Angoli e misura di un angolo (gradi e radianti)

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1 Trigonometria La trigonometria (dal greco trígonon (τρίγωνον, triangolo) e métron (μέτρον, misura): misurazione del triangolo) è la parte della matematica che studia i triangoli a partire dai loro angoli. Il compito principale della trigonometria, così come rivela l'etimologia del nome, consiste nel calcolare le misure che caratterizzano gli elementi di un triangolo (lati, angoli, mediane, etc.) partendo da altre misure già note (almeno tre, di cui almeno una lunghezza), per mezzo di speciali funzioni. Tale compito è indicato come risoluzione del triangolo. È anche possibile servirsi di calcoli trigonometrici nella risoluzione di problemi correlati a figure geometriche più complesse, come poligoni o figure geometriche solide, ed in molti altri rami della matematica e delle scienze. Le funzioni trigonometriche (le più importanti delle quali sono il seno e il coseno), introdotte in questo ambito, vengono anche usate in maniera indipendente dalla geometria, comparendo anche in altri campi della matematica e delle sue applicazioni, ad esempio in connessione con la funzione esponenziale o con le operazioni vettoriali. Angoli e misura di un angolo (gradi e radianti) Definizione e significato di radiante (raggio = 1 e angolo = arco) Utilizzando il goniometro, è possibile misurare l angolo. Il grado sessagesimale è la trecentosessantesima parte dell angolo giro, in altre parole, l angolo giro è composto da 360. Nell esempio riportato in figura, l angolo misura 40. Ad un angolo di 40, se il raggio vale una unità, corrisponde un arco della lunghezza di 0.7 unità. Si può dunque dire che l angolo vale 0.7 radianti. Il senso positivo di apertura di un angolo avviene in senso antiorario. Esempio, quanti radianti vale l angolo coperto da un ciclista che percorre 00 metri su una pista circolare che dista 300 metri dal centro? Esempio: Il pianeta terra compie una rivoluzione completa attorno al sole in circa 365 giorni (si ponga 360 per semplicità dei calcoli), la distanza della terra dal sole vale mediamente circa 150'000'000 Km. Che angolo copre il nostro pianeta in 80 giorni? E che distanza percorre nello spazio? - 1

2 Misura degli angoli: Grado sessagesimale Un grado sessagesimale (o grado d'arco, o semplicemente grado), indicato dal simbolo (in apice) o con l'abbreviazione "deg", è un'unità di misura per gli angoli; rappresenta 1/360 della circonferenza di un cerchio. Quando si usano i gradi, vengono utilizzati anche dei sottomultipli: i minuti (1/60 di grado, o 1/1600 di circonferenza, indicato dal simbolo ' ) e i secondi (1/60 di minuto, o 1/ di circonferenza, indicato dal simbolo '' ). Passaggio da grado sessagesimale a numero decimale e viceversa Per trasformare un numero sessagesimale in numero decimale, si prende la parte intera e vi si sommano i minuti primi divisi per sessanta più i secondi divisi per Per passare invece dai numeri decimali ai numeri sessagesimali, occorre prendere la parte intera e sommarvi l ulteriore parte intera della parte decimale moltiplicata per sessanta, e si somma ancora l ulteriore parte decimale approssimando gli eventuali decimali al secondo. Esempi: Da sessagesimale a decimale Da decimale a sessagesimale = = = = = = = = = " = = = " = = = = " = = = =

3 Misura degli angoli: Rapporto tra circonferenza e diagonale: PI greco e Radiante Per trovare il valore degli altri angoli, si procede calcolando i sottomultipli: Facendo il rapporto tra la circonferenza di un cerchio e il suo diametro, si ottiene sempre lo stesso numero. Questo numero, noto fin dall antichità, prende il nome di Pi greco, lo si rappresenta col simbolo, è un numero irrazionale, possiede cioè infinite cifre decimali, e, pertanto, si può unicamente calcolare una sua approssimazione, a seconda delle cifre significative di cui si necessita. Circonferenza: = dunque, l angolo giro vale: = = siccome: = = 1 = = Attività: Si prenda un oggetto rotondo (canestro della carta) e si misuri la sua circonferenza con un metro da sarta, si misuri anche il diametro e si faccia il rapporto tra la circonferenza e il diametro. Se le misure sono state prese con precisione, si dovrà ottenere un valore prossimo a Conversione gradi radianti e viceversa, con una proporzione e con la formula Per convertire il valore di un angolo dai gradi ai radianti e viceversa, basta fare una proporzione: Proporzione Passaggio da gradi a radianti Passaggio da radianti a gradi = = = = = = = Esempi: Trasforma Trasforma Soluzione: in radianti: in gradi: Soluzione: = 180 = = 180 = = = = = Attività: Si utilizzino le formule per trasformare i gradi in radianti e viceversa per gli angoli in questa pagina, si provi poi con angoli qualsiasi. - 3

