Istituzioni di Matematica I

Transcript

1 Istituzioni di Matematica I Le soluzioni proposte costituiscono solo una traccia di possibili soluzioni (lo studente deve giustificare i vari risultati), possono esserci altri modi, altrettanto corretti, di svolgere gli esercizi. Limiti e derivate. Dire se esistono i seguenti iti e in caso affermativo determinarli:, -, e -, e -, ( π ) tg, ( π ) tg, arctg, arctg, 0 cotg, π cotg, arccotg, arccotg,.. Calcolare 0 ( ) sen Soluzione: L'esercizio si può svolgere in almeno due modi: Ricordando ce 0 ( ) = e, si moltiplica e divide l'esponente sen ( ) = e 0 sen = e = e. 0 Oppure si osserva ce sen per ottenendo cosí () g() = e () lg g() per cui essendo nel nostro caso g() =, moltiplicando e dividendo l'esponente per, il ite dell'esponente diventa un prodotto di due iti di cui uno è lg( ) = e l'altro è 0 0 sen =.. Calcolare a) 0 ( ) cos, b) 0 ( ) tg, c) 0 ( ) e.. a) Calcolare e sen e 0 e, b) discutere al variare di a R 0 a cos sen. 5. Calcolare le derivate delle seguenti funzioni: tg, arcsen, arccos, arctg, sen, e -,, log(sen), log.

2 Funzioni: continuità, derivabilità, studio del grafico Esempi:. Sia a e b f () = per > (a ) per a,b R a) determinare i valori di a,b per cui f () è continua nel dominio, b) determinare i valori di a,b per cui f () è derivabile nel dominio, c) per i valori trovati in (b) provare ce f () è invertibile e Soluzione: determinarne la funzione inversa. a) Negli intervalli (, ) e (, ) la funzione è continua percé somma, prodotto e composizione di funzioni continue. Per = è continua se f () = f (), cioè se a b = a, quindi se b = e a. b) Negli intervalli (, ) e (, ) la funzione è derivabile percé somma, prodotto e composizione f () = di funzioni derivabili. Per = è derivabile se è continua (dunque si considera solo il caso b = ) e esistono finiti il ite destro e sinistro del rapporto incrementale f () = f (). Tali iti, essendo f ()continua, coincidono con le derivate in = delle due funzioni ce definiscono f (), quindi deve essere a = (a ) ( ) da cui a =. Risulta allora e per > per = per < c) Per i valori trovati in (b) f () = e < per > per La funzione è strettamente decrescente poicé la derivata prima è sempre negativa, quindi f () è iniettiva. Inoltre ogni y R a controimmagine non vuota. Infatti, se y <, ponendo y = e si ottiene y = e da cui = log ( y), analogamente, se y, ponendo y = si ottiene = 9 y da cui = 9 y. Quindi la funzione è surgettiva e dunque bigettiva. Allora la funzione inversa è f (y) = log( y) per y < 9 y per y

3 . Data la funzione f() = c ab < c determinare a, b in funzione di c in modo ce esista f '(c). Soluzione: Percé sia derivabile f() deve essere continua in c, cioè f () = f () = f(c), quindi c c c = a c b, inoltre la derivata destra e sinistra devono coincidere per cui deve essere c = a. Ne segue ce b = c.. Data la funzione f() = log > a b determinare, se esistono, a, b in modo ce la funzione f sia derivabile in ogni numero reale. Soluzione: f() è ovviamente continua e derivabile per ogni > percé funzione elementare log(), f() è ovviamente continua e derivabile per ogni < percé funzione polinomiale qualunque siano i valori assegnati ad a e b. Percé sia derivabile in = f() deve essere continua in per cui deve essere a = b, inoltre derivata destra e sinistra devono coincidere per cui deve essere b = a. Ne segue ce a = e b =.. Data f() = a) dire se esiste f() b) dire se è corretta l'affermazione seguente: " Poicé f( ) = e f( ) = 5, per il teorema dei valori intermedi esiste 0 [, ] tale ce f( 0 ) = ". Soluzione: a) Il denominatore dell'esponente tende a 0 negativamente se tende a da destra e tende a 0 positivamente se tende a da sinistra (e quindi il ite destro dell'esponente è, mentre quello sinistro è ), allora il ite destro di f è 0, mentre quello sinistro è, perciò non esiste f(). b) L'affermazione non è corretta percé f() non è continua nell'intervallo [, ] (in quanto in non è neppure definita) e quindi non si può applicare il teorema dei valori intermedi. 5. Data la funzione f () = per per > a) dire qual'è il dominio di f(), b) dire per quali valori di f() è continua nel suo dominio, c) dire per quali valori di f() è derivabile nel suo dominio. Soluzione: per a) per definizione di valore assoluto: f ( ) = per < per >,

