Complementi 4 - Materiali non isotropi

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1 Complement 4 - Materal non sotrop [Ultmarevsone revsone9gennao gennao2009] In questo noteboo s parte dalla legge d Hooe per sold ansotrop, e s deducono le opportune restron sulle 21 costant elastche, potando vare smmetre del materale: verranno consderate le smmetre rspetto ad un pano, caratterstche de materal monocln, le smmetre rspetto a due pan ortogonal tra loro, caratterstco de materal ortotrop, le smmetre d rotaone ntrono ad un asse, che defnscono materal trasversalmente sotrop, ed nfne materal sotrop, che posseggono smmetra rotaonale rspetto a due ass perpendcolar. La legge d Hooe per materal ansotrop La formulaone pu generale della legge d Hooe passa attraverso lntroduone d 81 costant: σ = c h e h (1) l cu carattere d tensoralta e garantto dalla regola del quoente. S ha qund un tensore del quarto ordne, detto tensore d elastcta, l cu aspetto dpende dal tpo d materale che s sta esamnando. Alcune restron sono comunque d carattere generale: - la smmetra del tensore delle tenson mplca che: σ = c h e h = σ = c h e h (2) e qund esste smmetra rspetto a prm due ndc: c h = c h (3) - la smmetra del tensore delle deformaon mplca che esste smmetra nche rspetto agl altr due ndc: c h = c h (4) Ed nfatt, s consder uno stato deformatvo n cu la solo componente non nulla sa e 12 = e 21. Per esso, la legge d Hooe fornsce lo stato tensonale: σ = c 12 e 12 +c 21 e 21 = Hc 12 +c 21 L e 12 = 2 c 12 e 12 (5) avendo defnto la nuova costante: c 12 = 1 2 Hc 12 +c 21 L smmetrca rspetto al tero e quarto ndce. Le due propreta (3) e (4) s dcono propreta d smmetra mnore, e rducono a 36 l numero delle costant elastche. Infne, s e dmostrato che n potes d esstena d un potenale elastco vale anche la propreta d smmetra maggore: (6)

2 34 Complement 4 - Materal non sotrop.nb c h = c h e qund le costant elastche s rducono a 21. Sfruttando queste tre propreta d smmetra, n defntva, la legge d Hooe s scrvera: σ 11 σ 22 σ 33 σ 12 σ 13 σ 23 = c 1111 c 1122 c 1133 c 1112 c 1113 c 1123 c 1122 c 2222 c 2233 c 2212 c 2213 c 2223 c 1133 c 2233 c 3333 c 3312 c 3313 c 3323 c 1112 c 2212 c 3312 c 1212 c 1213 c 1223 c 1113 c 2213 c 3313 c 1213 c 1313 c 1323 c 1123 c 2223 c 3323 c 1223 c 1323 c 2323 e 11 e 22 e 33 2 e 12 2 e 13 2 e 23 Infne, s rcord che l carattere d tensoralta delle costant elastche mplca che esse varno, al varare del sstema d rfermento, secondo la relaone: (7) (8) c l = l m l n l p l lq c mnpq,,, l, m, n, p, q = 1, 2, 3 dove L e la matrce che contene, n colonna, cosen drettor de nuov ass rspetto a vecch ass. (9) I materal monocln S consder un materale che abba smmetra d comportamento rspetto ad un pano P, ossa un materale monoclno. S assuma che P sa l pano OX 1 - OX 2, e s complet la terna d rfermento con un tero asse OX 3, ortogonale a P: l tpo d smmetra che s sta studando mplca che le costant elastche non mutano al varare del sstema d rfermento da HO, X 1, X 2, X 3 L a HO, X 1, X 2, X 3 L, come llustrato n Fgura 1. X 3 O X 2 X 1 X 3 Fgura 1 - La smmetra esbta da materal monocln: nulla vara rbaltando lasse vertcale

