Proiezioni Assonometriche

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1 Sistemi di Rappresentazione Proiezioni Assonometriche prof. Denis Benasciutti A.A. 017/018 Classificazione dei sistemi di rappresentazione I metodi di proiezione sono definiti : dal tipo di proiettanti che possono essere parallele o convergenti in un punto; dalla posizione del piano di proiezione relativamente alle proiettanti, che può essere ortogonale od obliqua; dalla posizione dell oggetto (delle sue parti principali), che può essere sia parallela/ortogonale, sia obliqua rispetto al piano di proiezione.

2 Metodi di proiezione UNI EN ISO 1009 ASSONOMETRIE raggi paralleli: la proiezione si chiama "proiezione parallela" 3 Assonometria ortogonale L osservatore è posto a distanza infinita L oggetto viene proiettato sul piano di proiezione ortogonalmente e da distanza infinita Oggetto reale (3D) Rappresentazione dell oggetto sul piano di proiezione. L oggetto reale appare in 3D. Una terna di versori ortogonali (u x, u y, u z ) solidale all oggetto reale (con u x =u y =u z ) è proiettata in tre vettori complanari (u x',u y', u z' ), generalmente di lunghezza diversa (u x' u y' u z' ).

3 Assonometria obliqua I raggi proiettanti sono paralleli tra loro e obliqui rispetto al piano di proiezione Oggetto reale (3D) Rappresentazione dell oggetto sul piano di proiezione: l oggetto reale appare in 3D. Assonometria L assonometria è una proiezione parallela effettuata da un osservatore posto all infinito (raggi proiettanti tra loro paralleli); Questo tipo di proiezione permette di rappresentare un oggetto in maniera tridimensionale; Ci sono delle regole (geometriche) che ci permettono di rappresentare su un foglio (D) un oggetto in maniera tridimensionale (3D); il piano assonometrico (es. foglio) deve essere tale che una sola proiezione assonometrica sia sufficiente per rappresentare completamente la forma dell oggetto. 6

4 Proiezioni assonometriche: classificazione A seconda della direzione dei raggi proiettanti rispetto al quadro si hanno: assonometrie ORTOGONALI (i raggi sono ortogonali al piano di proiezione) isometrica dimetrica trimetrica assonometrie OBLIQUE (i raggi sono obliqui al piano di proiezione): assonometria cavaliera speciale assonometria cavaliera assonometria planometrica 7 Proiezioni assonometriche: classificazione A seconda della direzione dei raggi proiettanti rispetto al quadro si hanno: assonometrie ORTOGONALI (i raggi sono ortogonali al piano di proiezione) isometrica dimetrica trimetrica assonometrie OBLIQUE (i raggi sono obliqui al piano di proiezione): assonometria cavaliera speciale assonometria cavaliera assonometria planometrica 8

5 Terna obiettiva Nelle proiezioni assonometriche, si prende una terna cartesiana ortogonale (X,Y,Z), detta anche terna obiettiva, solidale all oggetto da rappresentare in assonometria. Per convenzione, l asse Z è sempre verticale. La terna cartesiana individua tre piani coordinati XY, YZ, XZ fra loro ortogonali. La terna cartesiana è scelta in modo tale che i piani coordinati risultino paralleli o perpendicolari alle facce dell oggetto. Esempio: Proiezioni assonometriche Definizioni SISTEMA CARTESIANO di assi X, Y, Z: è il sistema di riferimento definito dalla terna obiettiva e nel quale si immagina di porre l oggetto che si vuole rappresentare in proiezione assonometrica. QUADRO Q: piano su cui vengono proiettati sial oggetto,cheivettori(u x,u y,u z )degli assi cartesiani X, Y, Z (per convenzione, Z è sempre verticale). Il piano Q si suppone coincidente con il foglio su cui si eseguirà la proiezione assonometrica. I punti A, B, C intersezione degli assi X, Y, Z con il quadro Q si chiamano punti traccia. Il triangolo delle tracce (o triangolo fondamentale) unisce i punti traccia A, B, C; è quindi un triangolo che giace sul quadro Q ed ha per lati le tracce (cioè, le intersezioni) t XY,t YZ,t XZ dei piani coordinati XY, YZ, XZ con il quadro Q. 10

