RELAZIONE FRA LA STABILITA DEL SISTEMA E LA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO

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1 RELAZIONE FRA LA STABILITA DEL SISTEMA E LA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO L stbilità di u sistem liere, ivrite ed prmetri cocetrti può vlutrsi co due criteri diversi che fo rispettivmete riferimeto ll rispost liber e ll rispost forzt del sistem: ) stbilità sitotic: u sistem si dice sitoticmete stbile se l su rispost liber tede zero, idipedetemete dllo stto iizile (codizioi iizili). E' ecessrio cioè che tutte le vribili di stto (soo quelle vribili che misuro l eergi immgzzit el sistem ll istte iizile), trscorso u tempo opportuo, sio ulle (sistem riposo). b) stbilità BIBO o ILUL (Bouded-Iput Bouded-Output): u sistem si dice BIBO stbile se rispode co uscite sempre limitte quluque isieme di igressi limitti. Perché quest defiizioe si pplicbile le uscite debboo restre limitte i quluque istte, che per t tedete d ifiito. Defiizioi e criteri di stbilità Sistemi elettrici utomtici - A.S. 008/09 1

2 Per l verific dell stbilità sitotic occorre lizzre l rispost liber, per l stbilità BIBO si prede i esme l rispost forzt. Tuttvi per i sistemi lieri e ivriti le due defiizioi soo perfettmete equivleti e si può quidi ricorrere idifferetemete ll'u o ll'ltr. I geerle secod dell rispost che u sistem preset frote di u igresso diverso d zero e limitto el tempo si dice che: Il sistem risult STRETTAMENTE STABILE o ASINTOTICAMENTE STABILE el cso di rispost limitt e tedete zero per tempi tedeti ll ifiito Il sistem risult STABILE el cso di rispost limitt (o ecessrimete tedete zero ) per tempi tedeti ll ifiito Il sistem risult INSTABILE el cso di rispost divergete per tempi tedeti ll ifiito Defiizioi e criteri di stbilità Sistemi elettrici utomtici - A.S. 008/09

3 L verific dell stbilità di u sistem liere e stziorio può essere ftt lizzdo l rispost del sistem d u igresso impulsivo, iftti se tle rispost tede zero per t tedete ll ifiito si può ffermre che il sistem stesso è sitoticmete stbile. Essedo l rispost ll'impulso coicidete co l'titrsformt dell fuzioe di trsferimeto ed essedo l rispost stess compost dll somm di fuzioi espoezili del tempo elle quli gli espoeti soo le prti reli dei poli dell fuzioe di trsferimeto, si può ffermre che: per l stbilità di u sistem liere stziorio costti cocetrte è ecessrio e sufficiete che l fuzioe di trsferimeto o preseti lcu polo prte rele positiv e che gli evetuli poli prte rele ull sio semplici. Per l sitotic stbilità è ecessrio e sufficiete che tutti i poli dell fuzioe di trsferimeto bbio prte rele egtiv. Defiizioi e criteri di stbilità Sistemi elettrici utomtici - A.S. 008/09 3

4 Esempi: Esempio 1 Studire l stbilità del sistem vete l seguete fuzioe di trsferimeto: H(s) = s (s 10 + Il sistem è stbile i quto soo preseti tre poli semplici co prte rele ull: = 0, s = 0 + j, s = 0 j s 1 3 D ltrode l rispost ll impulso, otteut titrsformdo l H(s), o tede zero per t tedete d ifiito come risult di segueti clcoli: s Y(s) = 1 H(s) = = y(t) = cos(t) s (s 1) s + (s + 1) L rispost, pur o tededo zero per t tedete d ifiito, rime limitt ell fsci [0, 0]. 1) Defiizioi e criteri di stbilità Sistemi elettrici utomtici - A.S. 008/09 4