4 il dominio è evidentemente (-, ), giaccé siamo in presenza di tre polinomi definiti in intervalli ce ricoprono tutto l'asse reale (ovviamente ance continui e derivabili negli intervalli aperti considerati), b) poicé f ( ) = escluso il punto di ascissa =, c) poicé = f '() f () = 0 mentre 0 = f () f () =, f() è continua in tutto il dominio f '() = f() è derivabile in tutto il dominio esclusi i punti di ascissa = e ovviamente (percé se fosse derivabile sarebbe continua) =, NB: notare ce Q(,f()) non è un punto di continuità, nonostante f '() = f '() =. 6. Dire se la funzione f() = sen > 0 = 0 < 0 è derivabile. Soluzione: La funzione è derivabile in R \ {0}percé le funzioni sen e sono derivabili. In 0 non è continua percé 0 f() = 0 = f() ma f(0) = e quindi non è derivabile Sia f() = per e ( ) k per > e sia 0 =. a) Dire per quali valori di k R f è derivabile nel punto 0 e calcolare f '( 0 ). f( b) Per tali k calcolare 0 ) f( 0 ). 0 Soluzione: a) Condizione necessaria ma non sufficiente affincé f sia è derivabile nel punto 0 è ce f sia continua, cioè ce f() = f( 0 ) = f(). 0 0 Ora f() = f è continua se k =, da cui k =. e ( ) k = k mentre f( 0 ) = f() =, quindi Per vedere se per k = f è derivabile si possono calcolare le derivate in 0 = delle funzioni g() = e () = e ( ) e vedere se coincidono (questo lo possiamo fare percé g e sono derivabili in e g() = () per k = ) oppure calcolare direttamente i iti destro e sinistro del rapporto incrementale. Si a f() = '() = = g' () = f() e quindi f è derivabile in e f'() =. b) 0 = 0 f( 0 ) f( 0 ) f( 0 ) f( 0 ) = 0 0 f( 0 ) f( 0 ) f( 0 ) f( 0 ) f( 0 ) f( 0 ) = f '( 0 ) =. =

5 L'esercizio si poteva risolvere ance calcolando direttamente i iti destro e sinistro: se > 0 si a e 0 se < 0 si a f( ) f( ) = f( ) f( ) e 0 = = e ( ) ( ) = e ( ) e quindi e quindi 8. Dire se ci sono valori k R tali ce ( log k log ) sia finito. 0 Soluzione: Percé k log sia definita in un intorno destro di 0 deve essere k 0. Se k = 0 si a log =. 0 Altrimenti calcolando il ite si a una forma indeterminata del tipo. Raccogliendo log si ottiene log 0 log k ce è infinito se k mentre se k = si a ancora una forma indeterminata, questa volta del tipo 0. Si può allora moltiplicare e dividere la funzione log k log per log k log e si ottiene: log k log ( log k log ) = = 0 0 log k log ( k) log = ce per k = è zero e quindi finito. 0 log k log Si poteva ance effettuare subito la moltiplicazione per log k log e poi, nel caso k in cui si a una forma indeterminata del tipo, applicare la regola di De L'Hôpital. 9. Dire se è continua e derivabile la funzione sen sen 0 f() = 0 = 0 Soluzione: f è continua e derivabile per ogni 0 percé prodotto di funzioni continue e derivabili, è continua in 0 percé il ite per ce tende a 0 coincide con f(0) = 0 (segue dal teorema del confronto, infatti 0 f() percé sen t per ogni numero reale t ). Pure il rapporto incrementale f(0) = sen sen tende a 0, poicé ance sen sen, quindi f è derivabile in Studiare la funzione f() = ( ) (dominio, segno, continuità, iti agli estremi, asintoti, derivabilità, crescenza e decrescenza, massimi e minimi). 5

