3) Vengono di nuovo ripetute le misure del punto 2 e i risultati sono s, s, s, s, s, s, s, 96.

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1 Problema A Un pendolo e costituito da una massa di dimensioni trascurabili appesa a un filo considerato in estensibile, di massa trascurabile, lunghezza L, e fissato a un estremo. L Il periodo di oscillazione del pendolo e dato da T= 2π, dove g e l accelerazione g di gravita. La lunghezza L e misurata da varie persone e i risultati sono 924 mm, 922 mm, 924 mm, 923 mm, 924 mm, 924 mm 1 Viene misurato varie volte il periodo di tempo impiegato dal pendolo per fare 10 oscillazioni, e i risultati sono s, s, 19.27, s s s, 19.39, Calcolare il valore di g, il suo errore massimo, il suo errore statistico 2 Viene poi misurato piu volte il tempo necessario per far compiere al pendolo 50 oscillazioni. I risultati sono: s, s, s, s, s, s, s Questi risultati sono compatibili con i precedenti? 3 Vengono di nuovo ripetute le misure del punto 2 e i risultati sono s, s, s, s, s, s, s, s Il risultato e anomalo? Perche? Lo posso eliminare? Perche? Se lo elimino, i risultati sono compatibili con i precedenti? Perche? Se non lo elimino, i risultati sono compatibili con i precedenti? Perche? 4 Considerando tutti i dati che ho, qual e la miglior stima di g e il suo errore? Problema B Uno strumento misura la radioattivita ambientale e fornisce il risultato sotto forma di numero di particelle ionizzanti rivelate in un certo intervallo di tempo. Prima faccio contare lo strumento per 1000 secondi e trovo 1126 particelle. Vado in giro a misurare in vari posti, facendo ogni volta contare allo strumento per 100 s e trovo questi conteggi nei vari posti A 113, B 98, C 119, D 115, E 121, F 104, G 107, H 132, I Ritengo il posto H anomalo, perche? ci sono altri posti anomali? 2 Ripeto la misura nel posto H, questa volta conto per 500 s, ottengo 651 conteggi. Quanto posso essere sicuro che nel posto H c e qualcosa di strano?

2 Problema C E consuetudine curare la malattia X mediante rimozione di un pezzo di cartilagine. Sottopongo 100 pazienti che soffrono della malattia X al ginocchio a un operazione con rimozione di un pezzo di cartilagine. Dopo l operazione 27 pazienti camminano visibilmente meglio di prima. Sottopongo altri 100 pazienti simili ai primi a una finta operazione (ma loro non sanno che e finta in cui viene fatto tutto come nel primo caso (sala operatoria, anestesia, tagli, sangue etc, ma non viene rimossa la cartilagine. Caso A: 25 pazienti dopo la finta operazione camminano visibilmente meglio di prima. Caso B: 11 pazienti dopo la finta operazione camminano visibilmente meglio di prima. Se si verifica il caso A l asportazione della cartilagine serve effettivamente o e solo effetto placebo? Perche? Se si verifica il caso B l asportazione della cartilagine serve effettivamente o e solo effetto placebo? Perche? (la prova e stata fatta realmente e si e verificato il caso A Problema D 6 persone misurano le stesse quantita X e Y ciascuna con il suo strumento (ad esempio le due quantita potrebbero essere le lunghezze dei lati di uno stesso rettangolo, e ognuno usa un suo metro. I risultati sono: Persona misura X misura Y A B C D E F L errore di misura su X e correlato con l errore di misura su Y nella stessa coppia? (in altre parole: i valori ottenuti di X e Y sono correlati?. Quanto sono correlati? Posso dedurre dai dati una relazione tra gli errori su X e quelli su Y? Se calcolo il prodotto Z = XY come valuto l errore su Z? Se calcolo il rapporto W = X/Y come valuto l errore su W? ( se vi serve il calcolo dei coefficienti di una retta col metodo dei minimi quadrati 2 ( x ( ( ( i xi xi A = N( xi ( xi ( B = 2 2 = N ( x i ( xi Se y=ax+b

