Elettromagnetismo. Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano. Lezione n

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1 Eettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa Università degi tudi di Miano Lezione n Condizioni a contorno Equazione di Lapace nei dieettrici Corrente eettrica. Equazione di continuità Legge di Ohm Anno Accademico 26/27

2 Condizioni a contorno Possiamo generaizzare a condizione a contorno su D a caso in cui ne'interfaccia sia presente carica ibera La condizione precedente ( ) D nˆ + D nˆ A = D D2 = 2 2 Diventa ( ) ˆ + ˆ A = Q = σa D n D 2 n 2 f 2 La condizione per noi più interessante è 'interfaccia metao-dieettrico ineare In questo caso uno dei due materiai è un conduttore upponendo che i materiae 2 sia conduttore Ricordando che D = εe D D = σ E = P = D = εe + P = D = σ σ σ E = ε = κε ˆn ˆn 2 D 2 D Eettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 38

3 Condizioni a contorno Per quanto riguarda a componente tangenziae de campo eettrico questa è continua E = E 2 Questa condizione deriva da fatto che i campo eettrico è conservativo d = E Infatti, considerando una inea chiusa intorno a'interfaccia, come in figura d E = E 2 2 E = ( E2 E ) = E2 = E 2 Per i potenziae e condizioni diventano 2 I potenziae è continuo attraverso 'interfaccia è 'integrae di E ( r ) = ( r ) 2 La derivata de potenziae è discontinua e n è a normae aa superficie φ E = φ E ˆ n = n φ n φ εe ε2e2 ε = ε n = 2 2 Eettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 39 φ n I vettori r e r 2 variano sue superfici dei dieettrici N.B.: non ci sono cariche ibere su'interfaccia

4 Condizioni a contorno Riepiogando Ricordiamo soo e condizioni a contorno per campo eettrico e potenziae ono sufficienti per risovere i probemi Per i campo eettrico εe = ε2e2 E2 = E Per i potenziae I potenziae è continuo attraverso 'interfaccia ( r ) = ( r ) 2 I vettori r e r 2 variano sue superfici dei dieettrici a contatto La condizione sua componente normae de campo diventa ε φ 2 = ε2 n φ n Eettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 3

5 fera di dieettrico in campo uniforme Consideriamo una sfera di dieettrico posta in un campo eettrico uniforme È un probema anaogo a queo dea sfera conduttrice in campo uniforme che abbiamo affrontato in precedenza (vedi diapositiva ) Utiizziamo i metodo dea separazione dee variabii in coordinate sferiche C'è simmetria azimutae ( indipendente da φ) Quaitativamente possiamo dire che i campo eettrico poarizza i dieettrico ua superficie dea sfera compare una carica superficiae I campo uniforme è distorto I campo rimane uniforme a'infinito A'interno dea sfera i campo eettrico è dato daa somma de campo esterno e de campo generato dae cariche di poarizzazione z x = r sin θcosφ x φ θ r y y z = = r r sin θsin φ cos θ Eettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 3

6 fera di dieettrico in campo uniforme Esprimiamo i potenziae a'esterno e a'interno utiizzando a formua utiizzata per i probema dea sfera conduttrice B r Ar P (, θ) = + ( cosθ ) ( r, θ) = Cr + P ( cosθ) out + = r La seconda formua è necessaria perché adesso i campo dentro a sfera non è nuo Le condizioni a contorno sono (ε è a permittività dea sfera) A'infinito campo uniforme Potenziae continuo sua sfera D in + = r ( ) + (, θ) = (, θ) z E z out r r out in ( ) ( ) in r, θ out r, θ Discontinuità dea componente normae ε = ε n n Assumendo come ne caso dea sfera conduttrice =, a prima condizione permette di porre a zero tutti gi A escuso A = E ( P (cosθ) = cosθ ) Inotre, poiché a centro dea sfera i potenziae deve essere finito si ha che per tutti gi deve essere D = B out ( r, θ ) = Er cos θ + P ( cos ) r θ ( ) ( ) + in r, θ = C r P cosθ = Eettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 32 =

7 fera di dieettrico in campo uniforme B r E r P (, θ ) cos θ ( cos θ ) out + = r La condizione di continuità diventa L'uguagianza impica che per ogni devono essere uguai i coefficienti dei corrispondenti poinomi di Legendre P (P = cosθ) Per = = + ( r, θ ) C r P ( cosθ ) (, θ) = (, θ) r r out in in = = B ErP + P = CrP ( cosθ) ( cosθ) ( cosθ) + = r = B ErP + P = CrP 2 r C B = E + 3 r B Er + = Cr 2 r Per B P = C r P r + 2 B = C r + B r = Cr + Eettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 33