5 Esempio Studire l stbilità del sistem vete l seguete fuzioe di trsferimeto: H(s) = (s s + 31 s ) (s + 0 s + 104) Il sistem è strettmete stbile perché i tre poli dell H(s) soo tutti prte rele egtiv: s 3 1 = 1, s = 10 + j, s = 10 j D ltrode l rispost ll impulso, otteut titrsformdo l H(s), tede zero per t tedete d ifiito come risult di segueti clcoli: s + 31 s Y(s) = 1 H(s) = (s + 1) (s + 0 s + 104) = 1 s + 10 s + 1 (s + 10) + y(t) = e t + e 10 t cos( t) Defiizioi e criteri di stbilità Sistemi elettrici utomtici - A.S. 008/09 5

6 Esempio 3 Studire l stbilità del sistem vete l seguete fuzioe di trsferimeto: 50 (s + 1) H(s) = (s 0,1) (s + ) Il sistem è istbile perché è presete u polo rele positivo. Iftti se si prov determire l rispost ll impulso si ottiee u fuzioe che tede d ifiito per t tedete d ifiito: Y(s) = 1 H(s) = (s 50 (s + 1) 0,1) (s + ) = 6,19 s 0,1 + 3,81 s + y(t) = 6,19 e 0,1 t + 3,81 e t Defiizioi e criteri di stbilità Sistemi elettrici utomtici - A.S. 008/09 6

7 CRITERIO DI STABILITA DI ROUTH Per vlutre l stbilità di u sistem liere ivrite co fuzioe di trsferimeto rziole frtt bisog cooscere il sego dell prte rele dei suoi poli. Se il grdo del deomitore è bsso si può sez ltro procedere ll determizioe dei poli stessi risolvedo l equzioe crtteristic del sistem (è l equzioe che si ottiee eguglido zero il poliomio deomitore). Però se il grdo del poliomio deomitore è elevto può essere troppo complicto risolvere l equzioe crtteristic e per tle motivo è stto messo puto u metodo per determire il sego dell prte rele dei poli, sez doverli clcolre. Defiizioi e criteri di stbilità Sistemi elettrici utomtici - A.S. 008/09 7

8 Si cosideri l equzioe crtteristic ell form: 1 = s + 1 s + s Se qulche coefficiete, eccetto 0, dell equzioe crtteristic è ullo o se i coefficieti dell equzioe crtteristic o soo tutti dello stesso sego llor l equzioe crtteristic preset soluzioi immgirie pure o soluzioi co prte rele positiv e di coseguez o si h sitotic stbilità. Ovvero codizioe ecessri (m o sufficiete) perché le rdici dell equzioe crtteristic bbio tutte prte rele egtiv è che tutti i suoi coefficieti sio dello stesso sego e o ulli. Defiizioi e criteri di stbilità Sistemi elettrici utomtici - A.S. 008/09 8

9 Qudo i coefficieti soo tutti preseti e dello stesso sego llor bisog ccertrsi che le rdici sio tutte prte rele egtiv prim di ffermre che il sistem è sitoticmete stbile. Per determire il sego dell prte rele delle rdici si pplic il criterio di Routh. Si suppoe che il coefficiete si positivo (i cso cotrrio bst moltiplicre per 1 etrmbi i membri dell equzioe). Si suppoe ioltre che il coefficiete 0 si o ullo Si può così costrurie l tbell di Routh: b - b Defiizioi e criteri di stbilità Sistemi elettrici utomtici - A.S. 008/09 9

10 Defiizioi e criteri di stbilità Sistemi elettrici utomtici - A.S. 008/09 10 Le prime due righe dell tbell soo formte di coefficieti del poliomio, disposti come idicto, prtire d quello corrispodete ll potez più elevt. Gli elemeti dell rig successiv soo defiiti dlle relzioi: b b ,,, = = cioè il termie b- è espresso dl determite costituito di primi due coefficieti delle prime due righe, cmbito di sego e diviso per il primo coefficiete dell secod rig il termie b-4 è espresso dl determite costituito di primi e terzi coefficieti delle prime due righe, cmbito di sego e diviso cor per il primo coefficiete dell secod rig, e così vi.

