congruenz: r M - M =. Scrivimo l ipotesi e l tesi: Ipotesi 1.,,, M! r;. M, M; - Tesi M =. Scrivimo l dimostrzione, giustificndo ogni pssggio. imostrzione Per l definizione di somm di segmenti: = + M + M. Per l ipotesi : = + M + M. Per l definizione di multiplo di un segmento: = + M. Per l prim legge di monotoni: - = - + M - = M. Per l second legge di monotoni: - = M. Scrivimo un second dimostrzione. imostrzione lterntiv Invece di dimostrre l tesi richiest, per l definizione di multiplo e sottomultiplo di un segmento, è equivlente dimostrre l seguente tesi: Tesi - = M. sservimo che: - = per l definizione di differenz fr segmenti; = M + M per l definizione di somm fr segmenti. ll ipotesi deducimo: = M + M e, per l definizione di multiplo di un segmento, vle che: = M. ll prim relzione concludimo che: - = = M. G38

39 Figure e dimostrzioni 101 SMPI IGITL Il segmento è diviso dl punto medio in due segmenti e. Sino M e N i punti medi di questi segmenti. imostr che MN, M + N. 110 onsider su un rett orientt il segmento PQ e si T un punto dell rett esterno PQ. imostr che il segmento che h per estremi il punto T e il punto medio del segmento PQ è congruente ll metà dell somm dei segmenti PT e QT. SRIZI isegn sull stess rett i segmenti congruenti e. imostr che nche e sono congruenti. (SUGGRIMNT evi utilizzre l proprietà secondo l qule somme di segmenti congruenti sono congruenti.) isegn due segmenti dicenti fr loro congruenti, e, e consider i loro punti medi e. imostr che = +. onsider tre segmenti dicenti,, e, con,. imostr che il punto medio M di è nche punto medio di. isegn sull stess rett i segmenti congruenti e. imostr che il punto medio di è nche punto medio di. (SUGGRIMNT evi utilizzre l proprietà secondo l qule differenze di segmenti congruenti sono congruenti.) isegn due segmenti, e, pprtenenti ll stess rett, uno interno ll ltro, in modo che ino lo stesso punto medio. imostr che i segmenti e sono congruenti. Su un rett consider, nell ordine, i punti, e in modo che si = e disegn il punto medio M di. imostr che i segmenti e M hnno lo stesso punto medio. Sull semirett disegn tre punti,,,, in modo che si,. imostr che:., ;. i segmenti e hnno lo stesso punto medio Sull semirett di origine scegli due punti, e e disegn il punto medio M di. imostr che: M = +. to un segmento e il suo punto medio M, sul segmento M fiss un punto picere. imostr che l differenz fr e è il doppio di M. isegn un segmento e il suo punto medio M. Sul segmento M fiss un punto picere e disegn il punto medio N del segmento. imostr che il doppio dell distnz fr i due punti medi è ugule ll differenz dei due segmenti e. M è il punto medio del segmento. Prolung il segmento dll prte di e sul prolungmento fiss un punto P picere. imostr che il doppio dell distnz di P d M è ugule ll somm delle distnze di P dgli estremi del segmento. isegn un segmento e, internmente esso, un segmento F. ostruisci il punto medio M di e il punto medio N di F. imostr che l distnz fr i due punti medi è ugule ll semisomm dei segmenti F ed. (SUGGRIMNT È equivlente dimostrre MN = F + ; MN = ^M+ F+ FNh. Per l proprietà distriutiv si h che...) onsider due segmenti dicenti e congruenti e, e fiss un punto P qulunque interno l segmento. etto M il punto medio del segmento P, dimostr che M, 1 ( - P). 109 onsider su un rett orientt il segmento e si P un punto interno d, più vicino che d. imostr che il segmento che h per estremi il punto P e il punto medio di è congruente ll metà dell differenz P - P. 117 Sull rett r disegn nell ordine tre punti, e tli che,. Sino M e N i punti medi rispettivmente dei segmenti e, e si P il punto medio del segmento MN. imostr che, 4MP. G39

