Brevissima introduzione alla analisi termodinamica semplicata dei gruppi turbogas

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1 Brevssma ntroduzone alla anals termodnamca semplcata de grupp turbogas Gulo Cazzol Aprle 2011 Lo schema d massma d un mpanto turbogas semplce è rappresentato n gura 1 n cu sono evdenzat component fondamental (compressore (C), turbna (T), camera d combustone (CC)) e sono ndvduat punt n cu verrano dent gl stat sc necessar alla valutazone numerca (punt a valle e monte de component). CC 2 3 C T 1 4 Fgura 1: Schema d un mpanto turbogas semplce 1 Denzon fondamental La valutazone numerca delle prestazon de grupp turbogas verte sul calcolo del rendmento (termodnamco) e del lavoro utle che dal gruppo s resce a rcavare. 1.1 Lavoro e rendmento Il rendmento termodnamco, come noto, s calcola come rapporto tra l lavoro utle ottenuto (L u ) e l calore fornto al sstema (Q 1 ): η t = L u Q 1 Il lavoro utle è l netto tra l lavoro ottenuto dalla espansone de gas n turbna (L e ) e

2 Introduzone alla anals termodnamca semplcata de grupp TG quello necessaro alla fase d compressone (L c ) 1 : Lavoro specco L u = L t + L c Il lavoro specco 2 ottenuto da, o ceduto ad, una macchna (l) s rcava a partre dall'equazone generalzzata del moto de ud n forma termca: cdc + gdz + dh = dq dl (1) potento trascurare contrbut cnetco e potenzale rspetto al salto entalpco e sceglendo, per l momento, d non trascurare l calore scambato dalla macchna ( q) con l'esterno, l'espressone s semplca n: dl = dh + dq Consderando le sezon a monte () e a valle (u) della macchna, l lavoro s ottene per semplce ntegrazone tra gl estrem: l = (dh dq) = dh + dq (2) Il lavoro che s ottene da una espansone o da una compressone s ottene ntegrando la (2) e dpende dal tpo d trasformazone consderata per andare da uno stato sco all'altro. Il calore scambato dalla macchna q è da nterpretare come perdta energetca sa verso l'esterno che per dsspazon nterne Calore fornto Per quanto rguarda l calore fornto al sstema, consderato nella forma specca, ancora una volta s rcorre alla (1) supponendo, a ragone, che la camera d combustone non sa soggetta a deformazon, qund che l lavoro scambato con l'esterno sa nullo e trascurando nuovamente contrbut potenzale e cnetco: dh = dq ntegrando tra le sezon d ngresso e uscta: q = dq (3) ancora una volta l calore, specco, fornto al sstema s ottene rsolvendo l'ntegrale della (3) e dpende dal modo n cu l calore stesso vene sommnstrato. 1 S rcord d applcare la corretta convenzone su segn, postvo se l lavoro è ceduto dalla macchna, negatvo se assorbto. Inoltre l calore fornto al sstema è postvo, quello rlascato negatvo. 2 Lavoro per untà d massa d udo che attraversa la macchna In manera analoga s densce l calore specco fornto o ceduto. 2

3 Introduzone alla anals termodnamca semplcata de grupp TG 1.2 Rapporto d compressone Indcheremo con rapporto d compressone (β) come l rapporto tra le presson d valle e monte del compressore, qund facendo rfermento agl stat sc ndvduat n gura 1: β = p u,c p,c = p 2 p 1 (4) Denremo n manera analoga l rapporto d espansone (β ) come l rapporto tra le presson d valle e monte della turbna: β = p,t p u,t = p 3 p 4 (5) 2 Cclo d Brayton Per valutare termn delle equazon d lavoro e rendmento sono necessare alcune semplcazon d carattere generale, alcune d queste semplcazon potranno essere successvamente anate con potes pù prossme alla realtà sca del sstema. 2 3 T 3 C T s (a) Layout dell'mpanto (b) Dagramma T-s Fgura 2: Impanto turbogas semplce a cclo chuso n condzon deal 2.1 Ipotes semplcatve Le potes comun a tutt lvell d valutazone sono: 1. s trascurano le perdte d carco subte dal udo durante l suo percorso; 2. gl scamb d calore con l sstema avvengono a pressone costante 3. la composzone chmca del udo che attraversa l sstema è costante; 4. s trascura la massa d carburante ( m f ) ntrodotta nel combustore; 5. l sstema vene supposto chuso, qund l udo crcolante è sempre lo stesso; 6. l udo è un gas perfetto soggetto a trasformazon reversbl; 7. l udo è un gas deale. 3

4 Introduzone alla anals termodnamca semplcata de grupp TG Per le potes 1 e 2 l rapporto d compressone β e d espansone β concdono e verranno dentcat con β: β = p 2 p 1 = p 3 p 4 (6) Le potes 3, 4, 5 trasformano lo schema d gura 1 n un mpanto chuso (gura 2a) che scamba calore con l'esterno a pressone costante medante due scambator d calore, rendono pertanto possble la rappresentazone su d un pano termodnamco (soltamente T-s). Avere supposto la massa crcolante nel sstema costante (potes 4) rende possble rferre le grandezze estensve (n partcolar modo le energe scambate) alla untà d massa uda crcolante, per evdenzare la loro natura ntensva nel seguto ndcheremo lavor e calor con lettere mnuscole. Qund le espresson d lavoro e rendmento dvengono 3 : l u = l t l c (7) Esprmendo anche l calore fornto al sstema come grandezza ntensva, l rendmento s può rscrvere come: η t = l u q 1 (8) L'potes 6 permette d rappresentare gl stat sc n termn d coordnate termodnamche e applcare le note legg per gas perfett alle trasformazon. Pertanto per l'entalpa vale: l lavoro dento dalla (2) vale: l = dh = c p dt c p dt + dq d (9) e l calore fornto al sstema (3), rcordando che s è supposto che l combustore (o lo scambatore che lo sosttusce) funzon a pressone costante (potes 2): q = c p dt (10) Con l'potes 7 s assume che calor specc non varno con la temperatura, pertanto l'espressone del lavoro della (9) s semplca n: l = c p (T u T ) dq d (11) mentre l calore fornto s esprme con: q = c p (T u T ) (12) 3 Nel proseguo opereremo n modo da calcolare lavor sempre n valore assoluto per po evdenzarne l segno nelle espresson analttche per meglo ndcare se s tratta d un lavoro prodotto (turbna, postvo) o assorbto (compressore, negatvo) dalla macchna 4