3 Complement 4 - Materal non sotrop.nb 35 La matrce L de cosen drettor de vecch ass rspetto a nuov e fornta da: L = Applcando la legge d varaone (9) s ottene: (10) c 1111 = l 1 m l 1 n l 1 p l 1 q c mnpq = c 1111 (11) e rsultat sml s hanno per tutt coeffcent elastc n cu non compare l pedce 3, oppure per tutt coeffcent elastc n cu l pedce 3 compare un numero par d volte (due o quattro volte). Se nvece l pedce tre compare un numero dspar d volte, (una volta o tre volte), allora s ha, ad esempo: c 1113 = l 1 m l 1 n l 1 p l 3 q c mnpq = c 1113 (12) Poche, per la rchesta smmetra, dovra anche essere c 1113 = c 1113, ne resta che c 1113 deve essere nullo, cos come null sono tutt coeffcent con un numero dspar d pedce 3. In defntva, la matrce delle costant elastche per un materale monoclno s scrve n funone d 13 quantta, come segue: c 1111 c 1122 c 1133 c c 1122 c 2222 c 2233 c c 1133 c 2233 c 3333 c c 1112 c 2212 c 3312 c c 1313 c c 1323 c 2323 (13) S not che una rotaone degl ass d rfermento modfca laspetto della matrce, dstruggendone laspetto ma preservando la smmetra e la possblta d defnre l materale n termn d 13 costant elastche. I materal ortotrop S consder un materale che abba smmetra d comportamento rspetto a due pan ortogonal tra loro, ossa un materale ortotropo. S assuma che pan d smmetra sano pan coordnat OX 1 - OX 2, ed OX 2 - OX 3 : l tpo d smmetra che s sta studando mplca che le costant elastche non mutano al varare del sstema d rfermento da HO, X 1, X 2, X 3 L a HO, X 1, X 2, X 3 L, come llustrato n Fgura 2. La matrce L de cosen drettor de vecch ass rspetto a nuov e fornta da: L = (14) Applcando la legge d varaone (9), ed utlando cosen drettor (14) s nota che dovranno essere null coeffcent elastc cu pedc contengono una combnaone d 1 e 3 n numero dspar, gungendo qund alla matrce delle costant elastche n termn d 9 quantta, come segue:

4 36 Complement 4 - Materal non sotrop.nb X 3 X 1 O X 2 X 1 X 3 Fgura 2 - La smmetra esbta da materal ortotrop: nulla vara rbaltando gl ass X 1 ed X 3 c 1111 c 1122 c c 1122 c 2222 c c 1133 c 2233 c c c c 2323 (15) Ovvamente, lnversa della matrce C ha lo stesso aspetto della matrce C, scche per un materale ortotropo lapplcaone d una tensone normale causa solo lnsorgere d deformaon normal, e lapplcaone d una tensone tangenale causa lnsorgere della sola corrspondena deformaone taglante. Questa caratterstca e tuttava valda solo per questo partcolare sstema d rfermento. I materal trasversalmente sotrop S consder ora un materale trasversalmente sotropo, ossa un materale che possede un asse d smmetra, e sa esso OX 3. La smmetra d rotaone rspetto ad esso sgnfca qund che coeffcent elastc non devono mutare al ruotare degl ass OX 1 ed OX 2 d un arbtraro angolo f, come llustrato n Fgura 3. La matrce de cosen drettor de nuov ass rspetto a vecch e fornta da: L = Cos φ Snφ 0 Snφ Cosφ (16)

5 Complement 4 - Materal non sotrop.nb 37 X 3 X 2 O f X 2 f X 1 X 1 Fgura 3 - La smmetra ne materal trasversalmente sotrop: nulla vara a seguto d una rotaone ntorno allasse X 3 Per dedurre le restron mposte a coeffcent elastc da questo tpo d smmetra, s consder che la legge d Hooe s scrvera: σ = c h e h nel sstema d rfermento orgnaro, e: σ pq = c pqrs e rs (17) (18) nel sstema d rfermento ruotato. Mentre coeffcent elastc dovranno rmanere costant, tenson e deformaon s trasformano secondo le legg d trasformaone de tensor del secondo ordne. Sara qund s pq = l p l q s, ed esplctando: σ 11 = l 1 l 1 σ = l 11 l 11 σ l 11 l 12 σ 12 +l 12 l 12 σ 22 = σ 11 Cos 2 φ + 2 σ 12 CosφSnφ + σ 22 Sn 2 φ σ 12 = l 1 l 2 σ = l 11 l 21 σ 11 +l 11 l 22 σ 12 +l 12 l 21 σ 12 +l 12 l 22 σ 22 = Hσ 22 σ 11 L CosφSnφ + σ 12 HCos 2 φ Sn 2 φl σ 22 = l 2 l 2 σ = l 21 l 21 σ l 21 l 22 σ 12 +l 22 l 22 σ 22 = σ 11 Sn 2 φ 2 σ 12 CosφSnφ + σ 22 Cos 2 φ σ 13 = l 1 l 3 σ = l 11 l 33 σ 13 +l 12 l 33 σ 23 = σ 13 Cosφ + σ 23 Snφ σ 23 = l 2 l 3 σ = l 21 l 33 σ 13 +l 22 l 33 σ 23 = σ 13 Snφ + σ 23 Cosφ σ 33 = l 3 l 3 σ = l 33 l 33 σ 33 = σ 33 con rsultat analogh per le deformaon. S scrva ora n extenso la relaone che fornsce s 11 : σ 11 = c 1111 e 11 + c 1122 e 22 +c 1133 e c 1112 e c 1113 e c 1123 e 23 (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25)

