Secondo Appello di Analisi Matematica 2 Ing. Elettronica Politecnico di Milano A.A. 2014/2015. Prof. M. Bramanti Tema n 1

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1 Es Tot. Punti Secondo Appello di Analisi Matematica 2 Ing. Elettronica Politecnico di Milano A.A. 204/205. Prof. M. ramanti Tema n Cognome e nome (in stampatello) codice persona n d'ordine (v. elenco) Con riferimento al D.Lgs. 96/2003 ("Legge sulla privacy"), il docente del corso chiede allo studente il consenso a pubblicare nel sito web del corso i seguenti dati dello studente: Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (arrare e firmare) ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente. Dopo aver determinato l'integrale generale dell'equazione differenziale (semplificando l'espressione ottenuta), risolvere il seguente problema di Cauchy: Giustificare il procedimento seguito. w Î C a bc œ / œ C a b œ " 2. Calcolare l'integrale di linea: M œ.= ( * dove è la curva piana di equazione in forma polare 3 œ V* ß* aß b e V un parametro fissato avente le dimensioni di una lunghezza. Suggerimento: per prima cosa calcolare l'elemento di lunghezza l'espressione ottenuta. 3. Sia %Î "Î& C ßC 0aßCb œ C per a b Á aß b per aßcb œ aß bþ.= e semplificare a. Stabilire se 0 è differenziabile nell'origine b. Stabilire se 0 è G " a b c. Stabilire se 0 è G 2 a b giustificando le proprie risposte in base alla teoria studiata. Suggerimento: tutto l'esercizio può essere svolto con considerazioni teoriche, evitando di calcolare esplicitamente delle derivate parziali.

2 Secondo Appello di Analisi Matematica 2. Prof. ramanti. A.A. 204/5. Tema 4. Determinare i punti di massimo e minimo assoluti per la funzione soggetta al vincolo 5. Calcolare l'integrale doppio: 0aßCb œ C *C œ "Þ C a C b M œ ( ( /..C a C b con œ aßcb À C %ß C Þ Suggerimento: riconoscere l'insieme opportuno. 6. Calcolare l'integrale triplo disegnandolo, e poi rappresentarlo in modo DC M œ ( ( ( Œ..C.D C D dove è la semisfera di raggio V centrata nell'origine e contenuta nel semispazio D Þ 7. a. Scrivere in forma parametrica o cartesiana la superficie D generata dalla rotazione attorno all'asse D della curva che, nel piano D, è grafico D œ / ß cß dþ b. Calcolare il flusso attraverso D, orientata verso l'alto, del campo a b JaßCßDb œ ßCßD È C. 8. Si consideri la funzione % -periodica definita in c ß d da 0ab œ œ cos per cß d Þ per c ß d a. Dopo aver tracciato il grafico di 0 sul periodo cß d: in base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coefficienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. b) Calcolare esplicitamente i coefficienti di Fourier, 5 di 0 (non è richiesto il calcolo dei coefficienti + 5 ). (Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formula generale che si applica per il calcolo dei coefficienti di Fourier, quindi eseguire il calcolo esplicito, riportando chiaramente i passaggi essenziali ed il risultato, nella forma più esplicita e semplificata). 2

3 Es Tot. Punti Secondo Appello di Analisi Matematica 2 Ing. Elettronica Politecnico di Milano A.A. 204/205. Prof. M. ramanti Svolgimento Tema n. Dopo aver determinato l'integrale generale dell'equazione differenziale (semplificando l'espressione ottenuta), risolvere il seguente problema di Cauchy: Giustificare il procedimento seguito. Equazione lineare. w Î C a bc œ / œ C a b œ " + ab œ a bàeab œ Œ à Š Š Î Cab œ / œ- ( / /. œ / œ- ( /.à / / / / ( /. œ (. œ à * / / Š / / Š Cab œ / œ- œ / œ- * * Š " œ -/ / Œ integrale generale. * " " " œ C a b œ - à- œ à * * " Š " Cab œ / / Œ Þ * * 2. Calcolare l'integrale di linea: M œ.= ( * dove è la curva piana di equazione in forma polare