5 Introduzone alla anals termodnamca semplcata de grupp TG Calore specfco (W/kgK) Temperatura (K) Fgura 3: Varazone del calore specco a pressone costante con la temperatura Fludo operatore S assume l udo operatore ara, caratterzzato da un valore d calore specco a pressone costante (c p ) d poco derente da quello dell'ara n condzon d rfermento: c p = 1013 J/kg K Il valore del coecente soentropco s calcola tenendo rcordando che: k = c p c v c v = c p R R = R M a con massa atomca M a = 29 e R costante unversale de gas avremo: R = , 69 J/kg K 29 c v = , 69 = 726, 31 J/kg K k = c p c v 1, 395 L'potes d gas deale ntroduce un errore non trascurable, nfatt l calore specco vara sostanzalmente con la temperatura, tanto da subre una varazone dell'ordne del 25% tra normal estrem d temperatura che nteressano un gruppo turbogas (ved gura 3). L'errore ntrodotto non ncerà le valutazon relatve su rendment e lavoro, solamente valor ottenut. 2.2 Macchne deal, macchne real Oltre alle potes fatte è possble mporre un gudzo sulla qualtà delle macchne (turbna e compressore), l'potes 6 mpone d trascurare ogn rreversbltà, ma non aerma nulla per quanto rguarda l tpo d trasformazone che l udo subsce all'nterno della turbna. A tale scopo consdereremo macchne appartenent a due categore dstnte: 5

6 Introduzone alla anals termodnamca semplcata de grupp TG macchne soentropche: macchne adabatche reversbl, qund caratterzzate da una trasformazone soentropca; macchne poltropche: macchne ancora adabatce, ma caratterzzate da dsspazon nterne, qund caratterzzate da una trasformazone poltropca Macchne deal Nel caso d macchne deal l dagramma termodnamco del cclo turbogas vene delmtato da due trasformazon sobare (gl scamb d calore da e per l'esterno) e due soentropche (la compressone e l'espansone nelle macchne). La relazone tra gl stat sc d ngresso e uscta d una macchna macchna deale è mmedatamente ottenble dalla equazone della trasformazone soentropca cu la macchna è sede: p ν k = p u ν k u ν ν u = ( ) 1/k pu e rcordando l'equazone d stato per gas perfett scrtta: p p ν T = p uν u T u ν ν u = T T u p u p s rcava l legame tra pressone e temperatura: T u T = ( pu p ) k 1 k (13) Osservando la struttura della (13) e rcordando la denzone d rapporto d compressone per l compressore (4) è utle denre anche l coecente α come: α = β k 1 k (14) Assumendo note le temperature d ngresso al compressore (T 1 ) e ngresso alla turbna (T 3 ), la temperatura degl altr due punt è mmedatamente rcavable dalla (13) rcordando la denzone d β (6) e α (14): T 2 = T 1 β k 1 k = T 1 α (15) e T 4 = T 3 β k 1 k = T 3 α (16) Con l'potes d macchne soentropche nella (11) vene a sparre l termne dsspatvo (q d ), pertanto le espresson per l lavoro raccolto dalla turbna varrà: l t = c p (T 3 T 4 ) (17) mentre per quello assorbto dal compressore, avendo cura d ottenere un lavoro sempre postvo per po consderarne l segno ne blanc: l c = c p (T 2 T 1 ) (18) 6

7 Introduzone alla anals termodnamca semplcata de grupp TG Macchne poltropche Per ntrodurre una maggore antà con la realtà le trasformazon n turbna e nel compressore vengono rappresentate per mezzo d una trasformazone poltropca. S ntroducono pertanto due rendment: Rendmento soentropco η Ic e η It : Derva dal lavoro soentropco, coè dal lavoro computo (o subto) dal sstema per gungere alle stesse condzon d pressone del caso reale seguendo una trasformazone soentropca; Rendmento poltropco η P c e η P t : bontà della trasformazone che gunge alle stesse condzon della trasformazone reale seguendo una opportuna poltropca. Il rendmento soentropco per l compressore vale: η Ic = h 2 h 1 h 2 h 1 = Il rendmento soentropco per la turbna vale: lav. soentropco lavoro eettvo η It = h 3 h 4 h 3 h 4 L'ntroduzone del rendmento poltropco modca l'espressone per l calcolo della temperatura d uscta dal compressore n: T 2 = T 1 α 1/η P,c e per quella n uscta dalla turbna: T 4 = T 3 α η P,t Le espresson per lavor, e qund per l rendmento, rmangono formalmente dentche al caso soentropco, avendo cura d usare le nuove temperature n modo da tener conto delle dsspazon cu le macchne sono soggette. 7