4 Multipli dell angolo di 45 e multipli dell angolo di 30 Multipli di 45, / Multipli di 30, / angolo in gradi angolo in radianti nome angolo angolo in gradi angolo in radianti 0 0 angolo nullo /4 30 /6 60 /3 90 / angolo retto 90 / 135 3/4 10 / /6 180 angolo piatto /4 10 7/6 40 4/3 70 / 70 / 315 7/ / /6 360 angolo giro 360 Esempio: per calcolare l angolo di 5, si può contare quanti multipli di /4 occorrono, nel caso specifico, all angolo di 5, occorrono 5 multipli di /4, dunque l angolo vale 5/4. Analogamente, l angolo di 70 corrispondono 3 multipli dell angolo retto, dunque esso vale 3/. Esempio: per calcolare l angolo di 150, si può contare quanti multipli di /6 occorrono, nel caso specifico, all angolo di 5, occorrono 5 multipli di /6, dunque l angolo vale 5/6. Analogamente, l angolo di 40 corrispondono 8 multipli dell angolo /6, dunque esso vale 8/6, cioè 4/3. Attività: Si trovino, e si costruisca una tabella come quella sopra, per i multipli dell angolo di

5 Cerchio Goniometrico I valori delle funzioni seno e coseno possono variare entro un intervallo compreso tra e, una volta compiuto un intero giro, i valori delle funzioni si ripetono, si dice cioè che le funzioni trigonometriche sono funzioni periodiche. Dato il Cerchio goniometrico, si possono individuare le seguenti grandezze: raggio: = = coseno dell angolo: = Periodo:, seno dell angolo: = Periodo:, Relazione fondamentale (Pitagora) ed equazione della circonferenza: + = 1 + = tangente dell angolo: = = = Periodo:, cotangente dell angolo = Periodo: Valori cardinali delle funzioni seno, coseno e tangente È fondamentale, per le innumerevoli applicazioni matematiche e tecniche in generale che questo aspetto comporta, saper ricostruire mentalmente le quattro situazioni cardinali sottostanti, e saper sempre ricostruire i relativi valori trigonometrici Angolo nullo 0, 0 e angolo giro 360, Angolo retto 90, Angolo piatto 180, supplementare ang. retto 70, 3 = = = = = = = = = = = = - 5

6 Alcuni valori notevoli delle funzioni seno, coseno e tangente 30, 6 45, 4 60, 3 sin cos tan cos30 = 1 3 cos45 = 1 cos60 = 1 sin30 = 1 sin45 = 1 sin60 = 1 3 tan30 = 1 3 tan45 = 1 tan60 = / Dimostrazione dei valori notevoli dell angolo di 45 e degli angoli di 30 e 60 Angolo di 45 : semidiagonale del quadrato Quando l angolo vale 45, il raggio può essere considerato come il lato del quadrato OPQR. Il seno e il coseno dell angolo sono la mezza diagonale di questo quadrato. Essendo la diagonale di un quadrato pari al lato moltipliocato per la radice di due, ed essendo il lato pari al raggio, ossia, uguale a uno, vale: = = Angoli di 30 e 60 : altezza del triangolo equilatero Quando l angolo vale 30, il raggio può essere considerato come il lato del triangolo OPV, che è un triangolo equilatero, di conseguenza, essendo tutti i lati uguali, PT vale 0.5: = Il coseno invece può essere ricavato tramite pitagora: cos30 = 1 1 = 3 4 = Quando l angolo vale 60, valgono le medesime considerazioni per l angolo di 30, se non che seno e coseno, essendo in questa situazione simmetrici, si scambiano i valori: = ; = - 6

7 Dominio e codominio delle funzioni trigonometriche Funzione Notazione Dominio Codominio Zeri Periodo F. inversa seno sen, R 1, +1 arcoseno coseno R 1, +1 + arcocoseno tangente, tg R\ + R arcotangente (cotangente) Funzioni trigonometriche: coseno e seno di un angolo Funzione del coseno Funzione del seno Funzione della tangente Sovrapposizione delle funzioni del coseno e del seno e della tangente di un angolo - 7

