Regressione e Correlazione

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1 Regressoe e Correlazoe Probabltà e Statstca - Aals della Regressoe - a.a. 4/5 L aals della regressoe è ua tecca statstca per modellare e vestgare le relazo tra due (o pù) varabl. Nella tavola è rportata la purezza d ossgeo, rlascata u processo d dstllazoe chmca, e la percetuale d drocarboo, presete el codesatore prcpale d utà d dstllazoe ,85 Dagramma d dspersoe Osservazo Lv.Idrocarboo Purezza,99 9,, 89,5 3,5 9,43 4,9 93,74 5,46 96,73 6,36 94,45 7,87 87,59 8,3 9,77 9,55 99,4,4 93,65,9 93,54,5 9,5 3,98 9,56 4, 89,54 5, 89,85 6, 9,39 7,6 93,5 8,3 93,4 9,43 94,98,95 87,33 Probabltà e Statstca - Aals della Regressoe - a.a. 4/5

2 La covaraza tra le varabl aleatore cov(, ) = σ = E Defzoe e è la quattà : [( µ )( µ )] = E[ ] µ µ La covaraza è ua msura della relazoe leare tra due varabl aleatore. (A) Covaraza postva (C) Covaraza ulla (B) Covaraza egatva (D) Covaraza ulla Probabltà e Statstca - Aals della Regressoe - a.a. 4/5 3 σ =, σ =, µ =, µ =, ρ = Cotour plots σ =, σ =, µ =, µ =, ρ =.9 σ =, σ =, µ =, µ =, ρ = Probabltà e Statstca - Aals della Regressoe - a.a. 4/5 4

3 Defzoe La correlazoe tra le varabl aleatore cov(, ) σ ρ = = Var( ) Var( ) σ σ Se la covaraza tra due varabl aleatore è postva, egatva o ulla, ache la correlazoe sarà postva, egatva o ulla. Teorema La correlazoe tra le varabl aleatore e godedella seguete propretà : - ρ e è la quattà : S dcoo correlate (l ear mete), due var abl aleatore co cor - r elazoe ulla. Teorema Il vceversa o vale a meo Due varabl aleatore e dpedet che e o sao ormal. soo correlate. Probabltà e Statstca - Aals della Regressoe - a.a. 4/5 5 Coloa Coloa Coloa,35836 Coloa, ,5 Coloa Coloa Coloa Coloa,93675 Cov Correlazoe tra e co Excel x = = Cov Corr = S S ( x x)( y y) y Covaraza tra e co Excel Osservazo Lv.Idrocarboo Purezza,99 9,, 89,5 3,5 9,43 4,9 93,74 5,46 96,73 6,36 94,45 7,87 87,59 8,3 9,77 9,55 99,4,4 93,65,9 93,54,5 9,5 3,98 9,56 4, 89,54 5, 89,85 6, 9,39 7,6 93,5 8,3 93,4 9,43 94,98,95 87,33 Probabltà e Statstca - Aals della Regressoe - a.a. 4/5 6

4 β y-purezza ,85 β soo deomat coeffcet d regresso. e e x-lvello d Idrocarboo = β + β + ε β, β coeffcet d Osservazo Lv.Idrocarboo Purezza,99 9,, 89,5 3,5 9,43 4,9 93,74 5,46 96,73 6,36 94,45 7,87 87,59 8,3 9,77 9,55 99,4,4 93,65,9 93,54,5 9,5 3,98 9,56 4, 89,54 5, 89,85 6, 9,39 7,6 93,5 8,3 93,4 9,43 94,98,95 87,33 regressoe (lvello d drocarboo) var. aleat. (purezza dell'ossgeo) var. aleat. dpedete ε (errore casuale), E[ ε] =, Var[ ε] = σ. dpedete Probabltà e Statstca - Aals della Regressoe - a.a. 4/5 7 Sao ( x, y ),( x IL METODO DEI MINIMI QUADRATI, y ),...,( x, y d varabl aleatore(, ). Per stmare coeffcet β zare la somma de quadrat"delle dstaze d ) le coppe d osservazo relatvealla coppa y da e β, è possble"mmz - β + β x. Soluzo βˆ = y βˆ x, βˆ = = x y y x, dove y = x x = = y, x = = x La retta d regressoe stmata è yˆ = β ˆ + βˆ x Coeffcet E rrore stadard Iterc etta 74,83344, V arable 4, , Probabltà e Statstca - Aals della Regressoe - a.a. 4/5 8

5 Traccato delle approssmazo ,5,5 prevsta La retta d regressoe stmata è yˆ = 74, + 4, 9x Probabltà e Statstca - Aals della Regressoe - a.a. 4/5 9 Aals de resdu (adeguatezza del modello) S dcoo resdu le quattà e ˆ ˆ ˆ = y y = y β o βx. Traccato de resdu I resdu soo osservazo della v.a. ε Resdu ,5,5 DUBBIO Probabltà e Statstca - Aals della Regressoe - a.a. 4/5

6 Osservazoe prevsta Resdu Resdu stadard 89,8398,986885, , , , , , , , , , ,663465, , , , , ,8766, , , , , ,459783,968975, e ( y yˆ) e = = = ES = Errore stadard = = S dmostra che E = σ L'errore stadard è ua msura che dca la quattà d error commess ella pre - vsoe del valore d Statstca della regressoe R multplo, R al quadrato, R al quadrato corretto, Errore stadard, Osservazo y per cascu valore d x. Esprme quata parte della varabltà della varable dpedete è spegata dalla varabltà della varable dpedete Probabltà e Statstca - Aals della Regressoe - a.a. 4/ ,5 - -,5 - Istogramma -,5,5,5,5 Istogramma de resdu stadardzzat. 3 Dal grafco s deduce che la varable aleatora errore ε stadardzzata ha ua dstrbuzoe approssmatvamete ormale. A ltro Classe Frequeza % cumulatva -3,% -,5,% -,% -,5 5,% - 5,% -,5 4 35,% 3 5,%,5 4 7,% 3 85,%,5 9,%,%,5,% 3,% Altro,% Verfcare l potes d ormaltà co u test ch-quadrato. NB: se resdu hao ua dstrbuzoe ormale, s attestao ell tervallo (-,) Probabltà e Statstca - Aals della Regressoe - a.a. 4/5

7 Attezoe agl outlers Probabltà e Statstca - Aals della Regressoe - a.a. 4/5 3 I cambamet d scala Idage epdemologca: sommstrazoe d u uovo tpo d vacco rteuto effcace ella cura del cotago della febbre da tfo. Corr=-.9 Probabltà e Statstca - Aals della Regressoe - a.a. 4/5 4

8 Grafco de resdu Probabltà e Statstca - Aals della Regressoe - a.a. 4/5 5 Prevsoe per l ao 985: Probabltà e Statstca - Aals della Regressoe - a.a. 4/5 6