Elettronica II Grandezze elettriche microscopiche (parte 1) p. 2

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1 Elettronica II Grandezze elettriche microscopiche (parte 1) Valentino Liberali Dipartimento di Tecnologie dell Informazione Università di Milano, Crema liberali Elettronica II Grandezze elettriche microscopiche (parte 1) p. 1 Programma 1. Grandezze elettriche microscopiche. (a) Definizione delle grandezze elettriche microscopiche. (b) Relazioni tra grandezze macroscopiche e grandezze microscopiche. Elettronica II Grandezze elettriche microscopiche (parte 1) p. 2 1

2 Richiami di analisi vettoriale (1/4) Operatore vettoriale nabla : = x u x + y u y + z u z dove u x, u y e u z sono i tre vettori unitari (versori) di una terna cartesiana destrorsa (cioè diretti come pollice, indice e medio della mano destra). Elettronica II Grandezze elettriche microscopiche (parte 1) p. 3 Richiami di analisi vettoriale (2/4) L operatore nabla = x u x + y u y + z u z se è applicato ad una grandezza scalare, produce un vettore le cui componenti sono le derivate parziali lungo gli assi (il gradiente); può essere applicato in due modi ad una grandezza vettoriale: in modo analogo al prodotto scalare, dando come risultato uno scalare (la divergenza); in modo analogo al prodotto vettoriale, dando come risultato un vettore (il rotore). Elettronica II Grandezze elettriche microscopiche (parte 1) p. 4 2

3 Richiami di analisi vettoriale (3/4) Gradiente di un campo scalare V : F = V = V x u x + V y u y + V z u z Divergenza di un campo vettoriale A: ( Az B = A = y A y z U = A = A x x + A y y + A z z Rotore di un campo vettoriale A: ) u x + ( Ax z A z x ) ( Ay u y + x A ) x u z y dove A x, A y e A z sono le componenti di A lungo x, y e z. Elettronica II Grandezze elettriche microscopiche (parte 1) p. 5 Richiami di analisi vettoriale (4/4) L operatore laplaciano 2 = 2 x y z 2 applicato ad una grandezza scalare, produce uno scalare le cui componenti sono le derivate parziali seconde lungo gli assi. Laplaciano di un campo scalare V : U = 2 V = 2 V x V y V z 2 Elettronica II Grandezze elettriche microscopiche (parte 1) p. 6 3

4 Forza di Coulomb F 1 = 1 q 1 q 2 4πε R 2 u R12 12 dove u R12 è il vettore unitario (versore) diretto da q 2 a q 1. u R12 q 2 + F 2 F 1 + q 1 Elettronica II Grandezze elettriche microscopiche (parte 1) p. 7 Campo elettrico Campo elettrico dovuto ad una carica Q: E = 1 Q 4πε R 2 u R Il campo elettrico può essere considerato come il rapporto tra la forza che agisce su una carica q 0 e la carica q 0 medesima: E = F q 0 (1) Il campo elettrico E si misura in volt al metro (V/m): 1 V/m = 1 N/C. Elettronica II Grandezze elettriche microscopiche (parte 1) p. 8 4

5 Differenza di potenziale Il campo elettrico E è l opposto del gradiente del potenziale V : ( V E = V = x u x + V y u y + V ) z u z Nel caso di campo elettrico uniforme (ad esempio, in uno strato isolante di spessore d posto tra due conduttori), l espressione si riduce a: E = V d Elettronica II Grandezze elettriche microscopiche (parte 1) p. 9 Esempio Calcolare il campo elettrico nell ossido di gate di un transistore NMOS, sapendo che lo spessore dell ossido è t ox = 15 nm e la tensione applicata è V GS = 3 V. S E G D n n p Elettronica II Grandezze elettriche microscopiche (parte 1) p. 10 5

6 Mobilità (1/3) Una carica q 0 in un campo elettrico è soggetta alla forza di Coulomb. Se la carica si può muovere, essa subisce una accelerazione a = F/m. Supponendo che la carica sia inizialmente ferma, all istante t la velocità v(t) è: v(t) = t 0 a dt = t 0 F m dt = t 0 q 0 E m dt (2) Elettronica II Grandezze elettriche microscopiche (parte 1) p. 11 Mobilità (2/3) In un solido, le cariche mobili (portatori) collidono con gli atomi del cristallo, perdendo energia (e quindi anche velocità). v v media t Elettronica II Grandezze elettriche microscopiche (parte 1) p. 12 6