3 Soluzioni Problema A 1 (L medio= mm, L = 1 mm, σ L =0.84, quindi L= (923±1 mm (errore massimo, L=(923.5±0.8 mm (errore statistico, L=(923.3±0.4 mm (errore statistico sulla media t medio prima serie = s, σ t =0.17 s t=0.2 s, t prima serie =(19.3±0.2 s (errore massimo, t prima serie = (19.26±0.17 s (errore statistico, t prima serie =(19.26±0.08 s (errore statistico sulla media T medio prima serie = s, σ T =0.017 s t=0.02 s, T prima serie =(1.93±0.02 s (errore massimo, T prima serie = (1.926±0.017 s (errore statistico, T prima serie =(1.926±0.008 s (errore statistico sulla media g=4π 2 L/T 2 = * /( m s -2 = m s -2 g= (4π 2 /T 2 L + (8π 2 L/T 3 T = (10.6 * * 0.02 m s ms -2. σ 2 g = (4π 2 /T 2 2 σ 2 L + (8π 2 L/T 3 2 σ 2 T = (112 * * m 2 s -4 = m 2 s -4 σ g = 0.08 ms -2 (se uso l errore statistico sulle medie g= (9.8±0.2 errore massimo, (9.83±0.08 errore statistico 2 t medio seconda serie = s, σ t =0.13 s t=0.2 s, t seconda serie =(96.7±0.2 s (errore massimo, t prima serie = (96.70±0.13 s (errore statistico, t prima serie =(96.70±0.06 s (errore statistico sulla media T medio seconda serie = s, σ T = s t=0.004 s, T seconda serie = (1.923±0.004 s (errore massimo, T seconda serie = (1.9228± s (errore statistico, T prima serie =(1.9228± s (errore statistico sulla media La differenza tra il periodo T calcolato con la prima serie di dati e quello calcolato con la seconda serie e meno della somma in quadratura degli errori statistici sulle medie, quindi i dati sono pienamente compatibili. 3 Media s deviazione standard σ=0.6 s, s dista da media circa 1.5 s, 2.5 deviazioni standard, la probabilita che questo sia dovuto al caso e circa Ho fatto 8 misure, quindi dovrei aspettarmi in media 8*0.012= 0.1 misure che scartino come questa o piu di questa. 1 e sensibilmente maggiore di 0.1 (e di 0.1+ la sua deviazione standard 0.03, quindi posso rigettare la misure (ad esempio potrei per sbaglio aver contato 51 oscillazioni invece di 50

4 Rigettando la misure ho media = s, σ=0.11 s, dev. standard della media= 0.04 La differenza in modulo tra i valori medi dei tempi misurati nella seconda e terza serie di misure = s= 0.12 s, errore statistico sulla differenza delle medie = ( /2 s= 0.07 s. La differenza dista da 0 per 1.7 deviazioni standard. Ci sono circa 0.09 probabilita che questo sia dovuto al caso. E quindi 0.91 probabilita che la differenza abbia qualche causa specifica. Se non escludo la misura anomala le cose vanno ancora peggio (da continuare Problema B La deviazione standard dei conteggi e la radice quadrata dei conteggi, quindi per il primo conteggio e circa 34, per la seconda serie circa 10, per la terza circa 26. Il primo valore corrisponde a (1.126 ±0.034 conteggi al secondo, i conteggi misurati in H sono (1.32±0.11 al secondo, la differenza tra i due valori e conteggi al secondo, l errore statistico sulla differenza e (( ( / conteggi al secondo. La differenza differisce da zero per 1.8 deviazioni standard. Ci sono 7 probabilita su 100 che questo sia un caso. Il posto H potrebbe essere anomalo. Le differenze rispetto al fondo (prima misura per gli altri posti sono entro circa 1 deviazione standard della differenza, quindi potrebbero essere normali. Le terza misura fornisce il valore (1.30±0.05 conteggi al secondo. Questo valore differisce dal risultato della prima misura di conteggi al secondo. L errore statistico sulla differenza e (( ( / conteggi al secondo. La differenza differisce da zero per 2.9 deviazioni standard. Ci sono circa 3 probabilita su 1000 che questo sia un caso. Il posto H e anomalo con alta probabilita ( Problema C Dai dati che ho la miglior stima della percentuale di successo dell operazione vera e 0.27, 27 pazienti su 100 camminano meglio. Prendo questa come probabilita di successo. La distribuzione del numero dei pazienti n che camminerebbero meglio, se ripetessi molte volte la serie di 100 operazioni, sarebbe un binomiale con N=100, p=0.27, q=(1-p=0.73 (Ho 100 tentativi con probabilita 0.27 di riuscire e 0.73 di fallire, quindi la distribuzione da usare e la binomiale N n N n P(n= p ( 1 p n Questa distribuzione ha una deviazione standard = (Np(1-p 1/2 = 4.4 (potrei approssimativamente fare il conto con una distribuzione di Poisson di media 27, verrebbe σ=5.2, questo risultato e meno corretto di quello ottenuto dalla binomiale perche il numero di tentativi, 100, non e molto grande, e la probabilita di

5 successo p non e molto piccola. La distribuzione di Poisson funziona se N tende a infinito e p tende a zero. Nel caso A la il numero di successi 25 differisce di meno di un σ da quello dell operazione vera, quindi la differenza non e significativa, e non posso dire che la rimozione della cartilagine serva. Nel caso B la differenza e 16, quindi e circa 3 volte la σ della differenza (=( /2, quindi e significativa, quindi posso dire che la rimozione serve. Problema D X media sigma x= =0.0267/6 = Y media = sigma x= cov Coefficiente di correlazione lineare r = 0.71, secondo la tabella dell appendice C del vostro libro la probabilita di avere solo per caso un coefficiente di correlazione lineare uguale a o maggiore di 0.71 con 6 coppie di misure e circa 0.12, quindi non e certo che ci sia realmente una correlazione, ma ci sono circa 0.88 probabilita (88% che essa ci sia. Facendo un fit lineare dei dati la retta y=a+bx che meglio interpola i dati interpola i dati ha A= B= L errore sul coefficiente angolare B e circa confrontabile col valore del coefficiente stesso. Anche questo ci dice che una certa correlazione potrebbe esserci, ma non posso essere sufficientemente sicuro che sia reale. L errore su Z e W lo devo calcolare con la formula della propagazione degli errori per gli errori statistici, tenendo conto anche della covarianza, poiche questa non e trascurabile.