6 Teorema di Pohlke Teorema di Pohlke (1853): tre segmenti complanari u x',u y',u z' uscenti da un medesimo punto O ed aventi direzioni e lunghezze arbitrarie, possono sempre considerarsi come proiezioni mediante raggi paralleli di tre segmenti uguali u x,u y,u z prefissati, uscenti da un punto O e mutuamente ortogonali. raggi proiettanti O u z OO quadro Q ' ' ' quadro Q Y Y' B u y' u y β ' O' γ' γ u x u z' β' u x' A X X' C Z' Z Relazione fra gli angoli: cos cos cos 1 X', Y',Z' = assi assonometrici 11 Proiezione della terna cartesiana O u z quadro Q Y Y' B u y' u y β ' O' γ' γ u x u z' β' u x' A X X' C Z Z' Si dimostra che: ' arcos ctg ctg ' arcos ctg ctg ' arcos ctg ctg [] Assegnatiquinditrevettoriu x',u y',u z' complanari (cioè contenuti nel piano Q), e che formano fra loro gli angoli (,, )lacuisommaè360,èpossibile determinare la disposizione spaziale della terna cartesiana u x,u y,u z (cioè calcolare i valori degli angoli (,, ) rispetto al segmento OO ) che proiettata ortogonalmente sul piano Q dà proprio i vettori u x',u y',u z' assegnati.

7 Rapporti di riduzione Rapporti di riduzione quadro Q Y Y' B u y' u y O u z β γ u x ' u z' O' β' γ' u x' A X X' C Z Z' u p u x' x Dalla trigonometria: O' A p OA O' B q OB O' C r OC sen sen sen u q u y' y r u u z' z Assegnati gli angoli (', β', γ') e calcolati gli angoli (,, ), si possono quindi determinare i rapporti di riduzione, che esprimono di quanto si modificano le lunghezze dei vettori u x,u y,u z per effetto della proiezione nei vettori u x',u y',u z'. Riassumendo In definitiva, tre vettori u x,u y,u z fra loro ortogonali e solidali all oggetto reale sono proiettati in tre vettori u x',u y',u z complanari (appartenenti cioè al quadro Q), la cui lunghezza e orientazione (angoli ', β', γ') dipendono dalla orientazione dell oggetto reale (e quindi della terna u x,u y,u z ) rispetto al quadro Q.

8 Confronto fra assonometrie ortogonali Cambiando l orientazione relativa del piano di proiezione rispetto allo stesso oggetto si ottengono differenti proiezioni assonometriche: trimetrica, isometrica, dimetrica. 15 Esempio: assonometria isometrica LUCIDO OPZIONALE In questa assonometria il piano di proiezione Q forma tre angoli uguali rispetto alla terna cartesiana X, Y, Z. Quindi: = β= γ cos 1 1 cos cos 1 cos arcos L orientazione della terna cartesiana è data quindi dagli angoli: L orientazione degli assi assonometrici X', Y, Z' è quindi (vedi eq. []): ' ' ' arcos( ctg 54.73) 10 ' ' ' 10 ed infine i rapporti di riduzione * : p q r sen * questo valore è arrotondato dalla norma UNI. 16

9 Esempio: assonometria dimetrica (1/) In questa assonometria, il piano di proiezione Q è orientato in modo che: Dalla definizione dei rapporti di riduzione, si ha: p sen q sen sen r sen sen Ricaviamo prima le seguenti due relazioni: sen cos 1 cos cos cos 1 per poi calcolare: cos 1 sen 1 1 sen 4 cos cos 1 17 LUCIDO OPZIONALE p r q p q sen 4 1 cos cos 1 1 cos sen 4 1 cos tan 8 cos 1 1 cos 1 arsen sen Esempio: assonometria dimetrica (/) LUCIDO OPZIONALE L orientazione degli assi assonometrici X', Y, Z' è quindi: ' arcos( ctg ctg ) arcos( ctg8.1ctg70.53) ' arcos( ctg ctg ) arcos( ctg70.53 ctg70.53) ' ' ' ' ' 97. ed infine i rapporti di riduzione sono: p sen sen r sen sen q sen sen Questi valori sono però arrotondati dalla norma UNI: ' ' 13 ' 97 p r 1 q L aumento dei rapporti di riduzione porta ad un ingrandimento lineare pari a: 1 0,94 1,06