7 Mobilità (3/3) Se t c è il tempo medio tra due collisioni successive, la velocità media dei portatori è: v media = q 0 E 2m t c = µ E dove µ = q 0t c 2m m 2 /V s. è la mobilità dei portatori, che si misura in Elettronica II Grandezze elettriche microscopiche (parte 1) p. 13 Velocità di deriva e di agitazione termica In condizioni normali, la velocità media dei portatori dovuta al campo elettrico (detta anche velocità di deriva) v media = µ E è MOLTO MINORE della velocità di agitazione termica (dovuta alla temperatura), la quale è pari a circa 100 km/s a temperatura ambiente (T = 300 K). Tuttavia l agitazione termica produce un moto disordinato a media nulla, mentre il campo elettrico provoca una deriva nella direzione del campo stesso. Elettronica II Grandezze elettriche microscopiche (parte 1) p. 14 7

8 Densità di corrente Se la densità dei portatori (cioè il numero di particelle mobili per unità di volume) è n e ciascun portatore possiede una carica q 0, applicando un campo elettrico E si produce una densità di corrente: J = nq 0 v media = nq 0 µ E E v media q 0 J La densità di corrente J si misura in ampere al metro quadrato (A/m 2 ). Elettronica II Grandezze elettriche microscopiche (parte 1) p. 15 Conducibilità Il prodotto nq 0 µ dipende solo dal materiale; pertanto si può definire la conducibilità σ, che è una caratteristica del materiale: σ = nq 0 µ e riscrivere la densità di corrente come: J = σ E che rappresenta la forma microscopica della legge di Ohm. La conducibilità si misura in siemens al metro (S/m). Elettronica II Grandezze elettriche microscopiche (parte 1) p. 16 8

9 Conducibilità di alcuni materiali Mobilità degli elettroni e conducibilità di alcuni metalli (rame e alluminio) e semiconduttori (silicio e germanio) a temperatura ambiente T = 300 K. Elemento Simbolo Mobilità Conducibilità µ n in m 2 /V s σ in S/m rame Cu alluminio Al silicio Si germanio Ge Elettronica II Grandezze elettriche microscopiche (parte 1) p. 17 Resistività La resistività ρ di un materiale è l inverso della sua conducibilità: ρ = 1 σ Quindi la legge di Ohm in forma microscopica si può anche scrivere come: E = ρ J La resistività si misura in ohm metro (Ω m). Elettronica II Grandezze elettriche microscopiche (parte 1) p. 18 9

10 Corrente elettrica La corrente elettrica (o intensità di corrente) I è il flusso della densità di corrente J attraverso la sezione S di un conduttore: I = J d S = J u S ds S dove u S è il vettore unitario (versore) perpendicolare alla sezione S. S x J u S S Elettronica II Grandezze elettriche microscopiche (parte 1) p. 19 Relazione tra corrente e carica (1/2) Se J è costante e perpendicolare a S, allora I = JS = nq 0 vs, dove v è la velocità media. Poiché la velocità è allora risulta v = dx dt I = nq 0 S dx dt La quantità Sdx = dv è il volume del cilindro infinitesimo avente base S e altezza dx; si può dunque scrivere: I = nq 0 dv dt Elettronica II Grandezze elettriche microscopiche (parte 1) p

11 Relazione tra corrente e carica (2/2) I = nq 0 dv dt Infine, osservando che nq 0 dv = dq è la carica contenuta nel volume dv, si ottiene: I = dq dt Elettronica II Grandezze elettriche microscopiche (parte 1) p. 21 Esercizio Calcolare il campo elettrico presente all interno di un filo di rame con sezione 1 mm 2, percorso da una corrente di intensità 1 A. Soluzione: La densità di corrente nel filo è: J = I S = 1 A 10 6 m 2 = 106 A/m 2 Usando le formule viste e il valore della conducibilità del rame data nella Tabella, si ottiene: E = ρj = J σ = 106 A/m S/m = V/m = 17.5 mv/m A causa dell elevata conducibilità del rame, il campo elettrico è basso e la densità di corrente è molto alta. Elettronica II Grandezze elettriche microscopiche (parte 1) p

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