40 pitolo G1. L geometri del pino SRIZI 118 Teoremi sugli ngoli SRIZI GUI isegnimo due ngoli, W e cd W, il secondo interno l primo, in modo che entrmi ino l stess isettrice s. imostrimo che c W, d W. isegnimo l figur, indicndo con l ngolo s W e con l l ngolo s W, con l ngolo cs W e con l l ngolo sd W, con c l ngolo c W e con cl l ngolo d W. d s c Scrivimo l ipotesi e l tesi: Ipotesi 1., l;., l; Tesi c, cl. Scrivimo l dimostrzione, spiegndo i vri pssggi. imostrzione seguendo l sottrzione fr ngoli risult che: c = - e cl = l -l. Le due sottrzioni hnno congruenti il minuendo, per l ipotesi 1, e il sottrendo, per l ipotesi, quindi c, cl, perché differenze di ngoli congruenti. 119 IMSTRZIN GUIT Sono dti due ngoli consecutivi W e c W e le rispettive isettrici s e t. W + c W imostr che: st W,. Scrivimo l ipotesi e l tesi: Ipotesi 1. s W, s W ;. t W, ; Tesi st W +,. imostrzione sprimimo gli ngoli s W e t W come sottomultipli rispettivmente di W e c W. L ngolo s W è sottomultiplo dell ngolo W secondo il numero, perciò s W 1, W. nlogmente t W 1, c W. imostrimo l tesi. L ngolo st W si può esprimere come somm degli ngoli s W e st W, s W 1 +, W + 1, ^ W + h. c, pertnto: t s G40

41 Figure e dimostrzioni ue ngoli congruenti, W e cd W, hnno in comune l ngolo c W. imostr che l isettrice s dell ngolo c W è nche isettrice dell ngolo d W. isegn tre ngoli consecutivi W, c W e cd W, di cui W e cd W sino congruenti. imostr che l isettrice di d W è nche isettrice di c W. 16 Nell ngolo W disegn l isettrice s e un semirett c estern ll ngolo dll prte di. Wc + c W imostr che cs W =. (SUGGRIMNT È equivlente dimostrre che Wc+ c W = cw s. ostruisci, dll prte di, un ngolo consecutivo quelli dti e congruente...) SRIZI imostr che, se le isettrici di due ngoli consecutivi formno fr loro un ngolo retto, llor gli ngoli sono dicenti. ue ngoli retti, W e cd W, hnno in comune l ngolo c W. imostr che c W e d W sono supplementri. ue ngoli, W e c W, sono dicenti, come indicto nell figur. imostr che le loro isettrici formno un ngolo retto. (SUGGRIMNT onsider d+ e c+ f) isegn tre semirette,,, c, in modo d formre tre ngoli congruenti. Prolung un delle tre semirette. imostr che tle prolungmento è l isettrice dell ngolo formto dlle ltre due semirette. (SUGGRIMNT Utilizz l proprietà: ngoli supplementri di ngoli congruenti sono congruenti.) Le isettrici s e t dei due ngoli consecutivi W e c W sono perpendicolri. isegn gli ngoli e dimostr che due punti qulsisi, presi rispettivmente uno su e l ltro su c, sono llineti con. 15 δ = YU & MTHS educing ngle mesures Knowing tht W nd W re right ngles, s shown in the figure, fill in the tle nd provide the missing resons in order to prove tht W, W. = c 19 onsider tre punti, e llineti, con interno l segmento. Nei due semipini opposti individuti dll rett, individu rispettivmente un punto e un punto, in modo tle che V si congruente V. imostr che i punti, ed sono llineti. MTMTI L MPUTR L geometri del pino Verifichimo l vlidità del seguente teorem usndo un softwre di geometri dinmic. «Gli ngoli opposti l vertice sono congruenti». = V = Sttement Resons = W - W given W = - W = - sercitzione guidt - 7 esercizi in pi. G41