6 Soluzione: La funzione f() = ( ) è definita e continua per ogni ed è < 0 per < 0, è nulla per = 0 e =, positiva negli altri casi. Allora inoltre q = ± = ± ± f() = ± f() = ± = = m e = ± f() = e (a() ) = ( ) a() a() = ove si ponga = a() f() =, quindi la retta y = è un asintoto obliquo. La derivata prima f'() = ( ) ( ) = ( ( ) ) ( ) è definita per 0, e si annulla per =, è positiva per > e per <, quindi (, ) è un punto di massimo, mentre (,0) è un punto di minimo ance se in quel punto f non è derivabile, infatti prima la funzione decresce e poi cresce.. Data la funzione f() = e a) studiarne dominio, segno, continuità, iti agli estremi, asintoti, derivabilità, crescenza e decrescenza, massimi e minimi, concavità e convessità, flessi, b) dire se esiste la tangente alla curva y = f() nel punto (0,0) e in caso affermativo determinarne l'equazione, c) dire in quali intervalli la funzione è invertibile. Soluzione: a) La funzione f() = e è definita e continua (percé composta di funzioni continue) per ogni ed è dispari, infatti f( ) = f(), per cui è simmetrica rispetto all'origine. Quindi è < 0 per < 0, è nulla per = 0 e positiva negli altri casi. Si a f() = f() = 0 percé ± f() = ± per la regola di De L'Hôpital, quindi c'è un asintoto orizzontale. e e = ± e e = 0, positiva per La derivata f'() = e ( ) è sempre definita ed è nulla per = ± < <. Perciò la funzione decresce nell'intervallo (, ), cresce in ( decresce nuovamente in ( P(,, ). e 5 ) è un punto di massimo e Q(,, e 5 ) un punto di minimo. ) e 6

7 La derivata seconda è f"() = - e ( ), quindi è nulla per = 0, ± e positiva per < < 0 e > Quindi f è concava in (, i punti (0, 0), ±(,. ) e in (0, ) e convessa altrove, e ) sono punti di flesso. b) la tangente alla curva in (0, 0) a equazione y = e. c) La funzione è invertibile dov'è iniettiva, cioè dov'è strettamente monotona, quindi negli intervalli (, ), (, ), (, ).. Studiare la funzione f() = log (dominio, segno, continuità, iti agli estremi, asintoti, derivabilità, crescenza e decrescenza, massimi e minimi, concavità e convessità, flessi) e disegnarne il grafico approssimato. Soluzione: La funzione f() = log è definita e continua (percé composta di funzioni continue) in (, ) (, ) (, ). Si a percé f() = e ± f() = ± f() = log = ± ( ) ± f() =, f() = ± ± q = f() = ± quindi y = f() =, quindi ci sono due asintoti verticali. ± log ± log log è asintoto obliquo. La derivata f'() = 6 ( ) = = = m e = ( log 5 7 ( ) ( ) ).6 è definita in tutto il campo di esistenza ed è nulla per = e per = 7 ed è negativa in (, = 7 ) e in (, 7, f decresce in (, ) e positiva altrove. Si a dunque un massimo per = un minimo per ) e in (, 7 ) e cresce altrove. 7

