Misura. Istituzioni di matematiche 2. Come facciamo a misurare? Come facciamo a misurare? Diego Noja

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1 Istituzioni di matematiche 2 Diego Noja (diego.noja@unimib.it) 10 marzo 2009 Misura CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 1 CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 2 Come facciamo a misurare? Il modo migliore per introdurre il concetto di misura è proporre una attività pratica di misurare. Per esempio per procedere alla misurazione di lunghezza e larghezza della stanza in cui ci troviamo, dobbiamo scegliere un campione un metro un pezzo di corda una sciarpa un foglio di carta... Come facciamo a misurare? Se vogliamo ad esempio misurare la lunghezza di questa stanza, l operazione di misura equivale a valutare il rapporto tra la lunghezza che vogliamo misurare e la lunghezza di un campione (quante volte il campione ci sta nella stanza). CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 3 CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 4

2 Come facciamo a misurare? Se il campione non è contenuto un numero intero di volte (avanza un pezzettino), suddividiamo il campione in parti uguali più piccole procediamo con questo nuovo campione. Procediamo alla stessa maniera, fino a che non otteniamo un campione contenuto un numero intero di volte. Piano pratico/concreto Il procedimento ha sempre termine nella pratica perché la misurazione ha una approssimazione sufficiente; perché lo strumento di misura non ci permettere di suddividere ulteriormente il campione. Ma è sempre possibile? Questa procedura ha un termine? CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 5 CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 6 Piano teorico/astratto Dal punto di vista teorico il procedimento ha termine se e solo se la grandezza da misurare e il campione hanno un sottomultiplo comune; in altre parole, il procedimento ha termine se e solo se la misura è espressa da un numero razionale. Piano teorico/astratto Se ho diviso l unità di misura (la corda ) in 17 parti uguali e mi accorgo che questa parte (il diciassettesimo di corda) ci sta 25 volte nel tavolo, allora posso dire che rispetto alla corda il tavolo misura CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 7 CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 8

3 Piano teorico/astratto Nel caso in cui il procedimento ha termine, le due grandezze (cioè la grandezza da misurare e il campione) sono dette commensurabili. ATTENZIONE: esistono coppie di grandezze per cui il procedimento non ha termine, ad esempio Teorema di Pitagora Teorema In un triangolo rettangolo, l area del quadrato costruito sull ipotenusa è equivalente alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui due cateti. il lato e la diagonale del quadrato sono grandezze incommensurabili. CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 9 CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 10 Diagonale del quadrato Notiamo che l espressione incommensurabili non significa affatto che non si può misurare o non si può determinare disegniamo il con il compasso 1 quadrato con riportiamo la lato di lunghezza 3 lunghezza della 1 diagonale sulla retta Formule 2 la diagonale ha lunghezza CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 11 CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 12

4 Formule Il passaggio alle misure ci permette di utilizzare le formule. Infatti misurando trasformiamo le grandezze geometriche in numeri, su cui poi possiamo operare con le normali operazioni (somma, prodotto,...) per correlare tra loro grandezze diverse. Area (in quadretti) pari a 7 3 Saper leggere una formula Cosa è necessario sapere circa le formule? Sono fondamentalmente due le cose su cui è necessario acquisire scioltezza: rendersi conto di quando può esistere una formula che lega certi dati e quando no; saper leggere la formula e saperla usare con la minor fatica possibile. (M. Dedò, Misura, proporzionalità, similitudine, dispense stampate a cura del Dipartimento di Matematica F. Enriques, settembre 2001) CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 13 CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 14 Esiste una formula? Può esistere una formula che permette di calcolare l area di un rombo conoscendo solo la lunghezza del suo lato? Osserviamo che risposte del tipo non esiste, perché non la conosco o non esiste, perché non l ho trovata su nessun libro lasciano una certa insoddisfazione in chi le riceve (potrebbero non essere convincenti). È utile in questi casi costruire spiegazioni che taglino la testa al toro e non lascino dubbi ai nostri interlocutori. Esiste una formula? Esiste una formula che permette di ricavare l area di un triangolo conoscendo solo le lunghezze dei suoi tre lati? Anche se non conosciamo una formula siffatta, sappiamo che la conoscenza della lunghezza dei tre lati individua univocamente il triangolo. Questo significa che è ragionevole pensare che una tale formula si possa trovare. CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 15 CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 16

5 Usare la formula È molto utile riconoscere nelle formule certe regolarità, la più importante di tutte è la relazione di proporzionalità tra grandezze. Se, come accade spesso in geometria, due grandezze dipendono l una dall altra (esiste cioè una formula che le lega) se la legge è del tipo moltiplicazione per una costante possiamo immediatamente riconoscere la proporzionalità. Ad esempio per i rettangoli, se h indica la misura dell altezza di un rettangolo, b indica la misura della base del medesimo rettangolo e A indica la misura della sua area allora A = b h Usare la formula Per i rettangoli vale una relazione di proporzionalità: se h indica la misura dell altezza di un rettangolo, b indica la misura della base del medesimo rettangolo e A indica la misura della sua area allora A = b h se ho un rettangolo che ha altezza h area tot, allora per ottenere un rettangolo con area doppia sappiamo che è sufficiente prendere un rettangolo con altezza h e base doppia di quella del primo rettangolo ma è anche possibile prendere un rettangolo che ha altezza doppia e base uguale a quella del primo rettangolo. CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 17 CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 18 Esempi La formula che lega la lunghezza del perimetro p di un quadrato alla lunghezza del suo lato l (misurati rispetto alla stessa unità di misura) è p = 4 l riconosciamo nella formula un legame di proporzionalità diretta se l raddoppia, allora anche p raddoppia se voglio che p raddoppi, allora so che devo raddoppiare l Esempi La formula che lega la misura A dell area di un quadrato alla lunghezza del suo lato l è A = l 2 il legame non è un legame di proporzionalità diretta se l raddoppia, allora A... se voglio che A raddoppi, allora l... Ulteriori esempi saranno trattati nella prima esercitazione. CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 19 CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 20

