Esame di Ricerca Operativa del 08/01/13. Esercizio 1. Completare la seguente tabella considerando il problema di programmazione lineare:

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1 Esame di Ricerca Operativa del 08/0/ Cognome) Nome) Corso di laurea) Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di programmazione lineare: max x + x x +x x x 0 x + x x x 8 x x 8 Base Soluzione di base Ammissibile Degenere si/no) si/no) {, } x = {, } y = Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso primale per il problema dell esercizio. iterazione {,} iterazione Base x y Indice Rapporti Indice uscente entrante Esercizio. Una ditta produce marmellata d arance e gelatina d arance. La produzione di un vasetto di marmellata d arance richiede arance, limone e 00 grammi di zucchero mentre la produzione di un vasetto di gelatina richiede arance, limoni e. chili di zucchero. Ogni giorno la ditta ha a disposizione 00 arance, 800 limoni e 00 chili di zucchero. Sapendo che il vasetto di marmellata si vende a euro e quello di gelatina a 8 euro, determinare la produzione giornaliera che massimizzi il profitto. variabili decisionali e modello: c= COMANDI DI MATLAB A= b= Aeq= lb= beq= ub=

2 Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di flusso di costo minimo sulla seguente rete su ogni nodo è indicato il bilancio e su ogni arco sono indicati, nell ordine, il costo e la capacità). -,) - 8,) 8,),) -,),0) 0,),8) 0,),8) 0,) Archi di T Archi di U Soluzione di base Ammissibile Degenere si/no) si/no),),),),),),),) x =,),),),),),),) π = 0, Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso su reti per il problema dell esercizio. iterazione iterazione Archi di T,),),),),),) Archi di U,) x π Arco entrante ϑ +, ϑ Arco uscente Esercizio. a) Applicare l algoritmo di Dijkstra per trovare l albero dei cammini minimi di radice sulla seguente rete. 8

3 nodo visitato iter iter iter iter iter iter iter π p π p π p π p π p π p π p nodo nodo nodo nodo nodo nodo insieme Q b) Applicare l algoritmo FFEK per trovare il flusso massimo tra il nodo ed il nodo sulla seguente rete. cammino aumentante δ x v Taglio di capacità minima: N s = N t = Esercizio. Si consideri il seguente problema di programmazione lineare intera: min x + x x + x x + x x 0 x 0 x,x Z a) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo risolvendo il rilassamento continuo. sol. ottima del rilassamento = v I P) = b) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo arrotondando la soluzione ottima del rilassamento. sol. ammissibile = v S P) = c) Calcolare un taglio di Gomory. r = taglio:

4 Esercizio 8. Si consideri il problema di caricare un container di volume pari a 0 metri cubi, cercando di massimizzare il valore dei beni inseriti ogni bene può essere inserito al massimo una volta). Beni Valori 0 Volumi a) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo applicando l algoritmo greedy. sol. ammissibile = v I P) = b) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo risolvendo il rilassamento continuo. sol. ottima del rilassamento = v S P) = c) Risolvere il problema applicando il metodo del Branch and Bound. Effettuare la visita dell albero per ampiezza e in ogni nodo istanziare l eventuale variabile frazionaria. Esercizio. Trovare i punti stazionari della funzione fx,x ) = x +x sull insieme {x R : +x +x 0, x x 0}. Soluzioni del sistema LKT Massimo Minimo Sella x λ µ globale locale globale locale Esercizio 0. Si consideri il seguente problema: { min x x + x + x x P e i vertici di P sono,),,),, ) e,). Fare un passo del metodo di Frank-Wolfe. Punto Funzione obiettivo Sol. ottima Direzione Passo Nuovo punto problema linearizzato problema linearizzato ),