8 9 ( 5) La derivata seconda f" = è definita in tutto il campo di definizione, è nulla per (( ) ( )) = 5 5, è negativa per < e positiva altrove. La funzione è quindi concava per < 5, convessa per > 5 e a un flesso in 5.. Data la funzione f() = e a) dire se la funzione è continua e derivabile (nel suo dominio), b) studiarne dominio, segno, iti agli estremi, asintoti, crescenza e decrescenza, massimi e minimi, concavità e convessità, flessi) e disegnarne il grafico approssimato. Soluzione: a) La funzione f() = e è definita e continua in (, ) (percé composta di funzioni continue di cui e > 0 sempre). f'() = e è definita in (-,0) (0, ) quindi f() non è derivabile in tutto il suo dominio, precisamente è non derivabile in = 0 e derivabile altrove, inoltre f ' () e 0 f ' () quindi il punto (0,0) è punto di cuspide. 0 b) Dominio: vedi sopra, segno: osserviamo ce 0, e > 0, quindi f() 0, iti agli estremi : f () percé è della forma 0 (non indeterminata) f () 0 percé è della forma ma applicando de L'Hôpital si ottiene 0 (o ance percé e a ordine di infinito superiore rispetto alla funzione ), conseguenza di ciò è ce y=0 è asintoto orizzontale destro della funzione, eventuali asintoti obliqui sinistri:m= f () punto precedente, quindi non esistono asintoti obliqui, crescenza e decrescenza, massimi e minimi: per la f ' () = precedenti si a ce f dopo, quindi (, e e per considerazioni analoge al e 0,9, f() decresce tra - e 0, cresce tra 0 e ) è un punto di massimo relativo. 9, oltre alle considerazioni torna a decrescere 8

9 concavità e convessità, flessi: f '' () 9 9 e, osservando ce e >0 concludiamo ce il segno di f '' () sarà quello del trinomio 9 ce a per soluzioni = , essendo quindi f '' ()positiva tra e ~ -0.6, negativa tra ~ -0.6 e ~.8, ancora positiva tra ~.8 e i punti corrispondenti alle soluzioni precedenti sono di flesso.. Studiare la funzione f() = log (dominio, segno, iti agli estremi, asintoti, crescenza e decrescenza, massimi e minimi, concavità e convessità, flessi) e disegnarne il grafico approssimato. Soluzione: Dominio: La funzione f() = log è definita per > 0 cioè in (, -) (0, ). segno: : osserviamo ce f() 0 per cioè in (, -- ] (0, ]. iti agli estremi : f () = percé è della forma log ma il numeratore dell'argo- mento ( )a ordine di infinito superiore rispetto al denominatore ( ). f ( ) =, 0 f ( ) =, f ( ) =, di conseguenza le rette =-, =0, = sono asintoti verticali della funzione, f () eventuali asintoti obliqui sinistri:: m = = 0, quindi non esistono asintoti obliqui, crescenza e decrescenza, massimi e minimi:: f ' ( ) = ( ), dallo studio del segno risulta f ' ( ) < 0 nel dominio, quindi non esistono né massimi né minimi relativi 9