6 38 Complement 4 - Materal non sotrop.nb e la s esprma n termn d tenson s e deformaon e : σ 11 Cos 2 φ + 2 σ 12 CosφSnφ + σ 22 Sn 2 φ = c 1111 He 11 Cos 2 φ + 2e 12 CosφSnφ +e 22 Sn 2 φl + c 1122 He 11 Sn 2 φ 2e 12 CosφSnφ +e 22 Cos 2 φl +c 1133 e c 1112 HHe 22 e 11 L CosφSnφ +e 12 HCos 2 φ Sn 2 φll + 2 c 1113 He 13 Cosφ +e 23 SnφL +2 c 1123 H e 13 Snφ +e 23 CosφL Daltro canto, s ha anche: σ 11 = c 1111 e 11 + c 1122 e 22 +c 1133 e c 1112 e c 1113 e c 1123 e 23 σ 22 = c 2211 e 11 + c 2222 e 22 +c 2233 e c 2212 e c 2213 e c 2223 e 23 σ 12 = c 1211 e 11 + c 1222 e 22 +c 1233 e c 1212 e c 1213 e c 1223 e 23 e qnd la (26) puo esprmers nteramente n termn d deformaon: Hc 1111 e 11 + c 1122 e 22 +c 1133 e c 1112 e c 1113 e c 1123 e 23 L Cos 2 φ + 2 Hc 1211 e 11 + c 1222 e 22 +c 1233 e c 1212 e c 1213 e c 1223 e 23 L CosφSnφ + Hc 2211 e 11 + c 2222 e 22 +c 2233 e c 2212 e c 2213 e c 2223 e 23 L Sn 2 φ = c 1111 He 11 Cos 2 φ + 2e 12 CosφSnφ +e 22 Sn 2 φl + c 1122 He 11 Sn 2 φ 2e 12 CosφSnφ +e 22 Cos 2 φl +c 1133 e c 1112 HHe 22 e 11 L CosφSnφ +e 12 HCos 2 φ Sn 2 φll + 2 c 1113 He 13 Cosφ +e 23 SnφL +2 c 1123 H e 13 Snφ +e 23 CosφL Uguaglando a ero l coeffcente d e 11 s ottene c 1211 = 0 Uguaglando a ero l coeffcente d e 22 s ottene 2c 1222 Cosφ + c 2222 Snφ = c 1111 Snφ +2 c 1112 Cosφ e qund s puo dedurre: (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) c 1222 = c 1112 c 2222 = c 1111 Uguaglando a ero l coeffcente d e 33 s ottene (33) ossa: c 1133 Cos 2 φ + 2 c 1233 CosφSnφ +c 2233 Sn 2 φ = c 1133 (34) c 2233 = c 1133 c 1233 = 0 Uguaglando a ero l coeffcente d e 12 s ottene (35)

7 Complement 4 - Materal non sotrop.nb 39 4 c 1212 CosφSnφ +2 c 2212 Sn 2 φ = 2c CosφSnφ 2c 1122 CosφSnφ 2 c 1112 Sn 2 φ da cu e possble dedurre: c 1212 = 1 2 Hc 1111 c 1122 L c 2212 = c 1112 e dal confronto con la prma delle (33) s ha anche: c 2212 = 0 c 1112 = 0 Uguaglando a ero l coeffcente d e 13 s ottene c 1113 Cos 2 φ + 2 c 1213 CosφSnφ +c 2213 Sn 2 φ = c 1113 Cosφ c 1123 Snφ e qund s puo dedurre: c 1113 = 0 c 1213 = 0 c 2213 = 0 Infne, uguaglando a ero l coeffcente d e 23 s ottene (36) (37) (38) (39) (40) (41) da cu: c 1123 Cos 2 φ + 2 c 1223 CosφSnφ +c 2223 Sn 2 φ = c 1113 Snφ +c 1123 Cosφ (42) c 1123 = 0 c 1223 = 0 c 2223 = 0 La matrce delle costant elastche s e cos semplfcata: c 1111 c 1122 c c 1122 c 1111 c c 1133 c 1133 c c 3313 c Hc 1111 c 1122 L c c 1313 c c c 1323 c 2323 S scrva ora la relaone che lega la s 33 alla s 33 : (43) (44) ossa: c 3311 e 11 + c 3322 e 22 +c 3333 e c 3312 e c 3313 e c 3323 e 23 = c 3311 e 11 + c 3322 e 22 +c 3333 e c 3312 e c 3313 e c 3323 e 23 (45) c 3311 He 11 Cos 2 φ + 2e 12 CosφSnφ +e 22 Sn 2 φl + c 3322 He 11 Sn 2 φ 2e 12 CosφSnφ +e 22 Cos 2 φl +c 3333 e 33 +