5 SOLUZIONI Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di programmazione lineare: max x + x x +x x x 0 x + x x x 8 x x 8 Base Soluzione di base Ammissibile Degenere si/no) si/no) {, } x =, 0) SI NO {, } y = ), 0,, 0, 0 Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso primale per il problema dell esercizio. iterazione {, }, ) iterazione {, } 0, ) Base x y Indice Rapporti Indice uscente entrante 0, 0, ), 8, 0 0, ), 0,, 0 NO NO 00,,, Esercizio. c=[ - ; -8 ] COMANDI DI MATLAB A=[ ; ; 0.. ] b=[ 00 ; 800 ; 00 ] Aeq=[] lb=[0 ; 0 ] beq=[] ub=[] Esercizio. Completare la tabella considerando il problema di flusso di costo minimo sulla seguente rete su ogni nodo è indicato il bilancio e su ogni arco sono indicati, nell ordine, il costo e la capacità). -,) - 8,) 8,),) -,),0) 0,),8) 0,),8) 0,) Archi di T Archi di U Soluzione di base Ammissibile Degenere si/no) si/no),),),),),),),) x = 0,,, 0,, 0, 0,,, 0, ) NO SI,),),),),),),) π = 0, 8,,,,, ) NO NO Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso su reti per il problema dell esercizio.

6 iterazione iterazione Archi di T,),),),),),),),),),),),) Archi di U,) x 0, 0,,, 0, 0, 0, 0,,, 0) 0, 0,,, 0,,, 0,, 0, 0) π 0,, 8,,,, ) 0,, 8,,,, ) Arco entrante,),) ϑ +, ϑ,, Arco uscente,),) Esercizio. a) Applicare l algoritmo di Dijkstra per trovare l albero dei cammini minimi di radice sulla seguente rete. 8 iter iter iter iter iter iter iter π p π p π p π p π p π p π p nodo visitato nodo nodo nodo nodo nodo + + nodo insieme Q,,,,,,,,, b) Applicare l algoritmo di Ford-Fulkersoncon la procedura di Edmonds-Karp per la ricerca del cammino aumentante) per trovare il flusso massimo tra il nodo ed il nodo sulla seguente rete.

7 cammino aumentante δ x v - - 0,, 0, 0, 0, 0,, 0, 0, 0, 0) - - -,, 0, 0,, 0,, 0, 0,, 0) - - -,, 0, 0,,,, 0, 0,, 0) ,,, 0,,,, 0,,, ) Taglio di capacità minima: N s = {,,,} N t = {,,} Esercizio. Si consideri il seguente problema di programmazione lineare intera: min x + x x + x x + x x 0 x 0 x,x Z a) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo risolvendo il rilassamento continuo. sol. ottima del rilassamento =, ) b) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo arrotondando la soluzione ottima del rilassamento. v I P) = sol. ammissibile =,) v S P) = 8 c) Calcolare un taglio di Gomory. r = x +x r = x +x Esercizio 8. Si consideri il problema di caricare un container di volume pari a 0 metri cubi, cercando di massimizzare il valore dei beni inseriti ogni bene può essere inserito al massimo una volta). Beni Valori 0 Volumi a) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo applicando l algoritmo greedy. sol. ammissibile =,,,,,0,0) v I P) = b) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo risolvendo il rilassamento continuo. sol. ottima del rilassamento =,,,,0,0, ) v S P) = 8 c) Risolvere il problema applicando il metodo del Branch and Bound. Effettuare la visita dell albero per ampiezza e in ogni nodo istanziare l eventuale variabile frazionaria.

8 ,8 P x = 0 x =, P,, P, x = 0 x = x = 0 x =,,,8, P, P, P, P, soluzione ottima =,,,0,0,0,) valore ottimo = Esercizio. Trovare i punti stazionari della funzione fx,x ) = x +x sull insieme {x R : +x +x 0, x x 0}. Soluzioni del sistema LKT Massimo Minimo Sella x λ µ globale locale globale locale ), +, ) 8 NO NO SI SI NO + + ),, + ) 8 NO NO NO NO SI ) ),,0 SI SI NO NO NO Esercizio 0. Si consideri il seguente problema: { min x x + x + x x P dove P è il poliedro di vertici,),,),, ) e,). Fare una iterazione del metodo di Frank-Wolfe. Punto Funzione obiettivo Sol. ottima Direzione Passo Nuovo punto ) problema linearizzato problema linearizzato, 8 x +x -,-) ),, )