42 pitolo G1. L geometri del pino SRIZI 130 Nell figur gli ngoli c W, ce W e d W sono retti. imostr che l ngolo pitto e W è diviso in quttro ngoli due due congruenti. (SUGGRIMNT Utilizz l proprietà: ngoli complementri di uno stesso ngolo sono...) c imostr che due ngoli W e cd W, venti lo stesso vertice e i lti = c e = d, sono congruenti o supplementri. isegn tre ngoli consecutivi, W, c W e cd W, in modo che quello centrle (c W ) si cuto e i due lterli ( W e cd W ) sino congruenti. Trcci le due isettrici s e t degli ngoli W e cd W. imostr che st W, d W. d e 5 Teori p. G1 Segmenti Lunghezze, mpiezze, misure RISLVIM UN PRLM Un segmento triprtito 1 I punti P e Q dividono il segmento in tre prti in modo che P, 3 P e Q, P. Spendo che Q = 55, cm, trov l lunghezz di e di PQ. isegnimo l figur seguendo le indiczioni del prolem. Trccimo il segmento, segnimo il punto P vicino ll estremo e il punto Q tr P e. P Q P ~ = 1 P 3 Q ~ = P = P + P, perciò doimo determinre prim l lunghezz di P e di P. lcolimo l lunghezz di P. sservimo che: Q P PQ P PQ Q, + per costruzione;, + per costruzione; Q, P per ipotesi. Quindi: Q, P " P + PQ, PQ + Q. sservndo che PQ ppre entrmi i memri e che per ipotesi Q = 55, cm, ottenimo: P, Q " P = 55, cm. lcolimo l lunghezz di P. 1 Per ipotesi P, 3 P, quindi: P, 3P. Sostituendo il vlore trovto per l lunghezz di P: P = 3$ 55, cm = 16, 5 cm. lcolimo l lunghezz di. Per costruzione, P + P, quindi: = 5, 5cm + 16, 5 cm = cm. lcolimo l lunghezz di PQ. Per costruzione PQ, -P - Q, quindi: PQ = cm -55, cm - 55, cm = 11 cm. Utilizzndo le informzioni fornite, trov le lunghezze richieste. 133 = 9 cm,, M N = 64 cm, M, 5 3 N. =? N =? M =? G4

43 Prgrfo 5. Lunghezze, mpiezze, misure ,, = 6 cm. =? 7, 4, + = 33 cm , 5 H, H - = 3 cm. =? SRIZI =? H Su un semirett orientt di origine, consider, nell ordine, i punti,,,. Spendo che,,,, + = 0 cm e che = 46 cm, determin le lunghezze dei segmenti e. [ = 18 cm; = 14 cm] Sino, e tre segmenti dicenti e M, N e i rispettivi punti medi. Spendo che M = 60 cm, MN, e = 4 cm, determin le lunghezze dei segmenti e. [33,6 cm; 8,8 cm] TST Se è il punto medio di e è il punto medio di, spendo che = 1 cm, qul è l lunghezz di? 4 cm. 1 cm. 16 cm. 3 cm. Nessun delle precedenti. (US tw ollege NTM Mthemtics ontest, 005) MTMTI INTRN NI Txi in città Un tssist lvor in un città sttunitense in cui le vie sono tutte prllele e perpendicolri, formndo un reticolo qudrettto come in figur stzione Prolem e risoluzione. pizz ngoli 141 MPLT se è possiile, inserendo le misure delle mpiezze degli ngoli indicti. ngolo omplementre Supplementre splementre TST Il tuo orologio d polso segn le 11:40. Qul è l ngolo tr l lncett delle ore e quell dei minuti? URK! omplementre e supplementre Ricv l misur di un ngolo tle che l differenz tr il suo supplementre e il doppio del suo complementre si 48. [48 ] (N John ott ollege, Finl xm, 003) G43