8 fera di dieettrico in campo uniforme eniamo adesso aa condizione di discontinuità Ricordiamo che sua sfera / n = / r r out = E cosθ ( + ) + 2 = r B P ( cosθ) r in (, θ) (, θ) r r ε n n in out = ε = = C r P ( cosθ ) Ancora una vota uguagiamo i coefficienti dei poinomi di Legendre deo stesso ordine Per = 2B ε ε = ε EP P 3 CP r 2B E = κ C 3 r κ = ε ε B 2 + Per ε( + ) P 2 = εr CP B + = κ r C r + Confrontiamo con a precedente equazione per B = C r + Concudiamo che Per = B = e C = Per, e due reazioni per B impicano che B = C = 2 Eettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 34

9 fera di dieettrico in campo uniforme Esaminiamo infine e due equazioni trovate per = C B = E + 3 r 2B E = κ C 3 r Eiminiamo C inserendo a prima equazione nea seconda 2B B 2B B E = + ( κ ) E = + κ 3 3 r r κe 3 κ 3 r r 3 = + B B = κ Er κ + 2 ( κ ) Er 3 ( κ 2) Per finire inseriamo i vaore trovato per B ne'equazione di C C E κ 2 E κ κ 2 = + = E κ + κ + 2 Abbiamo trovato i potenziae 3 = + C E κ 2 E 3 = κ + 2 κ 3 cosθ out ( r, θ) Er cosθ Er κ 2 2 r = + ( θ) + 3 in r, = cos 2 E r θ κ + Eettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 35

10 fera di dieettrico in campo uniforme κ 3 cosθ out ( r, θ) Er cosθ Er κ 2 2 r Cacoiamo e componenti de campo eettrico A'interno 3 Er = 3 E cosθ E κ + θ = E 2 sin θ κ + 2 = + ( θ) + 3 E = E Campo uniforme κ + 2 A'esterno κ 3 cosθ Er = Ecosθ + 2 Er κ r E 3 sin θ = E κ sin 2 E r θ θ + κ + 3 r ua superficie dea sfera κ E r 2 3κ = + E cosθ κ + 2 = cos 2 E θ κ + E θ κ = E sinθ κ = κ + sin 2 E θ 3 in r, = cos 2 E r θ κ + ˆ ˆ = ˆr + θ + φ r r θ r sin θ φ Componente tangenziae continua Eettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 36

11 Corrente eettrica Cominciamo a studiare situazioni in cui e cariche sono in movimento Per i momento ci imiteremo a movimenti "reativamente enti" eocità piccoe rispetto aa veocità dea uce Prima di iniziare a formuare e differenze nee forze fra e cariche introduciamo una serie di nuovi concetti necessari per descrivere e cariche in movimento Un moto ordinato di portatori di carica costituisce una corrente eettrica L'espressione "portatori di carica" è da intendere in un senso moto generae Possono essere eettroni o ioni Può essere materia "carica", ad esempio goccioine d'acqua ne'atmosfera In un fio di materiae conduttore a corrente eettrica è definita come a quantità di carica che attraversa a sezione de fio ne'unità di tempo La corrente ha un segno: positiva se e cariche positive seguono a freccia upponendo che in un tempo Δt a carica ΔQ ne I ciindretto bu attraversi a sezione de fio (giaa) ΔQ dq I = im = Δ t Δt dt Ne istema Internazionae 'unità di misura dea corrente è 'Ampere (A) Couomb A = sec Eettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 37

12 Correnti eettrica È importante i fusso netto di carica Definiamo i senso positivo dea corrente La carica rossa (positiva) contribuisce con segno + La carica bu (negativa) contribuisce con segno + I Anaogamente un atomo o moecoa neutri non contribuiscono aa corrente nonostante trasportino carica La carica rossa (positiva) contribuisce con segno + La carica bu (negativa) contribuisce con segno I La corrente non deve necessariamente essere definita a'interno di un fio conduttore Per una definizione più generae occorre a densità di corrente Abbiamo già utiizzato questo concetto discutendo i fusso (diapo 32 8 ) Avevamo discusso i fusso di materia Avevamo definito i vettore densità di corrente J = ρ v Avevamo visto che a quantità di materia che attraversa un superficie ne'unità di tempo era data da φ = J nˆ Eettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 38

