DERIVATA DI UNA FUNZIONE REALE. In quanto segue denoteremo con I un intervallo di IR e con f una funzione di I in IR.

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1 DERIVATA DI UNA FUNZIONE REALE 1. Definizioni. In quanto segue denoteremo con I un intervallo di IR e con f una funzione di I in IR. DEFINIZIONE 1. Sia x 0 un elemento di I. Per ogni x (I \ {x 0 }) consideriamo il rapporto f(x) f(x 0 ) x x 0 (1) che si chiama rapporto incrementale della funzione f in x 0. Se esiste ed è finito f(x) f(x lim 0 ), x x 0 x x 0 si dice che la funzione f è derivabile in x 0. Il limite del rapporto (1) quando esiste finito si denota con uno dei simboli f (x 0 ), (Df)(x 0 ), (df/dx) x=x0 e si chiama derivata prima (o semplicemente derivata) della f in x 0. Se il rapporto (1) ammette limite finito per x x + 0, chiameremo tale limite derivata destra della f in x 0 e la denoteremo con f + (x 0) o con (D + f)(x 0 ). 1

2 Se il rapporto (1) ammette limite finito per x x 0, chiameremo tale limite derivata sinistra della f in x 0 e la denoteremo con f (x 0) o con (D f)(x 0 ). La differenza f = f(x) f(x 0 ) rappresenta l incremento della funzione f nel passaggio dal punto x 0 al punto x. La differenza x = x x 0 denota l incremento della variabile indipendente. Osservazione 1. La derivata in un punto x 0 interno ad I esiste se e solo se esistono f (x 0), f + (x 0) e f (x 0) = f + (x 0). DEFINIZIONE 2. Se la funzione f : I IR è derivabile in ogni punto di I, diremo che la f è derivabile in I. La funzione che ad ogni x di I associa la derivata f (x) della f nel punto x si chiama derivata (prima) della funzione f e si denota con f o con Df. Esempio 1. Ogni funzione costante f : IR IR è derivabile in IR. Esempio 2. La funzione f : IR IR definita da f(x) = x è derivabile in IR e risulta f (x) = 1 per ogni x IR. Esempio 3. La funzione f : IR IR definita da f(x) = x non è derivabile in 0. 2

3 Il teorema che segue mette in relazione derivabilità e continuità di una funzione in un punto x 0. TEOREMA 1. Se la funzione f : I IR è derivabile in x 0 I, allora essa è continua in x 0. Dimostrazione. Dato che per ogni x (I \ {x 0 }) si ha: riesce cioè la tesi. f(x) = f(x 0 ) + f(x) f(x 0) x x 0 (x x 0 ), lim (f(x x x 0 ) + f(x) f(x 0) (x x 0 )) 0 x x 0 = f(x 0 ) + f (x 0 ) 0 = f(x 0 ), Il teor. 1 afferma che la continuità in x 0 è condizione necessaria per la derivabilità della f in x 0 ma non sufficiente, basta pensare alla funzione f(x) = x che è continua in IR, ma non è derivabile in 0. 3

4 2. Teoremi per il calcolo delle derivate. Per il calcolo delle derivate si utilizzano i teoremi che seguono: TEOREMA 2. Se f, g : I IR sono due funzioni derivabili nel punto x 0 dell intervallo I, allora la funzione F : I IR definita da F (x) = f(x) + g(x) è derivabile in x 0 e si ha: F (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ). Dimostrazione. Per ogni x (I \ {x 0 }) risulta F (x) F (x 0 ) x x 0 = f(x) + g(x) f(x 0) g(x 0 ) x x 0 e quindi cioè l asserto. = f(x) f(x 0) x x 0 + g(x) g(x 0) x x 0 F (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ), TEOREMA 3. Se f, g : I IR sono due funzioni derivabili nel punto x 0 dell intervallo I, allora la funzione F : I IR definita da F (x) = f(x)g(x) è derivabile in x 0 e si ha: F (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) + f(x 0 )g (x 0 ). 4