4 Secondo Appello di Analisi Matematica 2. Prof. ramanti. A.A. 204/5. Svolgimento Tema 3 œ V* ß* aß b e V un parametro fissato avente le dimensioni di una lunghezza. (Suggerimento: per prima cosa calcolare l'elemento di lunghezza l'espressione ottenuta). Calcoliamo: w 3 a* b œ V* à.= e semplificare.= œ É3 3 w.* œ ÈV *' *V *%.* œ V* È* *. *.= " " M œ ( œ ( V* È* *. * œ V( * È* *. * œ V ˆ * * œ * * Î 3. Sia V œ % * * Š ˆ Î ˆ Î %Î "Î& C ßC 0aßCb œ C per a b Á aß b per aßcb œ aß bþ a. Stabilire se 0 è differenziabile nell'origine b. Stabilire se 0 è G " a b c. Stabilire se 0 è G 2 a b giustificando le proprie risposte in base alla teoria studiata. Suggerimento: tutto l'esercizio può essere svolto con considerazioni teoriche, evitando di calcolare esplicitamente delle derivate parziali. a. La funzione è continua fuori dall'origine e positivamente omogenea di grado % " ' ' œ œ a"ß bþ & "& "& Di conseguenza, per i criteri studiati, tende a zero per aßcb Ä aß b (dunque è continua, per come è stata definita) ed è differenziabile nell'origine. %Î b. Le potenze ßC "Î&, avendo esponente ", sono derivabili con continuità in tutto il piano. Di conseguenza le derivate parziali esistono e sono continue almeno fuori dall'origine. D'altro canto, le derivate parziali di una funzione positivamente omogenea di grado ' "& sono positivamente omogenee di grado ' "" " œ ß "& "& pertanto sono prolungabili con continuità anche nell'origine. Dunque ", e 0 G a b. 0 ß0 C sono continue in 2

5 Secondo Appello di Analisi Matematica 2. Prof. ramanti. A.A. 204/5. Svolgimento Tema (In alternativa, si poteva calcolare analiticamente 0ß 0C constatando che fuori dall'otigine sono ben definite e continue; il fatto che siano continue fin nell'origine va comunque stabilito con un discorso di limite, ad esempio usando il criterio citato delle funzioni omogenee). c. Le funzioni 0ß0C sono omogenee di grado nell'origine; pertanto 0 non può essere G a b. 4. Determinare i punti di massimo e minimo assoluti per la funzione soggetta al vincolo 0aßCb œ C "" "& *C œ "Þ ", quindi non sono derivabili Il vincolo è un'ellisse, insieme chiuso e limitato, perciò 0 massimo e minimo assoluti sull'insieme vincolo. Il vincolo non ha punti critici, perché (continua) certamente ammette f ˆ *C " œ a'ß")cb œ aß b per aßcb œ aß bß ma l'origine non soddisfa il vincolo stesso. Definiamo la Lagrangiana PaßCß b œ C ˆ - - *C " e cerchiamo i punti stazionari della Lagrangiana: La seconda equazione dà Ú Ý Û Ý `P ` `P `C œ C ' - œ œ 'C")-C œ Ü aßcb œ *C " œ 'Ca-b œ Ê C œ o - " C œ Ê œ Þ È œ Þ sistema che risolto in a ßC - œ Ê b dà C œ œ *C " œ œ " & ßC œ ") &% quindi i punti stazionari per la lagrangiana sono " " & " & ß È ß ßÊ È ß ßÊ È Þ ") &% ") &% 3

6 Secondo Appello di Analisi Matematica 2. Prof. ramanti. A.A. 204/5. Svolgimento Tema Calcoliamo 0 in questi punti. 0aßCb œ ˆ C ß " " 0 ß œ È Î " & " & " % 0 ß œ œ œ È") Ê &% È") Œ &% ") ") È") ( È " ( È e poiché Î concludiamo che 0 ha: massimo assoluto " " È " & È 0 ßÊ œ È") &% ( in Š ß Î " " È minimo assoluto Î in Š ß. 5. Calcolare l'integrale doppio: C a C b M œ ( ( /..C a C b con œ aßcb À C %ß C Þ Suggerimento: riconoscere l'insieme opportuno. disegnandolo, e poi rappresentarlo in modo In coordinate polari si ha: œ š a3 ß* b À 3 ß* Š ß % % % 3 cos * sin* 3 M œ ( Œ( / * œ 3% % % % 3 3 cos * / œ ( cos * sin*.* Œ( / 3. 3 œ œ % " " % % "/ œ œ "/ Þ % Œ ˆ % 4