10 concavità e convessità, flessi: f '' ( ) =... = ( ), osserviamo ce il segno di f '' () sarà quello del trinomio, ce (sostituendo y = ) a per soluzioni reali = ± 5 = 0.9, si deve escludere = 5 percé non appartiene al 0.9 dominio, essendo f '' ()negativa per le < -, positiva tra 0 e 5 (~0.9) e ancora negativa per le > 5 il punto corrispondente a questa soluzione è di flesso. 5. Data la funzione f() = e Studiarne dominio, continuità, segno, iti agli estremi, asintoti, derivabilità, crescenza e decrescenza, massimi e minimi, concavità e convessità, flessi. Soluzione: a) La funzione è sempre definita, continua e positiva percé i singoli fattori lo sono. È inoltre una funzione pari percé f() = f( ), quindi è simmetrica rispetto all'asse y e basta studiarla per gli > 0 e poi ribaltare il grafico. I iti all'infinito sono nulli percé l'esponenziale tende a infinito più velocemente della potenza (si può vedere ance applicando il teorema di De L'Hôpital), quindi c'è solo l'asintoto orizzontale y = 0. L'unico punto in cui la funzione può non essere derivabile (e ce comunque è un punto di minimo percé lì la funzione è nulla e altrove è positiva) corrisponde a = 0 in cui la funzione non è derivabile, altrove lo è percé composta da funzioni derivabili. Se > 0 il rapporto incrementale in 0 è e, se < 0 il rapporto incrementale è e, ma entrambi tendono a 0 se tende a 0, quindi f è sempre derivabile. Possiamo itarci al caso 0. La derivata è f'() = e e = e ( ) ed è positiva per 0 < < e negativa per >, quindi f cresce per 0 < <, a un punto di massimo (, e ) e poi decresce (simmetricamente cresce per <, a un massimo (, e ) e poi decresce). La derivata seconda è ( ) e e si annulla per = ±, quindi la funzione 0

11 è convessa per 0 < <, concava per < <, e poi nuovamente convessa (e analogamente per < 0). Si anno flessi per = ± ( ± ). 6. Data la funzione f () = e, a) Studiarne dominio, segno, iti agli estremi, asintoti, crescenza e decrescenza, massimi e minimi, b) tralasciando il calcolo di f"() fare comunque le considerazioni possibili su concavità, convessità e flessi di f() (ad es. calcolando il o f ' ()) ) c) disegnarne il grafico approssimato. a) Soluzione: Dom: f() è definita per ogni [0,) (, ) Segno: poicé e è sempre 0: f()=0 per =0, è negativa per le 0< < e positiva per le >. iti agli estremi : f () = 0 f () = f () = quindi la retta 0 = è un asintoto verticale, f () = ce si può calcolare semplicemente considerando ce la funzione e a ordine di infinito superiore al polinomio (-) al denominatore. f () eventuali asintoti obliqui: ance se f () =, = e considerazioni analoge al ite precedente, quindi non esistono asintoti obliqui. crescenza e decrescenza, massimi e minimi : e e ( ) e f'() = ( ) = e ( ) ( ), poicé = ± 7, f'()=0 solo per _ = 7 = e = per ( ) si annulla per.8 percé l'altra radice non è compresa nel dominio, dallo studio del segno risulta ce f ' 7 () > 0 nell' intervallo, perciò f() cresce in tale intervallo e decresce in (0, ) e, 7, inoltre P(, f () ) è punto di minimo relativo, dalla crescenza della funzione si deduce ance ce Q(0,0) è un punto di massimo. b) tralasciando il calcolo di f"() potremmo osservare ce: il o f ' () = significa ce f(0)=0 con tangente verticale e quindi in un intorno destro di =0 f() è convessa, mentre poicé f () = in un intorno sinistro di = f() è concava, quindi possiamo concludere ce nell 'intervallo (0,) esiste certamente un flesso (oppure un numero dispari), mentre, poicé f () = e f () = e P è punto di minimo, f() potrebbe essere convessa in tutto l'intervallo (, )(non esistendo flessi) oppure avere un numero pari di flessi. c)

12 dal grafico precedente apparentemente f() non a flessi ma se restringiamo ad un rettangolo opportuno vicino all'origine degli assi notiamo il flesso evidenziato dalle considerazioni del punto b) Studiare dominio, segno, zeri, iti agli estremi, crescenza e decrescenza ed eventuali massimi e minimi della funzione f () = log e disegnarne approssimativamente il grafico. Soluzione: La funzione è definita quando è definita e positiva ( )( ) =, cioè in (, 0) (0, ) (, ). Si annulla quando =, cioè quando = da cui = oppure =, è positiva nell'intervallo (, ) e negativa altrove. Poicé ± = (si calcola dividendo sopra e sotto per ) si a log ± = log = log, quindi f () a un asintoto orizzontale.