6 Approssimazioni di numeri reali Approssimazioni I numeri razionali sono densi nei numeri reali. Questo significa che ogni numero reale può essere approssimato in maniera efficiente da un numero razionale. Questo giustifica il fatto che quando effettuiamo una misurazione possiamo essere sicuri che, anche se la procedura non dovesse aver termine, raggiungiamo comunque un livello in cui l approssimazione è adeguata. CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 21 CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 22 Approssimazioni di numeri reali Vediamo il caso di 2. Consideriamo una approssimazione con due cifre decimali: il numero reale 2 è compreso tra i numeri razionali 1, 41 e 1, 42, quindi il punto corrispondente a 2 sarà uno dei punti compresi tra il punto corrispondente a 1, 41 e il punto corrispondente a 1, 42. Se effettuiamo un disegno molto ingrandito, siamo in grado di percepire la differenza tra 1, 41 e 1, 42 e quindi l approssimazione a due cifre non è sufficiente a permetterci di individuare il punto corrispondente a 2 1, , Approssimazioni di numeri reali 1, , Se il disegno è di dimensioni normali non siamo più in grado di percepire la differenza 1, , In quest ultimo disegno l approssimazione a una cifra è più che sufficiente e possiamo assumere 2 = 1, 4. CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 23 CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 24

7 Riflessioni sulle conoscenze di base Carta formato A4 dimensioni foglio A4: larghezza 20, 99 cm, altezza 29, 7 cm Area: 20, 99 29, 7 cm 2 ovvero 623, 403 cm 2 ma 20, 99 21, 0, se avessimo utilizzato la misura di 21 cm? il calcolo dell area darebbe 623, 7 cm 2 alcuni di voi hanno risposto 619, 5 cm 2 che è il risultato della moltiplicazione 21 29, 5 Chi ha ragione? Approssimazione per approssimazione, cominciamo con lo scegliere una approssimazione comoda : larghezza 21 cm e altezza 30 cm con questa approssimazione l area risulterebbe di 630 cm 2. il 10% di 630 è 63 quindi se ci accontentiamo di una misura con margine di approssimazione del 10% sono esatte tutte le misure comprese tra 567 e 693 se ci accontentiamo di un margine di approssimazione del 10% il dato base di 630 non si discosta poi molto del dato base di 623, 403, che darebbe l intervallo delle misure comprese tra 561 e 685 CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 25 CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 26 Approssimazione del 20% Partendo, per semplicità, dal dato base di 630 cm 2, una approssimazione del 20% significa considerare misure a meno di 126 cm 2 da un minimo di 504 a un massimo di 756 CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 27 Misurazioni Ma come possiamo valutare l approssimazione della misurazione se non sappiamo qual è il dato base corretto? Qual è un margine di errore accettabile? Il margine di errore è principalmente determinato dallo strumento utilizzato. Ad esempio se misuriamo il foglio di carta A4 con un righello, possiamo ottenere una misura a meno di un millimetro. La nostra misurazione dell area del foglio A4 sarà perciò 21, 0 ± 0, 1 cm di larghezza e 29, 7 ± 0, 1 cm di altezza CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 28

8 Misurazioni Osserviamo che scrivendo che una misura è 21, 0 ± 0, 1 cm intendiamo che la misura esatta è un valore compreso tra 20, 9 cm e 21, 1 cm Valutiamo l errore percentuale, cioè confrontiamo l errore nella misurazione con la grandezza che si vuole misurare: 0, 1 21 = , 5% Un errore dello 0, 5% è intrinseco nella misurazione che stiamo effettuando. Misurazioni Per quel che riguarda le aree, l errore riportato nelle misurazioni lineari si ripercuote sulla misura dell area. Si ha infatti la misura della larghezza è un valore compreso tra 20, 9 cm e 21, 1 cm la misura dell altezza è un valore compreso tra 29, 6 cm e 29, 8 cm Applicando la formula dell area del rettangolo si ha la misura dell area è un valore compreso tra 618, 64 cm 2 e 628, 78 cm 2 con un margine di errore di 10, 14 cm 2 (ovvero ±5, 07 cm 2 ). CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 29 CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 30 Misurazioni Un errore di ±0, 1 cm nella misurazione delle lunghezze ci porta un errore di ±5 cm 2 nella misurazione dell area Ne consegue che i numeri dati per la misurazione delle aree 623, , 7 619, 5 non hanno senso: la parte decimale è del tutto irrilevante. Ha senso scrivere che la misura dell area è 623 ± 5 cm 2. Carta formato A4 Approssimativamente un foglio di carta A4 misura 21 cm per 30 cm. Se misuriamo il foglio di carta A4 con un righello, possiamo ottenere una misura a meno di un millimetro Dovremmo allora scrivere che le dimensioni del foglio A4 sono perciò 21, 0 ± 0, 1 cm per 29, 7 ± 0, 1 cm Quanto misura la diagonale del foglio di carta A4? CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 31 CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 32