10 Proiezioni assonometriche UNI EN ISO Assonometrie raccomandate: assonometria ortogonali: isometrica dimetrica assonometrie oblique: assonometria cavaliera speciale assonometria cavaliera assonometria planometrica 19 Proiezioni assonometriche Generalità UNI EN ISO Posizione del sistema di coordinate: la posizione degli assi coordinati (terna obiettiva) rispetto al piano di proiezione deve essere scelta in modo che la proiezione di uno degli assi coordinati (l asse Z) risulti verticale. Posizione dell oggetto: l oggetto da rappresentare va orientato in modo che la maggior parte delle sue facce principali, gli assi e gli spigoli siano paralleli, per quanto possibile, ai piani coordinati, e in modo da mostrare le tre viste che sarebbero state scelte per rappresentare lo stessooggetto in proiezione ortogonale. Contorni e spigoli nascosti: le linee che rappresentano contorni e spigoli nascosti devono essere omessi, a meno che non siano utili a chiarire maggiormente la rappresentazione. Assi di simmetria: gli assi e le tracce dei piani di simmetria dell oggetto devono essere disegnati solo quando sono necessari. 0

11 Proiezioni assonometriche Generalità UNI EN ISO Tratteggio: il tratteggio per indicare una sezione (in una vista assonometrica) è preferibile che sia eseguito a 45 rispetto agli assi ed ai contorni della sezione. Quotatura: gli oggetti rappresentati in proiezione assonometrica non sono in generali quotati. Se necessaria, la quotatura è effettuata parallelamente agli assi coordinati, adottando le stesse regole valide per le proiezioni ortogonali. 1 Assonometria isometrica UNI EN ISO E una assonometria ortogonale in cui il piano di proiezione forma tre angoli uguali con i tre assi coordinati (il triangolo delle tracce è un triangolo equilatero). Per ragioni pratiche, la norma suggerisce di arrotondare a 1 ivalorideirapportidi riduzione, tenendo gli angoli fra gli assi assonometrici a 10. Pertanto, nella costruzione suggerita dalla norma la rappresentazione risulta ingrandita per un fattore pari a 1/0.816 = 1.5.

12 Assonometria isometrica UNI EN ISO = = 30 L uso di rapporti di riduzione pari a lungo gli assi assonometrici risulterebbe poco agevole. Per tale motivo la norma stabilisce che vengano adottati i rapporti: u x : u y : u z = 1 : 1 : 1 Esempio: assonometria isometrica di un cubo di lato 10mm 3 3 Assonometria isometrica esempi Esempio di pezzo meccanico in assonometria isometrica sconsigliata Le singolarità geometriche vanno allineate di preferenza secondo gli assi assonometrici DA EVITARE SI NO! Rappresentazioni consigliate: (a), (c) La rappresentazione (d) è errata (nessun asse è verticale), mentre la (b) è sconsigliata (non si vede il foro cieco) 4

13 Assonometria dimetrica UNI EN ISO E una assonometria ortogonale utilizzata quando una vista dell oggetto da rappresentare è di importanza prevalente. Il triangolo delle tracce è un triangolo isoscele. I rapporti di riduzione sono: u x : u y : u z = ½ : 1 : 1 = 7 = 4 5 Assonometria dimetrica esempio Esempio di rappresentazione in assonometria dimetrica Angoli calcolati Angoli approssimati secondo norma UNI ' ' ' p r q ,5 6

14 Assonometria isometrica e dimetrica confronto Rappresentazione di due oggetti : confronto tra assonometria isometrica e dimetrica. Notare come nella proiezione isometrica l oggetto appare di volume maggiore. 7 Assonometria trimetrica In questa assonometria, che non è prevista nella norma UNI EN ISO , i rapporti di riduzione sono tutti diversi tra loro. Esempio: inclinazione degli assi assonometrici in due diverse assonometrie trimetriche. 8

15 Proiezioni assonometriche: classificazione A seconda della direzione dei raggi proiettanti rispetto al quadro si hanno: assonometrie ORTOGONALI (i raggi sono ortogonali al piano di proiezione) isometrica dimetrica trimetrica assonometrie OBLIQUE (i raggi sono obliqui al piano di proiezione): assonometria cavaliera speciale assonometria cavaliera assonometria planometrica 9 Metodi di proiezione UNI EN ISO 1009 Cavaliera (dimetrica) Cavaliera speciale (isometrica) 30