5 COROLLARIO 1. Se la funzione f : I IR è derivabile nel punto x 0 dell intervallo I, allora la funzione F : I IR definita da F (x) = cf(x) è derivabile in x 0 e si ha: F (x 0 ) = cf (x 0 ). TEOREMA 4. Se f, g : I IR sono due funzioni derivabili nel punto x 0 dell intervallo I e se g(x) 0 per ogni x I, allora la funzione F : I IR definita da F (x) = f(x)/g(x) è derivabile in x 0 e si ha: F (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) f(x 0 )g (x 0 ) g 2. (x 0 ) COROLLARIO 2. Se la funzione f : I IR \ {0} è derivabile nel punto x 0 dell intervallo I, allora la funzione F : I IR definita da F (x) = 1/f(x) è derivabile in x 0 e si ha: F (x 0 ) = f (x 0 ) f 2 (x 0 ). Esempio 4. La funzione f : IR IR definita da f(x) = x n è derivabile in IR e si ha: f (x) = nx n 1. Esempio 5. La funzione f : IR \ {0} IR definita da f(x) = x n è derivabile in IR\{0} e si ha: f (x) = n/x n+1. 5

6 TEOREMA 5. (Derivazione delle funzioni composte). Siano I, J due intervalli di IR, f : I J e g : J IR. Se la funzione f è derivabile in x 0 I e la funzione g è derivabile in f(x 0 ) J, allora la funzione F : I IR definita da F (x) = g(f(x)) = (g f)(x) è derivabile in x 0 e risulta F (x 0 ) = g (f(x 0 )) f (x 0 ). TEOREMA 6. (Derivazione delle funzioni inverse). Se f : I IR è una funzione strettamente monotona, continua nell intervallo I e derivabile in x 0 I con f (x 0 ) 0, allora la funzione F : f(i) I definita da F (x) = f 1 (x) è derivabile in f(x 0 ) e risulta F (f(x 0 )) = 1/f (x 0 ). 3. Derivate successive. Sia I un intervallo di IR e f : I IR derivabile in I. Se la derivata f della funzione f è, a sua volta, derivabile in I, allora in I resta definita una nuova funzione, la derivata di f, che chiameremo derivata seconda della f e denoteremo con f. Se esiste la derivata della derivata seconda, chiameremo tale funzione derivata terza della f e la denoteremo con f. Continuando in questo modo, otterremo le funzioni f, f,..., f (n), 6

7 la funzione f (i) si chiama derivata i ma o derivata d ordine i della f ed è la derivata della funzione f (i 1), ove f (0) = f. La derivata i ma della f si denota anche con il simbolo D i f. Se la funzione f è dotata di derivata di qualsiasi ordine in I, diremo che la f è indefinitamente derivabile in I o che f C (I). Esempio 6. La funzione f : IR IR definita da f(x) = x n è dotata di derivata di qualsiasi ordine in IR. 4. Punti di massimo e di minimo relativo. Proprietà locali di una funzione mediante il segno della sua derivata. DEFINIZIONE 3. Sia I un intervallo. Una funzione f : I IR si dice crescente (si veda fig. 2) nel punto x 0 di I se esiste δ > 0 tale che i) f(x) < f(x 0 ) per ogni x ]x 0 δ, x 0 [ I, ii) f(x) > f(x 0 ) per ogni x ]x 0, x 0 + δ[ I. Osservazione 2. Da (i) e (ii) segue che la funzione f è crescente in x 0 se e solo se il rapporto f(x) f(x 0 ) x x > 0 per ogni x ]x 0 0 δ, x 0 +δ[ I e x x 0. 7

8 DEFINIZIONE 4. Sia I un intervallo. Una funzione f : I IR si dice decrescente (si veda fig. 3) in x 0 se esiste δ > 0 tale che i) f(x) > f(x 0 ) per ogni x ]x 0 δ, x 0 [ I, ii) f(x) < f(x 0 ) per ogni x ]x 0, x 0 + δ[ I. Osservazione 3. Da (i) e (ii) della def. 4 segue che la funzione f è decrescente in x 0 se e solo se il rapporto f(x) f(x 0) x x < 0 per ogni x ]x 0 0 δ, x 0 +δ[ I e x x 0. Osservazione 4. Se la funzione f è derivabile in x 0, allora i) f (x 0 ) 0 se la f è crescente in x 0, ii) f (x 0 ) 0 se la f è decrescente in x 0. Il corollario che segue dà una condizione sufficiente affinché una funzione sia crescente o decrescente in un punto. 8