13 Densità di corrente Consideriamo una situazione in cui e cariche siano tutte deo stesso segno, uguai e che si muovono tutte con a stessa veocità u La densità dee cariche è n (numero per unità di voume) La corrente eettrica è definita come a quantità di carica che attraversa a superficie nea unità di tempo La carica che attraversa a superficie è quea contenuta ne prisma obiquo definito daa superficie e da ato di unghezza u Δt I voume de prisma è Δ = uδtcosθ Possiamo riscrivero utiizzando i vettori veocità e normae aa superficie Δ = u nˆ Δt Abbiamo pertanto ΔQ Δ Q = qnδ= nq u nˆ Δt I = = nq u nˆ Δ t J = nq u Eettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 39

14 Densità di corrente Naturamente a situazione in cui tutte e veocità sono uguai è un caso moto particoare Ne caso generae avremo n particee con veocità u che contribuiscono n k particee con veocità u k che contribuiscono La corrente totae è a somma dee correnti I Ik = q n u = qknk uk I = I + + I + + I k N ˆ n ( ) = qn + + qn + + q n u ˆ k kuk N NuN n nˆ Definiamo i vettore densità di corrente J = qnu + + qn u + + q n u k k k N N N Le sue dimensioni sono: [ J ] = Q L 2 T (C m 2 s ) Utiizzando i vettore J a corrente è I = J nˆ J N = qn k = u k k k peciaizziamo J a caso in cui i portatori di carica siano eettroni: q k = e J N = qn k = u k k k N = e n u k = k k Eettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 32

15 Densità di corrente Definiamo infine La densità totae di eettroni, indipendente daa veocità La veocità media degi eettroni J Otteniamo a seguente espressione per a densità di corrente n e Notiamo che en e rappresentata a densità di carica ρ e degi eettroni Utiizzando ρ e k = k = Avevamo già incontrato una formua simie quando abbiamo definito a densità di corrente per i fusso di fuido N = e n u J N k = n k u k N n u k k n e k = = = en e u J = ρ e u Eettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 32

16 Densità di corrente Quando pariamo di conduttori o di sistemi macroscopici aora anche e grandezze che abbiamo definito e utiizzato vanno intese in senso macroscopico ono dee medie su voumi dv infinitesimi su scaa macroscopica oumi grandi su scaa microscopica In questo caso interpretiamo a formua J = en e u n e è a densità media degi eettroni ne voume dv u è a veocità media degi eettroni ne voume dv ia a veocità media che a densità media possono essere funzione dea posizione e de tempo In questo caso anche J è una funzione dea posizione e de tempo J(r,t) La corrente attraverso una superficie arbitraria (eventuamente ideae, a'interno di un conduttore) è data da (attenzione ai segni) I = J n ˆda e J non dipende da tempo si para di correnti stazionarie (steady) Le cariche si muovono ma e proprietà de fusso non variano ne tempo dv Eettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 322

17 Conservazione dea carica upponiamo adesso di avere una superficie chiusa che deimita un voume In una regione in cui è presente una densità di corrente J Cacoiamo i fusso di J J n ˆda L'integrae rappresenta a quantità di carica che fuisce ne'unità di tempo attraverso a superficie J n ˆda e dq/dt significa che a carica si accumua o fuoriesce da voume attraversando a superficie In una situazione stazionaria a derivata è nua J n ˆda = Da teorema dea divergenza, facendo tendere a zero i voume chiuso da J n ˆda = = Jdv = J = dq = dt La normae è verso 'esterno La carica è a'interno Divergenza nua significa che a carica né si crea né si distrugge dentro Eettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 323

18 Conservazione dea carica Consideriamo adesso un caso non necessariamente stazionario Dentro i voume deimitato da ci sarà una densità di carica ρ(r,t) La carica a'interno sarà data da'integrae di voume dq = ˆda dt J n ( ) = ρ ( r, ) Q t t dv Ne caso non stazionario Q (t) può variare ne tempo Inotre dq dt Per finire abbiamo visto che ρ r J = t = = Jdv (,t ) ( r, t ) Eettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 324 ρ t dv Jdv Da cui discende 'importantissima equazione di continuità = ρ ( r, t ) t È una egge di conservazione ocae ia in forma differenziae che integrae dv

19 Conduzione eettrica Fino ad ora abbiamo considerato un dato di fatto i movimento dei portatori di carica In reatà è necessaria una forza perché si muovano Ad esempio a forza di gravità o gradienti di pressione ne'atmosfera fanno muovere gocce d'acqua cariche Un atro esempio piò essere a cinghia de generatore an de Graaff Le studieremo in seguito: forze eettromotrici Per i momento consideriamo a forza più ovvia per mettere in moto cariche eettriche: un campo eettrico ottoineiamo che si tratta ancora di campi eettrostatici e quindi di campi conservativi In presenza di un campo eettrico E Le cariche positive si muovono nea direzione de campo Le cariche negative si muovono nea direzione opposta La densità di corrente dipende da campo eettrico Per un gran numero di sostanze a reazione fra J ed E è moto sempice La costante σ è a conduttività J = σe Eettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 325