8 Operazioni trigonometriche inverse: arcocoseno, arcoseno, e arcotangente Le operazioni trigonometriche inverse, permettono di trovare il valore dell angolo partendo dai lati noti. Trovare l angolo dato il coseno cos = = arccos = : cos (ipotenusa e cateto adiacente) Trovare l angolo dato il seno (ipotenusa e angolo opposto) Trovare l angolo data la tangente (due cateti) Attenzione: arccos = cos 1 cost 1 cosα sin = α = arcsin = : sin tan = = arctan = cotan = tan = 1 tan Dominio e codominio delle funzioni trigonometriche - 8 arcsin = sin 1 sint 1 sinα Funzione Notazione Dominio Codominio Zeri Periodo F. inversa arcoseno arcsen 1, +1, 0 - arcoseno arcocoseno 1, +1 0, 1 - arcocoseno arcotangente (cotangente), tan R\, 0 - arco cotangente (tangente) Utilizzo della calcolatrice tascabile classica Le funzioni arcocoseno e arcocoseno sono rappresentate rispettivamente con i simboli cos e sin, questi vanno interpretati come l inverso della funzione coseno e l inverso della funzione seno, nel senso appunto di arcocoseno e arcoseno rispettivamente, e non come l inverso del prodotto. L arcotangente invece, oltre ad essere la funzione inversa della tangente, è anche l inverso del prodotto della tangente. Per eseguire i calcoli goniometrici con una calcolatrice tascabile classica, occorre digitare il numero (il quale appare sul display) e poi premere il tasto con l operazione desiderata (sin, cos, tan). Quando si eseguono i calcoli goniometrici è molto importante specificare se si sta operando con gradi sessagesimali (DEG) o in radianti (RAD), solitamente, sul display appare la dicitura DEG o RAD, a seconda del modo attivo. Esiste anche una terza unità, il gradiente, quando si opera in modalità gradiente, sul display appare la dicitura GRA. L impostazione del modo DEG, RAD o GRA sulla calcolatrice varia da modello a modello, a volte basta premere un tasto, a volta occorre premere una combinazione di tasti. Sulle calcolatrici, oltre ai simboli e alle funzioni disponibili sui tasti, si possono utilizzare i simboli e le funzioni visualizzabili sopra i tasti (o sotto), per accedervi, occorre premere il tasto INV ( SHIFT o nd o altre diciture ancora a seconda del modello) prima del tasto desiderato.

9 Esempio: per visualizzare il numero sul display, premere INV. Operando in gradi: deg MODE 4 Operando in radianti: rad MODE 5 Esempio: si calcoli il seno di 70 : 7 0 sin Il risultato ritornato è: Esempio: si calcoli il seno di /5: INV 5 = sin Il risultato ritornato è: Esempio: si calcoli il coseno di -56 : 5 6 +/- cos Il risultato ritornato è: Esempio: il coseno di 3/7 3 x INV +/- 7 = cos Il risultato ritornato è: Esempio: la tangente di 40 : 4 0 tan Il risultato ritornato è: Esempio: la tangente di /3: INV 3 = tan Il risultato ritornato è: Esempio: l arcoseno di 0.84: INV sin Il risultato ritornato in gradi: Esempio: l arcoseno di 0.36: INV cos Il risultato ritornato in gradi: Esempio: l arcotangente di -0.15: /- INV tan Il risultato ritornato in gradi: Il risultato in radianti: Il risultato in radianti: Il risultato in radianti: Attività: si verifichino i risultati mostrati utilizzando una calcolatrice tascabile. Triangolo rettangolo costruito sul semicerchio dell ipotenusa Data una diagonale, i cateti che dagli estremi e s incontrano nel punto C ( ) sulla semicirconferenza, individuano sempre un angolo retto. : Ortocentro, : Incentro, : cateti, : ipotenusa Pitagora: = + : angolo retto Soma angoli: + = = 90 La somma degli angoli interni di qualsiasi triangolo vale 180, ed essendo, di un triangolo rettangolo, retto uno dei tre angoli, si conclude che la somma degli altri due valga 90. Attività: si verifichi che l angolo in (così come in e )sia retto, si misurino gli angoli e e si verifichi che la loro somma valga effettivamente 90. Attività: Si disegnino alcuni triangolo qualsiasi, si misurino i suoi angoli interni e si verifichi che la loro somma valga sempre 180-9