9 COROLLARIO 3. Sia I un intervallo e f : I IR una funzione derivabile in x 0 : i) se f (x 0 ) > 0 la f è crescente in x 0, ii) se f (x 0 ) < 0 la f è decrescente in x 0. La condizione espressa dal cor. 3 è solo sufficiente, infatti esistono funzioni crescenti o decrescenti che hanno derivata uguale a zero in qualche punto. Ad esempio la funzione crescente f(x) = x 3 ha derivata nulla in 0. DEFINIZIONE 5. Sia I un intervallo. Si dice che la funzione f : I IR ha un massimo relativo nel punto x 0 di I se esiste δ > 0 tale che f(x) f(x 0 ) per ogni x ]x 0 δ, x 0 + δ[ I. Se f(x) < f(x 0 ) per ogni x ]x 0 δ, x 0 + δ[ I \ {x 0 } si dice che x 0 è un punto di massimo relativo forte (si veda fig. 4). DEFINIZIONE 6. Sia I un intervallo e f : I IR. Si dice che la funzione f ha un minimo relativo nel punto x 0 di I se esiste δ > 0 tale che f(x) f(x 0 ) per ogni x ]x 0 δ, x 0 + δ[ I. Se f(x) > f(x 0 ) per ogni x ]x 0 δ, x 0 + δ[ I \ {x 0 } si dice che x 0 è un punto di minimo relativo forte (si veda fig. 5). 9

10 Osservazione 5. Se x 0 è un punto ove la funzione f assume valore minimo (massimo), allora x 0 è un punto di minimo (massimo) relativo. Il teorema che segue dà informazioni sul valore della derivata nei punti di massimo o minimo relativo. TEOREMA 7. Sia I un intervallo e x 0 un punto interno ad I. Se la funzione f ha un massimo o minimo relativo nel punto x 0 e la f è derivabile in x 0, allora f (x 0 ) = Teoremi sulle funzioni derivabili. TEOREMA 8. (Teorema di Rolle). Sia [a, b] un intervallo chiuso e limitato. Se la funzione f : [a, b] IR è continua in [a, b], derivabile nell intervallo ]a, b[ e se f(a) = f(b), allora esiste (almeno) un punto c ]a, b[ tale che f (c) = 0. 10

11 Dimostrazione. Se la funzione f è costante, allora f (x) = 0 per ogni x [a, b] e il teorema è dimostrato essendo c un qualsiasi punto dell intervallo ]a, b[. Se la funzione f non è costante in [a, b], per il teorema di Weierstrass, esistono due punti c, d [a, b] tali che f(c) = min f e f(d) = max f. Dato che f(c) f(d), l ipotesi f(a) = f(b) assicura che uno almeno dei due punti c, d appartiene all intervallo aperto ]a, b[, supponiamo che sia c. Poiché la f è derivabile in c, che è un punto di minimo, per il teor. 7, si ha: f (c) = 0, cioè l asserto. TEOREMA 9. (Teorema di Cauchy). Se f, g : [a, b] IR sono due funzioni continue nell intervallo chiuso e limitato [a, b] e derivabili in ]a, b[, allora esiste almeno un punto c ]a, b[ tale che [g(b) g(a)]f (c) [f(b) f(a)]g (c) = 0. TEOREMA 10. (Teorema di Lagrange). Se f : [a, b] IR è una funzione continua nell intervallo chiuso e limitato [a, b] e derivabile in ]a, b[, allora esiste (almeno) un punto c ]a, b[ tale che f(b) f(a) = (b a)f (c). 11