8 40 Complement 4 - Materal non sotrop.nb 2 c 3312 HHe 22 e 11 L CosφSnφ + e 12 HCos 2 φ Sn 2 φll + 2 c 3313 He 13 Cosφ +e 23 SnφL +2 c 3323 H e 13 Snφ +e 23 CosφL = c 3311 e 11 + c 3322 e 22 +c 3333 e c 3312 e c 3313 e c 3323 e 23 Annullando coeffcent d e 13 s gunge a scrvere: c 3313 Cosφ c 3323 Snφ = c 3313 (47) da cu: c 3313 = 0 c 3323 = 0 (48) e la matrce delle costant elastche s e cos ulterormente semplfcata: c 1111 c 1122 c c 1122 c 1111 c c 1133 c 1133 c Hc 1111 c 1122 L c 1313 c c 1323 c 2323 (49) Scrvendo nfne la relaone che lega s 13 a s 13 s gunge ad annullare anche l coeffcente c 1323, gungendo alla forma fnale della matrce d elastcta per materal trasversalmente sotrop: c 1311 e 11 + c 1322 e 22 +c 1333 e c 1312 e c 1313 e c 1323 e 23 = Hc 1311 e 11 + c 1322 e 22 +c 1333 e c 1312 e c 1313 e c 1323 e 23 L Cosφ +Hc 2311 e 11 + c 2322 e 22 +c 2333 e c 2312 e c 2313 e c 2323 e 23 L Snφ (50) ed ancora, esprmendo le e n termn d e : c 1311 He 11 Cos 2 φ + 2e 12 CosφSnφ +e 22 Sn 2 φl + c 1322 He 11 Sn 2 φ 2e 12 CosφSnφ +e 22 Cos 2 φl +c 1333 e c 1312 HHe 22 e 11 L CosφSnφ + e 12 HCos 2 φ Sn 2 φll + 2 c 1313 He 13 Cosφ +e 23 SnφL +2 c 1323 H e 13 Snφ +e 23 CosφL = Hc 1311 e 11 + c 1322 e 22 +c 1333 e c 1312 e c 1313 e c 1323 e 23 L Cosφ +Hc 2311 e 11 + c 2322 e 22 +c 2333 e c 2312 e c 2313 e c 2323 e 23 L Snφ (51) Annullando l coeffcente d e 13 s ottene: 2 c 1313 Cosφ 2 c 1323 Snφ = 2 c 1313 Cosφ +2 c 2313 Snφ (52) e qund: c 1323 = 0 (53) mentre lannullars del coeffcente d e 23 mplca: c 1313 Snφ +c 1323 Cosφ = c 1323 Cosφ +c 2323 Snφ (54) ossa:

9 Complement 4 - Materal non sotrop.nb 41 c 1313 = c 2323 S e gunt nfne alla forma fnale della matrce d elastcta per materal trasversalmente sotrop: (55) c 1111 c 1122 c c 1122 c 1111 c c 1133 c 1133 c Hc 1111 c 1122 L c c 1313 (56) Come s vede, l materale trasversalmente sotropo puo defnrs attraverso lntroduone d 5 costant elastche ndpendent. I materal sotrop S e cos gunt al caso pu strngente d smmetra, quella posseduta da materal ndfferent alla scelta del rfermento. Equvalentemente, s consderano ora materal che godono della propreta d smmetra rotaonale rspetto a due ass mutuamente ortogonal, cosddett materal sotrop. Per ess, un ragonamento dentco a quello svolto per l materale trasversalmente sotropo porta a concludere che dovra essere: c 1313 = 1 2 Hc 1111 c 1122 L c 3333 = c 1111 c 1133 = c 1122 e qund l soldo sotropo e defnto da due costant elastche, e dalla matrce d elastcta: c 1111 c 1122 c c 1122 c 1111 c c 1122 c 1122 c c 1111 c c c c c 1122 E nfne usuale, seguendo Lame, defnre le due costant elastche: 2 (57) (58) da cu subto: λ = c 1122 µ = 1 2 Hc 1111 c 1122 L c 1111 = λ +2 µ e la matrce d elastcta assume la forma canonca: (59) (60)

10 42 Complement 4 - Materal non sotrop.nb λ +2 µ λ λ λ λ +2 µ λ λ λ λ +2 µ µ µ µ (61) Grafc