10 Risoluzione del triangolo rettangolo: coseno, seno e tangente di un angolo Le funzioni trigonometriche trovano un immediata applicazione geometrica nel triangolo rettangolo, in particolare, dato un lato qualsiasi e un altro lato o angolo, è possibile risolverlo in tutti gli altri lati e angoli. Triangolo rettangolo Relazioni: : : : + = - 10 = = = = = = = = = In un triangolo rettangolo, il coseno di un angolo rappresenta la lunghezza del lato adiacente moltiplicato per la lunghezza dell'ipotenusa, il seno invece è il lato opposto moltiplicato per l'ipotenusa. La tangente di un angolo è poi il rapporto tra il seno e il coseno dello stesso angolo,cioè tra il lato opposto e il lato adiacente, e non dipende dall ipotenusa. Esempi risolti Dati: Trovare: Soluzione algebrica: Sostituzione numerica e risultati: due cateti = 5 = 8 = + tan = = tan = 90 = = = tan Dati: Trovare: Soluzione algebrica: Sostituzione numerica e risultati: angolo e cateto opposto = 35 = 5 = tan = cos. = + = 90 = 5 tan = 6.10 cos35 = = 55 Dati: Trovare: Soluzione algebrica: Sostituzione numerica e risultati: angolo e cateto adiacente = 7 = 6 = tan = sin. = + = 90 = 6 tan = 13. sin7 = 90 7 = 63 Dati: Trovare: Soluzione algebrica: Sostituzione numerica e risultati: angolo e ipotenusa = 54 = 9 = cos = sin = 90 = 9 cos = 9 sin = = 36 Dati: Trovare: Soluzione algebrica: Sostituzione numerica e risultati: cateto e ipotenusa = 9 = 15 cateto opposto ad cateto adiacente ad ipotenusa = cos = = arccos = 90 = 15 9 = 1 = arccos

11 Attività: Si rappresentino i triangoli degli esercizi appena visti. Esercizi con soluzione: Si svolgano i seguenti esercizi con l ausilio della calcolatrice e si confrontino le soluzioni Tipo di problema Dati del problema due cateti = = 4 angolo e cateto adiacente = 70 = 6 angolo e cateto opposto = 8 = 5 Soluzioni: = 4.47 = = 6.57 = = = 0 Attività: Si rappresentino i triangoli degli esercizi appena svolti. angolo e ipotenusa = = 1 Area del triangolo qualunque, con l utilizzo della trigonometria Altezza: h = sin = 1 h = 1 sin cateto e ipotenusa = 6 = 13 Area: Erone: = sin sin sin = 4 = sin sin sin perimetro: = + + : = = Attività: Una volta compresi i meccanismi della trigonometria, si provi a disegnare dei triangoli e si utilizzino le varie tecniche conosciute per calcolare l area dei vari triangoli e si confrontino i risultati ottenuti, si utilizzi anche la formula di Erone. Teorema della corda = Teorema del seno = = Teorema del coseno = + = + =

12 Relazioni fondamentali + = = Periodicità delle funzioni trigonometriche cos = cos + sin = sin + tan = tan + Multipli di alcuni archi cos = cos sin = sin tan = tan cos = cos sin = sin tan = tan cos = cos + sin = sin + tan = tan + cos = sin sin = cos cot = tan cos = sin + sin = cos + cot = tan + Formule di addizione e sottrazione Le formule di addizione e sottrazione permettono di trasformare le funzioni trigonometriche della somma o differenza di due angoli in un'espressione composta da funzioni trigonometriche dei due angoli. + = + = + = tan + tan tan + = 1 tantan Formule di duplicazione = tan tan tan = 1 + tantan cos = cos sin α sinα = sinαcosα tan = tan 1 tan Formule di bisezione cos 1 + cos = tan 1 cos = 1 + cos sin 1 cos = tan 1 cos = = sin sin 1 + cos Formule di prostaferesi: Trasformazione di una somma in un prodotto = + = + + = = Formule di Werner: Trasformazione di un prodotto in una somma sin cos = 1 sin + + sin cos cos = 1 cos + + cos cos cos = 1 cos + + cos - 1

13 Applicazioni Proiezione di un vettore Piano inclinato - 13