44 pitolo G1. L geometri del pino SRIZI 144 URK! Un ventglio di ngoli Se è l isettrice dell ngolo V e è l isettrice dell ngolo V, spendo che l misur dell ngolo V è 4, qul è l misur dell ngolo V? Nessun delle precedenti. 147 MPLT inserendo l misur.. Il complementre di = 7 è.. L qurt prte di un ngolo pitto è. c. Il supplementre di = 115 è. d. L metà dell terz prte di un ngolo pitto è (US tw ollege NTM Mthemtics ontest, 005) INVLSI 006 L lncett delle ore di un orologio è psst dlle 3 lle 1. Qul è l mpiezz dell ngolo descritto? 148 SMPI IGITL lcol le mpiezze di tre ngoli consecutivi, e c, spendo che l loro somm è un ngolo concvo che misur 90 e che e c sono entrmi supplementri di YU & MTHS Mths in nglish Trnslte the following sttements from symols to words:. V = ;. JK, Q. 149 URK! omputer vs cervello Roerto h scritto un progrmm che, dto un ngolo, ne restituisce il supplementre e un progrmm che, dto un ngolo, ne clcol il complementre. Per divertirsi, reiter 101 volte consecutivmente il progrmm prtendo d un ngolo di 30 (pplic ogni volt il progrmm l risultto ottenuto dll ppliczione precedente). Infine, l risultto ottenuto pplic un volt il progrmm. he output vrà? 150 sservndo le figure, determin le misure degli ngoli incogniti x 3x 18 c x 151 L mpiezz dell somm di due ngoli consecutivi è 11. Spendo che un ngolo è congruente i 4 3 dell ltro, determin le mpiezze dei due ngoli e dei loro supplementri. [64 ; 48 ; 116 ; 13 ] 15 Le semirette,, c, d hnno origine comune nel vertice e sono disposte in modo tle che si l isettrice dell ngolo c W e c si l isettrice dell ngolo d W. etermin l mpiezz dell ngolo formto dlle due isettrici, spendo che W è il complementre di cd W. [30 ] G44

45 Prgrfo 5. Lunghezze, mpiezze, misure 153 etermin le misure delle mpiezze degli ngoli,, c e d dell figur, spendo che e l sono complementri e che e d sono opposti l vertice. δ 155 YU & MTHS pposite ngles Look t the figure nd complete the sttements y filling in the missing prts.. If W = 65, then W =, since W nd W re. Q SRIZI 148. If the mesure of W Q is, then W =, since W Q nd W re. 154 etermin le misure delle mpiezze di, e d, spendo che r è isettrice di c e che e f sono opposti l vertice. 0 r δ ε INTRN NI Non tutte rettngolri... Nell ndier in fi gur è 45, 58d e è il complementre di 58. Spendo che c e d sono esplementri e che l somm di con è congruente un terzo dell differenz tr c e d, determin le mpiezze degli ngoli c,, e d. [ = 58 ; = 3 ; c = 315 ; d = 45 ] δ MTMTI INTRN NI L mpp del tesoro mill e Lorenzo trovno in soffitt un mpp del tesoro, eredità del isnonno, ppssionto esplortore. Nell mpp è illustrto come rggiungere un forziere colmo d oro e pietre preziose pprtenuto qulche pirt. Incuriositi, chiedono i nonni di iutrli cpire le origini dell mpp e soprttutto se il luogo descritto è rele e rggiungiile! I nonni però sono lontni ed è possiile sentirli solo trmite telefono.. Gurd l mpp in figur e disegn un profilo schemtico dell isol, pprossimndolo con segmenti e rchi di circonferenz.. Quli istruzioni dovrnno dre, telefonicmente, mill e Lorenzo ffinché i nonni possno ricostruire un modello schemtico dell mpp ed eventulmente riconoscere l isol? S c o g li e r MPP L TSR Pietr grigi Punte spigolose Gudo pprodo Plme velenose 4000 pssi vest Nord Sud Torre dell chive st Risoluzione - esercizi in pi. G45