7 Secondo Appello di Analisi Matematica 2. Prof. ramanti. A.A. 204/5. Svolgimento Tema 6. Calcolare l'integrale triplo DC M œ ( ( ( Œ..C.D C D dove è la semisfera di raggio V centrata nell'origine e contenuta nel semispazio D Þ In coordinate sferiche: Ú œ 3 sin: cos* Û C œ 3 sin: sin* ÜD œ 3 cos: si ha Î V 3 cos: sin : sin * M œ ( ( ( Œ 3 sin :. 3. :. * œ 3 Î V œ Œ( sin *.* ( cos: sin :.: ( 3. 3 œ Î sin % : V % " œ œ V % % "' 7. a. Scrivere in forma parametrica o cartesiana la superficie D generata dalla rotazione attorno all'asse D della curva che, nel piano D, è grafico D œ / ß cß dþ b. Calcolare il flusso attraverso D, orientata verso l'alto, del campo a b JaßCßDb œ ßCßD È C. % a. Ú œ > cos* D À Û C œ > sin* con > cß dß* cß d Ü > D œ >/ ossia D œ 0aßCb œ È C È C / œ 3/ 3 con 3 œ È C Ÿ. Ora 3 8. œ..c œ / 3 C a0ß0cß" b Œ a3" b ß/ a3" b ß"..C 3 3 mentre 5

8 Secondo Appello di Analisi Matematica 2. Prof. ramanti. A.A. 204/5. Svolgimento Tema perciò a JaßCß0aßCbb œ ßCß3 3 / 3 F œ ( ( J aßcß0aßc bb a0ß0cß" b..c œ D 3 C 3 œ ( ( / a3" b Œ Œ /..C œ 3 3 C Ÿ% b 3 3 œ ( c/ 3 d3 3 ( 3 a " b /. œ / 3. 3Þ ( / œ 3 / 3 ( 3/ 3. 3 œ %/ œc 3/ 3 d ( / 3. 3 œ %/ / "/ œ "/ Þ F œ %ˆ"&/ Þ 8. Si consideri la funzione % -periodica definita in c ß d da 0ab œ œ cos per cß d Þ per c ß d a. Dopo aver tracciato il grafico di 0 sul periodo cß d: in base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coefficienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. b) Calcolare esplicitamente i coefficienti di Fourier, 5 di 0 (non è richiesto il calcolo dei coefficienti + 5 ). (Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formula generale che si applica per il calcolo dei coefficienti di Fourier, quindi eseguire il calcolo esplicito, riportando chiaramente i passaggi essenziali ed il risultato, nella forma più esplicita e semplificata)

9 Secondo Appello di Analisi Matematica 2. Prof. ramanti. A.A. 204/5. Svolgimento Tema a. La funzione è limitata, integrabile, regolare a tratti ma discontinua. Quindi la serie di Fourier di 0 convergerà a 0ab per ogni a ß b diverso da ß ; in questi punti di " discontinuità a salto la serie convergerà alla media dei limiti destro e sinistro, cioè. I coefficienti di Fourier di 0 tenderanno a zero ma non saranno 9 a"î5b. b. Calcoliamo XÎ " 5, 5 œ ( 0absinŒ5. œ ( 0a bsinœ. œ X XÎ X " 5 œ.þ ( cos sin Œ " 5 " 5 5 ( cos sinœ. œ ( sinœœ " sinœœ ". œ % " ˆ ˆ " ˆ ˆ " œ œ % cos 5 cos " " " aa5 bb aa5 bb " " œ œ % cos cos " " " " " cosa5b cosa5 b " " " " " œ œ 5 " œ % " " " " acosa b b % 5 5 " " " %5 5 " 5 œ a a5b" bœ œ a cos cos a b b % 5 % 5 % 7