11 I modo logo si costruisce ogi successiv rig dell tbell, i fuzioe dei termii delle due righe immeditmete precedeti. Le righe dell tbell soo cotrddistite coi umeri, -1, -, e soo di lughezz vi vi decrescete. L ultim rig cotrddistit co il umero 0 comprede u solo elemeto. Il teorem di Routh dice che: d ogi vrizioe di sego che preseto termii dell prim colo dell tbell, cosiderti ell ordie co cui compioo, corrispode u rdice co prte rele positiv d ogi permez del sego corrispode u rdice co prte rele egtiv. Defiizioi e criteri di stbilità Sistemi elettrici utomtici - A.S. 008/09 11

12 Esempio. Dt l equzioe: s 4 + s s + 5 s + 10 = 0 L corrispodete tbell di Routh è: ( 1 3 ( 5)) / 1 = 7 ( 1 10 ( 0)) / 1 = 10 1 ( 7 5 (1 10)) / 7 = 45 / 7 ( 7 0 (1 0)) / 7 = 0 0 (( 45 / 7) 10 ( 7 0)) /(45 / 7) = 10 L prim colo dell tbell preset due vrizioi di sego quidi si vro due rdici prte rele positiv!!! Defiizioi e criteri di stbilità Sistemi elettrici utomtici - A.S. 008/09 1

13 Csi omli: Nel cso il primo termie di u rig fosse zero il procedimeto di Routh o potrebbe essere portto termie poiché diveterebbe impossibile clcolre i termii delle righe successive. Allor, l solo fie di idividure l presez di rdici prte rele positiv, è lecito pplicre. (.proseguire secodo il grdo di pprofodimeto che se e vuole dre e del livello degli iterlocutori.) Se tutti i termii di u rig soo ulli i metodi precedeti soo iutili, i ogi cso si può già ffermre che o si può vere sitotic stbilità (ovvero il sistem o è istbile, o preset regime u uscit che oscill tr due defiiti vlori). Per verificre qule delle due ltertive è soddisftt si pplic. (.proseguire secodo il grdo di pprofodimeto che se e vuole dre e del livello degli iterlocutori.) Defiizioi e criteri di stbilità Sistemi elettrici utomtici - A.S. 008/09 13

14 Il criterio di Routh è di grde utilità el progetto di dispositivi di cotrollo i retrozioe: spesso i coefficieti dell equzioe crtteristic soo fuzioi di u prmetro del qule è utile determire i cmpi di vribilità i corrispodez dei quli il sistem è stbile scegliedoe così il vlore etro uo di tli cmpi. Esempio umerico: R(s) E(s) C(s) K + s 4 + 6s 3 +11s +6s+ Defiizioi e criteri di stbilità Sistemi elettrici utomtici - A.S. 008/09 14

15 L equzioe crtteristic del sistem i retrozioe è: s 4 + 6s 3 +11s +6s++K=0 l cui corrispodete tbell di Routh è: K K K 0 0 K+ Defiizioi e criteri di stbilità Sistemi elettrici utomtici - A.S. 008/09 15

16 dovedo, per il teorem di Routh, essere tutti positivi i termii dell prim colo (per o vere cmbi di sego) si evicoo le due segueti codizioi per l stbilità sitotic del sistem i fuzioe del prmetro K: 48-6K > 0 d cui k < 8 e K + > 0 d cui k > - D cui si ricv che il cmpo corrispodete ll stbilità sitotic del sistem si h pertto co -<K<8. Negli estremi si h poi: per K= 1 polo ell origie per K=8 coppi di poli immgiri I etrmbi i csi si ho cor codizioi di stbilità m o più sitotic. Defiizioi e criteri di stbilità Sistemi elettrici utomtici - A.S. 008/09 16

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