12 Osservazione 6. Geometricamente il teorema di Rolle assicura che esiste un punto c ]a, b[, tale che la tangente al grafico della f nel punto (c, f(c)) sia parallela all asse delle x (si veda fig. 6). Il teorema di Lagrange assicura che esiste un punto (c, f(c)) tale che la tangente al grafico della f nel punto (c, f(c)) sia parallela alla corda di estremi (a, f(a)) e (b, f(b)) (si veda fig. 7). 6. Conseguenze del teorema di Lagrange. Il corollario che segue dà una condizione sufficiente affinché una funzione sia strettamente monotona o costante in un intervallo. COROLLARIO 4. Sia I un intervallo e f : I IR una funzione continua e derivabile nei punti interni di I. 12

13 i) Se f (x) > 0 in ogni punto x interno ad I, allora la f è crescente in I; ii) se f (x) < 0 in ogni punto x interno ad I, allora la f è decrescente in I; iii) se f (x) = 0 in ogni punto x interno ad I, allora la f è costante in I. COROLLARIO 5. Siano f, g : I IR due funzioni continue nell intervallo I e derivabili nei punti interni di I. Se f (x) = g (x) per ogni x interno ad I, allora la funzione F : I IR definita da F (x) = f(x) g(x) è costante. DEFINIZIONE 7. Sia I un intervallo e f, F : I IR. Se la funzione F è derivabile in I e risulta F (x) = f(x) per ogni x I, diremo che la F è una primitiva della f. Osservazione 7. Se la funzione F è una primitiva della f, allora per ogni c IR la funzione G(x) = F (x) + c è una primitiva della f. E dato che due primitive di una stessa funzione differiscono per una costante (cor. 5), si deduce che l insieme {F (x) + c : c IR} ha come elementi tutte e soltanto le primitive della f. 13

14 7. Regola di de LHôpital. Il teorema che segue è utile per il calcolo dei limiti che danno luogo ad una forma indeterminata ed è noto come regola di de LHôpital. TEOREMA 11. Siano I un intervallo, x 0 I e f, g : (I \ {x 0 }) IR due funzioni derivabili con g(x)g (x) 0 per ogni x (I \ {x 0 }). Se esiste e se f (x) lim x x 0 g (x) = l ĨR i) lim x x0 f(x) = lim x x0 g(x) = 0 oppure ii) lim x x0 g(x) =, allora esiste f(x) lim x x 0 g(x) = l. Si noti che il risultato precedente sussiste anche se x 0 è un punto di accumulazione per I e non appartiene ad I, oppure se x 0 = +, nell ipotesi che I non è limitato superiormente, inferiormente. Esempio 7. Calcolare: lim x + log x x, lim x + e x x, lim x 0 + x log x. 14

15 8. Criteri per la ricerca dei punti di massimo e minimo relativo, dei punti di crescenza e di decrescenza. Daremo dei criteri che permettono di determinare, se esistono, i punti di massimo e di minimo relativo, di crescenza e di decrescenza di una funzione, utilizzando il segno delle sue derivate. TEOREMA 12. Sia I un intervallo aperto, x 0 I e f : I IR una funzione continua in I e derivabile in I \ {x 0 }. Se esiste δ > 0 tale che ]x 0 δ, x 0 + δ[ I e se riesce f (x) > 0 (f (x) < 0) per ogni x ]x 0 δ, x 0 [ e f (x) < 0 (f (x) > 0) per ogni x ]x 0, x 0 +δ[, allora la funzione f ha un massimo (minimo) relativo nel punto x 0. TEOREMA 13. Siano I un intervallo aperto di IR, x 0 un punto di I ed n > 1. Se la funzione f è dotata di derivate fino a quella di ordine (n 1) in I e di derivata di ordine n in x 0 e se: f (x 0 ) = f (x 0 ) = = f (n 1) (x 0 ) = 0 e f (n) (x 0 ) 0, allora: i) se n è pari e f (n) (x 0 ) < 0 la funzione f ha un massimo relativo forte in x 0 ; 15