20 Conduzione eettrica Pertanto se consideriamo un fio conduttore A'interno de conduttore è presente un campo u eettrico che mette in moto e cariche J = nqu A questo punto occorre porsi una domanda Come mai c'è un campo eettrico a'interno J = σe de conduttore La risposta risiede ne fatto che a condizione non è statica In particoare deve esistere un meccanismo che agi estremi de fio Rimuove a carica che arriva per effetto dea conduzione Fornisce nuova carica per aimentare a conduzione Ancora una vota, una forza eettromotrice di natura non eettrostatica In caso contrario si arriverebbe ad una condizione di accumuo di carica agi estremi Positiva in ato, negativa in basso Apparirebbe un campo eettrico che si opporrebbe a movimento fino ad arrestaro i giungerebbe ad un equiibrio con campo eettrico nuo tazionario non significa statico Tuttavia i campo eettrico è eettrostatico E Eettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 326

21 Legge di Ohm Le dimensioni dea conduttività sono [ σ ] = Q 2 M L 3 T (C Kg m 3 s) Una unità che si adopera di soito è (ohm-m) Come ne caso dea densità di poarizzazione a reazione fra J e E può essere più compicata Può essere non ineare: a conduttività dipende da campo σ(e) I mezzo può essere non isotropo Considereremo soo mezzi ineari e isotropi per i quai vae J = σ E i ij j j J = σe La egge enunciata prende i nome di egge di Ohm I materiai per i quai vae (ineari, isotropi) sono detti "ohmici" Nee appicazione tecnoogiche non risuta comodo utiizzare a densità di corrente e i campo eettrico i preferisce utiizzare correnti e differenze di potenziae (tensioni) Ad esempio nei circuiti eettronici Eettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 327

22 Legge di Ohm Per passare aa corrente e aa tensione occorre cacoare L'integrae di J su una superficie L'integrae di E ungo una inea Consideriamo ad esempio un conduttore La differenza di potenziae fra i suoi estremi φ 2 La corrente che fuisce ne conduttore I φ i definisce a resistenza de conduttore i usa spesso a resistività La resistività si misura in ohm-m La resistenza in ohm (Ω) L = φ E d = φ EL 2 = J n ˆda = φ EL E = L Eettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 328 φ = σ E n ˆda = σe = σ L L R = σ L ρ = R = ρ σ I E J L = σe = Ω 3 KΩ 6 MΩ φ 2 L = I σ RI

23 Legge di Ohm Ne ricavare e formue dea pagina precedente si sono fatte acune assunzioni La densità di corrente J è uniforme sua sezione de conduttore e J variasse sua sezione (es. J e J 2 ) i campo eettrico sarebbe differente ungo e due inee e non potremmo definire un'unica differenza di potenziae Anaogamente abbiamo supposto che J fosse uniforme ungo a unghezza de conduttore In reatà si potrebbero avere condizioni come quee indicate nee figure La formua per a resistenza dipende da questi dettagi Funziona se questi dettagi sono trascurabii Infine vae a pena sottoineare che ipotizziamo anche che esista una netta separazione fra i mezzo conduttore e 'ambiente circostante ignifica che possiamo appicare e considerazioni fatte anche a conduttori (resistenze) di forme arbitrarie J J 2 J = σe Eettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 329

24 Legge di Ohm Abbiamo sempre supposto che σ sia costante e che i mezzo fosse omogeneo, caratterizzato da un'unica conduttività In una condizione di stazionarietà questo impica che non ci sono densità di carica ne materiae ρ ( r, t ) ρ ( r, t ) Infatti, in condizioni stazionarie = J Dato che J = σe = = t t J = σe E = ρ = iceversa se σ variasse si potrebbero avere densità di carica Ad esempio consideriamo due conduttori di conduttività diversa σ > σ 2 NB: in queste sides σ è a conduttività In condizioni stazionarie J deve essere o stesso in entrambi i mezzi In caso contrario ci sarebbe accumuo di carica su'interfaccia + + J + J σ E + E σ ignifica che i campi eettrici E e E 2 sono diversi: E < E 2 I campo ha una discontinuità su'interfaccia u'interfaccia ci deve essere una densità di carica σ E = σ E 2 2 Eettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 33

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