16 Assonometria cavaliera speciale UNI EN ISO Il piano di proiezione è parallelo ad uno dei piani coordinati (di solito il piano verticale) ed alla faccia principale dell oggetto da rappresentare. I raggi proiettanti sono inclinati di 45 rispetto al quadro. Due degli assi proiettati sono ortogonali mentre la direzione del terzo asse è a 45 rispetto agli altri due. Le scale sui tre assi sono identiche: u x : u y : u z = 1 : 1 : 1 (si tratta quindi di una assonometria obliqua isometrica). 31 Assonometria cavaliera speciale UNI EN ISO = 45 Si tratta di una rappresentazione semplice da realizzare e che può essere quotata. Distorce la percezione della profondità (si ha un effetto ottico di allungamento ). 3 4 possibili assonometrie cavaliere speciali di un cubo

17 Assonometria cavaliera UNI EN ISO Usando rapporti di riduzione tutti uguali fra loro (vedi la cavaliera speciale isometrica) la rappresentazione presenta uno sviluppo visivamente troppo amplificato lungo l asse a 45. Per rendere la rappresentazione più realistica la norma dimezza il rapporto di riduzione rispetto all asse inclinato a 45 : u x : u y : u z = 1 : ½ : 1 (si tratta quindi di una assonometria obliqua dimetrica). δ=63,43 33 Assonometria cavaliera: isometrica e dimetrica Confronto fra assonometria cavaliera speciale (isometrica) e assonometria cavaliera (dimetrica). Si noti l effetto ottico di allungamento dell oggetto lungo l asse a 45 (asse y). E opportuno orientare i fori paralleli al piano XZ, così da non alterarne la forma. SI NO Assonometria cavaliera (dimetrica) di un componente meccanico. Il pezzo si orienta in modo da avere il foro parallelo al piano XZ (così il foro non appare distorto). 34

18 Assonometria cavaliera planometrica * UNI EN ISO E una assonometria obliqua in cui il piano di proiezione (quadro) è parallelo al piano coordinato orizzontale (piano XY o "piano di appoggio"). Le proiezioni che utilizzano angoli pari a 0, 90 o 180 sono da evitare. * detta anche militare, per il suo impiego sistematico nella descrizione di mura cittadine e fortificazioni militari. 35 Assonometria cavaliera planometrica UNI EN ISO L assonometria cavaliera planometrica si costruisce generalmente con un angolo di 90 e gli altri due, rispettivamente, di 10 e 150 ; oppure con angolo di 135 e le dimensioni ridotte di /3 secondo l asse Z. 36

19 Assonometria cavaliera planometrica UNI EN ISO Proiezione planometrica normale (monometrica) Proiezione planometrica ribassata u x : u y : u z = 1 : 1: 1 u x : u y : u z = 1 : 1: ⅔ 37 Assonometria cavaliera planometrica UNI EN ISO Questo tipo di assonometria è particolarmente conveniente per i disegni di urbanistica. Le viste in pianta non sono distorte e non vengono quindi alterati gli angoli fra le sedi stradali. 38

20 Confronto fra le assonometrie Rappresentazione in assonometria di un esaedro retto (cubo) con circonferenze inscritte nelle facce. Ortogonale isometrica Ortogonale dimetrica Obliqua cavaliera (dimetrica) 39 Confronto fra le assonometrie Esempio di un oggetto in proiezione ortogonale. 40

21 Confronto fra le assonometrie trasferito in varie tipi di assonometria: Ortogonale isometrica Obliqua cavaliera (dimetrica) Obliqua cavaliera speciale (isometrica) Ortogonale isometrica unificata Obliqua planometrica normale (isometrica) Obliqua planometrica ribassata (dimetrica) Esercizio Rappresentare in assonometria isometrica e assonometria cavaliera i due oggetti rappresentati in proiezione ortogonale. Scegliere a piacere la scala del disegno, rispettando le proporzioni. (i reticoli assonometrici sono dati nei lucidi seguenti, e sono anche disponibili come file PDF sul Materiale Didattico) 4

22 Reticolo per assonometria isometrica (anche in PDF sul Materiale Didattico) 43 Reticolo per assonometria cavaliera (anche in PDF sul Materiale Didattico) 44