16 ii) se n è pari e f (n) (x 0 ) > 0 la funzione f ha un minimo relativo forte in x 0 ; iii) se n è dispari e f (n) (x 0 ) < 0 la funzione f è decrescente in x 0 ; iv) se n è dispari e f (n) (x 0 ) > 0 la funzione f è crescente in x 0. Esempio 8. Determinare i punti di massimo e minimo relativo delle funzioni f, g : IR IR definite da f(x) = x 2 e x e g(x) = x 3 /3 3x 2 /2 + 2x Funzioni convesse e concave in un punto. Punti di flesso. Sia I un intervallo aperto, x 0 I e f : I IR derivabile in x 0. In tali ipotesi il grafico della funzione f ammette tangente nel punto (x 0, f(x 0 )) e questa ha equazione y(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). Vogliamo definire alcune proprietà della f, connesse alla sua posizione rispetto alla retta tangente al suo grafico nel punto (x 0, f(x 0 )). A tal fine consideriamo la funzione F : I IR definita da F (x) = f(x) y(x) = f(x) f(x 0 ) (x x 0 )f (x 0 ). 16

17 DEFINIZIONE 8. Sia I un intervallo aperto, x 0 I e f : I IR una funzione derivabile in x 0. La funzione f si dice convessa (concava) nel punto x 0 se esiste I(x 0 ) I tale che F (x) > 0 (F (x) < 0) per ogni x I \ {x 0 }. Nelle figure 8 e 9 è riportato rispettivamente il grafico di una funzione convessa e di una funzione concava in x 0. Dalla def. 8 segue che la funzione f è convessa (concava) in x 0 se e solo se la funzione F ha un minimo (massimo) relativo forte in x 0. DEFINIZIONE 9. Sia I un intervallo aperto, x 0 I e f : I IR una funzione derivabile in x 0. Se la funzione F : I IR definita da F (x) = f(x) f(x 0 ) (x x 0 )f (x 0 ) è crescente o decrescente nel punto x 0 diremo che la funzione f ha un flesso nel punto x 0. (Fig.10) 17

18 Il teorema che segue permette di individuare i punti ove una funzione è convessa, concava o dotata di flesso. TEOREMA 14. Sia I un intervallo aperto, x 0 I e f : I IR. Se la funzione f è dotata di derivate fino a quella di ordine n 1 (n 2) in I, di derivata di ordine n in x 0 e risulta f (x 0 ) = f (x 0 ) = = f (n 1) (x 0 ) = 0 e f (n) (x 0 ) 0 se n > 2 o f (x 0 ) 0 se n = 2 allora i) se n è pari e f (n) (x 0 ) > 0 laf è convessa in x 0, ii) se n è pari e f (n) (x 0 ) < 0 la f è concava in x 0, iii) se n è dispari, la f ha un flesso nel punto x 0. DEFINIZIONE 10. Sia I un intervallo aperto e f : I IR una funzione derivabile in I. Se la funzione f è convessa (concava) in ogni punto di I, diremo che essa è convessa (concava) in I. 18

19 Osservazione 8. I punti di flesso vanno ricercati tra gli zeri della derivata seconda. 13. Asintoti. DEFINIZIONE 11. Sia I un intervallo di IR, x 0 un punto di accumulazione da sinistra di I e f : I IR. Se lim x x f(x) =, diremo che la 0 retta di equazione x = x 0 è un asintoto verticale (da sinistra) per la funzione f. Analogamente se x 0 è un punto di accumulazione da destra di I e se lim x x + f(x) =, diremo che la retta di 0 equazione x = x 0 è un asintoto verticale (da destra) per la funzione f (si veda fig. 11). 19

20 DEFINIZIONE 12. Sia I un intervallo non limitato superiormente e f : I IR. Se esiste ed è finito il lim x + f(x) = l, diremo che la retta di equazione y = l è un asintoto orizzontale per la funzione f. Allo stesso modo se I è un intervallo non limitato inferiormente ed esiste finito lim x f(x) = l, diremo che la retta di equazione y = l è un asintoto orizzontale per la f. DEFINIZIONE 13. Sia I un intervallo non limitato superiormente (inferiormente) e f : I IR. Diremo che la retta di equazione y = mx + n (m 0) è un asintoto obliquo per la f se lim x + (f(x) mx n) = 0 ( lim x (f(x) mx n) = 0)). 20